Sistemi Interconnessi
|
|
- Ornella Fortunato
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso di Fondamenti di Atomatica Università di Roma La Sapienza Sistemi Interconnessi L. Lanari Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza Roma, Ital Ultima modifica Ma 29, 2008
2 Considerazioni generali Si consideri n sistema S ottento come interconnessione di m sottosistemi S i (i =,..., m) ognno dei qali caratterizzato dalla rappresentazione con lo spazio di stato (A i, B i, C i, D i ) e vettore di stato x i IR n i di dimensione n i, ingresso i e scita i S i : { ẋi (t) = A i x i (t) B i i (t) i (t) = C i x i (t) D i i (t) Lo stato x(t) del sistema interconnesso pò essere scelto pari a x(t) = x (t). x m (t) ed ha dimensione n = m i= n i. Le diverse interconnessioni sono individate dalle relazioni di interconnessione tra le variabili di ingresso e scita dei vari sottosistemi. L ordine dei sottovettori xi (t) nel vettore di stato x(t) è arbitrario; ovviamente cambia la rappresentazione nello spazio di stato del sistema interconnesso se si altera l ordine dei vettori x i (t) in x(t). Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi
3 Atovalori nascosti Un atovalore λ i della matrice dinamica A di n sistema S si definisce atovalore nascosto se la sa molteplicità come polo della fnzione di trasferimento di S è strettamente inferiore a qella che tale atovalore ha come radice del polinomio caratteristico di A (molteplicità algebrica). La presenza di n atovalore nascosto nasce dall esistenza di na dinamica non raggingibile e/o inosservabile (dinamica nascosta) caratterizzata dall atovalore stesso. Vale il segente risltato (Test di Hats) Un atovalore λ i non è n atovalore nascosto se e solo se rango ( (A λ i I) B ) = n Test di controllabilità rango ( (A λi I) C ) e = n Test di osservabilità Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 2
4 Interconnessione in Serie (o Cascata) = = 2 2 = S : { ẋ (t) = A x (t) B (t) (t) = C x (t) D (t) stato: x(t) = S S 2 S ( x (t) x 2 (t) ) S 2 : { ẋ2 (t) = A 2 x 2 (t) B 2 2 (t) 2 (t) = C 2 x 2 (t) D 2 2 (t) relazioni di interconnessione: = 2, =, = 2 Per ottenere la rappresentazione con lo spazio di stato del sistema interconnesso si calcola ẋ(t) e si sano le relazioni di interconnessione ( ) ( ) ( ) ( ) ẋ A x ẋ = = B A x = B A = x B ẋ 2 A 2 x 2 B 2 2 A 2 x 2 B 2 A 2 x 2 B 2 (C x D ) ( ) ( ) ( ) A 0 x B = = Ax B B 2 C A 2 x 2 B 2 D = 2 = C 2 x 2 D 2 2 = C 2 x 2 D 2 (C x D ) = ( ) ( ) x D 2 C C 2 D x 2 D 2 = Cx D Sistema interconnesso caratterizzato da ( ) ( ) A 0 B A =, B =, C = ( ) D B 2 C A 2 B 2 D 2 C C 2, D = D D 2 Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 3
5 Interconnessione in Serie (o Cascata) Dall espressione della matrice A (triangolare inferiore a blocchi) del sistema interconnesso si ha l importante relazione at{a} = at{a } at{a 2 } In generale si ha Il sistema interconnesso in serie S ha come atovalori l nione degli atovalori dei sottosistemi S i che lo compongono Con at{a} si indica l insieme degli atovalori della matrice A. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 4
6 Interconnessione in Serie (o Cascata) Fnzione di trasferimento = = 2 2 = 2 S : F (s) = (s) (s) S 2 : F 2 (s) = 2(s) 2 (s) = (s) (s) = 2(s) 2 (s) (s) 2 (s) = 2(s) (s) (s) 2 (s) = 2(s) (s) 2 (s) (s) = F 2(s)F (s) = F (s)f 2 (s) La fnzione di trasferimento del sistema interconnesso in serie S è data dal prodotto delle fnzioni di trasferimento F i (s) dei singoli sottosistemi S i che lo compongono Attenzione: nella fnzione di trasferimento finale ci possono essere delle cancellazioni tra poli e zeri. In tal caso si ha sicramente na perdita di raggingibilità e/o osservabilità per il sistema interconnesso. I poli del sistema interconnesso, in presenza di tali cancellazioni, non comprenderanno ttti i poli (atovalori) dei singoli sottosistemi e qindi ci saranno atovalori nascosti. Si parte dal prespposto che i singoli sottosistemi siano, presi singolarmente, completamente osservabili e raggingibili e qindi i poli e gli atovalori di ogni singolo sottosistema coincidono. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 5
7 Interconnessione in Serie Esempio = = 2 2 = S : F (s) = s s = 2 s 2 S 2 : F 2 (s) = s = F (s)f 2 (s) = (s ) (s ) (s ) = s Un solo polo mentre il sistema deve avere 2 atovalori n atovalore nascosto = perdita di raggingibilità e/o osservabilità Si deve individare la rappresentazione nello spazio di stato del sistema interconnesso a partire dalle singole rappresentazioni dei de sottosistemi S e S 2. A= Realizzazioni ( ) ( A 0 0 = B 2 C A 2 2 S : A =, B =, C = 2, D = S 2 : A 2 =, B 2 =, C 2 =, D 2 = 0 ) ( ) ( ) B, B = =, C = ( 0 B 2 D ) ( C 2 = 0 ), D =0 Test di Hats per λ 2 = rg ( A λ 2 I B ) ( ) 2 0 = rg = < n = 2, λ non raggingibile ( ) A λ2 I rg = rg = 2 = n, λ C 2 osservabile 0 Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 6
8 Interconnessione in Serie Esempio 2 = = 2 2 = 2 Att. ordine diverso rispetto all esempio S : F (s) = s s = 2 s S 2 : F 2 (s) = s = F 2 (s)f (s) = F (s)f 2 (s) = (s ) (s ) (s ) = s n solo polo Stesse realizzazioni dei singoli sottosistemi dell esempio ( ) ( ) ( ) ( ) A B A = C =, B = =, 0 A 2 0 B 2 C = ( C ) ( D C 2 = 2 ) Test di Hats per λ 2 = rg ( A λ 2 I B ) ( ) 2 0 = rg = 2 = n, λ raggingibile ( ) A λ2 I rg = rg = < n = 2, λ C 2 inosservabile 2 l ordine di interconnessione in caso di cancellazione è importante Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 7
9 Interconnessione in Serie Proprietà strttrali = = 2 2 = 2 Se nell interconnessione in serie di F (s) = N (s)/d (s) e F 2 (s) = N 2 (s)/d 2 (s) si verificano cancellazioni che coinvolgono fattori comni tra N (s) e D 2 (s) (cancellazione nell ordine zero/polo) oppre tra D (s) e N 2 (s) (cancellazione polo/zero) si generano dinamiche nascoste. Rispetto allo schema di figra: se no zero di F (s) cancella n polo di F 2 (s) si genera na dinamica non raggingibile caratterizzata dall atovalore nascosto coincidente con il polo di F 2 (s) cancellato; se n polo di F (s) cancella no zero di F 2 (s) si genera na dinamica inosservabile caratterizzata dall atovalore nascosto coincidente con il polo di F (s) cancellato. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 8
10 Interconnessione in Parallelo S S : { ẋ (t) = A x (t) B (t) (t) = C x (t) D (t) 2 S 2 2 S S 2 : { ẋ2 (t) = A 2 x 2 (t) B 2 2 (t) 2 (t) = C 2 x 2 (t) D 2 2 (t) Procedimento analogo ( ) ẋ ẋ = = ẋ 2 = relazioni di interconnessione: = 2, = = 2 ( ) A x B A 2 x 2 B 2 2 ( A 0 0 A 2 ) ( x x 2 ) ( A x = B A 2 x 2 B 2 ) = Ax B B 2 ( B = 2 = C x D x C 2 x 2 D 2 x 2 = ( C C 2 ) ( x x 2 ) (D D 2 ) = Cx D Sistema interconnesso caratterizzato da ( ) ( ) A 0 B A =, B =, C = ( ) C 0 A 2 B C 2, D = D D 2 2 ) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 9
11 Interconnessione in Parallelo Dall espressione della matrice A (diagonale a blocchi) del sistema interconnesso si ha l importante relazione at{a} = at{a } at{a 2 } In generale si ha Il sistema interconnesso in parallelo S ha come atovalori l nione degli atovalori dei sottosistemi S i che lo compongono Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 0
12 Interconnessione in Parallelo Fnzione di trasferimento S : F (s) = (s) (s) S 2 : F 2 (s) = 2(s) 2 (s) = (s) (s) = (s) 2 (s) (s) = (s) (s) 2(s) (s) = (s) (s) 2(s) 2 (s) = F (s) F 2 (s) La fnzione di trasferimento del sistema interconnesso in parallelo S è data dalla somma delle fnzioni di trasferimento F i (s) dei singoli sottosistemi S i che lo compongono Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi
13 Interconnessione in Parallelo Esempio S : F (s) = s s = 2 s S 2 : F 2 (s) = s Realizzazioni S : A =, B =, C = 2, D = S 2 : A 2 =, B 2 =, C 2 =, D 2 = 0 = F (s) F 2 (s) = s s s = ( ) ( ) 0 A =, B = 0 s s = s n solo polo, C = ( 2 ), D = D = Test di Hats per λ = rg ( A λi B ) ( ) 0 0 = rg = < n = 2, λ non raggingibile 0 0 ( ) A λi rg = rg = < n = 2, λ inosservabile C 2 Dinamica di ordine (dimensione del sottosistema) non raggingibile e inosservabile caratterizzata da n atovalore in Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 2
14 Interconnessione in Parallelo Proprietà strttrali S S 2 2 S Se F (s) e F 2 (s) hanno n polo p i in comne, allora, mettendo in evidenza tale polo F (s) = N (s) D (s) = N (s) (s p i )D (s), F 2(s) = N 2(s) D 2 (s) = N 2 (s) (s p i )D 2 (s) = F (s) F 2 (s) = N (s) (s p i )D (s) N 2 (s) (s p i )D 2 (s) = N (s)d 2 (s) N 2(s)D (s) (s p i )D (s)d 2 (s) con il nmero di poli finale minore di no rispetto alla somma del nmero dei poli di S e S 2. In generale si pò dimostrare che o, eqivalentemente, Se F (s) e F 2 (s) hanno poli in comne allora si genera na dinamica contemporaneamente non raggingibile e inosservabile Se S e S 2 hanno atovalori in comne allora si genera na dinamica contemporaneamente non raggingibile e inosservabile Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 3
15 Interconnessione in Retroazione S S : { ẋ (t) = A x (t) B (t) (t) = C x (t) 2 2 S 2 Retroazione negativa S S 2 : (caso D = D 2 = 0) { ẋ2 (t) = A 2 x 2 (t) B 2 2 (t) 2 (t) = C 2 x 2 (t) Scegliendo relazioni di interconnessione: = 2, = = 2 stato: x(t) = ( x (t) x 2 (t) e calcolando ẋ(t), si ottiene la rappresentazione con lo spazio di stato di S ( ) ( ) ( ) ẋ A x ẋ = = B ( 2 ) A x = B C 2 x 2 B ẋ 2 A 2 x 2 B 2 A 2 x 2 B 2 C x ( ) ( ) ( ) A B = C 2 x B = Ax B B 2 C A 2 x 2 0 = = C x = ( C 0 ) ( ) x = Cx x 2 ) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 4
16 Interconnessione in Retroazione Sistema interconnesso caratterizzato da ( ) A B A = C 2, B = B 2 C A 2 ( B 0 ), C = ( C 0 ), D = 0 In generale si ha at{a} = at{a } at{a 2 } e qindi il sistema interconnesso avrà, in generale, atovalori diversi dagli atovalori dei singoli sottosistemi. Come illstrato di segito, se vi sono cancellazioni nella fnzione d anello F (s)f 2 (s), la dinamica non necessariamente nascosta, corrispondente a tali cancellazioni, rimane inalterata per il sistema ad anello chiso. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 5
17 Interconnessione in Retroazione Fnzione di trasferimento S : F (s) = (s) (s) S 2 : F 2 (s) = 2(s) 2 (s) (s) = (s) = F (s)[(s) 2 (s)] = F (s)[(s) F 2 (s) 2 (s)] = F (s)[(s) F 2 (s)(s)] [ F (s)f 2 (s)](s) = F (s)(s) = (s) (s) = F (s) F (s)f 2 (s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 6
18 Interconnessione in Retroazione Unitaria S S Retroazione nitaria negativa S: sistema ad anello chiso S : sistema ad anello aperto { ẋ (t) = A S : x (t) B (t) (t) = C x (t) (caso D = 0) relazioni di interconnessione: =, = Lo stato del sistema interconnesso coincide con qello del sistema ad anello aperto S. ẋ = ẋ = A x B ( ) = A x B C x B = (A B C )x B = Ax B = = C x = Cx Sistema interconnesso caratterizzato da con, in generale, A = A B C, B = B, C = C at{a} = at{a } Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 7
19 Interconnessione in Retroazione Unitaria Fnzione di trasferimento S : F (s) = (s) (s) = (s) (s) = F (s) F (s) Caso reazione positiva = (s) (s) = F (s) F (s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 8
20 Interconnessione in Retroazione Unitaria Esempio S instabile, ad esempio F (s) = 2 s S stabile asintoticamente = F (s) F (s) = 2/(s ) 2/(s ) = 2 s 2 = 2 s S stabile asintoticamente, ad esempio F (s) = K(s ) (s ) 2 = F (s) F (s) = K(s ) s 2 s(2 K) K S è stabile asintoticamente se 2 < K < ; S è stabile semplicemente se K = o K = 2; S è instabile negli altri casi. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 9
21 Interconnessione in Retroazione Proprietà strttrali Se no zero di F (s) coincide con n polo di F 2 (s) si genera na dinamica nascosta non raggingibile e inosservabile. F (s) = (s a)n (s), F 2 (s) = D (s) N 2 (s) (s a)d 2 (s) = (s a) 2 N (s)d 2 (s) (s a)[d (s)d 2 (s) N (s)n 2(s)] cancellazione = (s a)n (s)d 2 (s) D (s)d 2 (s) N (s)n 2(s) L atovalore nascosto (corrispondente al polo cancellato ) non viene alterato dalla retroazione. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 20
22 Interconnessione in Retroazione Proprietà strttrali Att.: Se n polo di F (s) coincide con no zero di F 2 (s) nell interconnessione a retroazione riportata in figra non si genera na dinamica nascosta ma il corrispondente polo non viene alterato dalla retroazione. F (s) = N (s) (s a)d (s), F 2(s) = (s a)n 2 (s) D 2 (s) = N (s)d 2 (s) (s a)[d (s)d 2(s) N (s)n 2 (s)] Non ci sono cancellazioni: il grado del denominatore di è gale alla somma dei gradi dei denominatori di F (s) e F 2 (s) (e gale al nmero di atovalori del sistema interconnesso). Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 2
23 Interconnessione in Retroazione Unitaria Proprietà strttrali S S Il sistema retroazionato S ha atovalori nascosti se e solo se li ha il sistema S F (s) = = cancellazione = (s a)n (s) (s a)d (s) (s a)n (s) (s a)n (s) (s a)d (s) = (s a)n (s) (s a)[n (s) D (s)] N (s) N (s) D (s) Gli atovalori nascosti di S non vengono spostati dalla retroazione Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 22
24 Alcne regole per la semplificazione di sistemi interconnessi L eqivalenza è facilmente dimostrata confrontanto i vari segnali. Att.: l eqivalenza è solo di tipo algebrico, le cancellazioni introdotte servono solo a sbrogliare le interconnessioni. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 23
25 Esempio r K(s) G(s) z d Calcolare la fnzione di trasferimento W dz (s) tra le variabili d(t) e z(t) Principio di sovrapposizione degli effetti r = 0. Il sistema interconnesso complessivo ha de ingressi (r(t) e d(t)); entrambi, in generale, inflenzeranno l andamento delle diverse variabili del sistema e qindi anche z(t). Definendo con W rz (s) la fnzione di trasferimento tra r e z (ottenta ponendo d a zero), la risposta forzata complessiva sarà z(s) = W dz (s)d(s) W rz (s)r(s) Volendo solo individare l effetto di d(t) s z(t) si pò porre l altro ingresso a zero. Semplice manipolazione dello schema a blocchi K(s) G(s) z d d K(s) G(s) z W dz (s) = K(s)G(s) [ K(s)G(s)] = K(s)G(s) K(s)G(s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 24
26 Esempio 2 r C(s) d 2 Individare le fnzioni di trasferimento W d (s) e W r (s) Opportne trasformazioni dello schema a blocchi = 0 r C(s) d 2 C(s) d 2 d d C(s) C(s) 2 C(s) a 2 b C(s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 25
27 Esempio 2 C(s) d d C(s) 2 2 C(s) C(s) Lo schema finale permette di applicare le formle note per il calcolo della fnzione di trasferimento di n sistema interconnesso In modo analogo si ottiene W d (s) = W r (s) = F (s) [F (s) F 2 (s)] C(s) [F (s) F 2 (s)] C(s) [F (s) F 2 (s)] C(s) Esiste n procedimento algoritmico di tipo algebrico formla di Mason che permette di calcolare in generale la fnzione di trasferimento di n sistema interconnesso complesso. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 26
28 Esempio 2 In alternativa si pò procedere in modo algebrico: individare ttti i segnali che appaiono nel sistema interconnesso scrivere le relazioni in s che legano i vari segnali risolvere le eqazioni algebriche. relazioni algebriche: (s) = b(s) c(s), b(s) = F (s)a(s), c(s) = F 2 (s)(s), a(s) = (s) d(s), (s) = C(s)(s) r = 0 C(s) d a b 2 c = b c = F 2 F ( d) = F d (F F 2 )C Si ricorda che si sta considerando la sola risposta forzata e pertanto se n segnale a(s) agisce in ingresso a n sistema con fnzione di trasferimento G(s), la trasformata dell scita forzata b(s) è data dal semplice prodotto b(s) = G(s)a(s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 27
29 Esempio 3 T i (t) f i f a T ai (t) A k f (s) a B f a T a (t) T(t) f T ai (t), T a (t) temperatra in ingresso e in scita jacket, C ρ a densità acqa raffreddamento nel jacket, kg/m 3 V a volme acqa nella camicia di raffreddamento H ai, H a entalpie acqa in ingresso/scita jacket, J/kg f i, f flsso volmetrico in ingresso/scita reattore m 3 /s C Ai concentrazione del componente A in ingresso T (s) i f(s) C A (s) i K 8 K 2 K K 5 K 4 T a (s) i K 9 3 s T a (s) K 7 T(s) s s K 3 2 C A (s) K 6 K 0 Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 28
Lezione 5. Schemi a blocchi
Lezione 5 Schemi a blocchi Elementi costitutivi di uno schema a blocchi Gli schemi a blocchi costituiscono un formalismo per rappresentare graficamente le interazioni tra sistemi dinamici. Vediamone gli
Dettagli2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo:
.5 Stabilità dei sistemi dinamici 9 Risulta: 3 ( s(s + 4).5 Stabilità dei sistemi dinamici Si è visto come un sistema fisico può essere descritto tramite equazioni differenziali o attraverso una funzione
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliProva scritta di Controlli Automatici - Compito A
Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri
DettagliIl luogo delle radici (ver. 1.0)
Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione
DettagliESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli
FONDAMENTI di AUTOMATICA ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli NB in presenza di matrici 3x3 bisogna intuire che esiste un metodo risolutivo particolare perchè non verrà mai richiesto a lezione
DettagliControlli automatici
Controlli atomatici Sistemi a tempo discreto Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it) Politecnico di Milano Dipartimento di Elettronica, Informaione e Bioingegneria Introdione Un sistema dinamico a tempo
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliLa funzione di trasferimento
Sommario La funzione di trasferimento La funzione di trasferimento Poli e zeri della funzione di trasferimento I sistemi del primo ordine Esempi La risposta a sollecitazioni La funzione di trasferimento
DettagliEsercizi di Matematica Finanziaria
Università degli Stdi di Siena Facoltà di Economia Esercizi di Matematica Finanziaria relativi ai capitoli XI-XIII del testo Cladio Pacati a.a. 998 99 c Cladio Pacati ttti i diritti riservati. Il presente
DettagliStruttura elettronica delle molecole. Teoria quantistica del legame chimico
Strttra elettronica delle molecole. Teoria qantistica del legame chimico Lo ione idrogeno molecolare H 2 + Eq. Schroedinger singolo elettrone La fnzione d onda φ b soddisfa na eqazione analoga. Gli atovalori
DettagliFunzioni. Parte prima. Daniele Serra
Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1
DettagliINTRODUZIONE: IL CONTESTO DEI SISTEMI
INTRODUZIONE: IL CONTESTO DEI SISTEMI Il mondo reale è per sa natra complesso e le organizzazioni mane lo sono in modo particolare. Per potere comprendere e gestire la realtà è indispensabile svilppare
DettagliConsorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni
Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N. 6 ARGOMENTO: Grafici di funzioni sottoposte a trasformazioni elementari.
DettagliLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto
DettagliLa funzione di risposta armonica
0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliRichiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino
Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliFondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo
DettagliMetodi risolutivi per le disequazioni algebriche
Metodi risolutivi per le disequazioni algebriche v.scudero Una disequazioni algebrica si presenta in una delle quattro forme seguenti: () P( () P( (3) P( () P( essendo P( un polinomio in. Noi studieremo
DettagliPolitecnico di Milano. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 28 Novembre 2014 SOLUZIONE
Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 8 Novembre 014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1 punti: 8 su 3 Si consideri il sistema dinamico
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliEsempio di Integrazione 1
Esempio di Integrazione Spponiamo di voler integrare la fnzione fx_,_: x Sl dominio x 3x x 3x && 3 x x RegionPlot && x 3 x && x 5 x, x,, 5,,, 3 3 5 Il dominio deve essere opportnamente sddiviso epr poter
DettagliESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali. www.vincenzoscudero.it novembre 2009
ESERCIZI SVOLTI Ricerca del dominio di funzioni razionali fratte e irrazionali v.scudero www.vincenzoscudero.it novembre 009 1 1 Funzioni algebriche fratte 1.1 Esercizio svolto y = x 1 x 11x + 10 (generalizzazione)
DettagliCorrente ele)rica. Cariche in movimento e legge di Ohm
Corrente ele)rica Cariche in movimento e legge di Ohm Corrente ele)rica Nei metalli si possono avere elettroni che si muovono anche velocemente fra un estremo e l altro del metallo, ma la risultante istante
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliTutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13
DettagliLa trasformata Zeta. Marco Marcon
La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione
DettagliIntroduzione al MATLAB c Parte 2
Introduzione al MATLAB c Parte 2 Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ 18 gennaio 2008 Outline 1 M-file di tipo Script e Function Script Function 2 Costrutti di programmazione
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliB9. Equazioni di grado superiore al secondo
B9. Equazioni di grado superiore al secondo Le equazioni di terzo grado hanno una, due o tre soluzioni, risolvibili algebricamente con formule molto più complesse di quelle dell equazione di secondo grado.
DettagliCapitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C
Capitolo La funzione di trasferimento. Funzione di trasferimento di un sistema.. L-trasformazione dei componenti R - L - C. Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici..3 Risposta al gradino . Funzione
DettagliMetodi Frequenziali per il Progetto di Controllori MIMO: Controllori Decentralizzati
Metodi Frequenziali per il Progetto di Controllori MIMO: Controllori Decentralizzati Ingegneria dell'automazione Corso di Sistemi di Controllo Multivariabile - Prof. F. Amato Versione 2.2 Ottobre 2012
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
DettagliEsercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4
Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 2 Aprile 26 Sia dato il sistema di controllo a controreazione di Fig. 1, in cui il processo ha funzione di trasferimento P (s) = 1 (1 +.1s)(1 +.1s).
DettagliTrasformate di Laplace
TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio
DettagliSia data la rete di fig. 1 costituita da tre resistori,,, e da due generatori indipendenti ideali di corrente ed. Fig. 1
Analisi delle reti 1. Analisi nodale (metodo dei potenziali dei nodi) 1.1 Analisi nodale in assenza di generatori di tensione L'analisi nodale, detta altresì metodo dei potenziali ai nodi, è un procedimento
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Controlli Automatici - A.A. 1/11 Ingegneria Gestionale 13 Settembre 11 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali
DettagliIl Corso di Fisica per Scienze Biologiche
Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 075-585 2708 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
Dettagli0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y
INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).
DettagliLEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO
LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO MOD. 1 Sistemi di controllo e di regolazione. Si tratta di un ripasso di una parte di argomenti effettuati l anno scorso. Introduzione. Schemi a blocchi di
Dettaglila funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.
1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero
DettagliFunzioni di trasferimento. Lezione 14 2
Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi
Dettagli7 Applicazioni ulteriori
7 Applicazioni ulteriori 7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7.1.1 Analisi cinematica Si consideri la struttura in figura 7.1: i gradi di libertà sono pari a l =3n c v =3 0 3 = 0,
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliFONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI
FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI Guida alla soluzione degli esercizi d esame Dott. Ing. Marcello Bonfè Esercizi sulla scomposizione di modelli nello spazio degli stati: Gli esercizi nei
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliIng. Simone Giovannetti
Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Ing. Simone Giovannetti Firenze, 29 Maggio 2012 1 Incertezza di Misura (1/3) La necessità di misurare nasce dall esigenza
DettagliPolitecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).
Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Progetto di controllo e reti correttrici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1
DettagliSPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliIl simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale
Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un
DettagliSEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:
CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliTeoria normativa della politica economica
Teoria normativa della politica economica La teoria normativa si occpa di indicare il metodo e, di consegenza, le scelte che n atorità pbblica (policy maker) razionale dovrebbe assmere per persegire il
Dettagli13. Campi vettoriali
13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliRipasso delle matematiche elementari: esercizi svolti
Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
DettagliL EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare
L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei
DettagliAppunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing
Macchina di Turing Una macchina di Turing è costituita dai seguenti elementi (vedi fig. 1): a) una unità di memoria, detta memoria esterna, consistente in un nastro illimitato in entrambi i sensi e suddiviso
DettagliCorso di Analisi Matematica Serie numeriche
Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a
DettagliCOMPLEMENTI SULLE LEGGI FINANZIARIE
COMPLEMENI SULLE LEGGI FINANZIARIE asso di rendimento di operazioni finanziarie in valuta estera La normativa vigente consente di effettuare operazioni finanziarie, sia di investimento che di finanziamento,
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliCalcolo del Valore Attuale Netto (VAN)
Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN) Il calcolo del valore attuale netto (VAN) serve per determinare la redditività di un investimento. Si tratta di utilizzare un procedimento che può consentirci di
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliRisposta temporale: esercizi
...4 Risposta temporale: esercizi Esercizio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema: G(s) X(s) = s (s+)(s+) Y(s) Per ottenere la risposta al gradino occorre antitrasformare la seguente funzione:
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliMatrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliMatematica generale CTF
Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono
DettagliVademecum studio funzione
Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla
DettagliUniversità di Roma Tor Vergata
Università di oma Tor Vergata Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria Industriale Corso di: TEMOTECNIC 1 IMPINTI DI ISCLDMENTO D CQU: DIMENSIONMENTO Ing. G. Bovesecchi gianluigi.bovesecchi@gmail.com
DettagliG3. Asintoti e continuità
G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliIstituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto
Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BATOLO PACHINO (S) APPUNTI DI SISTEMI AUTOMATICI 3 ANNO MODELLIZZAZIONE A cura del Prof S. Giannitto MODELLI MATEMATICI di SISTEMI ELEMENTAI LINEAI, L, C ivediamo
DettagliSCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI
SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo
Dettaglib i 1,1,1 1,1,1 0,1,2 0,3,4
V o Appello // RICERCA OPERATIVA - Corso A (a.a. 9/) Nome Cognome: Corso di Laurea: L C6 LS LM Matricola: ) Si consideri il problema di flusso di costo minimo in figura. Si verifichi se il flusso ammissibile
DettagliSe x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2
NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione
DettagliProva scritta di Controlli Automatici
Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare
DettagliA.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO
A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO Sono stati trattati gli elementi base per l'analisi e il dimensionamento dei sistemi di controllo nei processi continui. E' quindi importante:
DettagliPer lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme
1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis
DettagliDalle misure eseguite con un segnale sinusoidale su di un impianto si è verificato che esso:
Tema di: SISTEMI ELETTRONICI AUTOMATICI Testo valevole per i corsi di ordinamento e per i corsi di progetto "SIRIO" - Indirizzo Elettronica e Telecomunicazioni Il candidato scelga e sviluppi una tra le
DettagliCompito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015
Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.
DettagliESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI
ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W
Dettagli