Esempio di Integrazione 1
|
|
- Vanessa Santi
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esempio di Integrazione Spponiamo di voler integrare la fnzione fx_,_: x Sl dominio x 3x x 3x && 3 x x RegionPlot && x 3 x && x 5 x, x,, 5,,, Il dominio deve essere opportnamente sddiviso epr poter effettare l integrazione. Dividiamolo in qesto modo:
2 integrali doppi.nb RegionPlot && x 3 x && x 5 x && x, && x 3 x && x 5 x && x, x,, 5,,, Il dominio bl pò essere scritto come x, x 5x Il dominio viola pò essere scritto come x, x 3x x 5x rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: x x 5x x x 5x x x 3x x Dove il primo termine deriva dalla prima parte del dominio, e il secondo termine dalla seconda parte del dominio. Fattori moltiplicativi che non dipendono da possono essere spostati a sinistra del primo integrale: x 5x x x x 5x x x x 3x Ora resta da calcolare gli integrali, calcolamo qello in : x 5x x x x 5x x x x 5x x 3x x x x 5x x 3x x 6 x33 x x 3 x x 8 x x x 3 x x x Qesti sono dei normali integrali in na dimensione, razionali, il risltato è: x
3 integrali doppi.nb 3 6 x 33 x x 3 x x x 8 x x x 3 x x 7 Π rctan Log rctan 6 rctan 5 Log5 5 Log7 3 Esempio di Integrazione Spponiamo ora di voler integrare la fnzione fx_,_: x Sl dominio x x x x && 3 x x RegionPlot x && x && x && x, x,,,,.5, L integrale pò essere effettato dividendo opportnamente il dominio, in qesto modo:
4 integrali doppi.nb RegionPlot x && x && x && x && x, x && x && x && x && x, x,,,,.5, Ma in qesto caso è molto più veloce osservare che il dominio pò essere riscritto come: x x x x Effettiamo qindi n cambio di cariabili x, v x Il ci inverso è x v, v La matrice del Jacobiano è: J_,v_: x x v v v 3 v v v Il ci valore assolto del determinante è bsdetj,v Nelle nove variabili il dominio è n rettangolo: v v rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: v v v v v v Per effettare il primo integrale in v facciamo n altro cambio di variabile:
5 integrali doppi.nb 5 v t t t tt t t t t t t ltro cambio di variabile z t z z rctanz rctan rctan Qesti sono dei normali integrali in na dimensione, razionali, il risltato è: rctan rctan Π rccot rccot 56 rccot rctan rctan rctan Coordinate Polari ed Esempio di Integrazione 3 Spponiamo ora di voler integrare la fnzione fx_,_: x x Sl dominio x x && 3 x x RegionPlotx && x, x,.5,.5,,.5,
6 6 integrali doppi.nb L integrale pò essere effettato dividendo opportnamente il dominio, in qesto modo: RegionPlotx && x && x, x && x && x, x,.5,.5,,.5, Però in qesto caso è anche molto consigliabile sare le coordinate polari così definite: Ρ x, Θ rctan x Il ci inverso è x Ρ CosΘ, Ρ SinΘ La matrice del Jacobiano è: JΡ_,Θ_: Ρ x Ρ Θ x Θ Il ci valore assolto del determinante è bsdetjρ,θ Ρ CosΘ Ρ SinΘ SinΘ Ρ CosΘ Nelle nove variabili il dominio è l nione di de rettangoli: Ρ Θ Ρ Θ 3 rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: 3 ΡΡ SinΘ CosΘΘ ΡΡ SinΘ CosΘΘ I de integrali possono essere effettati separatamente (dato che il dominio è rettangolare e la fnzione integranda è a variabili separabili) ΡΡ SinΘ CosΘΘ SinΘΘ Sinxx
7 integrali doppi.nb 7 3 SinΘ CosΘΘ 3 3 SinΘΘ Sinxx 3 ΡΡ SinΘ CosΘΘ ΡΡ SinΘ CosΘΘ NOT: Nell effettare l integrale angolare si è effettata la sostitzione x Θ Teorema di Green ed Esempio di Integrazione Il teorema di Green dice che PxQ F Q x P Come corollario, se scegliamo P f f,q x Il membro destro diventa Q x P Mentre qello sinistro diventa F f x f x fx,n F Ovvero il flsso del gradiente f x f f Spponiamo ora di voler il flsso del gradiente della fnzione fx_,_: x Slla circonferenza di raggio nitario x && 3 x x Ovvero l integrale s tale crva della derivata normale a tale crva. Per il teorema di Green l integrale del gradiente slla frontiera di n insieme fx,n è pari all integrale della divergenza del gradiente (laplaciano) sll insieme fx, fx,x Nel nostro caso la circonferenza di raggio nitario è la frontier del cerchio di raggio nitario
8 8 integrali doppi.nb RegionPlotx, x,.5,.5,,.5, Qindi l integrale è pari a fx,x fρ CosΘ,Ρ SinΘΡΡΘ Il laplaciano vale fx, fx, x fx, rriviamo così a scrivere l integrale nella forma: ΡΡ Θ lcne formle di analisi vettoriale tili Riassmo ora alcne formle tili di analisi vettoriale, tilizzabili per esempio per applicare i teoremi di Green, Stokes, Gass, o per integrare per parti. Il simbolo pplicato a na fnzione scalare ne indica il gradiente, ed è qindi n vettore fx, Il prodotto scalare di Nabla per n vettore ne indica la divergenza f,f x f f mentre il prodotto vettoriale ne indica il rotore f,f x f f bbiamo qindi sbito l identità: fx,
9 integrali doppi.nb 9 Mentre la divergenza del gradiente si chiama laplaciano fx, fx, Molte delle sali formle di dderivazione per parti si hanno analoghi nella forma fg fggf fg,g fg,gg,gf In particolare dalla seconda ricaviamo la formla di integrazione per parti s n dominio : fg,g fg,g g,gf E applicando il teorema di Green fg,g fg,g g,gf fg,gn g,gf F Dove con F indichiamo la frontiera di, e con dn intendiamo l integrazione del flsso
x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i
NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:
DettagliEsercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria
Esercizi di riepilogo Matematica II Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Esercizio 1 Testo Sia F F 1 x,y),f x,y)) ) x 1 x y + 1 x, y 1 x y + 1 y un campo vettoriale. 1. Si determini il dominio in cui
DettagliFunzioni con dominio in R n
0.1 Punti e vettori di R n Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R n Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Molto spesso risulta che una quantita
Dettaglix 2 + y2 4 = 1 x = cos(t), y = 2 sin(t), t [0, 2π] Al crescere di t l ellisse viene percorsa in senso antiorario.
Le soluzioni del foglio 2. Esercizio Calcolare il lavoro compiuto dal campo vettoriale F = (y + 3x, 2y x) per far compiere ad una particella un giro dell ellisse 4x 2 + y 2 = 4 in senso orario... Soluzione.
DettagliRichiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.
PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliRichiami su norma di un vettore e distanza, intorni sferici in R n, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.
PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (DEFINITIVO) A.A. 2010-2011, Paola Mannucci, Canale 2 Ingegneria gestionale, meccanica e meccatronica, Vicenza Testo Consigliato: Analisi Matematica, M.
DettagliCambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[
Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari Osservazione: Se ( x, ) \{(0,0)} esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) [ 0,[ tale che x. imane in tal modo
Dettagli6. Calcolare le derivate parziali prime e seconde, verificando la validità del teorema di Schwarz:
FUNZIONI DI PIU VARIABILI Esercizi svolti. Determinare il dominio delle seguenti funzioni e rappresentarlo graficamente : (a) f log( x y ) (b) f log(x + y ) (c) f y x 4 (d) f sin(x + y ) (e) f log(xy +
DettagliTeoria dei Fenomeni Aleatori 1
Integrale Doppio Sia g( x,y ) una funzione continua nel piano ( x,y ) o D è un dominio sul piano ( x,y ) o P è una sua partizione che ricopre il dominio D: ( ) P D D... D... = 1,1 1,2 i,j, con Di,j = ΔxiΔ
DettagliSistemi Interconnessi
Corso di Fondamenti di Atomatica Università di Roma La Sapienza Sistemi Interconnessi L. Lanari Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza Roma, Ital Ultima modifica Ma 29,
DettagliMisura e integrazione Formulario
Misura e integrazione Formulario Integrale su rettangolo 1. 2. Teorema di riduzione per un rettangolo (Fubini) Per passare dal rettangolo ad un qualsiasi dominio si definisce una nuova funzione. Integrale
DettagliIL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)
IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali:
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliFunzioni con dominio in R 2
0.1 Grafici e curve di livello Politecnico di Torino. Funzioni con dominio in R 2 Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto Il dominio U di una funzione f e
DettagliStruttura elettronica delle molecole. Teoria quantistica del legame chimico
Strttra elettronica delle molecole. Teoria qantistica del legame chimico Lo ione idrogeno molecolare H 2 + Eq. Schroedinger singolo elettrone La fnzione d onda φ b soddisfa na eqazione analoga. Gli atovalori
DettagliProblemi sul parallelogramma con le incognite
Problemi sl parallelogramma con le incognite Qante altezze ha n parallelogramma Il concetto di altezza rimanda direttamente a qello della distanza di in pnto da na retta La distanza di n pnto da na retta
DettagliFunzioni in più variabili
Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliForze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie
Forze, leggi della dinamica, diagramma del corpo libero 1 FORZE Grandezza fisica definibile come l' agente in grado di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo. Ci troviamo di fronte ad una
DettagliUniversità di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.
Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel Lezione 19: campi vettoriali e formule di Gauss-Green nel piano.
Dettagli2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
DettagliDa una a più variabili: derivate
Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
Dettagli4. Operazioni binarie, gruppi e campi.
1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in
DettagliNOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.
NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico
Dettagli09 - Funzioni reali di due variabili reali
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014
DettagliCAMPI E LORO PROPRIETÀ
CMPI E LORO PROPRIETÀ 1.1 Introduzione ia una regione nello spazio in cui, in ogni suo punto, sia definita una grandezza g. La regione si dice allora soggetta ad un campo. Un campo può essere scalare,
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliTrasformate di Laplace
TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliEnergia potenziale L. P. Maggio 2007. 1. Campo di forze
Energia potenziale L. P. Maggio 2007 1. Campo di forze Consideriamo un punto materiale di massa m che si muove in una certa regione dello spazio. Si dice che esso è soggetto a un campo di forze, se ad
DettagliIntegrali doppi - Esercizi svolti
Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati In problemi di massimo e minimo vincolato viene richiesto di ricercare massimi e minimi di una funzione non definita su tutto R n, ma su un suo sottoinsieme proprio. Esempio:
DettagliInsiemi di livello e limiti in più variabili
Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
DettagliLEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.
LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento
DettagliEsercitazione del 16-11-11 Analisi I
Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliMATRICI E DETERMINANTI
MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
DettagliProgramma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)
1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo
DettagliMetodi Numerici per Equazioni Ellittiche
Metodi Numerici per Equazioni Ellittiche Vediamo ora di descrivere una tecnica per la risoluzione numerica della più semplice equazione ellittica lineare, l Equazione di Laplace: u xx + u yy = 0, (x, y)
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
Dettagli1 Definizione: lunghezza di una curva.
Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall
DettagliEsercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.
Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti
DettagliLezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale
Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta
DettagliComplementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013
Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito
Dettaglibensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo
Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.
DettagliMatematica generale CTF
Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliLEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.
7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliF (x) = f(x) per ogni x I. Per esempio:
Funzioni Primitive (Integrali Indefiniti) (l.v.) Pur essendo un argomento che fa parte del Calcolo Differenziale, molti autori inseriscono funzioni primitive nel capitolo sul Calcolo Integrale, in quanto
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliUniversità di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel
Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercizi sul calcolo differenziale in IR N Dott Franco Obersnel Esercizio 1 Si calcoli la derivata direzionale nell origine lungo la direzione y del versore v
DettagliAnche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J.
Lavoro Un concetto molto importante è quello di lavoro (di una forza) La definizione di tale quantità scalare è L= F dl (unità di misura joule J) Il concetto di lavoro richiede che ci sia uno spostamento,
Dettagli1. LE GRANDEZZE FISICHE
1. LE GRANDEZZE FISICHE La fisica (dal greco physis, natura ) è una scienza che ha come scopo guardare, descrivere e tentare di comprendere il mondo che ci circonda. La fisica si propone di descrivere
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliNumeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)
Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli
Appunti sul corso di Complementi di Matematica- modulo Analisi Prof. B.Bacchelli 09- Integrale doppio: Riferimenti: R.Adams, Calcolo ifferenziale 2. Capitoli 5.1, 5.2, 5.4. Esercizi 5.3, 5.4 Integrale
DettagliCapitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse
Contenuti 1 Integrali multipli 2 1.1 Integralidoppisudomininormali... 2 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio. 6 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze. 7 1.4 Integralitripli...
DettagliRICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
DettagliFacoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI
Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Attività didattica ANALISI MATEMATICA [2000] Periodo di svolgimento:
DettagliCapitolo 5. Funzioni. Grafici.
Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato
DettagliEsercizi sullo studio completo di una funzione
Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.
DettagliFUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello
FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali 01 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non sono misurabili
DettagliDefinizione DEFINIZIONE
Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,
DettagliEquazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie Denis Nardin January 2, 2010 1 Equazioni differenziali In questa sezione considereremo le proprietà delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicherà
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliCalcolo integrale in più variabili
ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra
Dettaglia) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire
DettagliQuesiti di Analisi Matematica A
Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta
DettagliLe equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,
DettagliNote di matematica per microeconomia
Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
Dettaglil insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)
Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto
DettagliSVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Prof. Attampato Daniele
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Prof. Attampato Daniele SVILUPPO IN SERIE DI UNA FUNZIONE Uno dei problemi più frequenti in matematica è legato alla necessità di approssimare una funzione. Uno degli strumenti
DettagliLa curva grafico della funzione, partendo dal punto A(a,f(a)), si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto B(b,f(b)).
Calcolo differenziale Il teorema di Rolle TEOREMA DI ROLLE Ipotesi f continua su [a, b] f derivabile per lo meno su (a,b) f(a) = f(b) Tesi Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che Giustificazione con
DettagliDurata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3
Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri
DettagliSiano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire
Operazioni tra funzioni Siano f e g due funzioni, allora D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire f() ± g(), f() g(), f () g() se g() 0 Es. f() = 4, g() = 3 + D f
DettagliCURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.
CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f
Dettagli