09/12/11. Chapter 7. Network Flow. Rete ferroviaria sovietica. Altri esempi di network. Rete ferroviaria sovietica, 1955

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1 ee ferroviaria ovieica Chaper Nework Flow Hanno analizzao problemi di raporo relai alla ree ferroviaria ovieica:.n. Toloi, Mehod of finding he minimal oal kilomerage in cargoranporaion planning in pace,, (in ruo) T.E. Harri, F.S. o, Fundamenal of a Mehod for Evaluaing ail Ne Capaciie, eearch Memorandum M-, The ND Corporaion, Sana Monica, California,. Scrio per US ir Force, dapprima claified e poi unclaified il maggio. I nodi rappreenano piccole regioni connee con archi Capacià di una conneione: onnellae che poono eere raporae in un giorno Ineree degli US: calcolo dei boleneck per diconneere gli ai aellie in Mah Programming, :,. ee ferroviaria ovieica, lri eempi di nework iquidi aravero ubi Pari ra le linee di aemblaggio Correne aravero una ree elerica Informazione in rei di comunicazioni Traporo di merci u rada Harri e o: Max flow di. onnellae dalla uia all Europa dell E e aglio di capacià. onnellae indicao come The boleneck iferimeno: On he hiory of he ranporaion and maximum flow problem. lexander Schrijver in Mah Programming, :,.

2 Nework Flow Nework Flow Un nework è un grafo direo rchi rappreenano ubi che raporano liquido Ogni arco ha una capacià (ubi di grandezze divere) Un nodo orgene Un nodo pozzo Un nework è un grafo direo rchi rappreenano ubi che raporano liquido Ogni arco ha una capacià (ubi di grandezze divere) Un nodo orgene Un nodo pozzo v v S ource v v ink Problema Taglio Minimo Maimo Fluo e Minimo Taglio ee dei flui. razione per fluo maeriali ugli archi. G = (V, E) grafo direo, enza archi paralleli. Due nodi diini: = orgene, = pozzo. c(e) = capacià dell arco e. Maimo Fluo e Minimo Taglio. Due problemaiche algorimiche molo ricche. Imporane problema nell oimizzazione combinaoriale. Bella dualià maemaica. plicazioni non banali / riduzioni orgene capacià pozzo Open-pi mining. Projec elecion. irline cheduling. Biparie maching. Baeball eliminaion. Image egmenaion. Nework conneciviy. Nework reliabiliy. Diribued compuing. Egaliarian able maching. Securiy of aiical daa. Nework inruion deecion. Muli-camera cene reconrucion. Many many more...

3 Taglio Taglio Definizione. Un aglio - è una parizione (, B) di V con e B. Definizione. Un aglio - è una parizione (, B) di V con e B. Definizione. a capacià di un aglio (, B) è: cap(, B) = " c(e) Definizione. a capacià di un aglio (, B) è: cap(, B) = " c(e) Capacià = + + = Capacià = = Problema Taglio Minimo Fluo Problema aglio - minimo. Trovare un aglio - di capacià minima. Grafo G=(V,E) Eempio: oil pipeline S u / v S f(u,v)= Fluo inferiore alla capacià u / v Capacià = + + = f(u,v)= Maimo fluo

4 Fluo Fluo Grafo G=(V,E) S / / / Eempio: oil pipeline S Definizione. Un fluo - è una funzione che oddifa: Per ogni e E: " f (e) " c(e) (capacià) Per ogni v V {, : " f (e) = " f (e) (conervazione) e enra in v e ece da v Definizione. Il valore di un fluo è: v( f ) = " f (e). e ece da capacià fluo valore = Fluo Problema Fluo Maimo Definizione. Un fluo - è una funzione che oddifa: Per ogni e E: " f (e) " c(e) (capacià) Per ogni v V {, : " f (e) = " f (e) (conervazione) e enra in v e ece da v Problema Fluo Maimo. Trovare fluo - con il maimo valore. Definizione. Il valore di un fluo è: v( f ) = " f (e). e ece da capacià fluo valore = capacià fluo valore =

5 Flui e Tagli Flui e Tagli emma valore fluo. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio -. llora, il fluo neo inviao aravero il aglio è uguale all ammonare che lacia. " f (e) # " f (e) = v( f ) e enra in! f (e) = ++=! f (e) = e enra in v( f )= ++= emma valore fluo. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio -. llora, il fluo neo inviao aravero il aglio è uguale allammonare che lacia. " f (e) # " f (e) = v( f ) e enra in! f (e) = + ++=! f (e) = e enra in v( f )= + += Flui e Tagli Flui e Tagli emma valore fluo. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio -. llora, il fluo neo inviao aravero il aglio è uguale all ammonare che lacia. " f (e) # " f (e) = v( f ) e enra in! f (e) =++ =! f (e) = + = e enra in v( f )= + += emma valore fluo. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio -. llora, Prova. v( f ) = f (e) =! e ece da $ '! &! f (e) #! f (e)) % ( v " e ece da v " f (e) # " f (e) = v( f ) e enra in e enra in v icorda: Un aglio - è una parizione (, B) di V con e B. per la conervazione del fluo, ui i ermini ecceo v = ono

6 Flui e Tagli Flui e Tagli emma valore fluo. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio -. llora, " f (e) # " f (e) = v( f ) e enra in Dualià debole. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio -. llora il valore del fluo è al maimo la capacià del aglio. Prova.! v( f ) = f (e) e ece da $ ' =! &! f (e) #! f (e)) v " % e ece da v e enra in v ( =!! f (e) #!! f (e) v " e ece da v v " e enra in v =! f (e) #! f (e). e enra in icorda: Un aglio - è una parizione (, B) di V con e B. per la conervazione del fluo, ui i ermini ecceo v = ono gli archi e che hanno enrambi gli endpoin in danno conribuo capacià aglio = valore fluo capacià = Flui e Tagli Cerificao di Oimalià Dualià debole. Sia f un fluo. llora, per ogni aglio - (, B) i ha v(f) cap(, B). Prova. v( f ) = " f (e) # " f (e) " $ f (e) " $ c(e) = cap(, B) e enra in B Corollario. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio. Se v(f) = cap(, B), allora f è un fluo maimo e (, B) è un aglio minimo. Valore del fluo = Capacià aglio = valore fluo

7 Vero un lgorimo per il Fluo Maimo Vero un lgorimo per il Fluo Maimo lgorimo greedy. Iniziamo con f(e) = per ui gli archi e E. Trovare un cammino -, ia eo P, dove ogni arco ha f(e) < c(e). umenare fluo lungo il cammino P. ipeere i precedeni due pai fino a che è poibile. lgorimo greedy. Iniziamo con f(e) = per ui gli archi e E. Trovare un cammino -, ia eo P, dove ogni arco ha f(e) < c(e). umenare fluo lungo il cammino P. ipeere i precedeni due pai fino a che è poibile. valore fluo = valore fluo = Vero un lgorimo per il Fluo Maimo Vero un lgorimo per il Fluo Maimo lgorimo greedy. Iniziamo con f(e) = per ui gli archi e E. Trovare un cammino -, ia eo P, dove ogni arco ha f(e) < c(e). umenare fluo lungo il cammino P. ipeere i precedeni due pai fino a che è poibile. lgorimo greedy. Iniziamo con f(e) = per ui gli archi e E. Trovare un cammino -, ia eo P, dove ogni arco ha f(e) < c(e). umenare fluo lungo il cammino P. ipeere i precedeni due pai fino a che è poibile. oimalià locale oimalià globale X X X valore fluo = greedy = oimo =

8 Nuovi cammini per aumenare il fluo Nuovi cammini per aumenare il fluo X X X X X X X X X valore fluo = valore fluo = Grafo reiduale Grafo reiduale: eempio rco originale: e = (u, v) E. Fluo f(e), capacià c(e). u capacià v fluo rco reiduale. Fluo di undo. e = (u, v) e = (v, u). Capacià reiduale: $ c(e) " f (e) c f (e) = % e e # E & f (e) e e # E u capacià reiduale v capacià reiduale Grafo reiduale ripeo ad f: G f = (V, E f ). rchi reiduali con capacià reiduale poiiva. E f = {e : f(e) < c(e) {e : c(e) >.

9 lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio capacià fluo capacià valore fluo = lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio fluo capacià fluo capacià valore fluo = valore fluo = capacià reiduale capacià reiduale

10 lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio X X fluo capacià X X fluo capacià X X valore fluo = valore fluo = capacià reiduale capacià reiduale lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio valore fluo = valore fluo =

11 lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio X X X X X X X X valore fluo = valore fluo = lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio valore fluo = valore fluo =

14 lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio X X X X X X X X X X valore fluo = valore fluo = lgorimo Ford-Fulkeron: eempio lgorimo Ford-Fulkeron: eempio valore fluo = valore fluo = Non ci ono più cammini aumenani!

15 lgorimo Ford-Fulkeron: eempio Cammino aumenane: lgorimo minima capacià reiduale degli archi di P umena(f, c, P) { b boleneck(p) foreach e P { if (e E) f(e) f(e) + b ele f(e ) f(e) - b reurn f arco direo arco invero capacià aglio = valore fluo = Nodi raggiungibili da in {, Corripondono ad un aglio in G di minima capacià Ford-Fulkeron(G,,, c) { foreach e E f(e) G f grafo reiduale while (cè un cammino aumenane P) { f umena(f, c, P) aggiorna G f reurn f Teorema Max-Flow Min-Cu Teorema Max-Flow Min-Cu Teorema del cammino aumenane. Fluo f è fluo maimo e non ci ono cammini aumenani. Teorema Max-Flow Min-Cu. [Ford-Fulkeron ] Il valore del fluo maimo è uguale al valore del aglio minimo. Prova. Dimorazione di enrambi morando che ono equivaleni: (i) Cè un aglio (, B) ale che v(f) = cap(, B). (ii) Fluo f è un fluo maimo. (iii) Non ci ono cammini aumenani relaivi ad f. Teorema del cammino aumenane. Fluo f è fluo maimo e non ci ono cammini aumenani. Teorema Max-Flow Min-Cu. [Ford-Fulkeron ] Il valore del fluo maimo è uguale al valore del aglio minimo. Prova. Dimorazione di enrambi morando che ono equivaleni: (i) Cè un aglio (, B) ale che v(f) = cap(, B). (ii) Fluo f è un fluo maimo. (iii) Non ci ono cammini aumenani relaivi ad f. (i) (ii) Queo era il corollario al lemma della dualià debole. Corollario. Sia f un fluo, e ia (, B) un aglio. Se v(f) = cap(, B), allora f è un fluo maimo e (, B) è un aglio minimo.

16 Teorema Max-Flow Min-Cu Prova del Teorema del Max-Flow Min-Cu Teorema del cammino aumenane. Fluo f è fluo maimo e non ci ono cammini aumenani. Teorema Max-Flow Min-Cu. [Ford-Fulkeron ] Il valore del fluo maimo è uguale al valore del aglio minimo. Prova. Dimorazione di enrambi morando che ono equivaleni: (i) Cè un aglio (, B) ale che v(f) = cap(, B). (ii) Fluo f è un fluo maimo. (iii) Non ci ono cammini aumenani relaivi ad f. (iii) (i) Sia f un fluo che non ha cammini aumenani. Sia * linieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale. Per la definizione di *, *. Fluo f non ha cammini aumenani *. v( f ) =! f (e)"! f (e) * e enra in * * B (i) (ii) Queo era il corollario al lemma della dualià debole. (ii) (iii) Proviamo che no (iii) no (ii). Sia f un fluo. Se eiee un cammino aumenane, allora poremo migliorare f inviando fluo ul cammino. grafo originale Prova del Teorema del Max-Flow Min-Cu Prova del Teorema del Max-Flow Min-Cu (iii) (i) Sia f un fluo che non ha cammini aumenani. Sia * linieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale. Per la definizione di *, *. Fluo f non ha cammini aumenani *. v( f ) =! f (e)"! f (e) * e enra in * * B (iii) (i) Sia f un fluo che non ha cammini aumenani. Sia * linieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale. Per la definizione di *, *. Fluo f non ha cammini aumenani *. v( f ) =! f (e)"! f (e) * e enra in * icorda: definizione di arco reiduale. Fluo di undo. e = (u, v) e = (v, u). Capacià reiduale: $ c(e) " f (e) c f (e) = % e e # E & f (e) e e # E grafo originale Sia (u,v) ale che u * e v B*. llora f(e) = c(e). Se foe f(e) < c(e) allora ci arebbe un arco (u,v) nel grafo reiduale e quindi v *.

17 Prova del Teorema del Max-Flow Min-Cu Prova del Teorema del Max-Flow Min-Cu (iii) (i) Sia f un fluo che non ha cammini aumenani. Sia * linieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale. Per la definizione di *, *. Fluo f non ha cammini aumenani *. v( f ) =! f (e)"! f (e) * e enra in * Sia (u,v) ale che u B* e v *. llora f(e) =. Se foe f(e) > allora ci arebbe un arco (v,u ) nel grafo reiduale e quindi u *. (iii) (i) Sia f un fluo che non ha cammini aumenani. Sia * linieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale. Per la definizione di *,. Fluo f non ha cammini aumenani *. v( f ) =! f (e)"! f (e) * e enra in * =! c(e) * B * = cap(*, B) grafo originale Cammino aumenane: Compleià lgorimo umena(f, c, P) { quane vole viene eeguio? b boleneck(p) foreach e P { if (e E) f(e) f(e) + b ele f(e ) f(e) - b reurn f compleià boleneck compleià empo O(n) Cammino aumenane: Compleià lgorimo umena(f, c, P) { b boleneck(p) foreach e P { compleià boleneck O(n) if (e E) f(e) f(e) + b ele f(e ) f(e) - b reurn f compleià empo O(n) quane vole viene eeguio? O(n) Ford-Fulkeron(G,,, c) { foreach e E f(e) G f grafo reiduale Ford-Fulkeron(G,,, c) { foreach e E f(e) G f grafo reiduale quane vole viene eeguio? while (cè un cammino aumenane P) { f umena(f, c, P) aggiorna G f reurn f while (cè un cammino aumenane P) { f umena(f, c, P) aggiorna G compleià f reurn f compleià aggiorna G f compleià empo

18 ui ineri Cammino aumenane: Compleià lgorimo umena(f, c, P) { b boleneck(p) foreach e P { if (e E) f(e) f(e) + b ele f(e ) f(e) - b reurn f compleià empo O(n) Ford-Fulkeron(G,,, c) { foreach e E f(e) G f grafo reiduale while (cè un cammino aumenane P) { f umena(f, c, P) aggiorna G f reurn f compleià aggiorna G f O(m) compleià boleneck O(n) quane vole viene eeguio? O(n) quane vole viene eeguio? C vole, dove C = c(e) " e ece da compleià O(m) ricerca deph-fir o breadh-fir in G f compleià empo O(mC) imie uperiore al valore del fluo: infai Compleià empo v( f ) = " f (e) # " c(e) e ece da e ece da unzione. Tue le capacià ono numeri ineri ra e C. Invariane. Ogni valore del fluo f(e) e delle capacià reiduali c(e) rimangono ineri durane l algorimo. Teorema. algorimo ermina in al maimo v(f*) C ierazioni. Prova. Ogni cammino aumenane incremena il valore del fluo di almeno. Teorema Inegralià. Se ue le capacià ono numeri ineri, allora vi è un fluo maimo f per cui ogni valore del fluo f(e) è un inero. Prova. algorimo ermina, quindi il eorema egue dall invariane. C = " c(e). e ece da Compleià empo Eercizio Supponiamo che ui i nodi abbiano almeno un arco incidene, quindi m n/. Si eegua l algorimo per il calcolo del fluo maimo ul grafo Corollario. Compleià di empo dell algorimo di Ford-Fulkeron è O(mC). Prova. al maimo v(f*) C ierazioni in ogni ierazione: o il grafo reiduale ha m archi o grafo reiduale rappreenao uilizzando la lia delle adiacenze o roviamo un cammino aumenane in O(m) mediane ricerca deph-fir oppure breadh-fir nel grafo reiduale. o umena(f,c,p) ha compleià O(n) o aggiornameno grafo reiduale in O(m) Si evidenzino per ogni ingolo pao effeuao quale è l'augmening pah uilizzaa, il fluo ed il grafo reiduale ripeo al fluo. Si deermini un aglio minimo. Si argomeni ul perchè il fluo oenuo è maimo analizzando la ua relazione con ale aglio minimo.

19 Eercizio Si eegua l'algorimo per il calcolo del fluo maimo ul grafo. Chooing Good ugmening Pah Si evidenzino per ogni ingolo pao effeuao quale è l'augmening pah uilizzaa, il fluo ed il grafo reiduale ripeo al fluo. Si deermini un aglio minimo. Si argomeni ul perchè il fluo oenuo è maimo analizzando la ua relazione con ale aglio minimo. (Soluzione per il valore del fluo maimo: ) Ford-Fulkeron: Numero eponenziale di pai Ford-Fulkeron: Numero eponenziale di pai Domanda. algorimo di Ford-Fulkeron è polinomiale nella aglia dell inpu? m, n, e log C Domanda. algorimo di Ford-Fulkeron è polinomiale nella aglia dell inpu? m, n, e log C ipoa. No. algorimo può fare al maimo C ierazioni. ipoa. No. algorimo può fare al maimo C ierazioni. C/ C/ X C/ C/ X C/ C/ C/ C/ X

20 Ford-Fulkeron: Numero eponenziale di pai Ford-Fulkeron: Numero eponenziale di pai Domanda. algorimo di Ford-Fulkeron è polinomiale nella aglia dell inpu? m, n, e log C Domanda. algorimo di Ford-Fulkeron è polinomiale nella aglia dell inpu? m, n, e log C ipoa. No. algorimo può fare al maimo C ierazioni. ipoa. No. algorimo può fare al maimo C ierazioni. X C/ C/ X C/ C/ X C/ C/ X X C/ C/ X X X X X C/ C/ X C/ C/ X C/ C/ X C/ C/ X X Scegliere Buoni Cammini umenani Capaciy Scaling Fare aenzione quando i celgono i cammini aumenani. lcune cele porano ad algorimi eponenziali. Buone cele porano ad algorimi polinomiali. Se le capacià foero irrazionali, l algorimo porebbe non erminare! Obieivo: cegliere cammini aumenani in modo ale che: Poiamo rovare cammini aumenani efficienemene. Poche ierazioni. Inuizione. a cela di cammini con la maggior capacià boleneck incremena il fluo del maimo ammonare poibile. Non biogna preoccupari di rovare il cammino con eaamene la maima capacià boleneck. Manenere un paramero di caling Δ. Sia G f (Δ) il oografo del grafo reiduale con i oli archi avene capacià almeno Δ. Scegliere cammini aumenani con: [Edmond-Karp, Diniz ] Maima capacià boleneck. Sufficienemene grande capacià boleneck. Minor numero di archi. G f G f ()

21 Capaciy Scaling Capaciy Scaling: Correezza Scaling-Max-Flow(G,,, c) { foreach e E f(e) Δ più piccola poenza di che è max e ece da c(e) G f grafo reiduale while (Δ ) { G f (Δ) grafo Δ-reiduale while (vi è un cammino aumenane P in G f (Δ)) { f aumena(f, c, P) aggiorna G f (Δ) Δ Δ / reurn f unzione. Tue le capacià degli archi ono ineri ra e C = Invariane dei valori ineri. reiduali ono ineri. Tui i valori dei flui e delle capacià Correezza. Se lalgorimo ermina, allora f è un fluo maimo. Prova. Dallinvariane dei valori ineri, quando Δ = G f (Δ) = G f. Dopo la fine della fae Δ =, non vi ono cammini aumenani. " c(e). e ece da In realà lalgorimo Scaling-Max-Flow è olo una implemenazione dellalgorimo di Ford-Fulkeron in cui i fa una cela guidaa dei cammini aumenani. Capaciy Scaling: compleià Capaciy Scaling: compleià Scaling-Max-Flow(G,,, c) { foreach e E f(e) Δ più piccola poenza di che è max e ece da c(e) G f grafo reiduale quane vole viene eeguio? while (Δ ) { G f (Δ) grafo Δ-reiduale while (vi è un cammino aumenane P in G f (Δ)) { f aumena(f, c, P) aggiorna G f (Δ) Δ Δ / quane vole viene eeguio? reurn f Scaling-Max-Flow(G,,, c) { foreach e E f(e) Δ più piccola poenza di che è max e ece da c(e) G f grafo reiduale quane vole viene eeguio? while (Δ ) { + log C vole, dove G f (Δ) grafo Δ-reiduale while (vi è un cammino aumenane P in G f (Δ)) { f aumena(f, c, P) aggiorna G f (Δ) Δ Δ / reurn f C = " e ece da c(e) quane vole viene eeguio? m numero oale di aumeni

22 Capaciy Scaling: compleià Capaciy Scaling: compleià Scaling-Max-Flow(G,,, c) { foreach e E f(e) Δ più piccola poenza di che è max e ece da c(e) G f grafo reiduale quane vole viene eeguio? while (Δ ) { + log C vole, dove G f (Δ) grafo Δ-reiduale while (vi è un cammino aumenane P in G f (Δ)) { f aumena(f, c, P) aggiorna G f (Δ) Δ Δ / reurn f C = " e ece da c(e) quane vole viene eeguio? m Scaling-Max-Flow(G,,, c) { foreach e E f(e) Δ più piccola poenza di che è max e ece da c(e) G f grafo reiduale quane vole viene eeguio? while (Δ ) { + log C vole, dove G f (Δ) grafo Δ-reiduale while (vi è un cammino aumenane P in G f (Δ)) { f aumena(f, c, P) aggiorna G f (Δ) Δ Δ / reurn f C = " e ece da c(e) quane vole viene eeguio? m numero oale di aumeni m( + log C ) = O(m log C) numero oale di aumeni? m( + log C ) = O(m log C) compleià empo? Capaciy Scaling: compleià Capaciy Scaling: Compleià Scaling-Max-Flow(G,,, c) { foreach e E f(e) Δ più piccola poenza di che è max e ece da c(e) G f grafo reiduale quane vole viene eeguio? while (Δ ) { + log C vole, dove G f (Δ) grafo Δ-reiduale while (vi è un cammino aumenane P in G f (Δ)) { f aumena(f, c, P) aggiorna G f (Δ) Δ Δ / reurn f numero oale di aumeni? m( + log C ) = O(m log C) compleià empo O(m log C) C = " e ece da c(e) quane vole viene eeguio? m emma. Il ciclo while eerno i ripee + log C vole, dove Prova. Inizialmene Δ < C. Poi, Δ decrece di un faore ad ogni ierazione. emma. Sia f un fluo alla fine di un ciclo while eerno. llora il valore del fluo maimo è v(f max ) v(f) + m Δ. prova nella proima lide emma. Ci ono m aumeni in ogni ierazione del ciclo while eerno. Sia f il fluo alla fine del ciclo while eerno precedene. Dal emma precedene v(f max ) v(f) + m (Δ). Ogni aumeno incremena v(f) di almeno Δ. Teorema. algorimo Scaling-Max-Flow calcola un fluo maimo con m( + log C ) = O(m log C) aumeni (ovvero chiamae di aumena). Può eere implemenao con una compleià di empo O(m log C). C = " c(e). e ece da

23 Capaciy Scaling: Compleià Capaciy Scaling: Compleià emma. Sia f un fluo alla fine di un ciclo while eerno. llora il valore del fluo maimo f* è v(f*) v(f) + m Δ. Prova. (quai idenica alla prova del eorema max-flow min-cu) Moriamo che alla fine del ciclo, cè un aglio (, B) ale che cap(, B) v(f) + m Δ. Sia l inieme dei nodi raggiungibili da in G f (Δ). Per la definizione di,. Fluo f non ha cammini aumenani. v( f ) = " f (e) # " f (e) e enra in ree originale B emma. Sia f un fluo alla fine di un ciclo while eerno. llora il valore del fluo maimo f* è v(f*) v(f) + m Δ. Prova. (quai idenica alla prova del eorema max-flow min-cu) Moriamo che alla fine del ciclo, cè un aglio (, B) ale che cap(, B) v(f) + m Δ. Sia l inieme dei nodi raggiungibili da in G f (Δ). Per la definizione di,. Fluo f non ha cammini aumenani. v( f ) = " f (e) # " f (e) e enra in Sia e=(u,v) ale che u e v B. llora c(e) < f(e) + Δ. Se foe c(e) f(e) + Δ allora ci arebbe un arco (u,v) nel grafo reiduale G f (Δ) e quindi v. grafo originale B Capaciy Scaling: Compleià Capaciy Scaling: Compleià emma. Sia f un fluo alla fine di un ciclo while eerno. llora il valore del fluo maimo f* è v(f*) v(f) + m Δ. Prova. (quai idenica alla prova del eorema max-flow min-cu) Moriamo che alla fine del ciclo, cè un aglio (, B) ale che cap(, B) v(f) + m Δ. Sia l inieme dei nodi raggiungibili da in G f (Δ). Per la definizione di,. Fluo f non ha cammini aumenani. v( f ) = " f (e) # " f (e) e enra in Sia e=(u,v ) ale che u B e v. llora f(e ) < Δ. Se foe f(e ) Δ allora ci arebbe un arco (v,u ) nel grafo reiduale G f (Δ) e quindi v. grafo originale B emma. Sia f un fluo alla fine di un ciclo while eerno. llora il valore del fluo maimo f* è v(f*) v(f) + m Δ. Prova. (quai idenica alla prova del eorema max-flow min-cu) Moriamo che alla fine del ciclo, cè un aglio (, B) ale che cap(, B) v(f) + m Δ. Sia l inieme dei nodi raggiungibili da in G f (Δ). Per la definizione di,. Fluo f non ha cammini aumenani. v( f ) = " f (e) # " f (e) e enra in $ " (c(e) # %) # " % e enra in = " c(e) # " % # " % e enra in grafo originale B

24 Capaciy Scaling: Compleià ee con più orgeni e pozzi emma. Sia f un fluo alla fine di un ciclo while eerno. llora il valore del fluo maimo f* è v(f*) v(f) + m Δ. Prova. (quai idenica alla prova del eorema max-flow min-cu) Moriamo che alla fine del ciclo, c è un aglio (, B) ale che cap(, B) v(f) + m Δ. Sia l inieme dei nodi raggiungibili da in G f (Δ). Per la definizione di,. Fluo f non ha cammini aumenani. Problema: Vogliamo maimizzare il fluo oale da ue le orgeni a ue le deinazioni v( f ) = " f (e) # " f (e) e enra in $ " (c(e) # %) # " % e enra in = " c(e) # " % # " % e enra in $ cap(, B) - m% B cap(, B) = " c(e) ci ono m archi grafo originale ee con più orgeni e pozzi Problema: Vogliamo maimizzare il fluo oale da ue le orgeni a ue le deinazioni Soluzione: iduciamo il problema al Maximum Flow creando una uperorgene ed un uperpozzo. Fir pplicaion: The Biparie Maching Problem

25 The Biparie Maching Problem Maximum Biparie Maching icorda: Un grafo bipario è un grafo G=(V,E) in cui V può eere divio in due pari ed in modo ale che ogni arco in E collega un verice in con un verice in. Porebbe modellare: i verici in porebbero rappreenare lavoraori ed i verici in lavori. gli archi conneono lavoraori a lavori che poono eere effeuai G icorda: Un grafo bipario è un grafo G=(V,E) in cui V può eere divio in due pari ed in modo ale che ogni arco in E collega un verice in con un verice in. Porebbe modellare: i verici in porebbero rappreenare lavoraori ed i verici in lavori. gli archi conneono lavoraori a lavori che poono eere effeuai Oppure: Sam Mary G Bob John Beh Sue Marc nn Maximum Biparie Maching Maximum Biparie Maching e Max-flow Un maching in G è un ooinieme di archi M ale che ogni nodo compare in al maimo un arco in M. Un maximum maching è un maching di maima cardinalià (maimo numero di archi). G G Il problema del maximum biparie maching u un grafo G i riduce al problema del max-flow u un grafo G opporunamene coruio. a oluzione al problema del max-flow u G corriponde ad una oluzione al problema del maximum biparie maching u G. maximum maching maching non maimo

26 Maximum Biparie Maching e Max-flow Maximum Biparie Maching e Max-flow Coruzione di G a parire da G(V,E): Coruzione di G a parire da G(V,E): ggiungere un verice orgene ed archi da ad endere direi ui gli archi in E: da ad ggiungere un verice pozzo ed archi da a egnare una capacià a ui gli archi G G G Maximum Biparie Maching e Max-flow Maximum Biparie Maching e Max-flow Coruzione di G a parire da G(V,E): ggiungere un verice orgene ed archi da ad endere direi ui gli archi in E: da ad ggiungere un verice pozzo ed archi da a egnare una capacià a ui gli archi Corripondenza di maching in G con flui in G Per ogni maching di cardinalià M c è un fluo di valore v(f)= M in G G G G G M = v(f)=

27 Maximum Biparie Maching e Max-flow Maximum Biparie Maching e Max-flow Corripondenza di maching in G con flui in G Per ogni maching di cardinalià M c è un fluo di valore v(f)= M in G Corripondenza di maching in G con flui in G Per ogni maching di cardinalià M c è un fluo di valore v(f)= M in G Per ogni fluo a valori ineri in G c è un maching in G con M =v(f) cioè f(e) è un inero per ogni arco G G G G M = v(f)= M = v(f)= Maximum Biparie Maching e Max-flow Maximum Biparie Maching e Max-flow Corripondenza di maching in G con flui in G Per ogni maching di cardinalià M c è un fluo di valore v(f)= M in G Per ogni fluo a valori ineri in G c è un maching in G con M =v(f) G un olo arco enrane con capacià per ogni nodo in G un olo arco ucene con capacià per ogni nodo in Corripondenza di maching in G con flui in G Per ogni maching di cardinalià M c è un fluo di valore v(f)= M in G Per ogni fluo a valori ineri in G c è un maching in G con M =v(f) Nell algorimo di Ford-Fulkeron u G : fluo f(e) {, per ogni arco e G G f M = v(f)= M = v(f)=

28 Maximum Biparie Maching e Max-flow Maximum Biparie Maching e Max-flow Il fluo è maimo. Perchè? Il fluo è maimo. Perchè? nodi raggiungibili da nel grafo reiduale G f = nodi gialli G G f G G f M = v(f)= M = v(f)= Maximum Biparie Maching e Max-flow Maximum Biparie Maching: Eercizio Il fluo è maimo. Perchè? nodi raggiungibili da nel grafo reiduale G f = nodi gialli Capacià aglio (nodi gialli, nodi roi) in G = Gli archi uceni dal aglio ono egnai con G G f Calcolare il Maximum Maching ul grafo bipario: B C D E F

29 Maximum Biparie Maching: Eercizio Maximum Biparie Maching: Eercizio Grafo reiduale dopo i primi cammini aumenani: B B orgene C D pozzo C D E E F F a capacià di ogni arco è c(e)= Spring Maximum Biparie Maching: Eercizio Maximum Biparie Maching: Eercizio Grafo reiduale dopo i primi cammini aumenani: Il eo cammino aumenane: -D----C-- B B C D C D E E F F Spring Spring

30 Maximum Biparie Maching: Eercizio Maximum Biparie Maching: Eercizio Grafo reiduale dopo i primi cammini aumenani: Maximum flow: B B C D C D E E F F Non ci ono più cammini aumenani. Nodi raggiungibili da nel grafo reiduale = {. Capacià aglio ({,V-{)=. Spring Spring Maximum Biparie Maching: Eercizio iepilogo Cap., Nework Flow Maximum Maching:. The Maximum-Flow Problem and he Ford-Fulkeron lgorihm. Maximum Flow and Minimum Cu in a Nework. Chooing Good ugmening Pah. The Preflow-Puh Maximum-Flow lgorihm (no). Fir pplicaion: The Biparie Maching Problem B C D E F Spring