UNIVERSITÀ DI ROMA ``TOR VERGATA'

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1 Algorimi e sruure di dai Corso di Laurea in Informaica Dispense aa 0-0 Giorgio Gambosi UNIVERSITÀ DI ROMA ``TOR VERGATA''

2 Indice Indice Problemi di flusso su rei Definizioni Algorimo greedy per max-flow Teorema di Ford e Fulkerson 6 Algorimo di Ford e Fulkerson 9 Decomposizione del flusso 6 Algorimi polinomiali per max-flow 6 7 Applicazioni del massimo flusso 8 Problemi Randomizzazione e analisi ammorizzaa 7 Quickselec 0 Randomizzazione Lise randomizzae Analisi ammorizzaa 7 Tecniche di analisi ammorizzaa 7 6 Splay rees 0 7 Algorimi on-line e analisi compeiiva 8 Lise ad auo-organizzazione

3 Capiolo Problemi di flusso su rei Definizioni Una ree N è una quadrupla G, s,, c, dove G = (V, E) è un grafo orienao s V è un nodo di V, deo sorgene (source), avene solano archi usceni V è un nodo di V, deo desinazione (arge), avene solano archi enrani c : E R + associa ad ogni arco e = (u, v) E una capacià c(e), o c(u, v) Un flusso su una ree N è una funzione f : E R + In flusso è ammissibile se sono verificae le condizioni segueni: Limie per la capacià: il flusso su un arco è al più pari alla sua capacià e E, 0 f(e) c(e) Conservazione del flusso: ad eccezione di s e, il flusso enrane in un nodo è pari a quello uscene v V {s, }, f(v, x) = f(x, v) (v,x) E (x,v) E Il valore di un flusso f è definio come il flusso uscene dalla sorgene v(f) = (s,x) E f(s, x) Per comodià di noazione, nel seguio, per ogni sooinsieme U V di nodi, indicheremo con I(U) ed O(U) gli insiemi di archi enrani in U e usceni da esso Più formalmene, I(U) = {(u, v) E : u V U, v U} e O(U) = {(u, v) E : u U, v V U} Inolre, nel caso paricolare in cui U = {u}, scriveremo I(u), O(u) per indicare l'insieme degli archi enrani ed usceni da u Possiamo allora scrivere v(f) = e O(s) f(e) Dao che ui i nodi inerni (diversi da s, ) conservano il flusso, dovrà necessariamene aversi che il flusso uscene dalla sorgene deve essere pari al flusso enrane nella desinazione

4 Definizioni Teorema Per ogni flusso ammissibile f, v(f) = f(e) = f(e) e O(s) e I() Dimosrazione Per il vincolo di conservazione del flusso, v(f) = f(e) e O(s) = f(e) f(e) f(e) e O(s) v V {s,} e I(v) e O(v) (per ogni nodo diverso da s e flusso in enraa e in uscia sono uguali) = (f(e) f(e)) + f(e) e E I() e I() (per ogni arco (u, v) non enrane in il suo flusso compare in uscia per u e in enraa per v) = f(e) e E I() Un aglio (cu) ra s e è un sooinsieme A V dei nodi della ree ale che s A e V A La capacià c(a) del aglio A è definio come la somma delle capacià di ui gli archi e O(A) usceni da A (e quindi enrani in V A, ali cioè che e I(V A)) c(a) = c(e) e O(A) Generalizzando il eorema precedene, possiamo mosrare che un flusso ammissibile deve araversare qualunque aglio della ree Teorema Per ogni flusso ammissibile f e per ogni aglio A, v(f) = f(e) f(e) e O(A) e I(A) Dimosrazione La dimosrazione è del uo simile a quella del Teorema : infai, ancora per il vincolo di conservazione del flusso, v(f) = f(e) e O(s) = e O(s) = f(e) v A {s} e A (f(e) f(e)) + e I(v) e O(A) f(e) f(e) e O(v) e I(A) f(e) (il flusso di un arco ra due nodi (v, v ) in A compare due vole: sommao, quando uscene da v e sorao, quando enrane in v Il flusso di un arco uscene da A compare solano sommao, quello di un arco enrane in A solano sorao) = f(e) f(e) e O(A) e I(A) f(e)

5 Algorimo greedy per max-flow Dao che un flusso ammissibile deve araversare qualunque aglio, e per araversarlo deve avere valore inferiore alla capacià del aglio sesso, ne deriva che un flusso ammissibile deve avere valore inferiore alla capacià di qualunque aglio nella ree Teorema Per ogni flusso ammissibile f e per ogni aglio A, v(f) c(a) Dimosrazione L'enunciao deriva immediaamene osservando che v(f) = f(e) f(e) f(e) c(e) = c(a) e O(A) e I(A) e O(A) e O(A) Quindi, per un qualunque flusso ammissibile f, la capacià di un qualunque aglio s fornisce una delimiazione superiore di v(f) Daa una ree N, il problema del massimo flusso (max-flow) chiede di rovare il flusso ammissibile f di valore massimo Chiaramene, per il Teorema, abbiamo che max v(f) min c(a) () f ammissibile A V Una prima quesione è allora se in generale, in quesa relazione, vale l'uguaglianza Algorimo greedy per max-flow Consideriamo un semplice algorimo ``goloso'' (greedy) per rovare il massimo flusso L'algorimo, ieraivamene, verifica se esise un cammino (orienao) da s a i cui archi sono ui non sauri (diciamo che una arco e è sauro se f(e) = c(e), e quindi se il flusso su e non può aumenare): in queso caso, diciamo che il cammino è non sauro Se ale cammino esise, il flusso lungo esso viene incremenao per quano possibile, in modo da renderlo sauro, alrimeni l'algorimo ermina Algorihm : Algorimo greedy per maxflow Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + Oupu: Flusso f : E R + da s a foreach e E do f(e) 0; while esise un cammino P da s a con µ P = min e P (c(e) f(e)) > 0 do foreach e P do f(e) f(e) + µ p ; reurn f Possiamo facilmene verificare che l'algorimo non resiuisce necessariamene il flusso massimo Infai come vediamo, la sua applicazione alla ree in Figura può porare a selezionare, come cammino da saurare, quello evidenziao in Figura, giungendo ad una siuazione in cui non esisono alri cammini non sauri e si ha v(f) = Come si può osservare in Figura, esise però una soluzione migliore (e oima) con v(f) =

6 Teorema di Ford e Fulkerson 0/ 0/ s 0/ 0/ 0/ Figura : Esempio di ree / 0/ s / 0/ / Figura : Possibile cammino saurao dall'algorimo: v(f) = / / s 0/ / / Figura : Soluzione con flusso massimo: v(f) = Teorema di Ford e Fulkerson Al fine di individuare un algorimo che effeivamene resiuisca sempre il flusso massimo, orniamo alla quesione se la relazione ra valori del massimo flusso e del minimo aglio dell'equazione sia effeivamene un'uguaglianza Possiamo mosrare, nel seguene classico eorema, che la risposa a ale domanda è affermaiva Teorema (Ford, Fulkerson) Per ogni ree N, il valore del massimo flusso è uguale a quello del aglio minimo max v(f) = min c(a) f ammissibile A V Al fine di dimosrare il Teorema, inroduciamo il conceo di ree residua Definizione Daa una ree N e un flusso ammissibile f su N, la ree residua N f è la quadrupla G f, s,, c f, dove G f = (V, E f ), con E f = {(u, v) E : f(u, v) < c(u, v)} {(u, v) : (v, u) E, f(v, u) > 0} per ogni (u, v) E f, c f (u, v) = c(u, v) f(u, v) e c(v, u) = f(u, v) Chiamiamo gli archi in N f archi residui e capacià residue le relaive capacià, definie da c f N f rappresena, con la sua sruura, come sia possibile modificare la disribuzione di flusso su N Essa comprende, come definio sopra, due ipi di archi: 6 archi di N su cui è ancora possibile inviare flusso: un arco di queso ipo ha una capacià residua pari alla differenza ra la sua capacià e il flusso che lo araversa

7 Teorema di Ford e Fulkerson archi opposi agli archi di N che rasporano flusso: un arco di queso ipo ha capacià residua pari al flusso dell'arco di N a cui è opposo Quindi, ogni arco (u, v) di N è rappresenao in N f nel modo seguene se f(u, v) = 0, e quindi l'arco non raspora flusso, mediane un arco (u, v) di capacià c f (u, v) = c(u, v) se f(u, v) = c(u, v), e quindi l'arco è sauro, mediane un arco (v, u) di capacià c f (v, u) = f(u, v) = c(u, v) alrimeni, se l'arco raspora flusso ma non è sauro, mediane un arco (u, v) di capacià c f (u, v) = c(u, v) f(u, v) e un arco (v, u) di capacià c f (v, u) = f(u, v) Si noi che la somma delle capacià residue degli archi (al più due) di N f corrispondeni ad un arco di N è invariabilmene pari alla sua capacià: la presenza di un flusso che lo araversa deermina solano la riparizione della capacià ra i due archi opposi di N f Per ogni arco (u, v) E non sauro (per cui quindi f(u, v) < c(u, v)) la capacià residua c f (u, v) dell'arco è la quanià di flusso che è ancora possibile inviare su (u, v), menre la capacià residua dell'arco opposo c f (v, u) è la quanià di flusso che è possibile sorarre da (u, v) Definizione Daa una ree N e un flusso f, un cammino aumenane è un cammino da s a in N f / / / 0/ / s / / / / / / / 0/ Figura : Esempio di flusso su ree b g s c h f l Figura : Ree residua Daa una ree N e un flusso f, assumiamo che esisa un cammino aumenane in N f e sia µ P = min e P c f (e) la minima capacià residua sugli archi di P Definiamo un nuovo flusso f su E nel modo seguene: 7

8 Teorema di Ford e Fulkerson b g s c h f l Figura 6: Cammino aumenane f (u, v) = f(u, v) + µ p se (u, v) P f (u, v) = f(u, v) µ p se (v, u) P f (u, v) = f(u, v) alrimeni Chiaramene, f è un flusso ammissibile: infai, la condizione sulla capacià dei nodi è soddisfaa in quano, per ogni arco (u, v) P dove viene incremenao, il flusso non supera, per definizione di µ P la capacià dell'arco Inolre, per ogni arco (u, v) ale che (v, u) P dove viene decremenao, il flusso non decresce, ancora per definizione di µ P, olre lo 0 Infine, la conservazione del flusso è manenua, in quano in ogni nodo ineressao (quelli sul cammino P ) si ha il medesimo incremeno del flusso in enraa e in uscia Inolre, è evidene che v(f ) = v(f) + µ P Possiamo allora dimosrare il seguene eorema Teorema Daa una ree N e un flusso ammissibile f, le segueni condizioni sono equivaleni: f è un flusso massimale Non esisono cammini aumenani in N f Esise un aglio A ale che v(f) = c(a) Dimosrazione Mosriamo l'equivalenza dimosrando che = = = 8 = : infai abbiamo già mosrao poco sopra l'implicazione equivalene =, in cui dalla presenza di cammini aumenani deriva che il flusso non è massimale = : chiamiamo S f l'insieme dei nodi raggiungibili da s in G f Sicuramene S f perché alrimeni esiserebbe un cammino aumenane Possiamo osservare che per ogni (u, v) E per cui u S f e v S f, si ha ceramene f(u, v) = c(u, v), in quano alrimeni l'arco (u, v) sarebbe presene in G f con capacià residua c f (u, v) = c(u, v) f(u, v) > 0, per cui v sarebbe raggiungibile da s, conraddicendo l'ipoesi che v S f Inolre, per ogni (u, v) E per cui u S f e v S f deve essere f(u, v) = 0, in quano alrimeni in G f sarebbe presene l'arco (v, u) con capacià residua f(u, v) > 0, per cui u sarebbe raggiungibile da s, conraddicendo ancora l'ipoesi che u S f Per il Teorema, abbiamo che v(f) = f(e) e O(S f ) e I(S f ) f(e) ma, dao che f(e) = c(e) per ogni arco e che collega un nodo di S f ad uno di V S f, ne deriva che e O(S f ) f(e) = e O(S f ) c(e); inolre, per ogni arco e che collega un nodo di V S f ad un nodo di

9 Algorimo di Ford e Fulkerson S f, abbiamo che f(e ) = 0, per cui e I(S f ) f(e) = 0 e quindi, in definiiva, v(f) = e O(S f ) c(e) = c(s f ) = : per il Teorema, v(f) non può essere maggiore della capacià di un qualunque aglio su V Dao che, per ipoesi, v(f) = c(s f ), ne deriva che v(f) è il valore massimo possibile per un flusso ammissibile su N La dimosrazione del Teorema deriva immediaamene osservando che S f deve essere necessariamene un aglio di capacià minima, in quano alrimeni, deo M il aglio di capacià minima c(m) < c(s f ) il flusso massimo f avrebbe valore v(f) > c(m), conraddicendo il Teorema Algorimo di Ford e Fulkerson Le osservazioni precedeni permeono di definire un algorimo per il calcolo del massimo flusso in una ree Algorihm : Algorimo di Ford e Fulkerson per il massimo flusso Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + Oupu: Flusso f : E R + da s a foreach e E do f(e) 0; Deriva N f ; while esise un cammino aumenane da s a in N f do Prendi un qualunque cammino aumenane P ; foreach (u, v) P do 6 if (u, v) E hen f(e) f(e) + min e P c f (e); 7 else f(e) f(e) min e P c f (e) 8 Aggiorna N f 9 reurn f In Figura 7 viene mosraa la ree residua derivane da quella in Figura aumenando il flusso lungo il cammino aumenane in Figura 6 In Figura 8 viene rappresenao il flusso corrispondene: si può osservare come il valore del flusso da s a sia aumenao da a 6 b s c h f l g Figura 7: Ree residua successiva 9

10 Algorimo di Ford e Fulkerson / / / / / s / / / / 0/ / / 0/ Figura 8: Flusso corrispondene alla ree residua di Figura 7 Per il Teorema, se l'algorimo si ferma, non rovando cammini aumenani, il flusso oenuo è massimale Si osservi però che, in presenza di flussi e capacià definie sui reali, l'incremeno di flusso ad ogni singolo passo, pur necessariamene posiivo, può endere a 0 e l'algorimo può non erminare, approssimando asinoicamene, all'infinio, il valore del flusso massimale Tale siuazione può verificarsi, ad esempio, per la ree in Figura 9, in cui con r abbiamo indicao la soluzione posiiva dell'equazione x + x = 0, vale a dire r = 068 (incidenalmene, ale valore è l'inverso della sezione aurea ϕ = + ) Si noi che, per definizione, r = r e che, in generale, r n+ = r n r n+ per n Si noi che il flusso massimo ha valore v(f ) = + r + r = + r + r a + r d + r + r s + r b e + r r + r + r + r c r + r + r f Figura 9: Esempio di ree su cui l'algorimo di Ford e Fulkerson converge all'oimo in infinii passi Assumiamo che il primo cammino aumenane selezionao dall'algorimo corrisponda a s a d : assegnare agli archi su ale cammino la capacià residua minima su di essi (pari a ), pora alla siuazione in Figura 0, in cui ad ogni arco è associaa la capacià residua, e ad un flusso di valore v(f) = Assumiamo ora che il nuovo cammino aumenane selezionao dall'algorimo sia s c f d a b e : con capacià residua minima pari a r : ciò pora alla siuazione in Figura, in cui ad ogni arco è associaa la capacià residua (ricordando che r r = r ), e ad un flusso di valore v(f) = + r Assumiamo ora che il nuovo cammino aumenane selezionao dall'algorimo sia s b e f c a d : con capacià residua minima pari a r : ciò pora alla siuazione in Figura, in cui ad ogni arco è associaa la capacià residua (ricordando che r r = r ), e ad un flusso di valore v(f) = + r + r Assumiamo ora che il nuovo cammino aumenane selezionao dall'algorimo sia s a d e b c f : con capacià residua minima pari a r : ciò pora alla siuazione in Figura, in cui ad ogni arco è associaa la capacià residua (ricordando che r r = r ), e ad un flusso di valore v(f) = + r + r + r 0

11 Algorimo di Ford e Fulkerson + r + r a 0 + r d + r + r s + r b e + r r + r + r + r c r + r + r f Figura 0: Ree precedene con flusso assegnao dopo un passo dell'algorimo di Ford e Fulkerson + r + r a r + r d + r + r s + r b e + r r + r + r + r + r + r c f 0 Figura : Ree precedene con flusso assegnao dopo due passi dell'algorimo di Ford e Fulkerson + r + r a r + r d + r + r s + r b e + r 0 + r + r + r c r + r + r f Figura : Ree precedene con flusso assegnao dopo re passi dell'algorimo di Ford e Fulkerson Proseguendo allo sesso modo, il flusso aggiuno dal k-esimo cammino aumenane ha valore r k Quindi, dopo k ierazioni, il flusso ha valore v(f k ) = + k r i = r + i= k i=0 Per k che ende ad infinio, abbiamo allora che r i = rk+ r r lim v(f k) = k r r = r + r ( r) = = r r per cui il valore del flusso ende, in un numero infinio di passi, al valore del flusso massimo La possibilià di una convergenza all'oimo solano in un numero infinio di passi viene esclusa se ci si limia a considerare capacià definie su insiemi discrei, come ad esempio gli ineri

12 Algorimo di Ford e Fulkerson + r + r a 0 + r d + r + r s + r b e + r r + r + r + r c r + r + r f Figura : Ree precedene con flusso assegnao dopo quaro passi dell'algorimo di Ford e Fulkerson Teorema 6 Se c(e) N per ui gli archi e E, allora l'algorimo ermina dopo un numero finio di passi Dimosrazione Dao che le capacià degli archi di G sono inere, sono ineri anche i valori dei flussi e le capacià degli archi di N f Quindi, se esise un cammino aumenane, il suo arco di capacià minima avrà capacià inera, e quindi il flusso di ui gli archi o rimane immuao (se gli archi non apparengono al cammino aumenane) o viene incremenao di un valore inero (se sono sul cammino) Dao che v(f) e O(s) c(e), ne consegue che v(f) può essere incremenao al più e O(s) c(e) < vole Trovare un cammino aumenane su N f richiede una visia in ampiezza del grafo, e quindi empo O( E f ) = O( E ) Di conseguenza, l'algorimo ha complessià O(v(f ) E ), dove f è il flusso massimo Si noi che l'algorimo non è quindi polinomiale nella dimensione dell'inpu (che ha dimensione Θ( E (log V + log c max ))), dove c max è il valore della massima capacià di un arco in N Un esempio di ree con capacià inere per la quale l'algorimo si compora in modo inefficiene è mosraa in Figura M a s M M M b Figura : Esempio di ree su cui l'algorimo di Ford e Fulkerson richiede empo esponenziale Supponiamo che il primo cammino aumenane selezionao sia s a b, araverso il quale è possibile inviare un flusso di valore uniario La ree residua derivane è mosraa in Figura, in cui ad ogni arco è associaa la capacià residua Il valore del flusso è v(f) = Se il successivo cammino aumenane selezionao è s b a, araverso il quale è possibile inviare un flusso di valore uniario, ne deriva la ree ree residua in Figura 6, in cui ad ogni arco è associaa la capacià residua Il valore del flusso è v(f) = Ierando i passi precedeni, abbiamo che ad ogni ierazione il flusso aumena di unià Dao che il flusso massimo è chiaramene pari a M (il valore del aglio minimo), ne deriva che l'algorimo di Ford e Fulkerson esegue M ierazioni

13 Decomposizione del flusso a M M s 0 M M b Figura : Ree precedene con flusso assegnao dopo un passo dell'algorimo di Ford e Fulkerson a M M s M M b Figura 6: Ree precedene con flusso assegnao dopo due passi dell'algorimo di Ford e Fulkerson Decomposizione del flusso Al fine di definire algorimi polinomiali per il problema del massimo flusso, è necessario selezionare il cammino aumenane in modo oculao e al empo sesso efficiene Prima di considerare vari modi di far queso, mosriamo che una scela sufficienemene oculaa può consenire di avere ad ogni ierazione un aumeno significaivo del flusso, nel senso che esise sempre un cammino aumenane la cui selezione porerebbe a ale incremeno Per mosrare ciò, inroduciamo per prima cosa il eorema seguene, che ci dice che un flusso ammissibile può essere decomposo su un insieme opporuno di cicli e cammini s Teorema 7 (Flow decomposiion) Dao un flusso ammissibile f, esise un insieme di cammini P, un insieme di cicli C e una assegnazione di pesi w : P C R +, che inerpreiamo come flussi lungo cammini e cicli, ali che: e E, f(e) = p PC(e) w(p), dove PC(e) = {p P C : e p}: in alri ermini, il flusso su ogni arco può essere decomposo nella somma dei flussi associai a ui i cammini e i cicli che includono l'arco sesso v(f) = p P w(p): il flusso oale da s a è decomposo nella somma dei flussi lungo ui i cammini P + C E f, dove E f = {e E : f(e) > 0} è l'insieme degli archi aveni flusso posiivo: vale a dire, il numero di cicli e cammini non supera quello degli archi che rasporano flusso Dimosrazione La dimosrazione è effeuaa per induzione sul numero di archi e E f Caso base f(e) = 0 per ogni e E, per cui E f = Allora il lemma è banalmene verificao per P, C = Passo induivo Assumiamo che le condizioni del eorema siano verificae per ogni flusso avene valore posiivo su k archi Consideriamo un qualunque flusso f avene valore posiivo su k + archi Sia (u, v) E un arco con f(u, v) > 0 Se v, per il vincolo di conservazione del flusso al nodo v esise un nodo x ale che f(v, x) > 0 Simmericamene, se u s esise y V ale che f(y, u) > 0 Ierando la sessa

14 Decomposizione del flusso considerazione per x e y, oeniamo o un cammino da s a o un ciclo, che in enrambi i casi indichiamo come p Poso w(p) = min e p f(e), consideriamo il flusso f definio nel modo seguene: { f f(i, j) w(p) (i, j) p (i, j) = f(i, j) alrimeni f (i, j) è quindi il flusso oenuo riducendo al massimo quano rasporao lungo p Queso insieme esise e soddisfa le re proprieà dell'enunciao, in quano f ha almeno un arco con flusso posiivo in meno di f (quello di flusso minimo in p) Indichiamo con PC l'insieme di cicli e cammini associao a f e con w la relaiva funzione di peso Definendo PC = PC {p} e w(p) = w (p) per ogni p PC, possiamo osservare che: la proprieà vale anche per f: infai, per ogni e p si ha che f(e) = f (e) per definizione di f e PC(e) = PC (e), menre se e p allora f(e) = f (e) + w(p) e PC(e) = PC (e) {p} la proprieà valeper f in quano se p P allora P = P {p} e v(f) = v(f ) + w(p) = p P w(p) + w(p) = p P w(p) menre se se p C allora P = P e v(f) = v(f ) infine, per quano riguarda la proprieà, basa osservare che, nel passare da f a f, il numero complessivo di cammini e cicli è aumenao di (p), menre il numero di archi con flusso posiivo è aumenao di almeno (l'arco di flusso minimo in p) Possiamo allora derivare immediaamene il eorema seguene, che ci dice che esise sempre un cammino da s a sul quale viene rasporaa una frazione significaiva del flusso massimo Teorema 8 Daa una ree N di flusso massimo f esise un cammino da s a i cui archi hanno assegnao ciascuno un flusso di valore almeno v(f ) E Dimosrazione Per il Teorema 7, esise in N un insieme P di cammini da s a che si ripariscono l'inero f Quindi, esise un cammino p i P con assegnao un flusso f i ale che v(f i ) v(f ) P v(f ) E dao che E E f P + C P Dao che ogni arco su un cammino che pora flusso f deve necessariamene avere un flusso di valore almeno pari a v(f), ne deriva l'enunciao Il Teorema 7 ci dice che qualunque flusso può essere decomposo in un insieme di cammini da s a e un insieme di cicli (al più ani quani sono gli archi del grafo), ognuno con flusso associao w, in modo ale che il flusso su un arco è dao dalla somma dei flussi sui cammini e sui cicli cui l'arco appariene Il eorema seguene ci dice che il problema del massimo flusso si riduce a sé sesso quando da una ree si sorae un flusso Teorema 9 Sia daa una ree N di flusso massimo f e sia f un flusso su essa Allora, il flusso massimo sulla ree N oenua ponendo per ogni arco e la relaiva capacià come c (e) = c(e) f(e) ha valore v(f ) v(f) Dimosrazione Come prima cosa, mosriamo che ogni flusso in N ha valore al più pari a v(f ) v(f) A al fine, consideriamo un qualunque flusso f in N e definiamo il flusso f come: f(e) = f(e) + f (e) e E

15 Decomposizione del flusso / / ṡ / 0/ / / / / / / / / 0/ (a) Esempio di flusso () s () 0 () 0 (b) Cammino () s 0 () () () () 0 (c) Cammino s () () () () (d) Cammino s () () () () (e) Cammino ṡ () () () () () (f) Cammino Figura 7: Esempio di decomposizione di flusso in cammini Il flusso f è quindi oenuo a parire da f, riprisinando il flusso f originariamene sorao da N: chiaramene, f è un flusso su N, in quano le condizioni di coninuià sui nodi e di rispeo delle capacià degli archi coninuano a valere Inolre, si ha che v(f) = v(f) + v(f ) per definizione e che v(f) v(f ) per la massimalià di f : da ciò deriva che v(f) + v(f ) v(f ) e quindi v(f ) v(f ) v(f) Definiamo ora il flusso ˆf come: ˆf(e) = f (e) f(e) e E Osserviamo che ˆf è un flusso in N, in quano ˆf(e) = f (e) f(e) c(e) f(e) Inolre, dao che v( ˆf) = v(f ) v(f) per definizione, ˆf è un flusso massimo in N Chiaramene, per definizione di ree residua, v(f ) v(f) è anche il massimo flusso nella ree residua N f corrispondene

16 Algorimi polinomiali per max-flow Algorimi polinomiali per max-flow Al fine di rendere più efficiene l'algorimo, dobbiamo effeuare, ad ogni ierazione, una scela oculaa del cammino aumenane, selezionando cammini che consenano un incremeno significaivo del flusso Cammino di capacià massima Una scela ragionevole appare quella di selezionare il cammino aumenane di capacià massima, oenendo l'algorimo Algorihm : Algorimo di cammino aumenane di massima capacià Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + Oupu: Flusso f : E R + da s a foreach e E do f(e) 0; Deriva N f ; while esise un cammino aumenane da s a in N f do Prendi il cammino aumenane P ale che min e P (c f (e)) è massimo; foreach (u, v) P do 6 if (u, v) E hen f(e) f(e) + min e P c f (e); 7 else f(e) f(e) min e P c f (e) 8 Aggiorna N f 9 reurn f Al fine di mosrare che l'algorimo opera in empo polinomiale, dimosriamo il seguene eorema Teorema 0 L'Algorimo calcola il flusso massimo f effeuando O( E log v(f )) ierazioni Dimosrazione Indichiamo con f i il flusso oale rovao dopo i ierazioni, e quindi dopo aver rovao i cammini aumenani (e aver aumenao il flusso per i vole) Mosriamo che nella ree residua oenua N fi il flusso massimo ha valore al più pari a ( v(f ) ) i E Noiamo che in generale, per il Teorema 9, il flusso complessivo ancora disponibile nella ree N fi è v(f ) v(f i ) e, per il Teorema 8, esise uno di ali cammini (che chiamiamo p i ) di capacià almeno pari al rapporo ra v(f ) v(f i ) e il numero di archi nella ree, che in una ree residua è al più E Quindi, il cammino aumenane in N fi corrispondene a p i ha capacià almeno v(f ) v(f i ) L'Algorimo, selezionando proprio ale cammino, fa sì E che 6 v(f i+ ) v(f i ) + v(f ) v(f i ) E

17 Algorimi polinomiali per max-flow Il flusso ancora disponibile dopo l'(i + )-esima ierazione è allora ( v(f ) v(f i+ ) v(f ) v(f i ) v(f ) ( ) + v(f i ) = (v(f ) v(f i )) ) E E ( (v(f ) v(f i )) ) E ( (v(f ) v(f i k )) ) k+ E Dao che inizialmene v(f 0 ) = 0, abbiamo che ( v(f ) v(f i+ ) v(f ) ) i+ E In generale, si ha che x e x se x 0,per cui ( v(f ) v(f i+ ) v(f ) ) i+ v(f )e i+ E = e log v(f ) i+ E E se i > E log v(f ) ne consegue che e log v(f ) i+ E <, quindi v(f ) v(f i+ ) < e di conseguenza v(f ) v(f i+ ) = 0 necessariamene, in quano le capacià e i flussi sono ineri per ipoesi In definiiva, abbiamo mosrao che l'algorimo in al più + E log f(v ) ierazioni raggiunge una siuazione in cui la ree residua non ha più cammini aumenani, e quindi il flusso rovao ha valore massimo v(f ) La complessià oale dell'algorimo dipende inolre dal coso della ricerca di un cammino di capacià massima, operazione effeuaa ad ogni ierazione Mosriamo ora che quesa ricerca può essere effeuaa mediane una semplice modifica dell'algorimo di Dijksra per la ricerca del cammino minimo ra s e, riporao come Algorimo Algorihm : Algorimo di Dijksra per la ricerca di un cammino minimo Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + ; Oupu: Cammino minimo da s a ; foreach v V {s} do d(v) ; d(s) 0; foreach v V do Inserisci v in una coda di priorià P Q con chiave d(v); π(v) nil; 6 while P Q do 7 Esrai da P Q il nodo u con d(u)minimo; 8 foreach v ale che (u, v) E do 9 if d(v) > d(u) + l(u, v) hen 0 d(v) d(u) + l(u, v); π(v) u; Decremena a d(v) la chiave di v in P Q; Sia P il cammino da a s definio dai punaori π; reurn il cammino inverso di P Come deo, l'algorimo di Dijksra può essere modificao in modo semplice per rovare il cammino di capacià massima in un grafo A al fine osserviamo che: nella ricerca di un cammino minimo il valore associao ad un cammino comprendene gli archi E P = {e,, e k } è dao da e E P l(e); nel ricerca di un cammino di capacià massima, il valore del cammino è min e EP c(e) 7

18 Algorimi polinomiali per max-flow nel primo caso cerchiamo un minimo, nel secondo un massimo L'Algorimo è basao su alcune caraerisiche del problema del cammino minimo, che sono valide ``muais muandis'' anche per il problema del cammino di capacià massima il coso di un cammino è monoono all'esendere del cammino sesso: ad esempio, per il cammino minimo, il coso di un cammino E P = {e,, e k } è almeno pari al coso del cammino E P = {e,, e }, con < k (per il cammino di capacià massima, è al più pari a ale valore) è possibile deerminare il coso di un cammino E P = {e,, e k } a parire dal coso del cammino E P = {e,, e k } e da l(e k ) (o c(e k )) Da quese considerazioni, deriva l'algorimo per la ricerca del cammino di capacià massima Algorihm : Algorimo di ricerca di un cammino aumenane di massima capacià Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + ; Oupu: Cammino di capacià massima P da s a ; foreach v V {s} do m(v) 0; m(s) ; foreach v V do Inserisci v in una coda di priorià P Q con chiave m(v); π(v) nil; 6 while P Q do 7 Esrai da P Q il nodo u con m(u) massimo; 8 foreach v ale che (u, v) E do 9 if m(v) < min{m(u), c(u, v)} hen 0 m(v) min{m(u), c(u, v)}; π(v) u; Incremena a m(v) la chiave di v in P Q; Sia P il cammino da a s definio dai punaori π; reurn il cammino inverso di P L'Algorimo ha la sessa sruura e la sessa complessià O(( V + E ) log V ) dell'algorimo, da cui deriva che l'algorimo ha complessià oale O(( V + E ) E log V log v(f )) La complessià oenua, come si può vedere, è funzione del valore del flusso oimo, che non è un dao in inpu del problema Possiamo però osservare, ad esempio, che v(f ) e O(s) c(e) e oenere così una uleriore delimiazione superiore O(( V + E ) E log V log e O(s) c(e)) di ale complessià Di seguio, viene illusrao l'effeo sulla ree di Figura dell'esecuzione dell'algorimo basao sui cammini di massima capacià In rosso è mosrao, di vola in vola, il cammino di capacià massima da s a Si noi che il massimo viene rovao uilizzando due cammini aumenani, in quano dopo due ierazioni non esisono più cammini da s a ṡ v(f) = 0 8

19 Algorimi polinomiali per max-flow v(f) = s v(f) = 7 s Cammino δ-aumenane Una variane della ricerca del cammino aumenane di massima capacià è cosiuia dal limiarsi a selezionare un cammino di capacià ``sufficienemene grande'', in modo ale da incremenare comunque il flusso di una quanià significaiva, anche se non la massima possibile Se un cammino di queso ipo non viene rovao (nel senso che ui i cammini disponibili hanno capacià limiaa), allora possiamo verificare che il valore del flusso auale è vicino al massimo Definizione Un cammino P da s a viene deo δ-aumenane se è aumenane e ui i suoi archi hanno capacià almeno δ: cioè, se e P, c(e) δ L' Algorimo 6 di capaciy scaling opera cercando ieraivamene cammini δ-aumenani, facendo endere δ a 0 Ad ogni ierazione, l'algorimo verifica la presenza di un cammino aumenane di capacià almeno δ (inizialmene, δ è circa pari alla capacià dell'arco di capacià massima) Se ale cammino esise, viene selezionao e flusso e ree residua vengono aggiornai, alrimeni, il valore di δ viene dimezzao L'algorimo ermina quando non esisono più cammini aumenani La ricerca, dao δ, di un cammino aumenane di capacià almeno δ può essere effeuaa mediane una semplice modifica dell'algorimo di visia di un grafo in cui si considerano i soli archi di capacià almeno δ Teorema L'Algorimo 6 deermina il flusso oimo di una ree N in empo O(( V + E ) E log C), dove C = max e E c(e) Dimosrazione Chiaramene l'algorimo, procedendo fino a che esisono cammini aumenani, rova il flusso oimo Per quano riguarda la complessià, assumiamo, per induzione, che, nel momeno in cui l'algorimo cerca cammini di capacià almeno δ, non ne esisano di capacià δ Ciò è banalmene verificao all'inizio, quando δ = log C > log C = C Dao che, per ogni cammino di capacià pari almeno a δ esise almeno un arco con ale capacià, ne consegue che il numero di cammini individuai per ogni δ non può essere superiore a E (si ricordi che N f può avere fino 9

20 Algorimi polinomiali per max-flow Algorihm 6: Algorimo di cammino δ-aumenane Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + Oupu: Flusso f : E R + da s a C max e E c(e); δ log C ; foreach e E do f(e) 0; Deriva N f ; while esise un cammino aumenane da s a in N f do 6 if esise un cammino δ-aumenane P hen 7 foreach (u, v) P do 8 if (u, v) E hen f(e) f(e) + δ; 9 else f(e) f(e) δ 0 else δ δ/; Aggiorna N f reurn f a E archi) Le capacià di ui i cammini sono almeno dimezzae, dao che le loro capacià erano, per l'ipoesi induiva, minori di δ Per ogni δ, possono essere quindi effeuae al più E ricerche di cammini di capacià almeno δ Ognuna di ali ricerche può essere effeuaa per mezzo di una visia in ampiezza di N f, e quindi in empo O( V + E ) Il numero di valori δ considerai è al massimo O(log C), per cui la complessià oale risula in effei O(( V + E ) E log C) e, assumendo che la ree sia connessa, O( E log C) Di seguio, viene illusrao l'effeo sulla ree di Figura dell'esecuzione dell'algorimo basao sui cammini δ-aumenani In rosso è mosrao, di vola in vola, il cammino δ-aumenane selezionao, sulla ree oenua eliminando ui gli archi di capacià inferiore a δ v(f) = 0 ṡ δ = s 0

21 Algorimi polinomiali per max-flow s v(f) = δ = ṡ δ = ṡ s v(f) = 6 δ = ṡ

22 Algorimi polinomiali per max-flow δ = s v(f) = 7 ṡ Cammino di lunghezza minima Si può osservare che sia la complessià sia dell'algorimo che quella dell'algorimo 6 dipendono dai valori numerici (le capacià degli archi) in inpu Possiamo però eliminare quesa dipendenza, oenendo un algorimo foremene polinomiale (srongly polynomial) araverso una semplice variane dell'algorimo di Ford e Fulkerson (), dea Algorimo di Edmonds e Karp, in cui ad ogni ierazione, il cammino aumenane in N f è ricercao mediane una visia in ampiezza Quindi, l'algorimo, riporao come Algorimo 7, seleziona, ad ogni ierazione, il cammino aumenane che araversa il minimo numero di archi Come si può vedere, l'algorimo ha la sruura dell'algorimo, così come dell'algorimo : l'unica differenza consise nelle modalià di scela del prossimo cammino aumenane da considerare Algorihm 7: Algorimo di cammino aumenane di lunghezza minima Inpu: G = (V, E), s, V, c : E R + Oupu: Flusso f : E R + da s a foreach e E do f(e) 0; Deriva N f ; while esise un cammino aumenane da s a in N f do Prendi il cammino aumenane P ale che P è minima; foreach (u, v) P do 6 if (u, v) E hen f(e) f(e) + min e P c f (e); 7 else f(e) f(e) min e P c f (e) 8 Aggiorna N f 9 reurn f Un algorimo srongly polynomial ha complessià che non dipende dai valori numerici in inpu, assumendo che una operazione arimeica richieda empo cosane

23 Algorimi polinomiali per max-flow Essendo una specifica implemenazione dell'algorimo di Ford e Fulkerson, sappiamo che l'algorimo 7 fornisce il flusso massimo in N Per quano riguarda la sua complessià compuazionale, vale il seguene eorema Teorema La lunghezza del cammino minimo da s a in N f ha un andameno monoono non decrescene al susseguirsi delle ierazioni Inolre, non si possono avere più di E ierazioni (necessariamene consecuive) in cui il valore di ale grandezza rimane immuao Dimosrazione Assumiamo che, dopo T ierazioni, il cammino minimo nella ree residua N f abbia lunghezza l Effeuando una visia in ampiezza a parire da s, oeniamo una parizione di V {s} in l sooinsiemi V, V,, V l, dove V i è l'insieme dei nodi a disanza i da s Si può osservare che, per le proprieà della visia in ampiezza, per ogni arco (u, v), se u V i e V V j, allora necessariamene j i + : chiamiamo arco forward un arco ale che j = i +, un arco quindi che fa incremenare la disanza da s Un cammino minimo da s a deve evidenemene essere composo da soli archi forward (Figura 8) o, in modo equivalene, un cammino in cui compare un arco non forward non è minimo Nel corso del T + -esima ierazione un cammino di lunghezza l viene selezionao in N f, e il flusso su ui i suoi archi viene incremenao il massimo possibile, vale a dire della capacià residua minima lungo il cammino Di conseguenza almeno un arco nel cammino viene ad avere capacià residua nulla e quindi non compare nella ree residua risulane Inolre, per definizione di N f, per ogni arco (u, v) del cammino, che ha capacià residua c(u, v) f(u, v) esise l'arco opposo (v, u), con capacià residua f(u, v), se f(u, v) > 0 Per ogni arco nella nuova ree residua coninua ad essere verificaa la proprieà di incremenare la disanza da s di al più, in quano i nuovi archi che sono evenualmene sai inrodoi sono necessariamene archi opposi a quelli del cammino: di conseguenza, la disanza da s a non è ceramene diminuia Osserviamo ora che, nel caso in cui la disanza sia immuaa, il nuovo cammino minimo avrà la sessa lunghezza del cammino minimo precedene, per cui userà solano archi forward già preseni nella ree residua precedene (Figura 9) Quindi, per ue le ierazioni successive alla T -esima per le quali la disanza da s a rimane immuaa e pari ad l, esise un cammino aumenane di lunghezza minima che era già presene al momeno dell'ierazione T Dao che ad ogni ierazione esise almeno un arco che ha assegnao un flusso che saura la sua capacià, e che quindi non può più far pare di cammini di lunghezza l, ne deriva che il numero di ierazioni possibili su rei residue di disanza l da s a è al più pari a E s Figura 8: Cammino di lunghezza minima La disanza da s a è al più V quindi, per il Teorema, l'algorimo 7 esegue al più E ( V ) ierazioni, nell'ambio di ognuna delle quali viene eseguia una visia in ampiezza del grafo (in empo O( V + E )) Di conseguenza, la complessià oale è O( E V ( E + V )) e quindi O( E V ) assumendo nuovamene che la ree sia connessa Di seguio, viene illusrao l'effeo sulla ree di Figura dell'esecuzione dell'algorimo basao sulla ricerca del cammino di lunghezza minima In rosso è mosrao, di vola in vola, l'albero BFS individuao

24 Algorimi polinomiali per max-flow s Figura 9: Caso in cui l'eliminazione del cammino minimo non aumena la disanza ṡ v(f) = 0 l = ṡ v(f) = l = ṡ v(f) = l =

25 Applicazioni del massimo flusso v(f) = l = s v(f) = 7 s Applicazioni del massimo flusso Car sharing Supponiamo che n sudeni decidano, per un periodo di m giorni, di uilizzare a urno le proprie auomobili per andare a lezione Supponiamo anche ogni auo sia sufficienemene capiene da poer rasporare ui gli sudeni Non ui gli sudeni devono andare a lezione negli sessi giorni: in alri ermini, esise una funzione booleana che associa ad una coppia sudene-giorno il valore rue se lo sudene deve andare a lezione quel giorno e il valore false alrimeni Un esempio molo ridoo di ale problema, con n = e m = è riporao nella abella soosane, in cui per ogni giorno da Luned a Venerd viene riporao se lo sudene i-esimo (assumiamo i =,, ) deve andare a lezione Lu Ma Me Gi Ve X X X X X X X X X X X Vogliamo rovare una assegnazione ``equa'' dell'uilizzo delle auomobili, nel senso inuiivo che chi deve andare più spesso a lezione dovrà anche meere più spesso a disposizione la propria auomobile Possiamo assegnare ad ogni sudene un valore che misura la sua quoa di uilizzo del car sharing nel modo seguene: per ogni giorno, se k sono i viaggiaori, ognuno di essi riceve un valore pari a /k il valore oale T i assegnao ad uno sudene è pari alla somma dei valori ricevui ogni gionro La abella seguene mosra i valori nell'esempio considerao, l'ulima colonna specifica la quoa di uilizzo per ogni viaggiaore

26 Applicazioni del massimo flusso Lu Ma Me Gi Ve T / / / / / / / / / / /6 / / / / L'assegnazione che cerchiamo dovrà far s che il viaggiaore i non usi la propria auomobile per più di T i giorni, sugli m complessivi Modelliamo il problema soo forma di flusso su ree nel modo seguene: per l'insieme dei nodi si ha V = {s, r, } {v i, i =,, n} {d j, j =,, m} per l'insieme degli archi si ha che E include (s, r) di capacià m per i =,, m, (r, i ) di capacià T i per i =,, m, j =,, n ( i, d j ) di capacià per j =,, n, (d j, ) di capacià La ree relaiva all'esempio considerao è riporaa in Figura 0 Gli archi senza valori associai hanno capacià d d s r d d d Figura 0: Ree per l'esempio di car sharing Dao che le capacià degli archi della ree sono inere, il flusso massimo sarà inero Inolre, per ogni flusso ammissibile: 6 per ogni giorno, dao che in uscia da d i c'è capacià oale, al più un arco da un qualche viaggiaore j avrà flusso non negaivo; ale flusso sarà al più ( la capacià di ( j, d i )) e quindi, per il flusso massimo, esaamene Quindi, nella assegnazione corrispondene al flusso massimo, per ogni giorno c'è al più un viaggiaore associao (quello che uilizza la sua auo) per ogni viaggiaore i, si poranno avere, nel flusso massimo, al più ani archi usceni con flusso quana è la capacià dell'arco (d, i ) Quindi, nella assegnazione corrispondene al flusso massimo, ogni viaggiaore uilizza la sua auo per un numero di giorni non superiore al sua quoa di uilizzo del car sharing

27 Applicazioni del massimo flusso In definiiva, il flusso oimo della ree fornisce una assegnazione di guidaori a giorni che soddisfa in pare le condizioni pose (un viaggiaore non guida per più della sua quoa, per ogni giorno non ci sono più di un guidaore): dobbiamo però ancora mosrare che per ogni giorno c'è esaamene un guidaore assegnao Ciò è equivalene a verificare che v(f ) = m: dal Teorema, v(f ) è pari alla capacià del aglio minimo che separa s da ed è facile rendersi cono che i agli minimi nella ree, con capacià m, sono quello che aglia l'arco (s, r) e quello che aglia ui gli archi (d i, ) Flusso ammissibile In queso problema, consideriamo: un grafo G = (N, E) con archi di capacià c : E Z una funzione b : N Z, che possiamo inerpreare come offera (b(i) > 0) o domanda (b(i) < 0) di una deerminaa merce, e per la quale assumiamo v N b(v) = 0, l'equilibrio complessivo quindi ra domanda e offera Ci chiediamo se esise una modalià di rasferimeno della merce araverso gli archi del grafo che soddisfi per ogni nodo il limie poso dalla sua capacià e inolre faccia s che avvenga un rasferimeno perfeo della merce, che soddisfi ua la domanda In ermini più precisi, ci chiediamo se esise un flusso f ale che per ogni nodo v N, f(e) e O(v) e I(v) per ogni e E, 0 f(e) c(e) f(e) = b(v) In Figura viene mosraa una semplice isanza di esempio di queso problema: i valori b(v) sono mosrai all'inerno dei nodi corrispondeni Si noi che domanda e offera complessive sono uguali in modulo e pari a 9, Figura : Esempio di isanza di feasible flow Il problema può essere risolo in modo semplice araverso la ricerca di un flusso massimo su una ree oenua da G inroducendo i due nodi s e e, per ogni nodo v, se b(v) > 0 inserendo un arco (s, v) con c(s, v) = b(v), se b(v) < 0 inserendo un arco (v, ) con c(v, ) = b(v) La ree derivaa da quella in Figura è mosraa in Figura Possiamo osservare che: se esise un flusso ammissibile f sul grafo, allora lo sesso flusso eseso ponendo f(s, v) = b(v) per gli archi da s e f(v, ) = b(v) per gli archi verso, è un flusso massimo, in quano saura il aglio composo dal solo nodo s (e anche quello comprendene ui i nodi ecceo ) se il flusso massimo nella ree saura ui i nodi nel aglio comprendene il solo nodo s (e necessariamene anche quello comprendene ui i nodi ecceo ), lo sesso flusso, applicao ai soli nodi in N soddisfa le condizioni di flusso ammissibile 7

28 Applicazioni del massimo flusso s Figura : Isanza di max flow derivaa Quindi, per deerminare se esise un flusso ammissibile nel grafo G, è sufficiene verificare se il flusso massimo nella ree derivaa saura il aglio composo dal solo nodo s: equivalenemene, poremmo dire che esise un flusso ammissibile in G se e solo se il aglio composo dal solo nodo s è un aglio minimo che separa s da È facile verificare che il massimo flusso in Figura ha valore pari a 9, e quindi saura il aglio, dal che consegue che nell'esempio in Figura esise un flusso ammissibile Al conrario, l'isanza in Figura non ammee un flusso ammissibile in quano la ree derivaa, mosraa in Figura, ha valore del massimo flusso minore di 9, menre esise un aglio, mosrao in figura, che separa s da e ha capacià pari a Figura : Esempio di isanza negaiva di feasible flow s Figura : Isanza di max flow derivaa da isanza negaiva Il problema dei rappresenani Una cià ha r resideni R,, R r, q associazioni C,, C q e p parii poliici P,, P p Ogni residene è membro di almeno un'associazione e di esaamene un pario Ogni associazione deve nominare uno dei suoi membri come proprio rappresenane nel consiglio della cià, in modo che, per ogni pario P k, il numero di rappresenani non sia superiore a un valore predefinio u k > 0 Esise una scela dei rappresenani possibile? 8

29 Applicazioni del massimo flusso Daa una isanza del problema, è possibile cosruire una ree in cui N = {R,, R r, C,, C q, P,, P p, s, } e l'insieme degli archi è definio come segue (s, C k ) E per k =,, q, con c = (C i, R j ) E se R j appariene a C i, con c = (R i, P j ) E se R i appariene a P j, con c = (P k, ) E per k =,, p, con c = u k Ad esempio, consideriamo il caso in cui r = 7, q =, p = e valgono le segueni apparenenze, ad associazioni e parii: C = {R, R }, C = {R, R, R }, C = {R, R }, C = {R, R, R 6, R 7 } P = {R, R }, P = {R, R }, P = {R, R 6, R 7 } e assumiamo u =, u =, u = Ne deriva la ree in Figura, in cui archi non eicheai vanno considerai di capacià uniaria R C P R C R s R P C R C R 6 P R 7 Figura : Ree derivaa da isanza del problema dei rappresenani Possiamo mosrare che una scela dei rappresenani che soddisfi i vincoli è possibile se e solo se nella ree esise un flusso di valore pari a q (si osservi che non può esisere un flusso di valore maggiore, per il aglio {s}, avene capacià q) se esise una scela, allora per ogni C i esise esaamene un residene R j apparenene ad essa scelo: poniamo f = per gli archi (s, C i ), (C i, R j ), (R j, P k ), dove P k è il pario di apparenenza di R j Si noi che, in al modo, gli archi in uscia da s hanno ui flusso pari a, per ogni C i esise uno ed un solo arco uscene di flusso pari a, un R j ha flusso enrane e uscene pari a se e solo se è un residene scelo, il flusso enrane in P k è pari al numero di resideni sceli appareneni a quel pario, che per cosruzione è inferiore alla capacià dell'arco (P k, ) Ne deriva che il flusso è ammissibile e di valore pari a q se esise un flusso di valore pari a q, allora per ogni C i c'è uno e un solo arco uscene (C i, R j ) di flusso pari a R j è allora un residene scelo Per il bilanciameno del flusso a R j, l'unico arco uscene (R j, P k ) ha 9

30 Applicazioni del massimo flusso flusso pari a : quindi, per ogni P k, il flusso enrane e uscene è pari al numero di resideni sceli appareneni al k-esimo pario Dao che il flusso sull'arco (P k, ) deve essere non superiore alla sua capacià, ne deriva che il vincolo sul massimo numero di sceli da ogni pario è verificao Quindi, in definiiva, esise al meno un residene scelo per associazione (per l'ipoesi che il flusso sia pari a q), esise al più un residene scelo per associazione (per il vincolo sulla capacià degli archi usceni da s), ogni pario P k è rappresenao da al più u k appareneni (dal vincolo sulla capacià degli archi enrani in ) Problemi di maching Un accoppiameno (o maching) in un grafo è un insieme di coppie di nodi ale che ogni nodo compare in al più una coppia Più formalmene, dao un grafo non orienao G = (V, E) un accoppiameno è un sooinsieme degli archi M E ale che ogni nodo appare in al più un elemeno di M Se ogni nodo compare in esaamene un arco di M (e quindi ui i nodi sono accoppiai) il maching è deo perfeo Il problema del massimo accoppiameno chiede, dao un grafo G = (V, E), di rovare un maching di dimensione massima In quesa sede, consideriamo queso problema per una classe di grafi paricolari: i grafi biparii Un grafo non orienao G = (V, E) è deo bipario se esise una parizione (U, W ) di V, per cui quindi V = U W e U W =, ale che per ogni (u, v) E si ha u U e v W (o viceversa) Un esempio di grafo di queso ipo è dao in Figura 6 W W W W W W 6 W 7 U U U U U Figura 6: Esempio di grafo bipario Nel calcolo del maching massimo su un grafo bipario vogliamo quindi selezionare il più grande insieme di coppie (u i, w i ) ali che u i U, w i W e u i u j, w i w j, per i j Un esempio di maching massimo sul grafo bipario precedene è mosrao in Figura 7 W W W W W W 6 W 7 U U U U U Figura 7: Esempio di maching massimo Si noi che il problema del maching perfeo su un grafo bipario può essere facilmene risolo se si sa risolvere il problema del maching massimo, verificando che U = W e che il maching massimo includa U elemeni Il problema del maching massimo in un grafo bipario può essere rovao mediane riduzione al problema del massimo flusso Il conceo di riduzione è molo imporane nell'ambio della eoria degli algorimi e della eoria della complessià: sosanzialmene, esso ci descrive la possibilià di risolvere un problema P se si sa risolvere un diverso problema P Una riduzione da P a P opera nel modo seguene Assumiamo di avere una isanza x di P, allora: 0 x è rasformaa in una opporuna isanza y di P

31 Applicazioni del massimo flusso y è risola per mezzo di un algorimo per P, fornendo una soluzione s(y) la soluzione s(x) di x è derivaa da s(y) Nel caso che si sa considerando, un grafo bipario, isanza del problema del maching massimo in un grafo bipario, viene rasformao in una ree, isanza del problema del massimo flusso nel modo seguene: il grafo della ree N ha insieme dei nodi V = U W {s, } e insieme degli archi (orienai) E = {(u, w), u U, w W } {(s, u), u U} {(w, ), w W } La capacià degli archi di N è posa uniformemene pari a La ree derivaa dal grafo di esempio è daa in Figura 8 W W W W W W 6 W 7 U U U U U s Figura 8: Isanza di maxflow derivaa L'applicazione di un algorimo di maxflow sulla ree N fornirà un flusso massimo nel quale, necessariamene dao che le capacià sono ue uniarie, il flusso su ogni arco è 0 o Mosriamo che il maching massimo è dao dall'insieme delle coppie (u, w), u U, w W ali che f(u, v) = A al fine, mosriamo () che l'algorimo fornisce un maching e () che il maching fornio è oimo L'algorimo fornisce un maching di dimensione pari al flusso massimo in N Dao il flusso massimo f rovao, infai, si ha che per ogni nodo u U f(u, w) = f(s, u) (u,w) E quindi, al più uno degli archi ra u e i nodi di W ha flusso pari a (ed è quindi incluso nel maching) Allo sesso modo, per ogni nodo w W f(u, w) = f(w, ) (u,w) E quindi, al più uno degli archi ra w e i nodi di U ha flusso pari a (ed è quindi incluso nel maching) Non esisono maching più grandi di quello corrispondene al massimo flusso in N Consideriamo infai il maching massimo M e definiamo a parire da esso un flusso in N ponendo, per ogni (u, w) M, f(s, u) = f(u, w) = f(w, ) = e ponendo a zero il flusso su ui gli archi rimaneni Il flusso è chiaramene ammissibile, in quano soddisfa i vincoli sui nodi e sulle capacià, e ha valore pari al numero di archi nel maching, e quindi a M Quindi, esise un flusso ammissibile corrispondene al maching massimo, per cui non esisono maching più grandi del valore di ale flusso e, a maggior ragione, del valore del flusso massimo

32 Applicazioni del massimo flusso Per quano riguarda la complessià dell'algorimo, la cosruzione di N richiede empo O( E ), così come la derivazione del maching massimo dal massimo flusso A ali cosi va aggiuna la complessià di calcolo del maxflow su N: dao che il flusso massimo su N è ceramene limiao superiormene da max( U, W ), l'algorimo di Ford e Fulkerson ha complessià O( E max( U, W )) = O( E V ) Arroondameno di valori in una marice Sia daa una marice D p q di reali d ij, e siano specificai p + q valori, corrispondeni a somme α i sulle righe e β j sulle colonne Vogliamo arroondare ognuno dei d ij, degli α i e dei β j ad un valore inero (quello immediaamene minore o quello immediaamene maggiore) in modo consisene, facendo sì che le somme sulle righe e sulle colonne rimangano verificae anche con i nuovi valori Possiamo rappresenare queso problema come un problema di massimo flusso in cui sono preseni dei vincoli sia superiori (capacià degli archi) che inferiori (minimo flusso) sui flussi negli archi È possibile in generale (anche se non lo verifichiamo in quesa sede) risolvere un problema con ali vincoli aggiunivi riducendolo ad un problema di massimo flusso con soli vincoli superiori su una ree derivaa in modo opporuno Daa la marice D, la ree corrispondene ha p + q nodi r i, i =,, p e c j, j =,, q, corrispondeni alle righe e alle colonne Per quano riguarda gli archi, per ogni coppia r i, c j esise l'arco corrispondene, con capacià c(r i, c j ) = d ij e flusso minimo m(r i, c j ) = d ij, inolre per ogni r i esise l'arco (s, r i ) con capacià c(s, r i ) = α i e flusso minimo m(r i, c j ) = α i e per ogni colonna c j esise l'arco (c i, ) con capacià c(c j, ) = β j e flusso minimo m(c j, ) = β j Daa ad esempio la marice La ree corrispondene è la seguene, in cui, per semplicià, sono indicai i valori associai ai soli archi da s e r e verso (6, 7) (0, ) (, ) c c c (, ) (6, 7) (7, 8) r r r (7, 8) (, ) (, ) ṡ Non è difficile verificare che un flusso ammissibile nella ree (che necessariamene è inero) corrisponde a un arroondameno consisene per D