Esercizi di Matematica Finanziaria

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1 Università degli Stdi di Siena Facoltà di Economia Esercizi di Matematica Finanziaria relativi ai capitoli XI-XIII del testo Cladio Pacati a.a

2 c Cladio Pacati ttti i diritti riservati. Il presente testo non pò essere riprodotto, neppre in parte, senza l atorizzazione scritta dell atore.

3 . Si consideri n individo I dotato di na fnzione tilità (x) = 50( e x/50 ) e di n capitale certo c = 50. Date de operazioni rischiose e, caratterizzate da n gadagno aleatorio G = {35, 35} e G = {90, } rispettivamente, si determini qale delle de è preferita se l individo massimizza l tilità attesa e se attribisce probabilità 7/ all evento (G = 35) e probabilità 5/ all evento (G = 90). = m () = posizione preferita:. Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.55, E(I ) = 0.3, V (I ) = 0.0, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a Considerando n portafoglio con rendimento I = αi + ( α)i, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = 0 E (I) = 0. 3 V (I) = Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = log x e di n capitale certo c = 500, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 300 con probabilità /5, il valore 50 con probabilità /5 ed il valore 00 con probabilità /5. Si calcoli l avversione al rischio (assolta) r(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. r(c) = E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.76, E(I ) = 0.3, V (I ) = 0.03, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.7. Considerando n portafoglio con rendimento I = ( α)i + αi, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = 0. 3 V (I) = Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = x 000 x e di n capitale certo c = 500, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 00 con probabilità /5, il valore 50 con probabilità /5 ed il valore 00 con probabilità /5. Si calcoli l avversione al rischio (assolta) r(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. r(c) = E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.65, E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.0, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.7. Considerando n portafoglio con rendimento I = ( α)i + αi, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = 0. 7 V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = 0. 5 E (I) = 0. 5 V (I) =

4 7. Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = x 300 x e di n capitale certo c = 00, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 5 con probabilità /7, il valore 5 con probabilità 3/7 ed il valore 0 con probabilità 3/7. Si calcoli l avversione al rischio (assolta) r(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. r(c) = 0. 0 E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.7, E(I ) = 0., V (I ) = 0.03, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.5. Considerando n portafoglio con rendimento I = λi + ( λ)i, si calcoli la composizione λ del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: λ = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: λ = 0 E (I) = 0. V (I) = Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 0, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 5 e 5 con probabilità / e 3/ rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Determinare, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni tilità, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 5 η min = η max = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 7 log(x + ) e da n capitale certo c = 00, deve scegliere fra de operazioni rischiose G e G con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {5, 5, 5} con probabilità P = {,, } G = {35, 35} con probabilità P = {, } a) Determinare gli eqivalenti certi e m () delle posizioni finanziarie X = c + G e X = c + G rispettivamente. = m () = b) Determinare l operazione preferita dall individo: in base al criterio della speranza matematica: in base al criterio dell tilità attesa:. Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = 0.0. Sia P il portafoglio, a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0. e da na deviazione standard σ = Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = σ =

5 . Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio, a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.3 e da na deviazione standard σ = Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =., determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = σ = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x 00 x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {0, 7, 6} con probabilità P = {,, } G = {0, 35} con probabilità P = {, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =.5. a) Determinare gli eqivalenti certi e m () X 3 = c + G 3, rispettivamente. delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e = 0. m () = m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 7 log(x) + e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {5, 7, 5} con probabilità P = {,, } G = {0, 5} con probabilità P = {, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =. a) Determinare gli eqivalenti certi e m () X 3 = c + G 3, rispettivamente. delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e = m () = m (3) = 0 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 5. Un individo I ha n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 0 lire e 5 lire, con probabilità / e 3/ rispettivamente, e vole stiplare n contratto di assicrazione a copertra integrale del rischio. Spponendo che I sia disposto a pagare n caricamento sl premio pro non speriore a l = 0.75 lire, determinare, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni tilità, qale deve essere la tolleranza del rischio minima B di na compagnia di assicrazione che accetti il contratto di assicrazione a tale condizione. B =

6 6. Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 0.. Sia P il portafoglio composto di soli titoli rischiosi avente varianza minima, caratterizzato da na deviazione standard σ = 0.03 e da n rendimento atteso E = 0.5. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.09 e rendimento atteso E M = Determinare le qote percentali di capitale α N, α M da investire rispettivamente nel titolo non rischioso N e nel portafoglio di mercato M, per ottenere n portafoglio P che ha rendimento atteso non inferiore a qello del portafoglio P e varianza minima. Calcolare inoltre il decremento di varianza σ ottento rispetto a P. α M = α N = σ = ( ) 7. Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = 00 e 00 x e di n capitale certo c = 00, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 30 con probabilità /7, il valore 5 con probabilità 3/7 ed il valore 0 con probabilità 3/7. Si calcoli la tolleranza del rischio B(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. B(c) = 0 0 E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.55, E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.05, V (I ) = 0.00 e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.7. Considerando n portafoglio con rendimento I = ( α)i + αi, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = 0. 5 V (I) = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 5 log x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {0, 8, 6} con probabilità P = {,, } G = {30,.5} con probabilità P = {, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =.5. a) Determinare gli eqivalenti certi e m () X 3 = c + G 3, rispettivamente. delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e = m () = m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 0. Un individo I ha n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 lire e 8 lire, con probabilità 3/0 e 7/0 rispettivamente, e vole stiplare n contratto di assicrazione a copertra integrale del rischio. Determinare il premio pro di tale contratto. Spponendo inoltre che na compagnia di assicrazione proponga all individo na polizza con n coefficiente di caricamento η = 5%, determinare il premio caricato π e, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, qale deve essere la tolleranza del rischio massima B dell individo I, affinché egli accetti il contratto di assicrazione a tale condizione. k = 6. 6 π = B =. 8 6

7 . Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) e da n capitale certo c = 00 lire, deve valtare na operazione finanziaria di gadagno aleatorio G. Sapendo che l eqivalente certo della posizione finanziaria X = c + G percepito dall individo è m = 0 lire, determinare l avversione al rischio r(c) e l tilità attesa della posizione X nell ipotesi che: (a) la fnzione di tilità di I sia (x) = 0 log(x + ) : r(c) = 0. 0 E[(x)] = (b) la fnzione di tilità di I sia (x) = 500 ( e x/500) : (c) la fnzione di tilità di I sia (x) = x 00 x : r(c) = E[(x)] = 9. 7 r(c) = 0. 0 E[(x)] = Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.0 e da na deviazione standard σ = 0.0. Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =.5, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = 0. 0 σ = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) e da n capitale certo c = 00 lire, deve valtare na operazione finanziaria di gadagno aleatorio G. Sapendo che l eqivalente certo della posizione finanziaria X = c + G percepito dall individo è m = 0 lire, determinare l avversione al rischio r(c) e l tilità attesa della posizione X nell ipotesi che: (a) la fnzione di tilità di I sia (x) = 8 log(x + ) : r(c) = E[(x)] = (b) la fnzione di tilità di I sia (x) = 600 ( e x/600) : r(c) = E[(x)] = (c) la fnzione di tilità di I sia (x) = x 500 x : r(c) = E[(x)] = Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 35, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 0 e 5 con probabilità /5 e /5 rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Determinare, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni tilità, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 0 η min = η max =

8 5. Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 35, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 0 e 5 con probabilità /5 e 3/5 rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Ipotizzando che le spese s siano pari al 5% del premio pro, determinare, accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, i valori minimo e massimo del premio caricato π che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 9 π min = π max = Si consideri n mercato con de titoli rischiosi T e T, con tassi di rendimento aleatori I e I, rispettivamente. Si spponga che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.9, E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.06, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.5. Considerando n portafoglio composto da x qote di T e da x qote di T, si calcoli la composizione x del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E e di varianza V, nell ipotesi in ci non siano consentite vendite allo scoperto. x = E = V = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 8 log(x+)+ e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra le segenti de operazioni finanziarie che prevedono n gadagno (aleatorio): G = {65, 0, 0} con probabilità P = {,, } G = {0, 0} con probabilità P = { 5, } 3 5 a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi e m () posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G, rispettivamente. r(c) = = m () = delle b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 8. Un individo I è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 80 e 0 con probabilità / e 3/ rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisca ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = Spponendo accettabile na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, calcolare: a) nell ipotesi che le spese della compagnia s siano di lira, il caricamento minimo accettabile l da parte della compagnia; b) nell ipotesi che la compagnia proponga il contratto con premio π = 77 lire, il valore massimo B della tolleranza del rischio di I affinché egli sottoscriva la polizza. k = 7 5 l = B =

9 9. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 00 ( exp( x/00) ) e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra le segenti de operazioni finanziarie che prevedono n gadagno (aleatorio): G = {5, 5} con probabilità P = {, } 3 G = {5, 0, 5} con probabilità P = {,, } a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi e m () posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G, rispettivamente. r(c) = = m () = delle b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 30. Un individo I è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 00 e 5 con probabilità / e 3/ rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisca ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = Spponendo accettabile na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, calcolare: a) nell ipotesi che le spese della compagnia s siano di lira, il premio minimo accettabile π da parte della compagnia; b) nell ipotesi che la compagnia proponga il contratto con caricamento sl premio pro l =.5 lire, il valore massimo B della tolleranza del rischio di I affinché egli sottoscriva la polizza. k = π = B = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 7 log(x/)+ e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {60, 0, 0} con probabilità P = {,, } G = {50, 50} con probabilità P = { 3 5, } 5 mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 =.5. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = 0. 0 = m () = m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 3. Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.0 e da na deviazione standard σ = Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = 0. 0 σ =

10 33. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 500( e x/500 ) e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {0, 5} con probabilità P = {, } 3 G = {50, 0, 5} con probabilità P = {,, } mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 =. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = = 0. 3 m () = m (3) = 0 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 3. Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0. e da na deviazione standard σ = 0.0. Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =.5, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = σ = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 0 + x (/000)x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {5, 5} con probabilità P = {, } 3 G = {5, 0, 5} con probabilità P = {,, } mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 =. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = = m () = m (3) = 0 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: 3 (ii) in base al criterio dell tilità attesa: Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.09 e da na deviazione standard σ = 0.0. Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q = 3, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = 0. 0 σ =

11 37. Un individo I, caratterizzato da n capitale certo c = 50 lire e da na fnzione di tilità (x) = log x, è impegnato in n operazione rischiosa di gadagno aleatorio G, che pò assmere i valori 5, 5 e 0 lire, con probabilità rispettivamente 6, e 3. Calcolare il premio pro k di n contratto assicrativo che garantisca ad I il valore massimo di G. Se l individo propone il contratto ad na compagnia con tolleranza del rischio B (c) = 0000, calcolare, accettando l approssimazione qadratica delle fnzioni di tilità ed in presenza di spese pari a s = 0. lire, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende il contratto accettabile per entrambi, esprimendo i coefficienti in forma percentale. k = η min =. 5 5 % η max = % 38. Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio composto di soli titoli rischiosi avente varianza minima e sia caratterizzato da na deviazione standard σ = 0.03 e da n rendimento atteso E = 0.. Spponiamo inoltre che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.07 e rendimento atteso E M = 0.. Determinare le qote percentali di capitale α N, α M da investire rispettivamente nel titolo non rischioso N e nel portafoglio di mercato M, per ottenere n portafoglio P che, tra ttti i portafogli che hanno deviazione standard non speriore a σ, realizza il massimo rendimento atteso. Indicare inoltre l incremento di rendimento atteso E ottento rispetto a qello di P. α M =. 8 6 % α N = 5 7. % E = Un individo I, caratterizzato da n capitale certo c = 00 lire e da na tolleranza del rischio B(c) = 300, deve decidere se effettare n operazione finanziaria rischiosa di gadagno aleatorio G, che pò assmere i valori 5, 0 e -5 lire, con probabilità rispettivamente 5, 5 e 3 5. Accettando l approssimazione qadratica delle fnzioni di tilità e trascrando eventali spese, calcolare l eqivalente certo della posizione finanziaria di I in ognno dei segenti casi: (a) I effetta l operazione finanziaria rischiosa: = (b) I effetta l operazione finanziaria rischiosa e sottoscrive na polizza assicrativa che gli garantisce il valore massimo di G, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile: m () = (c) I effetta l operazione finanziaria rischiosa e sottoscrive na polizza assicrativa che gli garantisce il valore massimo di G, con il caricamento sl premio pro fissato al livello minimo accettabile da na compagnia con tolleranza del rischio B = 0000: m (3) = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 8 log x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {3, 5} con probabilità P = {, } G = {0, 5, 5} con probabilità P = {,, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =.5. a) Determinare gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. = 9 9. m () = 0. 9 m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa:

12 . Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio composto di soli titoli rischiosi avente varianza minima e sia caratterizzato da na deviazione standard σ = 0.03 e da n rendimento atteso E = 0.. Spponiamo inoltre che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.07 e rendimento atteso E M = 0.. Determinare le qote percentali di capitale α N, α M da investire rispettivamente nel titolo non rischioso N e nel portafoglio di mercato M, per ottenere n portafoglio P che, tra ttti i portafogli che hanno rendimento atteso non inferiore ad E, ha la minima rischiosità (deviazione standard). Indicare inoltre il decremento di rischiosità σ ottento rispetto a qella di P. α M = % α N = 6. 9 % σ = Un individo I ha n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 3 lire e lire, con probabilità 6/0 e /0 rispettivamente, e vole stiplare n contratto di assicrazione a copertra integrale del rischio. Determinare il premio pro di tale contratto. Spponendo inoltre che na compagnia di assicrazione proponga all individo na polizza con n coefficiente di caricamento η = 5%, determinare il premio caricato π e, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, qale deve essere la tolleranza del rischio massima B dell individo I, affinché egli accetti il contratto di assicrazione a tale condizione. k = 9 π = 9. 5 B = Si consideri n mercato con de titoli rischiosi X ed X, di rendimento aleatorio I e I rispettivamente. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.05, E(I ) = 0.5, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.. Si spponga di volere costrire n portafoglio X dei de titoli, in modo che la varianza sia la minima possibile. Detto I il tasso di rendimento di X, calcolarne la qota di composizione percentale α relativa a X e la qota di composizione percentale α relativa a X, determinando anche il rendimento atteso E(I) e la varianza V (I) del portafoglio ottento. α = % α = 9 6. % E(I) = V (I) = Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 35, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X sia normalmente distribita, con media E(X) = 0 lire, varianza V (X) = 00 e valore massimo x max = 0 lire. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 00. Determinare, accettando l approssimazione qadratica per le fnzioni tilità ed in presenza di spese pari a s = 0.5 lire, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 0 η min = η max = Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 6%. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.07 e rendimento atteso E M = 0%. Un investitore vole costrire n portafoglio efficiente P che abbia rendimento atteso pari al 0%. Determinare la composizione percentale α M di attività rischiose di tale portafoglio e calcolarne la rischiosità σ P. α M = % σ P = 0. 0

13 6. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x / e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {5, 5} con probabilità P = { 3 0, 7 0 G = {60, 30} con probabilità P = { 5, } 3 5 mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 = 3. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = = m () = m (3) = 0 3 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: } 7. Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = %. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.09 e rendimento atteso E M = 7%. Un investitore vole costrire n portafoglio efficiente P che abbia deviazione standard pari a Determinare la composizione percentale α M di attività rischiose di tale portafoglio e calcolarne il rendimento atteso E P. α M = % E P = % 8. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {0, 9}, con probabilità, } ; { G = {5, 6}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x a x con a > 0 e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 500, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = 0 0. m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 9. Consideriamo n individo I mnito di n capitale certo c lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 0 o 5 lire. Spponendo che I attribisce probabilità /3 all evento (X = 0), determinare il premio pro di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Accettando inoltre l approssimazione qadratica della fnzione di tilità dell individo, determinare la sa avversione al rischio r(c), nell ipotesi che egli gidichi indifferente pagare il premio π = 3.33 lire per stiplare la polizza. Determinare infine la rischiosità della sitazione finanziaria c + X percepita dall individo. k = r(c) = Φ c (X) =

14 50. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {5, 50}, con probabilità, } ; { G = {33, 0}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo ( (x) = a e x) a con a > 0 e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 300, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 5. Consideriamo n individo I mnito di n capitale certo c lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 5 o lire. Spponendo che I attribisce probabilità / all evento (X = 5), determinare il premio pro di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Accettando inoltre l approssimazione qadratica della fnzione di tilità dell individo, determinare la sa avversione al rischio r(c), nell ipotesi che egli gidichi indifferente pagare il premio π =.505 lire per stiplare la polizza. Determinare infine la rischiosità della sitazione finanziaria c + X percepita dall individo. k =. 5 r(c) = Φ c (X) = Si consideri n individo I, caratterizzato da na tolleranza del rischio B = 500, al qale viene proposto di partecipare ad na scommessa, consistente nel lancio di na moneta (na sola volta): se esce testa l individo vince la somma che ha pntato moltiplicata per.0; se invece esce croce, l individo perde la somma che ha pntato. Accettando l approssimazione qadratica della fnzione di tilità di I e spponendo che gli importi in gioco siano piccoli rispetto a B, calcolare la rischiosità Φ percepita dall individo nel caso di na pntata di y = 5 lire e dire se I accetta di pntare tale somma. Determinare infine la somma massima y che egli è disposto a scommettere. Φ = 0. sì accetta di pntare y lire: y = no 53. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {0, 9}, con probabilità, } { ; G = {5, 6}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 00, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa:

15 5. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità Esercizi di Matematica Finanziaria (cap. XI XIII) a.a (x) = log x +, di n capitale certo c = 00 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 0, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = l = m = Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = 0.3%. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.08 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.00, b = 0. e c = 0.5. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = % E = 5 % σ = q = Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {5, 50}, con probabilità, } { ; G = {33, 0}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 300, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = 0 0. a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 57. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità (x) = 3 log x + 5, di n capitale certo c = 00 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 5, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = 5 l = m =

16 58. Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = 0.305%. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.07 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.00, b = 0. e c = 0.6. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = % E = 6 % σ = q = Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 0 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {5, 5}, con probabilità 5, 3 } { ; G = {5, 5}, con probabilità 5, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 00, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 60. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità (x) = log x 3 +, di n capitale certo c = 300 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 3, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = 6. l = m = Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = %. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.07 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.003, b = 0.3 e c = 0.5. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = 3. 6 % E = 5 % σ = q =

17 6. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 50 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { 3 G = {30, 0}, con probabilità 0, 7 } { ; G = {, 0}, con probabilità 0 5, }. 5 Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 50, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () =. 9 6 a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 63. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità (x) = 3 log x + 5, di n capitale certo c = 00 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 7, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = 3. 8 l = 0. 5 m = Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = %. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.08 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.00, b = 0. e c = 0.6. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = 3. 9 % E = 6 % σ = q = Consideriamo n mercato di titoli azionari in ci siano qotati i titoli di de società: abc e xyz. Si spponga che i rendimenti dei de titoli siano normalmente distribiti e che il rendimento atteso del titolo abc sia del 5%, qello del titolo xyz del 0% e che le varianze dei rendimenti siano pari a 0.0 e 0.08, rispettivamente. Spponiamo che in qesto mercato siano consentite vendite allo scoperto e che il portafoglio a varianza minima abbia na composizione in ci la qota relativa al titolo xyz sia pari a 0.7. Si determini il coefficiente di correlazione ρ dei rendimenti dei de titoli e il rendimento atteso E e la varianza V del portafoglio a varianza minima. Si individi infine, nel caso non si vogliano effettare vendite allo scoperto, il rendimento atteso Ê e la varianza ˆV del portafoglio a varianza minima ottenbile. ρ = E =. 5 % V = Ê = 5 % ˆV =

18 66. Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 00, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X sia normalmente distribita, con media E(X) = lira, varianza V (X) = 500 e valore massimo x max = 5 lire. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Determinare, accettando l approssimazione qadratica per le fnzioni tilità ed in presenza di spese pari a lira, i valori minimo e massimo del premio caricato π che rende la polizza accettabile per entrambe le parti. k = 6 lire π min = 7. 5 lire π max = 8. 5 lire 67. Un individo I, con n capitale certo c = 00 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = a log(x) + b, con a = 0 e b =, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 0, 5 e 5 lire, con probabilità, rispettivamente, /, / e /. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = lire r(y ) = l = lire r(z) = Un individo I, con n capitale certo c = 300 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità ( (x) = a e x) a + b, con a = 500 e b =, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 0, 5 e 5 lire, con probabilità, rispettivamente, /5, 3/0 e /. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = 9 lire r(y ) = l = lire r(z) = Un individo I, con n capitale certo c = 00 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x a x + b, con a = e b = 3, 500 deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 5, 5 e 0 lire, con probabilità, rispettivamente, /5, /5 e 3/5. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = 7 lire r(y ) = l = lire r(z) =

19 70. Un individo I, con n capitale certo c = 300 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x a + b, con a = e b =, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 5, 5 e 0 lire, con probabilità, rispettivamente, /5, /5 e 3/5. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = 7 lire r(y ) = l = lire r(z) = Consideriamo n mercato di titoli azionari in ci siano qotati de titoli. Indicati con A e B i rendimenti dei de titoli, si spponga che qesti siano normalmente distribiti e che il rendimento atteso del titolo A sia E(A) = 5%, mentre qello del titolo B sia E(B) = 0%. Si spponga inoltre che, nel piano (V, E), la frontiera delle opportnità del mercato abbia eqazione (E a) = V b, con a = 0.08 e b = 0.0. Si determini la media E e la varianza V del rendimento del portafoglio a varianza minima e le varianze V (A) e V (B) dei rendimenti dei de titoli. E = 8 % V = 0. 0 V (A) = V (B) = Parte Facoltativa: Si determini il coefficiente di correlazione ρ fra i rendimenti dei de titoli. ρ = Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 8%. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0. e rendimento atteso E M = 6%. Un investitore è in possesso di n portafoglio P che ha rendimento atteso E P = % e deviazione standard σ P = Verificare se si tratta di n portafoglio efficiente o meno. Determinare inoltre il massimo rendimento atteso E max di n portafoglio efficiente con deviazione standard pari a σ P e la minima deviazione standard σ P di n portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a E P. P è efficiente: { sì no E max =. 8 % σ min = Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 9%. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0. e rendimento atteso E M = 8%. Un investitore vole costrire n portafoglio P di attività rischiose e non rischiose che abbia rendimento atteso E P = 6% e deviazione standard σ P = Verificare se è possibile costrire n tale portafoglio, se cioè P è compreso nell insieme delle opportnità o meno. Determinare inoltre il massimo rendimento atteso E max di n portafoglio efficiente con deviazione standard pari a σ P e la minima deviazione standard σ P di n portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a E P. si pò costrire P : { sì no E max = 5. 3 % σ min =

20 7. Si consideri n individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x), e n secondo individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x). Siano c = 00 lire, c = 00 lire, (x) = log(x ) + 3,, (x) = 500 ( e x/500) e si spponga che possano verificarsi solamente i segenti eventi: X = 5 e X = 0, con probabilità 3/, oppre X = 0 e X = 35, con probabilità /. Si determinino le tilità attese delle posizioni finanziarie di entrambi gli individi. Si spponga inoltre che I abbia l opportnità di cedere il proprio capitale a rischio ad I, senza ricevere o pagare nlla in cambio. Stabilire se i de individi accettano o meno la cessione. E[ (c + X )] =. 3 I accetta: sì no gli è indifferente E[ (c + X )] = I accetta: sì no gli è indifferente 75. Si consideri n individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x), e n secondo individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x). Siano c = 00 lire, c = 00 lire, (x) = 000 ( e x/000),, (x) = log(x )+3 e si spponga che possano verificarsi solamente i segenti eventi: X = 60 e X = 0, con probabilità /3, oppre X = 9 e X = 0, con probabilità /3. Si determinino le tilità attese delle posizioni finanziarie di entrambi gli individi. Si spponga inoltre che I abbia l opportnità di cedere il proprio capitale a rischio ad I, senza ricevere o pagare nlla in cambio. Stabilire se i de individi accettano o meno la cessione. E[ (c + X )] = 8. 0 I accetta: sì no gli è indifferente E[ (c + X )] = I accetta: sì no gli è indifferente 76. Si considerino de individi I e I, mniti entrambi di n captale certo, c e c rispettiavamente, e di n capitale a rischio, X e X rispettivamente. Si spponga che E(X ) = 50, E(X ) = 55, V (X ) = 00, V (X ) = 00 e che B(c ) = 000, B(c ) = 000. Accettando l approssimazione qadratica delle fnzioni di tilità degli individi e ipotizzando che gli importi in gioco siano sfficientemente piccoli rispetto alle tolleranze del rischio, determinare se i de individi gidicano vantaggioso scambiarsi fra di loro i rispettivi capitali a rischio. Nel caso no dei de gidichi lo scambio svantaggioso, determinare il prezzo massimo p max che l altro è disposto a corrispondergli in agginta affinché egli accetti lo scambio. Dire qindi se tale nova proposta di scambio verrà accettata. I gidica lo scambio vantaggioso svantaggioso indifferente vantaggioso I gidica lo scambio svantaggioso indifferente sì I è disposto a pagare in agginta p max =. 9 5 ; l altro accetta no gli è indifferente 77. Si consideri n individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x), e n secondo individo I, con n capitale certo c, privo di capitale a rischio e mnito di na fnzione di tilità (x). Siano c = 00 lire, c = 0 lire, (x) = x /, (x) = x /3 e sia X = {5, 0}, con probabilità {3/, /}. Si determini il prezzo massimo p max che I è disposto a pagare a I, affinché qest ltimo accetti di accollarsi il capitale a rischio X. Si determini l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso qesti decida di accollarsi X in cambio di p max e stabilire se I accetta la transazione. p max = m = I accetta: sì no gli è indifferente 0

21 78. Sia dato n mercato in ci siano qotati de titoli azionari, H.A.L. e Connex. Si spponga che il prezzo di na azione H.A.L. sia 50 lire e che qello di na azione Connex sia 00 lire. Si spponga inoltre che, alla fine del periodo di investimento, possano verificarsi solo i segenti eventi: ) na azione H.A.L. vale 70 lire e na azione Connex vale 5 lire, con probabilità 0.6. ) na azione H.A.L. vale 55 lire e na azione Connex vale 05 lire, con probabilità 0.. Si spponga inoltre che il coefficiente di correlazione dei rendimenti delle de azioni sia ρ = Si determini il rendimento atteso e la varianza del rendimento di entrambe le azioni. Si consideri infine n individo che, senza potere effettare vendite allo scoperto, vole investire 00 lire in n portafoglio dei de titoli, composto in modo tale da avere la minima rischiosità possibile. Si determini qante lire deve investire in ciascna delle de azioni per raggingere lo scopo e si calcoli il rendimento atteso e la varianza del rendimento del portafoglio costrito. rendimento atteso dell azione H.A.L. = 8 % rendimento atteso dell azione Connex = 7 % varianza del rendimento dell azione H.A.L. = varianza del rendimento dell azione Connex = investimento in H.A.L. = lire investimento in Connex = lire E = 7. 5 % V = Sia dato n mercato di titoli azionari in ci siano qotate le azioni di de socità: la Sole Verde e la S.I.E.S.. Si spponga che i rendimenti delle de azioni siano normalmente distribiti e che le medie siano 35% e %, rispettivamente, mentre le varianze siano 0.08 e 0.0, rispettivamente. Sapendo che il coefficiente di correlazione dei de titoli è 0.6 e spponendo che non sia possibile effettare vendite allo scoperto, costrire il portafoglio dei de titoli a varianza minima, indicando le qote percentali di composizione relative alle azioni delle de società. Si determini infine il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. qota di Sole Verde =. 6 5 % E = % qota di S.I.E.S. = % V = Un individo I, con n capitale certo c = 50 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 3 x + 0, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 0, 5 e 5 lire, con probabilità, rispettivamente, /, / e /. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il coefficiente di caricamento massimo accettabile η e gli eqivalenti certi m (Y ) e m (Z) relativi alle posizioni Y e Z, rispettivamente. k = lire m (Y ) = 5 0 lire η = % m (Z) = lire

22 8. Sia dato n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi e con n titolo N non rischioso, caratterizzato da n rendimento i = 8 %. Sia E M = 6 % il rendimento atteso del portafoglio di mercato M e si consideri il portafoglio P, composto per il 0% da qote del titolo N, mentre le qote restanti sono relative al portafoglio di mercato. Sapendo che P è efficiente e che la varianza del so rendimento è V P = 0.00, determinare il rendimento atteso E P di P, la varianza V M del rendimento del portafoglio di mercato ed il prezzo di mercato del rischio q. E P =. 8 % V M = 0. 0 q = Sia dato n mercato in ci siano trattati n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N. Si spponga che il portafoglio di mercato M abbia rendimento atteso E M = 5% e varianza del rendimento V M = 0.0. Sia dato inoltre n titolo efficiente A, caratterizzato dal so rendimento atteso E A = 0% e dalla varianza del so rendimento V A = 0.0. Si determini il prezzo di mercato del rischio q ed il rendimento i del titolo non rischioso N. Si spponga infine di volere costrire n portafoglio efficiente P, composto da qote di M e di A. Si determini qale percentale di composizione α M relativa ad M e qale percentale di composizione α A relativa ad A bisogna scegliere, in modo da ottenere che il rendimento atteso di P sia E P = %. q = i = % α M = 0 % α A = 6 0 % 83. Sia dato n mercato in ci siano trattati n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N. Si spponga che il rendimento del titolo non rischioso sia i = 8% e che il portafoglio di mercato M abbia varianza del rendimento V M = 0.0. Sia dato inoltre n titolo efficiente A, caratterizzato dal so rendimento atteso E A = 0% e dalla varianza del so rendimento V A = 0.0. Si determini il rendimento E M del portafoglio di mercato ed il prezzo di mercato del rischio q. Si spponga infine di volere costrire n portafoglio efficiente P, composto da qote di M e di A. Si determini qale percentale di composizione α M relativa ad M e qale percentale di composizione α A relativa ad A bisogna scegliere, in modo da ottenere che il rendimento atteso di P sia E P = %. q =. E M = % α M = % α A = % 8. Sia dato n mercato in ci siano trattati de titoli rischiosi A e B. Si spponga che i rendimenti dei de titoli abbiano media e varianza, rispettivamente E A = 30%, V A = 0.0, E B = 0%, V B = e che il coefficiente di correlazione tra i de sia ρ = 0.. Considerando l insieme dei possibili portafogli del tipo αa + ( α)b, si determini anzittto il portafoglio a varianza minima α. Si trovi qindi, fra ttti i portafogli con rendimento atteso pari al %, qello α a varianza più bassa e poi, fra ttti i portafogli con varianza pari a 0.00, qello α con il maggior rendimento atteso. α = % α = 0 % α = % 85. Si consideri n individo I che deve decidere se effettare n operazione finanziaria rischiosa, caratterizzata dal gadagno aleatorio G = {0, 0, 5, 0} lire, con probabilità {/, /, 3/8, /8}. Sapendo che I ha n capitale certo di 00 lire e che è caratterizzato dalla fnzione di tilità (x) = 7 log(x + 5), calcolare l tilità attesa e l eqivalente certo della posizione finanziaria dell individo nel caso qesti effetti l operazione rischiosa e stabilire se la effetterà o meno. E[(c + G)] = m = sì no indifferente non si pò dire

23 86. Si considerino de individi: [ I, con capitale certo c = 00, capitale a rischio X = {0, 5} e fnzione di tilità (x) = 00 e x/00] ; I, con capitale certo c = 50, capitale a rischio X = {, } e fnzione di tilità (x) = x 00 x. Si spponga che possano verificarsi solo gli eventi: X = 0 e X =, con probabilità 0.3 e X = 5 e X =, con probabilità 0.7. Si calcolino le tilità attese E ed E delle posizioni finanziarie dei de individi. Si spponga inoltre che vi sia la possibiltà che I si accolli, oltre al proprio, anche il capitale a rischio dell altro individo, a fronte del pagamento di na certa somma s. Determinare la la somma massima s max che I è disposto a corrispondergli e se I accetterà la transazione. E = E = s max = I accetta: sì no non è dato saperlo 87. Consideriamo n mercato di de titoli rischiosi, i ci rendimenti siano A e B. Si spponga che E(A) = 0%, che E(B) = 30% e che la frontiera delle opportnità di mercato nel piano (σ, E) sia descritta dall eqazione σ = 0.5(E 0.3). Si determinino le varianze dei rendimenti attesi dei de titoli, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima e si stabilisca se A e B sono efficienti o meno. [Sggerimento: ricordare che, nel caso di de soli titoli, l insieme delle opportnità coincide con la sa frontiera.] V (A) = V (B) = E = 3 % σ = sì A è efficiente: no non si pò dire nlla B è efficiente: sì no non si pò dire nlla 88. In riferimento al mercato dell esercizio precedente, si spponga che vi sia anche n titolo non rischioso, di rendimento i. Sapendo che il portafoglio di mercato è composto dal solo titolo B, si determini il rendimento del titolo non rischioso ed il prezzo di mercato del rischio q. i = % q =