Note per la Lezione 33 Ugo Vaccaro

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1 Progeazione di Algorimi Anno Accademico Noe per la Lezione 33 Ugo Vaccaro In quea lezione vedremo alcune applicazioni dei riulai ul calcolo del fluo maimo, derivai nelle lezioni precedeni. Prima applicazione: Maching. Supponiamo che vi iano un inieme di ignore nubili D ed un inieme di ignori capoli U. Ogni daa ignora D eprime il uo ineree vero un ooinieme U() U dei ignori. Ad eempio, poremmo upporre che l inieme delle ignore ia coiuio da D = {Anna, Vera, Roa Mara} e l inieme dei ignori ia coiuio da U = {Mario Lucio, Teo, Pio, Dario}. Sappiamo inolre che. U(Anna) = {Mario, Lucio} 2. U(Vera) = {Teo} 3. U(Roa) = {Lucio, Teo, Pio, Dario} 4. U(Mara) = {Teo} Rappreeniamo graficamene ali preferenze, crivendo a inira le ignore, a dera i ignori, ed unendo con un arco una coppia (,u) e e olo e il ignore u appare nella lia U() delle preferenze U() della ignora. Oerremo la eguene rappreenazione grafica: Anna Vera Roa Mara Mario Lucio Teo Pio Problema: Deerminare il maggior numero di abbinameni ignora-ignore, in modo ale che ogni ignora ia abbinaa al più ad un ignore nella ua lia di preferenze U(), e vicevera ogni ignore ia abbinao ad al più ad una un ignora. Nell eempio in queione, poibili correi abbinameni (rappreenai in roo) porebbero eere: Dario Anna Vera Roa Mara Mario Lucio Teo Pio 2 abbinameni Dario

2 oppure: Anna Mario Vera Roa Mara Lucio Teo Pio 3 abbinameni Formuliamo il problema in modo generale. Inpu: Grafo G = (V,E) bipario, ovvero per cui V = S D, con S D =, e E = {{a,b} : a S,b D} Oupu: Un ooinieme di archi M E (maching) ale che per ogni coppia {a,b},{x,y} M vale che {a,b} {x,y} =, con M di cardinalià maima. Negli eempi precedeni, gli archi roi formavano maching di cardinalià 2 e 3, ripeivamene. Formuliamo il problema in ermini di fluo maimo in opporune rei di fluo. Dao G = (V = S D,E) bipario, inroduciamo due nuovi nodi e, con il verice conneo (via un arco direo) a ciacun nodo in S, e con il verice conneo (via un arco direo) a ciacun nodo in D. Gli archi in E ra nodi di S e D vengono ora direzionai da S e D. Infine, ad ogni arco viene aegnaa capacià pari a. In inei, abbiamo creao d G una ree di fluo Dario G = (S D {,},E ), con E = E {(,u) : u S} {(v,) : v D} e capacià = per ogni arco. Ad eempio, dal grafo degli abbinameni ignore-ignori prima vio, oerremmo la eguene ree di fluo: Vale il eguene imporane riulao: max M = max v(f) M:M è un maching in G f:f è un fluo in G Moriamo innanziuo max M max v(f). Dao un maching M in G di cardinalià maima k, immaginiamo un aegnazione in G che manda un unià di fluodallaorgenead ogni vericea, eremoins dell arco(a,b)delmachingm, chemandaunauniàdifluo ull arco (a,b) del maching M, ed una unià di fluo da b alla deinazione. Tale aegnazione è un valido fluo 2

3 di valore k in quano ripea ui i vincoli ulle capacià e ulla conervazione, perano k = max M maxv(f). Il ragionameno appena fao, può eere illurao ull eempio di prima nel modo eguene: Moriamo ora che max M max v(f). Sia k il valore di un fluo maimo in G. Poichè e arco di G vale che c(e) {0,}, appiamo che eie un fluo maimo f a valori ineri, ovvero f(e) {0,}, e. Sia M = {e = (a,b) : a S,b D,f(e) = } l inieme degli archi che vanno da verici in S a verici in D che raporano una unià di fluo ciacheduno (rappreenai in graeo di oo). Dao che k unià di fluo fuoriecono da, per il vincolo di conervazione del fluo k ne devono arrivare a, e dao che non ci ono nel grafo archi direi da a, occorrono k ali archi in graeo per raporare k unià di fluo da S a D. Gli archi in M formano un maching (ovvero u ogni verice di S incide al più uno di ali archi, ed analogamene per i verici in D). Ciò empre per la legge di conervazione del fluo in quano e al più una unià di fluo enra in un verice di S al più una ne deve ucire (analogamene per i verici di D). Quindi k = M cardinalià maima di un maching. S D Al di là della moivazione uaa per inrodurre il problema del maching di cardinalià maima, ale conceo rova applicazione in moli alri ambii: Aegnazione di job a macchine, in modo ale che ogni job ia aegnao ad al più una macchina ed ogni macchina abbia aegnao al più un job Aegnazione di clieni a erviori, in modo ale che ogni cliene ia aegnao ad al più ad un erviore ed ogni erviore abbia aegnao al più un cliene in Biologia: Predizione della ruura di RNA in Chimica: deerminazione delle poizioni dei legami doppi in ruure chimiche. Seconda applicazione: Cammini digiuni in grafi. Problema: Dao un grafo (direo) G = (V,E) e due nodi e, deerminare il maimo numero di cammini da a che ono arco-digiuni. 3

4 dove, ricordiamo, che due cammini ono arco-digiuni e non hanno alcun arco in comune. Ad eempio, dao il grafo qui di oo a inira, a dera ono rappreenai (in roo e blu) due cammini arco digiuni dal verice al verice Il problema è di fondamenale imporanza nell ambio delle rei di comunicazione (ed in alri ambii pure...) Formuliamo il problema in ermini di maimo fluo in opporune rei di fluo. Innanziuo aegniamo capacià ad ogni arco: Riulao: Il maimo numero di cammini da a in G che ono arco-digiuni = valore del maimo fluo in G da a Supponiamo che in G eiano k cammini da a in G che ono arco-digiuni, aegniamo fluo ad ogni arco in ale cammino, aegniamo fluo 0 a ui gli alri archi di G. I vincoli ulle capacià ono ripeai, i vincoli ulla conervazione del fluo ono ripeai (e c cammini enrano in un nodo alreano ne econo, vio che ui i cammini devono raggiungere, perano e c unià di fluo enrano in un nodo, alreano ne econo). Perano, il maimo numero di cammini da a in G che ono arco-digiuni è del valore del maimo fluo in G da a Proviamo ora la diuguaglianza oppoa, ricordando che e eie un fluo f di valore maimo in G, allora ne eie uno a valori ineri f(e) {0,}, per ogni e E. Proveremo che L inieme degli archi e con f(e) = coniene un inieme di v(f) cammini arco-digiuni da a. Iniziamo col eguire gli archi con fluo che parono da. Per il vincolo ulla conervazione del fluo, ogni qualvola un ale arco enra in un nodo v, da ale nodo ne deve ucire un alro arco con fluo. Prima o poi avremo rovao un cammino P da a. 4

5 Azzeriamo il fluo u ale cammino, oerremo un fluo f in G, di valore v(f ) = v(f). Seguiamo gli archi con fluo di ale nuovo fluo f a parire da e prima o poi arriveremo a (e non inerecheremo P, in quano gli archi di P nel nuovo fluo raporano 0 unià di fluo), oenendo quindi un econdo cammino P da a. Azzeriamo ora il fluo anche ugli archi del econdo cammino coì rovao, oerremo un nuovo fluo f in G, di valore v(f ) = v(f) 2, eguiamo gli archi del grafo con fluo di ale nuovo fluo f ed oerremo un erzo cammino (arco digiuno dai primi due) che và da a e coì via, finquando non avremo oenuo eaamene v(f) cammini, ui arco digiuni ra di loro, da a. Un ulima oervazione: è poibile che i cammini prodoi dall algorimo prima decrio abbiano dei cicli. Poco impora, poiamo eliminare ali cicli e e i cammini erano arco digiuni con i cicli a maggior ragione lo aranno dopo che gli evenuali cicli che ei conengono ono ai eliminai. Concluione: abbiamo provao che e eie un fluo f di valore maimo v(f) = v nel grafo G prima decrio, allora in G eiono almeno v cammini arco digiuni in G da a, da cui oeniamo che max v(f) max numero di cammini arco digiuni da a f:f è un fluo in G Avendo prima provao la dieguaglianza oppoa, oeniamo che le due quanià di opra ono in effei uguali. Compleià dell algorimo per rovare i cammini arco digiuni. Innanziuo occorre rovare il valore del maimo fluo in G = (V, E). Ciò richiede, uando l algorimo di Ford e Fulkeron, empo O(mC), dove m = E e C è il valore di ale maimo fluo. Ovviamene vale che C e:e ucene da c(e) che, nel noro cao in cui c(e) = per ogni arco e E, i riduce a C n = V. Una vola rovao il valore del maimo fluo, occorre rovare i cammini da a u cui viaggia fluo pari a. Ciacun ale cammino può eere rovao in empo O(m) (eguendo gli archi con fluo = e oervando che ogni cammino è compoo da O(m) archi). Ci ono al più n cammini arco digiuni ra e, quindi in oale li poiamo rovare ui in empo O(nm). Gran oale = O(nm)+O(nm) = O(nm). E e il grafo G non è direo? Poiamo uare un rucco. Parendo da G (non direo) rimpiazziamo ciacun arco {u,v} E con la coppia di archi (u,v),(v,u) come in figura u v = u v Sul grafo G coì oenuo poiamo applicare l algorimo di prima per rovare i cammini arco digiuni da a. Biogna però are aeni: non è deo che due cammini P e P 2 arco digiuni in G lo iano anche in G. 5

6 Ad e. u v P =-u-v-, P 2 =-v-u- digiuni in G u v P =-u-v-, P 2 =-v-u- non digiuni in G Poiamo però morare che eie un maimo fluo che ua al più uno olo degli archi (u,v),(v,u). Sia f ia un maimo fluo per cui f(u,v) 0 e f(v,u) 0. Sia δ = min{f(u,v),f(v,u)} e definiamo una nuova aegnazione f uguale a f, ranne che ugli archi (u,v) e (v,u), dove vale f (u,v) = f(u,v) δ,f (v,u) = f(v,u) δ. Il procedimeno è illurao nella figura qui di oo. f(u,v) f(u,v) δ u f(v,u) v = u v f(v,u) δ È chiaro che e f ripea i vincoli ulle capacià a maggior ragione li ripea f, e e f ripea i vincoli ulla conervazione del fluo, coì li ripea f, vio che ia il fluo enrane che quello ucene da u e v diminuice dello eo δ. Di coneguenza f ha lo eo valore di f (ovvero anche f è un fluo maimo). Per definizione di δ, in f almeno uno ra f (u,v),f (v,u) è uguale a 0, come deiderao. Uando f come puno di parenza, poiamo oenere cammini direi arco digiuni da a che corriponderanno anche a cammini non direi arco digiuni da a. 6