Esercizio 1. Sia L : R 3 R 2 l'applicazione lineare rappresentata, rispetto alle basi canoniche, dalla matrice : A =

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1 Tuoraggio di Algebra Lineare e Geomeria Eercii di ripao ulle applicaioni lineari Eerciio Sia L : R R 2 l'applicaione lineare rappreenaa, ripeo alle bai canoniche, dalla marice : A ( 2 2 Deerminare la marice aociaa ad L ripeo alle bai : B, 2, e B {( ( 2, } Soluione Coruiamo la marice M B B (L per colonne Il meodo andard è quello di vedere come l'applicaione L agice ugli elemeni della bae B e di crivere ciacun veore raformao come combinaione lineare degli elemeni della bae B I coecieni di ali combinaioni coiuicono le colonne di M B B (L Cominciamo con la prima colonna Lo copo è quello di calcolare cui i abbia : L ( 2 2 Riolvendo il iema lineare : ( 4 ( ( ( 2 + per { ( i ricava che la prima colonna di M B (L B è analogo per gli alri elemeni di B i oiene : Proeguendo in modo

2 M B B (L ( 4 Eerciio 2 Sia T : R R l'applicaione lineare denia ponendo : T Trovare la dimenione e una bae ripeivamene di Im(T e Ker(T Soluione Siano B e B le bai canoniche ripeivamene di R e R Coruiamo aniuo la marice aociaa a T ripeo a ali bai Per come è denia T i ha che : T 2, T 2 4, T 4, T, T 4 Quindi : M B B (T Ricordiamo che dim(im(t rg(m B B (T e che una bae per Im(T è coiuia da un ooinieme maimale di veori linearmene indipendeni di 2

3 pan{t (b i } dove i b i ono gli elemeni di B Il meodo per calcolare ali quanià è quello di applicare l'eliminaione di Gau alla marice rapoa di M B B (T Svolgendo i calcoli, da M B B (T i cala : 2 2 ricava la eguene marice a Si vede immediaamene che dim(im(t rg(m B B (T rg(m B B (T 2 Come bae per Im(T i può cegliere 2, 2 Una vola noa dim(im(t, per calcolare dim(ker(t baa uare il eorema della dimenione: dim(ker(t dim(im(t Ricordando poi che Ker(T {v R : T (v }, ricaviamo che, per calcolare una bae per Ker(T, è uciene riolvere il iema lineare omogeneo : Riducendo a cala la marice M B B (T oeniamo il iema equivalene : che ammee oluioni del ipo : γ 7β α α β γ 2β α γ α, β, γ R

4 Si ha quindi che : Ker(T α + β 7 + γ α, β, γ R Come bae per Ker(T poiamo prendere l'inieme : Ker(T, 7, Eerciio Sia L : R 4 R l'applicaione lineare denia ponendo : L Trovare la dimenione e una bae ripeivamene di Im(L e Ker(L Soluione Queo eerciio è analogo al precedene Fiae le bae canoniche B e B ripeivamene di R 4 e R, la marice aociaa a L ripeo a ali bai è : M B (L B 2 8 Per calcolare la dimenione e una bae per Im(L procediamo come al olio Applicando E-G a M B B (L oeniamo la marice a cala : 4

5 2 Si vede immediaamene che dim(im(lrg(m B B (L rg(m B B (L 2 Come bae di Im(L poiamo cegliere, 2 Applicando il eorema della dimenione oeniamo che dim(ker( L 4 dim(im(l 2 Per individuare una bae per Ker(L riolviamo il iema lineare omogeneo : 2 8 Uando E-G oeniamo il iema equivalene : 2 2 che ammee come oluioni ui i veori del ipo : α 7β α + β α β α, β R Si ha quindi che : Ker(L α + β 7 α, β R

6 Come bae per Ker(L poiamo prendere l'inieme : Ker(L, 7 Eerciio 4 Sia T : R [] R 2 [] l'applicaione lineare denia da : T (a + b 2 + c + d a( b + c + d a Deerminare dimenioni e bai di Im(T e Ker(T b Deerminare la marice aociaa a T ripeo alle bai : B {, +, 2 +, } e C {, +, 2 + } Soluione a Siano B {,, 2, } e C {,, 2 } le bai canoniche ripeivamene di R [] e R 2 [] Aniuo coruiamo la marice rappreenaiva di T ripeo a ali bai, MC B (T Oerviamo che, per come è denia T i ha che : T (, T (, T ( 2, T ( ( Come al olio coruiamo M B C (T per colonne La prima colonna conerrà le coordinae di T ( ripeo agli elemeni della bae C, la econda le coordinae di T ( e via di eguio Compleivamene i oiene : MC B (T 2 Per udiare le proprieà dell'applicaione T è uciene udiare la marice (T e, dal M B C (T In paricolare i ha che : dim(im(t rg(m B C eorema ulla dimenione, dim(ker(t 4 dim(im(t Per rovare una bae per Im(T baa oervare che T è un'applicaione urieiva (la dimenione dell'immagine coincide con quella dello paio di 6

7 arrivo Queo ignica che poiamo prendere come bae di Im( T una qualiai bae di R 2 [], ad eempio la bae canonica C Per rovare invece una bae per Ker(T riolviamo il iema lineare omogeneo : 2 Eo ammee come oluione ui i veori : α α R Per eprimere il riulao in ermini di elemeni di R [] baa ricordare che il veore di R4 individua i coecieni, ripeo alla bae B, del corripondene polinomio in R [] Si ha quindi che ker(t {α(, α R} ed è chiaro che ( è una bae b Per coruire la marice aociaa a T ripeo alle bai B e C oerviamo che : T ( T ( + 2 T ( T ( ( ( + 2 Da ciò ricaviamo che : M B C (T 2 2 7

8 Eerciio Sia V R 2 [], lo paio dei polinomi a coecieni reali nell'indeerminaa di grado 2 Sia T : V V, l'applicaione coì denia : T (a + a + a 2 a ( + + a ( a 2 ( a Vericare che T è lineare ; b Sia C {,, 2 } la bae canonica di V Si criva marice rappreenaiva di T ripeo alla bae C ; c Si rovi Ker(T ; d Sia B {, +, } un alra bae di V Si criva la marice rappreenaiva di T ripeo alla bae B ; e Si rovino le marici che eprimono il cambiameno di bae da C a B e vicevera Soluione a Per vericare che T è lineare baa conrollare che, dai due polinomi qualiai f( e g( V e λ R, ono valide le egueni relaioni : T (f( + g( T (f( + T (g( e T (λ(f( λt (f( La loro verica è abbaana immediaa, baa volgere i coni b Oerviamo che, per come è denia T, i ha : T ( + T ( + 2 T ( Per cui la marice rappreenaiva di T ripeo alla bae C è : MC C (T 2 c Come al olio, per rovare Ker(T riolviamo il iema omogeneo : 2 Applicando l'eliminaione di Gau i rova che le oluioni di ale iema ono dae dall'inieme : α 2, α R} α α R Dunque Ker(T {α α+ 8

9 d Per crivere la marice rappreenaiva di T ripeo alla bae B oerviamo che : T ( + T ( T ( Da queo egue che MC C (T 2 2 e Le colonne della marice del cambio di bae da C a B conengono i coecieni delle combinaioni lineari che denicono gli elemeni della bae B in funione di quelli di C Compleivamene i oiene : FB C (T La marice del cambio di bae da B a C è la ua invera : FC B (T 9