Il criterio media-varianza e il modello CAPM

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1 Il criterio media-varianza e il modello CAPM 1

2 Il criterio media-varianza Se α 1 è la quota della ricchezza destinata all acquisto del titolo 1 e α 2 èlaquota impiegata nell acquisto del titolo 2, il valore finale della ricchezza nello stato s è y s = W [α 1 (1 + r 1s )+α 2 (1 + r 2s )] = W (α 1 R 1s + α 2 R 2s ) Per semplificare, supporremo che la ricchezza iniziale sia pari a 1, W =1. Calcoliamo media e varianza di un portafoglio qualsiasi. Prendendo l aspettativa μ E (y s )=α 1 E (R 1s )+α 2 E (R 2s )=α 1 μ 1 + α 2 μ 2 Il rendimento medio di un portafoglio, μ, è perciò pari alla combinazione lineare dei rendimenti medi, μ 1 e μ 2, dei due titoli. La varianza del portafoglio, σ 2,è σ 2 = E [α 1 R 1s + α 2 R 2s (α 1 μ 1 + α 2 μ 2 )] 2 = 2

3 σ 2 = E [α 1 (R 1s μ 1 )+α 2 (R 2s μ 2 )] 2 Svolgendo il quadrato, si ha σ 2 = α 2 1 E (R 1s μ 1 ) 2 + α 2 2 E (R 2s μ 2 ) 2 +2α 1 α 2 E [(R 1s μ 1 )(R 2s μ 2 )] = α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 σ 12 σ 2 1 e σ2 2 sono le varianze dei rendimenti dei due titoli e σ 12 è la covarianza. Il criterio media-varianza afferma che le preferenze individuali sono caratterizzate soltanto da questi due parametri. Gli individui preferiscono quei portafogli che presentano un rendimento atteso maggiore a parità di rischiosità e, al tempo stesso, una rischiosità minore a parità di rendimento atteso E (U) =V ³ μ, σ 2 con V μ > 0 e V σ 2 < 0. 3

4 Due portafogli, il portafoglio A e il portafoglio B, caratterizzati da una media, μ A e μ B, e da una varianza, σ 2 A e σ2 B. Il portafoglio A è preferito o domina il portafoglio B se A ha un rendimento atteso maggiore di quello di B e una varianza uguale o minore di B; oppure, se A presenta una varianza minore e insieme un rendimento atteso uguale o maggiore di B oppure μ A >μ B e σ 2 A σ2 B σ 2 A <σ2 B e μ A μ B Il criterio media-varianza e la teoria dell utilità attesa In quali casi l approssimazione non è rilevante sicché il criterio media-varianza e quello dell utilità attesa danno luogo alla medesima scelta? 4

5 La risposta intuitiva a questa domanda è chiara: il criterio di scelta fondato sull utilità attesa dipende dalla funzione di utilità delle conseguenze e dalla loro distribuzione di probabilità. Se una di queste due funzioni può essere definita in termini soltanto di media e varianza, i due criteri conducono alla stessa scelta. Partiamo dalla funzione di utilità e effettuiamo un espansione in serie di Taylor di questa funzione nell intorno di E (y s )=μ U (y s ) = U (μ)+u 0 (μ)(y s μ)+ 1 2 U 00 (μ)(y s μ) ! U 000 (μ)(y s μ) 3 + 5

6 Prendendo l aspettativa di questa espressione, otteniamo l utilità attesa E [U (y s )] = U (μ)+u 0 (μ) E (y s μ)+ 1 2 U 00 (μ) E (y s μ) ! U 000 (μ) E (y s μ) 3 + = U (μ)+ 1 2 U 00 (μ) σ ! U 000 (μ) E (y s μ) 3 + perché E (y s μ) =E (y s ) μ =0. In quali casi nell espansione in serie dell utilità attesa contano soltanto media e varianza? I casi possibili sono due. Funzione di utilità quadratica Se la funzione di utilità è quadratica U (y s )=c + by s 1 2 dy2 s 6

7 dove c, b e d sono delle costanti positive, ovvero dove d/b = a. Prendendo l aspettativa U (y s )=y s 1 2 ay2 s E [U (y s )] = E (y s ) 1 2 ae ³ y 2 s = μ 1 2 a ³ σ 2 + μ 2 perché σ 2 = E ³ y 2 s [E (ys )] 2. L utilità attesa dipende soltanto da media e varianza, proprio come richiede il criterio M-V La forma delle curve di indifferenza. Differenziando d {E [U (y s )]} =0=dμ aμdμ aσdσ = dμ dσ = aσ 1 aμ > 0 7

8 Le curve di indifferenza sono crescenti: per mantenere l utilità attesa costante, ad un aumento dello scarto quadratico medio deve corrispondere un aumento del rendimento atteso. Derivando ulteriormente d 2 μ dσ 2 = a (1 aμ)+a2 σ (dμ/dσ) (1 aμ) 2 > 0 Le curve di indifferenza sono convesse, l aumento di μ è più che proporzionale rispetto all aumento di σ 8

9 μ μ B B C μ A A σ A σ B σ Figura 1: Lacune della funzione di utilità quadratica. 1. Graficamente la funzione di utilità quadratica è una parabola con un punto di massimo per y s =1/a. Dopo questo punto l utilità marginale diviene negativa, contraddicendo il requisito della monotonicità. 9

10 2. Il coefficiente di avversione assoluta al rischio λ è Deriviamo λ rispetto a y s : λ (y s )= U 00 (y s ) U 0 (y s ) = a 1 ay s λ 0 a 2 (y s )= (1 ay s ) 2 > 0 L avversione assoluta al rischio è crescente, un implicazione poco plausibile Distribuzione normale dei rendimenti dei portafogli Se i rendimenti dei portafogli sono normalmente distribuiti, l intera distribuzione di probabilità dipende soltanto dalla media e dalla varianza (i momenti dispari intorno alla media sono nulli, mentre quelli pari dipendono dalla varianza). 10

11 Con l ipotesi di normalità dei rendimenti l utilità attesa è funzione soltanto di media e varianza, basta fare alcune sostituzioni. Se i rendimenti dei portafogli seguono una distribuzione normale, l utilità attesa è Ponendo E [U (y s )] = + Z v = y s μ σ e sostituendo, otteniamo E [U (y s )] = = U (y s ) + Z + Z 1 σ 2π exp e perciò U (μ + vσ) " (y s μ) 2 2σ 2 dv = 1 σ dy s U (μ + vσ) g (v) dv # dy s Ã! 1 exp v2 dv 2π 2 dove g(v) è la normale standardizzata e l utilità attesa dipende solo da μ e σ. 11

12 Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse. Perché i rendimenti dei portafogli dovrebbero essere normalmente distribuiti? Il teorema del limite centrale. Consideriamo un portafoglio qualsiasi: il rendimento di questo portafoglio è dato dalla somma dei rendimenti dei singoli titoli, ciascun addendo essendo pesato con la quota della ricchezza rivolta all acquisto dei titoli che entrano nel portafoglio. Naturalmente, se il rendimento di ogni titolo ha una distribuzione normale, anche il rendimento del portafoglio seguirà una distribuzione normale perché una combinazione lineare di variabili normalmente distribuite ha anch essa una distribuzione normale. Ma, in generale, i rendimenti dei titoli non hanno una distribuzione normale. Ed è a questo riguardo che possiamo fare appello al teorema del limite centrale. Questo teorema afferma che la somma di un dato numero di variabili casuali ha una distribuzione che tende alla normale al crescere del numero di variabili casuali considerate. Quanto maggiore è il numero dei titoli che entrano nel portafoglio tanto più la distribuzione del rendimento del portafoglio approssima la normale. 12

13 L approssimazione dipende da due elementi: (i) dal grado di correlazione tra i rendimenti dei titoli; quanto minore è la correlazione tanto migliore è l approssimazione alla normale; (ii) dalla misura in cui la distribuzione dei rendimenti dei singoli titoli approssima la distribuzione normale. La distribuzione normale pone alcuni vincoli alla teoria dell utilità attesa. In primo luogo, occorre che la funzione di utilità sia definita per lo stesso intervallo di variazione di una variabile con una distribuzione normale, cioè tra e +. Ma alcune funzioni di utilità non sono definite per valori negativi: ad esempio, una funzione di utilità come ln (y s ): non siamo liberi di postulare qualsivoglia rappresentazione delle preferenze. In secondo luogo, è realistico ipotizzare che il rendimento possa assumere valori negativi e infinitamente elevati o se, viceversa, non è più plausibile ipotizzare che il rendimento (negativo) non possa eccedere un certo limite, data la possibilità di fallimento? 13

14 La frontiera dei portafogli efficienti (solo titoli rischiosi) Costruiamo ora l insieme dei portafogli disponibili, ossia l insieme dei portafogli che possono essere formati a partire dal titolo 1 e 2. Se applichiamo a questo insieme il criterio media-varianza, troveremo che alcuni portafogli risultano dominanti ed altri sono dominati. I portafogli dominanti in base al criterio media-varianza vengono definiti portafogli efficienti. Analiticamente è più semplice determinare il sottoinsieme di quei portafogli che hanno la varianza minore a parità di rendimento atteso: questi vengono detti portafogli di varianza minima. Il sottoinsieme dei portafogli con varianza minima è più ampio di quello dei portafogli efficienti. Un portafoglio efficiente ha una varianza minore di tutti gli altri portafogli che hanno lo stesso rendimento atteso, ma non è necessariamente vero il contrario: un portafoglio con varianza minima potrebbe non essere efficiente. 14

15 μ μ Α C M A μ Β B M σ Figura 2: L intera curva MM 0 (compresa la parte tratteggiata) rappresenta la frontiera dei portafogli di minima varianza; per ogni dato livello di μ, su MM 0 troviamo il portafoglio che ha uno scarto quadratico medio, e perciò una varianza, minima. La parte AM non tratteggiata della curva, il tratto crescente di MM 0, è la frontiera dei portafogli efficienti. 15

16 Supporremo inoltre che il titolo 1 abbia un rendimento atteso più elevato del titolo 2, μ 1 >μ 2, ma che sia anche più rischioso, σ 1 >σ 2. Il rendimento atteso di un portafoglio è mentre la varianza è μ = α 1 μ 1 + α 2 μ 2 σ 2 = α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 σ 12 = Il problema di minima varianza sotto i vincoli che σ 2 = α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 ρσ 1 σ 2 min α 1,α 2 σ 2 = α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 ρσ 1 σ 2 μ = α 1 μ 1 + α 2 μ 2 e α 1 + α 2 =1 16

17 Dai vincoli possiamo ricavare direttamente i valori di α 1 e α 2. μ = α 1 μ 1 +(1 α 1 ) μ 2 = α 1 (μ 1 μ 2 )+μ 2 = α 1 = μ μ 2 μ 1 μ 2 e α 2 = μ 1 μ μ 1 μ 2 Sostituendo questi valori di α 1 e α 2 nell espressione di σ 2 ovvero σ 2 = = 1 (μ 1 μ 2 ) 2[σ2 1 (μ μ 2) 2 + σ 2 2 (μ 1 μ) ρσ 1 σ 2 (μ μ 2 )(μ 1 μ)] 1 (μ 1 μ 2 ) 2{³ σ σ2 2 2ρσ 1σ 2 μ2 2[σ 2 1 μ 2 + σ 2 2 μ 1 ρσ 1 σ 2 (μ 1 + μ 2 )]μ + ³ σ 2 1 μ2 2 + σ2 2 μ2 1 2ρσ 1σ 2 μ 1 μ 2 } σ 2 = 1 (μ 1 μ 2 ) 2 ³ Aμ 2 2Bμ + C dove A = σ σ2 2 2ρσ 1σ 2, B = σ 2 1 μ 2 + σ 2 2 μ 1 ρσ 1 σ 2 (μ 1 + μ 2 ), C = σ 2 1 μ2 2 + σ2 2 μ2 1 2ρσ 1σ 2 μ 1 μ 2. 17

18 Questa è l equazione di una parabola. Se prendiamo la radice quadrata q 1 σ = Aμ 2 2Bμ + C μ 1 μ 2 otteniamo l equazione di un iperbole nel piano scarto quadratico medio-rendimento atteso 18

19 σ σ 1 (a ) (b) σ B σ 2 A M α 1 σ μ μ 1 ( c) B μ μ 1 ( d) B M M A μ α 1 μ 2 σ 2 A σ 1 σ 19 Figura 3:

20 La parte (a): il grafico dello scarto quadratico medio del portafoglio in funzione di α 1 q σ = α 2 1 σ2 1 +(1 α 1) 2 σ α 1 (1 α 1 ) ρσ 1 σ 2 La parte (c): il grafico dell equazione μ = α 1 (μ 1 μ 2 )+μ 2. La parte (b) è una retta inclinata a 45 o Perfetta correlazione positiva tra i rendimenti Se i rendimenti sono perfettamente correlati in senso positivo, tra i rendimenti dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare positiva, R 1s = a + br 2s,dovea e b sono delle costanti come pure tra i rendimenti attesi μ 1 = X π s (a + br 2s )=a + bμ 2 20

21 Lo scarto quadratico medio del titolo 1 è q σ 1 = E [(a + br 2s ) (a + bμ 2 )] 2 = bσ 2 mentre per la covarianza σ 12 = E [(a + br 2s ) (a + bμ 2 )] [R 2s μ 2 ]=bσ 2 2 Il coefficiente di correlazione è ρ = σ 12 = bσ2 2 σ 1 σ 2 bσ 2 2 Se ρ =1, la varianza del portafoglio è =1 σ 2 = α 2 1 σ2 1 +(1 α 1) 2 σ α 1 (1 α 1 ) ρσ 1 σ 2 = [α 1 σ 1 +(1 α 1 ) σ 2 ] 2 e perciò lo scarto quadratico medio del portafoglio è σ = α 1 σ 1 +(1 α 1 ) σ 2 21

22 Sostituendo α 1 dalla prima equazione σ = μ μ 2 μ 1 μ 2 (σ 1 σ 2 )+σ 2 La frontiera dei portafogli efficienti è una retta 22

23 σ σ 1 ( a ) ( b) σ B σ 2 A α 1 σ μ μ 1 ( c) B μ μ 1 ( d) B μ 2 0 A 1 μ 2 α 1 σ 2 σ 1 σ A 23 Figura 4:

24 Unica differenza: nella parte (a) è rappresentata una retta invece che un iperbole. Se tra i rendimenti dei due titoli esiste una perfetta correlazione positiva, ogni aumento di α 1 comporta un aumento del rendimento atteso del portafoglio ma anche un aumento della variabilità Perfetta correlazione negativa tra i rendimenti Tra i rendimenti dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare negativa, R 1s = a br 2s. Il rendimento atteso del titolo 1 è μ 1 = X π s (a br 2s )=a bμ 2 mentre il suo scarto quadratico medio è q σ 1 = E [(a br 2s ) (a bμ 2 )] 2 = bσ 2 24

25 La differenza importante rispetto all altro caso polare è data dalla covarianza σ 12 = E [(a br 2s ) (a bμ 2 )] [R 2s μ 2 ]= bσ 2 2 Quando il rendimento di un titolo si trova al di sopra della propria media, il rendimento dell altro titolo è minore della sua media. Il coefficiente di correlazione ρ = σ 12 = bσ2 2 σ 1 σ 2 bσ 2 2 Se ρ = 1, la varianza del portafoglio è = 1 σ 2 = α 2 1 σ2 1 +(1 α 1) 2 σ α 1 (1 α 1 ) ρσ 1 σ 2 = [α 1 σ 1 (1 α 1 ) σ 2 ] 2 Dobbiamo prendere il valore assoluto del termine in parentesi. Per definizione lo scarto quadratico medio è positivo σ = α 1 σ 1 (1 α 1 ) σ 2 25

26 Se α 1 σ 1 (1 α 1 ) σ 2 > 0 e perciò se lo scarto quadratico medio è α 1 > σ 2 σ 1 + σ 2 σ = α 1 σ 1 (1 α 1 ) σ 2 =(σ 1 + σ 2 ) α 1 σ 2 mentre per valori di α 1 < σ 2 σ 1 +σ 2, lo scarto quadratico medio è σ =(1 α 1 ) σ 2 α 1 σ 1 = σ 2 (σ 1 + σ 2 ) α 1 Queste due rette si trovano nella parte (a) 26

27 σ σ 1 (a ) (b) σ B σ 2 A M α 1 45 σ μ μ 1 (c) B μ μ 1 (d) B M M A μ A 2 μ α 1 σ 2 σ 1 σ 27 Figura 5:

28 In questo caso è possibile ridurre a zero lo scarto quadratico medio del portafoglio. Il valore di α 1 per cui ciò avviene è σ 2 σ 1 + σ 2 La possibilità di azzerare la variabilità dei rendimenti è dovuta alla loro perfetta correlazione negativa. Anche la parte (d) è costituita da una spezzata la cui equazione è σ = α 1 σ 1 (1 α 1 ) σ 2 = μ μ 2 (σ 1 + σ 2 ) σ 2 μ 1 μ 2 La frontiera dei portafogli efficienti è data dal tratto continuo MB. Tutti i casi intermedi per cui 1 <ρ<1 sono compresi tra i due analizzati. 28

29 μ A μ R R ρ = 1 ρ = 0,5 ρ = 0 ρ = 0,5 ρ = 1 B σ Figura 6: A mano a mano che la correlazione tra i rendimenti dei due titoli diminuisce, è possibile ridurre la loro variabilità a parità di rendimento atteso. Quanto più i rendimenti dei due titoli tendono a muoversi in direzione opposta relativamente alle rispettive medie, tanto più è possibile combinarli nel portafoglio in modo da attenuare la loro variabilità. 29

30 La frontiera dei portafogli con un titolo privo di rischio La frontiera efficiente è una retta. Componiamo un portafoglio in cui una quota α 0 della ricchezza è impiegata nel titolo privo di rischio e la quota residua 1 α 0 in un portafoglio A composto soltanto da titoli rischiosi μ = α 0 R 0 +(1 α 0 ) μ A mentre il suo scarto quadratico medio è q σ = (1 α 0 ) 2 σ 2 A =(1 α 0) σ A Dall ultima equazione otteniamo un espressione per la quota di ricchezza investita nei titoli rischiosi: 1 α 0 = σ σ A 30

31 Se sostituiamo questa espressione nell equazione del rendimento atteso μ = Ã 1 σ σ A! R 0 + σ σ A μ A = = R 0 + μ A R 0 σ σ A In presenza di un titolo privo di rischio la relazione tra μ e σ è una retta. 31

32 μ B A T R 0 σ Figura 7: Tre possibili rette: ciascuna si distingue dalle altre perché combina il titolo privo di rischio con un diverso portafoglio di titoli rischiosi, A, B o T. L equazione che prima abbiamo ricavato si riferisce alla retta R 0 A. Se ci si basa sul criterio media-varianza, si preferiscono i portafogli che si trovano 32

33 lungo la retta R 0 B a quelli che si trovano sulla R 0 A Se indichiamo questo portafoglio con T, la frontiera efficiente in presenza di un titolo privo di rischio assume la seguente forma μ = R 0 + μ T R 0 σ σ T L equazione rimane indeterminata finché non siamo in grado di calcolare μ T e σ T, finché cioè non conosciamo la composizione del portafoglio di tangenza. La derivazione formale della frontiera Se accanto ai due titoli rischiosi ce n è un terzo che offre un rendimento certo, R 0,il rendimento atteso di un portafoglio è μ = α 0 R 0 + α 1 μ 1 + α 2 μ 2 = R 0 + α 1 (μ 1 R 0 )+α 2 (μ 2 R 0 ) 33

34 perché P α i =1. L equazione della varianza rimane tuttavia inalterata perché la varianza del titolo con il rendimento certo è ovviamente nulla. La ricerca del portafoglio con varianza minima a parità di rendimento atteso si traduce nella soluzione del seguente problema di minimo con il vincolo Formando il lagrangiano 1 min α 1,α 2 2 σ2 = 1 2 ³ α 2 1 σ α2 2 σ2 2 +2ρσ 1σ 2 α 1 α 2 μ = α 1 (μ 1 R 0 )+α 2 (μ 2 R 0 )+R 0 L = 1 2 σ2 + λ [μ (α 1 (μ 1 R 0 )+α 2 (μ 2 R 0 )+R 0 )] 34

35 e derivando L α 1 = α 1 σ ρα 2σ 1 σ 2 λ (μ 1 R 0 )=0 L α 2 = ρα 1 σ 1 σ 2 + α 2 σ 2 2 λ (μ 2 R 0 )=0 Determiniamo media e varianza del portafoglio di tangenza dove α 1 + α 2 =1. 1. Risolviamo le prime due equazioni del sistema per α 1 e α 2 α 1 = λ α 2 = λ dove = σ 2 ³ 1 σ2 2 1 ρ 2. h σ 2 2 (μ 1 R 0 ) ρσ 1 σ 2 (μ 2 R 0 ) i h σ 2 1 (μ 2 R 0 ) ρσ 1 σ 2 (μ 1 R 0 ) i 35

36 Sostituiamo α 1 e 2 nel rendimento atteso del portafoglio di tangenza μ T = α 1 μ 1 + α 2 μ 2 = α 1 (μ 1 μ 2 )+μ 2 = σ2 2 (μ 1 R 0 ) ρσ 1 σ 2 (μ 2 R 0 ) B AR 0 (μ 1 μ 2 )+μ 2 = C BR 0 B AR 0 = μ T R 0 = A (R 0) 2 2BR 0 + C B AR 0 2. Determiniamo λ per il portafoglio di tangenza. (a) Moltiplichiamo la prima equazione per α 1, la seconda per α 2 esommiamo α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2ρσ 1σ 2 α 1 α 2 = λ [α 1 (μ 1 R 0 )+α 2 (μ 2 R 0 )] = σ 2 = λ (μ R 0 ) e perciò λ = σ2 μ R 0 36

37 (b) Nel portafoglio di tangenza α 1 +α 2 =1.Sommando le due precedenti soluzioni 1= λ (B AR 0) 3. Uguagliando le due espressioni per λ ovvero σ 2 T μ T R 0 = B AR 0 Poiché μ T R 0 = σ 2 T B AR 0 μ T R 0 = A (R 0) 2 2BR 0 + C B AR 0 = B AR 0 = A (R 0) 2 2BR 0 + C μ T R 0 37

38 Sostituendo μ T R 0 = σ 2 1 T μ T R 0 σ T = v u A (R 0 ) 2 2BR 0 + C μ T R 0 = t A (R 0) 2 2BR 0 + C μ T R 0 s AR 2 μ = R 0 ± σ 0 2BR 0 + C In presenza di un titolo privo di rischio, la frontiera dei portafogli con varianza minima è costituita da due rette che hanno una comune intercetta pari a R 0 e unapendenzacheèparialcoefficiente di σ in valore assoluto. 38

39 μ α 0 < 0 α 0 = 0 μ T 0 < α 0 < 1 T R 0 α 0 > 1 α 0 = 1 E σ T σ Figura 8: La frontiera di minima varianza è costituita dalle due rette R 0 T e R 0 E;dicuiil tratto positivamente inclinato R 0 T costituisce la frontiera efficiente. Ogni portafoglio che appartiene a TR 0 E può essere visto come una combinazione lineare del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T.Inparticolare: 39

40 1. Nel punto T, tutta la ricchezza viene investita nei due titoli rischiosi (α 0 =0); 2. In R 0, tutta la ricchezza viene investita nel titolo privo di rischio (α 0 =1); 3. A destra di T, vi è una vendita allo scoperto del titolo privo di rischio (α 0 < 0) ilcui ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio rischioso T ; 4. Nel tratto R 0 E, vi è una vendita allo scoperto del portafoglio T, il cui ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio privo di rischio (α 0 > 1). Il modello CAPM Passiamodall analisi delle scelte individuali all analisi del funzionamento del mercato dei capitali esaminando l equilibrio attraverso il modello CAPM. 40

41 Il CAPM fa uso di ipotesi semplificatrici 1. Ogni investitore sceglie il proprio portafoglio massimizzando l utilità attesa. L utilità attesa differisce da investitore a investitore ma dipende in ogni caso soltanto da μ e σ 2. Ciò equivale ad assumere che i rendimenti dei titoli seguano una distribuzione normale o che la funzione di utilità sia quadratica. Le scelte di portafoglio sono effettuate in base al criterio media-varianza. 2. Tutti gli investitori dispongono delle stesse informazioni e hanno le stesse aspettative riguardo ai rendimenti futuri dei titoli e alla loro variabilità. Tutti gli investitori concordano sui rendimenti attesi dei titoli e sulle loro varianze e covarianze. 3. Tutti gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale, ovvero tutte le decisioni di acquisto e vendita dei titoli vengono prese nello stesso istante e hanno la medesima durata. 41

42 4. Tutti gli investitori assumono come dati i prezzi dei titoli. 5. Esiste un titolo non rischioso che può essere venduto o acquistato in quantità illimitate. 6. Non ci sono costi di transazione che gravano sugli scambi né imposte (per esempio suiguadagniincontocapitale). 7. Le quantità disponibili di tutti i titoli sono fisse e, inoltre, ogni titolo è infinitamente divisibile. Tralasciando la prima ipotesi, alle restanti molto spesso ci si riferisce dicendo che il mercato dei capitali, delle attività, è perfetto. 42

43 Le prime due ipotesi dell elenco precedente ci permettono di trarre l importante conclusione che i portafogli domandati da tutti gli individui si trovano sulla stessa frontiera efficiente, anche se naturalmente questi portafogli differiscono tra loro. μ 3 LMC 2 P 3 1 T P 1 R 0 σ Figura 9: Benché le scelte di questi tre investitori siano diverse, tutte e tre si trovano sulla medesima frontiera. Questa conclusione discende dall ipotesi aspettative omogenee; 43

44 poiché tutti gli investitori percepiscono lo stesso insieme di opportunità e quindi lo stesso portafoglio di tangenza, la retta R 0 T è rappresentativa dell intero mercato e viene denominata linea del mercato dei capitali (lmc). Tutti i portafogli che si trovano sulla lmc possono essere rappresentati come combinazioni lineari del titolo privo di rischio e del portafoglio di tangenza T. Ne discende che tutti gli investitori avranno la stessa composizione di portafoglio di titoli rischiosi. Tutti gli investitori distribuiranno la loro ricchezza tra i titoli rischiosi secondo le proporzioni fissate dal portafoglio di tangenza (Teorema di separazione) Poiché la domanda di titoli rischiosi di ciascun investitore riflette le proporzioni del portafoglio di tangenza, anche la domanda complessiva avrà le medesime proporzioni. Domanda e offerta in equilibrio sono uguali; anche l offerta avrà perciò in equilibrio la composizione del portafoglio di tangenza. Questa osservazione ci consente di derivare la relazione più importante del modello capm. 44

45 Questa relazione determina il rendimento atteso di un qualsiasi titolo o portafoglio come somma del rendimento del titolo privo di rischio e di un premio per il rischio. Questa relazione è valida per tutte le attività, sia che appartengano alla lmc sia che non vi appartengano. In equilibrio tutti i titoli sono rappresentati nei portafogli individuali e quindi nel portafoglio di mercato, inteso come la media dei singoli portafogli: se un titolo non venisse domandato, il suo prezzo cadrebbe facendo salire il rendimento fino a che non divenisse sufficientemente attraente da venir incluso nel portafoglio di mercato. Il portafoglio di mercato Definiamo con W i la ricchezza individuale dell individuo i econα ij la proporzione di questa ricchezza investita nel titolo j. 45

46 La ricchezza totale, W M, è la somma delle ricchezze individuali NX 1 W i = W M In equilibrio domanda e offerta di ciascun titolo debbono uguagliarsi. Se α M j èlaquota del titolo j nella ricchezza totale, l equilibrio di mercato per il titolo j comporta NX i=1 α ij W i = α M j W M Icoefficienti α M j sono i pesi del portafoglio di mercato. Li scriviamo come α M j = NX i=1 α ij W i W M Il portafoglio di mercato è semplicemente la media ponderata dei portafogli individuali, dove i pesi sono dati dalla ricchezza di ciascun investitore rispetto alla ricchezza totale. 46

47 Se sommiamo gli α M j α M 1 + αm 2 = NX i=1 = 1 (α i1 + α i2 ) W i NX i=1 α i0 W i W M W M = N X i=1 (1 α i0 ) W i W M = Il termine P i α i0 W i rappresenta la domanda netta (cioè la somma algebrica delle domande individuali) del titolo non rischioso. Identificando questo titolo con i prestiti tra gli investitori, in equilibrio la sua domanda netta deve essere pari a zero perché vi è uguaglianza tra domanda e offerta di prestiti e perciò ad ogni creditore corrisponde un debitore. In equilibrio deve essere α M 1 + αm 2 =1 47

48 Se poniamo pari a 1 la ricchezza totale esistente W M,lacondizionedicechein equilibrio questa ricchezza viene domandata dagli investitori senza che si verifichino eccessi di domanda o di offerta. Gli α M j indicano in quali proporzioni questa ricchezza viene ripartita tra i due titoli dall insieme degli investitori ovvero la composizione del portafoglio di mercato. Nelle ipotesi del CAPM tutti i portafogli individuali sono formati allo stesso modo per ciò che riguarda i titoli rischiosi: in tutti i portafogli i titoli rischiosi entrano nelle stesse proporzioni e questa è anche la composizione del portafoglio di mercato. Il portafoglio di tangenza può differire da investitore a investitore perché dipende dalle aspettative individuali sui rendimenti dei titoli rischiosi e sulla loro variabilità. Ma se, come nelle ipotesi del CAPM, tutti nutrono le stesse aspettative su rendimenti attesi, varianze e covarianze, il portafoglio di tangenza risulterà uguale per tutti. Tutti gli investitori domanderanno i titoli rischiosi nelle stesse proporzioni e in equilibrio, per l uguaglianza di domanda e offerta, questa sarà anche la composizione del portafoglio di mercato. 48

49 Qualunque siano le preferenze degli investitori, le proporzioni con cui i titoli rischiosi entrano nei portafogli individuali rimangono invariate. Il problema di scelta del singolo investitore. In sintonia con l analisi media-varianza, la sua funzione di utilità attesa dipenderà positivamente dal rendimento atteso e negativamente dalla varianza E (U) = V ³ μ, σ 2 = V [α 1 (μ 1 R 0 )+α 2 (μ 2 R 0 )+R 0, α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 ρσ 1 σ 2 ] Obiettivo dell investitore è di massimizzare questa funzione scegliendo le due quote di portafoglio α 1 e α 2. Le condizioni del primo ordine sono V ³ = V 1 (μ α 1 R 0 )+V 2 2α1 σ α 2ρσ 1 σ 2 =0 1 V ³ = V 1 (μ α 2 R 0 )+V 2 2α2 σ α 1ρσ 1 σ 2 =0 2 49

50 Il rapporto tra α 1 e α 2 può essere scritto come α 1 = σ2 2 (μ 1 R 0 ) ρσ 1 σ 2 (μ 2 R 0 ) α 2 σ 2 1 (μ 2 R 0 ) ρσ 1 σ 2 (μ 1 R 0 ) Il rapporto α 1 /α 2 ci mostra qual è la composizione ottimale del portafoglio del singolo investitore: questa composizione non dipende dalla particolare funzione di utilità, ossia dalla forma di V ( ). Non dipende dal particolare atteggiamento del singolo verso il rischio. Per l ipotesi di omogeneità delle aspettative, il rapporto α 1 /α 2 èugualeper tutti gli investitori. Il rapporto α 1 /α 2 conferma anche un altro risultato, che in equilibrio il portafoglio di mercato ha la stessa composizione del portafoglio di tangenza. Esso è identico a quello ricavato in base al criterio media-varianza. 50

51 La linea di valutazione delle attività (SML) La conclusione appena raggiunta ha due corollari importanti. Il primo è che, siccome tutti gli investitori hanno la stessa composizione di portafoglio relativamente ai titoli rischiosi, ciò che distingue un investitore dall altro è la ripartizione della ricchezza tra il titolo non rischioso e i titoli rischiosi (teorema di separazione). La scelta di portafoglio può essere separata in due stadi distinti: 1. trovare la composizione ottimale di portafoglio riguardo ai soli titoli rischiosi; questa scelta conduce agli stessi risultati per tutti gli investitori e perciò è indipendente dalle preferenze; 51

52 2. trovare la ripartizione ottimale della ricchezza tra titoli rischiosi e titolo non rischioso; questa ripartizione dipende dalle preferenze individuali. Il secondo corollario sfrutta di nuovo la conclusione che il portafoglio di mercato coincide in equilibrio con quello di tangenza per pervenire ad un equazione che determina il tasso di rendimento atteso per tutti i titoli e non soltanto di quelli che appartengono alla lmc. Calcoliamo la covarianza tra il titolo 1 e il portafoglio di mercato σ 1M = E (R 1 μ 1 ) h α M 1 R 1 + α M 2 R 2 ³ α M 1 μ 1 + α M 2 μ 2 i = = α M 1 σ2 1 + αm 2 ρσ 1σ 2 dove l apice M ci ricorda che gli α sono riferiti al portafoglio di mercato. 52

53 Utilizziamo le condizioni del primo ordine prima determinate V α 1 = V 1 (μ 1 R 0 )+2V 2 ³ α M 1 σ αm 2 ρσ 1σ 2 =0 V α 2 = V 1 (μ 2 R 0 )+2V 2 ³ α M 2 σ αm 1 ρσ 1σ 2 =0 Moltiplichiamo la prima per α M 1, la seconda per αm 2 esommiamo Sostituendo V 1 (μ M R 0 )+2V 2 σ 2 M =0= V 2 V 1 = μ M R 0 2σ 2 M E (R i ) R 0 =[E (R M ) R 0 ] σ im σ 2 M ; i =1, 2 Il rapporto σ im /σ 2 M èilcoefficiente di regressione di R i su R M ; lo indicheremo con β i. E (R i )=R 0 +[E (R M ) R 0 ] β i 53

54 per i =1, 2. Essa è nota come linea di valutazione delle attività (sml, Security Market Line). E(R i) E(R ) M SML R 0 E(R ) - R M 0 1 β i Figura 10: Essa afferma che il tasso di rendimento atteso di qualsiasi titolo o portafoglio titoli, 54

55 sia efficiente che non efficiente, è pari in equilibrio al tasso di rendimento del titolo non rischioso più un premio per il rischio. A sua volta il premio per il rischio è composto di due parti: l eccesso del tasso di rendimento atteso del portafoglio di mercato e il coefficiente di regressione β i. Il primo termine è evidentemente uguale per tutti i titoli: corrisponde alla pendenza della sml. Il secondo varia da titolo a titolo; poiché β i =Cov(R i,r M ) / Var (R M ), esso è tanto maggiore quanto più il tasso di rendimento del titolo considerato tende a muoversi in sincronia con il tasso di rendimento del portafoglio di mercato, ovvero quanto più forte e positivo è il comovimento tra i due tassi di rendimento. Un esempio. Due titoli, 1 e 2, che offrono lo stesso rendimento atteso in livello (non come tasso), E (z 1s )=E (z 2s ). Il titolo 1 ha un rendimento che è positivamente correlato con quello del portafoglio di mercato, mentre quello del titolo 2 è negativamente correlato con quello del portafoglio di mercato, cioè β 1 > 0 e β 2 < 0. Per 55

56 rendere concretamente l idea, si può pensare che il rendimento del titolo 1 è elevato quando l economia è in espansione mentre quello del titolo 2 è elevato quando l economia è in depressione. Se si valuta il rendimento in termini di utilità marginale, possiamo dire che una unità addizionale del titolo 1 vale meno di una unità addizionale del titolo 2 perché nel primo caso il rendimento del titolo è maggiore quando già il reddito dell economia è elevato. Siccome il titolo 2 vale di più, la sua domanda risulterà relativamente più alta di quella deltitolo1eilsuoprezzosaràmaggiore,p2 A >PA 1. Poichéiduetitolihannolostesso rendimento atteso, ma il prezzo del titolo 2 è più elevato, il tasso di rendimento del titolo 2 sarà minore di quello del titolo 1, E (z 2s) = E (R 2s ) <E(R 1s )= E (z 1s). Affinché tutti e due i titoli siano domandati in equilibrio, occorre che il titolo 1 offra untassodirendimentoattesopiùaltoperché la sua struttura dei rendimenti è meno attraente di quella del titolo 2. P A 2 P A 1 56

57 Il mercato dei titoli La rischiosità di un titolo o di un portafoglio non può essere in generale misurata dalla varianza o dallo scarto quadratico medio del rendimento ma da quanto questo rendimento tende a muoversi in sincronia con quello dell intero mercato, ovvero con il rendimento del portafoglio di mercato Due sono le relazioni principali del capm. La prima riguarda la linea del mercato dei capitali (lmc) E (R P )=R 0 + E (R M) R 0 σ P σ M dove P è un portafoglio efficiente, che giace cioè sulla lmc, M è il portafoglio di mercato e R 0 è il rendimento del titolo non rischioso. 57

58 L altra relazione importante del capm è la linea di valutazione delle attività (sml) E (R A )=R 0 +[E (R M ) R 0 ] β A dove A è un titolo o portafoglio qualunque, sia esso efficiente o no. Possiamo riscrivere l equazione della sml come E (R A )=R 0 + E (R M) R 0 σ M σ AM σ M Le due equazioni presentano una struttura assai simile. In ambedue il rendimento atteso di una attività viene espresso come somma del rendimento del titolo non rischioso e di un premio per il rischio. A sua volta il premio per il rischio può essere scomposto in due parti: una prima parte E (R M) R 0, uguale nelle due equazioni è abitualmente denominata prezzo σ M di mercato del rischio o premio per unità di rischio e rappresenta di quanto aumenta il rendimento atteso dell attività considerata quando viene aumentato di 58

59 una unità il rischio; l altra parte dà conto appunto del rischio e differisce nelle due equazioni. Tutt e due le equazioni hanno una struttura del tipo: dove Rendim. atteso = Rendim. non rischioso + Premio rischio Premio rischio = Prezzo rischio Ammontare rischio Rimane da spiegare perché la definizione di rischio differisca nei due casi. Nel caso di attività efficienti la definizione di rischio coincide con lo scarto quadratico medio. Prendiamo ad esempio il portafoglio di mercato che è chiaramente efficiente (è identico al portafoglio di tangenza del singolo investitore); se poniamo A = M, σ AM diviene σ 2 M sicché la misura del rischio è σ AM σ = σ2 M M σm = σ M. La stessa conclusione vale per tutti i portafogli efficienti: questi sono infatti formati per una quota α 0 dal titolo privo di rischio e per la quota residua 1 α 0 dal portafoglio di mercato. Si conclude che σ AM σ =(1 α M 0 ) σ M, il rischio corrisponde cioè ad una quota dello scarto quadratico medio del portafoglio di mercato. 59

60 Consideriamo ora un attività qualsiasi, efficiente o meno che sia. Qual è la misura rilevante del rischio in questo caso? Siccome tutti gli investitori detengono il portafoglio di mercato il cui rischio è misurato dal relativo scarto quadratico medio, la misura appropriata del rischio di un attività qualsiasi è costituita dalla variazione che subisce σ M quando si varia la detenzione di questa attività. Se continuiamo a supporre per semplicità che vi siano solo due titoli rischiosi, σ M è σ M = ³ α 2 1 σ2 1 + α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 σ 12 1/2 dove le quote α 1 e α 2 sono riferite al portafoglio di mercato. Se variamo la quota α 1 del titolo 1 nel portafoglio di mercato, la variazione conse- 60

61 guente di σ M è σ M α 1 = ³ α 2 1 σ α2 2 σ2 2 +2α 1α 2 σ 12 1/2 α 1 = = (1/2) ³ 2α 1 σ α 2σ 12 = σ M = σ 1M σ M Il rischio complessivo σ A attribuibile ad un attività viene abitualmente suddiviso in σ due parti: AM σ rappresenta il cosiddetto rischio sistematico o non diversificabile, M mentre il rischio residuo σ A σ AM σ viene detto non sistematico o diversificabile. M 61

62 μ E(R) E(R A )=E(R P ) P M LMC A E(R)=R0 Z σ ΑΜ σ Μ = σ P σ σ Α = σ Ζ σ Figura 11: L attività A è chiaramente inefficiente perché si trova al di sotto della lmc. Non tutto il rischio σ A viene remunerato dal mercato ma solo la componente sistematica. 62

63 Viceversa, l attività P èefficiente e tutto il rischio σ P viene remunerato. Se invece guardiamo alla linea di valutazione delle attività tutte e due le attività si trovano sulla sml. Il motivo è che in questo caso la variabile sull asse delle ascisse β i = σ im è una misura del rischio sistematico, e le due attività hanno lo stesso livello di rischio sistematico. σ 2 M 63

64 E (R i ) E (R M ) E (R A )= E (R P ) P A M SML E (R Z )= R 0 Z β A =β P 1 β i Figura 12: Sia la lmc che la sml ci dicono che soltanto la componente sistematica del rischio è rilevante ai fini della determinazione del rendimento (atteso) di un attività. L unica differenza è che nel grafico della lmc il rischio sistematico di un attività non è misurato 64

65 da tutta l ascissa ma solo dal tratto orizzontale che si trova tra il rendimento atteso dell attività considerata e la lmc. Che la lmc e la sml forniscano lo stesso messaggio a proposito del rischio lo si può verificare anche guardando alle due equazioni che le definiscono, LMC = E (R P ) R 0 σ P = E (R M) R 0 σ M SML = E (R A) R 0 σ AM /σ M = E (R M) R 0 σ M Possiamo scrivere in forma compatta queste due equazioni nel seguente modo: E (R P ) R 0 σ P = E (R M) R 0 σ M = E (R A) R 0 σ AM /σ M Per qualunque attività, efficiente o inefficiente, il mercato paga lo stesso premio per unità di rischio sistematico. 65

66 Il titolo con β =0 Guardiamo all attività Z. Come risulta dal grafico, questa attività ha un rendimento uguale a quello del titolo non rischioso perché il suo rischio sistematico è nullo. Siccome Z non ha rischio sistematico, può essere considerata equivalente ad un attività priva di rischio. Sfruttando la presenza di attività come Z, possiamo costruire una versione del CAPM in cui non vi è alcun titolo che fornisce un rendimento certo pari a R 0. 66

67 μ E(R M ) E(R B ) M B E(R Z ) Z σ ΒΜ σ Μ σ Μ σ Ζ σ Β σ Figura 13: Sia M il portafoglio di mercato. Conducendo la tangente alla frontiera di minima varianza nel punto M e poi tracciando una retta orizzontale fino a incontrare di nuovo l iperbole, si individua l attività Z che ha correlazione zero con il portafoglio di mercato. 67

68 Siccome Z ha un rischio sistematico nullo, può di fatto svolgere lo stesso ruolo del titolo privo di rischio; in particolare, il premio per il rischio deve essere calcolato rispetto a Z. Determiniamo in primo luogo il premio per unità di rischio per il portafoglio di mercato; questo può essere fatto calcolando la pendenza della E(R Z )M nel punto M: E (R M ) E (R Z ) σ M 68

69 μ 2 1 M P 2 P 1 Z σ Figura 14: Prendiamo ora una qualsiasi attività come B; il premio per unità di rischio (sistematico) per questa attività equivale in termini grafici alla pendenza della E(R Z )M nel 69

70 punto B E (R B ) E (R Z ) Uguagliando le ultime due espressioni: σ BM /σ M E (R B ) E (R Z ) σ BM /σ M = E (R M) E (R Z ) σ M = E (R B )=E (R Z )+ E (R M) E (R Z ) σ BM σ M σ M La relazione principale del capm è immutata anche in assenza di un titolo con un rendimento certo. È bene però sottolineare due punti che sono una conseguenza immediata del fatto che in questa versione del CAPM non vi è un titolo privo di rischio. Il primo è che la retta E(R Z )M non rappresenta l insieme dei portafogli disponibili agli investitori: la 70

71 E(R Z )M non sostituisce la CML proprio perché non vi è alcun titolo privo di rischio. Gli investitori scelgono piuttosto in base alle loro preferenze un attività che si trova sul tratto crescente dell iperbole, cioè sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi. La figura illustra la situazione di due individui: l investitore 1 sceglie il portafoglio P 1 avendo così una posizione lunga in M e Z; l investitore 2 sceglie il portafoglio P 2 con una posizione corta in Z e lunga in M. Si noti che ogni portafoglio può essere ottenuto combinando linearmente M e Z. Dalla precedente equazione, ricordando che β i = σ im σ 2 M E (R B )=(1 β B ) E (R Z )+β B E (R M ) 71

72 μ M 2 M 1 Z 2 Z 1 σ Figura 15: Il secondo punto che va sottolineato è che abbiamo individuato l attività Z assumendo che il portafoglio di mercato sia M. Questo modo di procedere è però rovesciato rispetto a quello che abbiamo prima seguito in presenza di un titolo privo di rischio. In 72

73 quest ultimo caso siamo partiti dal titolo privo di rischio per identificare il portafoglio di mercato. In assenza di un titolo privo di rischio, siamo invece partiti dal portafoglio di mercato per individuare l attività Z con esso incorrelata: di conseguenza, esiste un attività con un rischio sistematico nullo per ogni possibile portafoglio di mercato, ovvero per ogni possibile portafoglio efficiente. Per esempio, al portafoglio di mercato M 1 corrisponde l attività Z 1 e al portafoglio di mercato M 2 corrisponde l attività Z 2. La versione del CAPM senza un titolo privo di rischi soffre così di un ambiguità che non può essere eliminata finché non siamo in grado di identificare il vero portafoglio di mercato. 73