Problema del flusso massimo

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1 Rei di fluo

2 Problema del fluo maimo Moivazione iniziale: problemi di raffico u rei di raporo Trapori ferroviari, auoradali, Traporo di liquidi in rei idriche Traporo di pacchei di dai in una ree di comunicazione. Applicazioni non banali / riduzioni: Daa mining. Open-pi mining. Projec elecion. Airline cheduling. Biparie maching. Baeball eliminaion. Image egmenaion. Nework conneciviy. Nework reliabiliy. Diribued compuing. Egaliarian able maching. Securiy di aiical daa. Nework inruion deecion. Muli-camera cene reconrucion. Mole alre ancora...

3 Fluo maimo e Taglio minimo Fluo maimo e aglio minimo Due problemaiche molo ricche. Problemi imporani in oimizzazione combinaoriale. Dualià maemaica. Algorimo di Ford-Fulkeron Algorimo incremenale baao ulle rei reiduali e i cammini aumenani (parr. 7., 7.) Un applicazione: maching in un grafo bipario (par. 7.) 3

4 Rei di fluo Arazione per maeriale che corre aravero gli archi (come liquidi nei ubi). Una ree di fluo è G = (V, E) = grafo orienao con due nodi paricolari: = orgene (enza archi enrani) = pozzo (enza archi uceni). c(e) = capacià dell arco e. orgene 3 pozzo capacià 3 7

5 Fluo Def. Un fluo - è una funzione f: E R + che oddifa: per ogni e E: f (e) c(e) (capacià) per ogni v V {, }: f ( e) f ( e) (conervazione) e inov e ou of v Def. Il valore del fluo f è: v( f ) f (e). e ou of 3 capacià fluo 3 7 valore =

6 Fluo Def. Un fluo - è una funzione f: E R + che oddifa: per ogni e E: f (e) c(e) (capacià) per ogni v V {, }: f (e) f (e) (conervazione) e in o v e ou of v Def. Il valore del fluo f è: v( f ) f (e). e ou of 3 3 capacià fluo 3 7 valore =

7 Problema del maimo fluo Problema del maimo fluo. Trovare il fluo - di maimo valore. 3 capacià fluo 3 7 valore = 7

8 Vero un algorimo per il Fluo maimo Algorimo greedy. Iniziare con f(e) = per ogni arco e E. Trovare un cammino P da a in cui ogni arco ha f(e) < c(e). Aumenare il fluo lungo il cammino P. Ripeere finchè è poibile. 3 Valore fluo =

9 Vero un algorimo per il Fluo maimo Algorimo greedy. Iniziare con f(e) = per ogni arco e E. Trovare un cammino P da a in cui ogni arco ha f(e) < c(e). Aumenare il fluo lungo il cammino P. Ripeere finchè è poibile. u X Valore fluo = 3 X X L algorimo greedy i fermerebbe, ma v

10 Vero un algorimo per il Fluo maimo Algorimo greedy. Iniziare con f(e) = per ogni arco e E. Trovare un cammino - P in cui ogni arco ha f(e) < c(e). Aumenare il fluo lungo il cammino P. Ripeere finchè è poibile. Oimalià locale oimalià globale u u 3 3 greedy = v op = 3 v

11 Come oenere la oluzione oima? u? u 3 3 greedy = v op = 3 v Se voleimo aggiungere unià u (,v), violeremmo la proprieà di conervazione in v. Per riabilirla poremmo ogliere unià (delle ) enrani in v ull arco (u,v), ovvero poremmo fare correre unià conro-eno da v ad u ed infine aggiungere le unià da u a.

12 Come oenere la oluzione oima? u u 3 3 v u op v v

13 Vero un algorimo per il Fluo maimo u 3 u u 3 v + v op v Definiamo un nuovo grafo che enga cono di apei: Per ogni arco e = (u,v) con f(e) < c(e), ci ono alre c(e)-f(e) unià diponibili da poer fare paare da u a v (in avani) Per ogni arco e = (u,v) con f(e) > ci ono f(e) unià che poiamo ogliere/difare facendo paare del fluo da v a u (indiero) 3

14 Grafo reiduale Dao un grafo G=(V,E) e un fluo f: capacià Arco originario: e = (u, v) E. fluo f(e), capacià c(e). u 7 v fluo Arco reiduale. e = (u, v) e e R = (v, u). Capacià reiduale: capacià reiduale c(e) f (e) c f (e) if f (e) e E if e R E u v capacià reiduale Grafo reiduale : G f = (V, E f ). Archi reiduali con capacià reiduale poiiva. E f = {e : f(e) < c(e)} {e R : f(e) > } Cammino aumenane: cammino emplice da a in G f

15 Grafo reiduale: eempio Grafo G con capacià e fluo f Grafo reiduale G f u 3 v P=-v-u- è un cammino aumenane Poo mandare al più b= unià di fluo lungo P: f((,v)) = + f((u,v)) = - f((u,)) = +

16 Algorimo del cammino aumenane Sia P un cammino emplice - in G f Augmen(f, c, P) { b boleneck(p,f) foreach e P { } if (e E) in G: f(e) f(e)+ b ele in G: f(e R ) f(e R )- b } reurn f Minima capacià reiduale di un arco di P Arco in avani Arco invero Ford-Fulkeron(G,,, c) { foreach e E f(e) G f grafo reiduale } while (eie un cammino aumenane P in G f ) { f Augmen(f, c, P) aggiorna G f } reurn f

17 Algorimo di Ford-Fulkeron G: capacià 3 7

18 Algorimo di Ford-Fulkeron G: fluo capacià 3 valore fluo = G f = G

19 Algorimo di Ford-Fulkeron G: X X fluo capacià X 3 valore fluo = X G f : P = --- Capacià reiduale b= 3

20 Algorimo di Ford-Fulkeron G: X X X X 3 valore fluo = X G f : P b= 3

21 Algorimo di Ford-Fulkeron G: X X X X 3 valore fluo = X G f : b = 3 7

22 G: Algorimo di Ford-Fulkeron X X X X 3 valore fluo = X G f : b = 3 Noa: l arco (3,) in G f è un arco indiero: (,3) è in G, quindi f((,3)) f((,3))- b

23 Algorimo di Ford-Fulkeron X 3 G: X 7 X X X 3 valore fluo = X G f : b = 3 3

24 Algorimo di Ford-Fulkeron 3 G: 7 3 valore fluo = 3 G f : 7 3 Non ci ono più cammini aumenani P in G f : l algorimo ermina.

25 Algorimo di Ford-Fulkeron: correezza Vogliamo provare che il fluo fornio dall algorimo di Ford- Fulkeron è il maimo poibile. Una limiazione uperiore al fluo è daa da Infai v( f ) e ece da f ( e) e ece da c( e) C C e ece da c( e) Una limiazione uperiore al fluo più uile i può oenere inroducendo il conceo di aglio in una ree di fluo.

26 Taglio Def. Un aglio - è una parizione (A, B) di V con A e B. Def. La capacià di un aglio (A, B) è: cap( A, B) e ece da A c( e) 3 A 3 7 capacià = + + = 3

27 Taglio Def. Un aglio - è una parizione (A, B) div con A e B. Def. La capacià di un aglio (A, B) è: cap( A, B) e ou of A c( e) 3 A 3 7 capacià = = 7

28 Problema del aglio minimo Problema del minimo aglio -. Trovare un aglio - di capacià minima in una ree di fluo. 3 A 3 7 capacià = + + =

29 Fluo e aglio Lemma del valore del fluo. Sia f un fluo e ia (A, B) un aglio -. Allora, il fluo neo inviao aravero il aglio è uguale alla quanià che lacia. f (e) f (e) v( f ) e ou of A e in o A 3 3 A 3 7 valore =

30 Fluo e aglio Lemma del valore del fluo. Sia f un fluo e ia (A, B) un aglio -. Allora, il fluo neo inviao aravero il aglio è uguale alla quanià che lacia. 3 3 A 3 7 valore = = 3

31 Fluo e aglio Lemma del valore del fluo. Sia f un fluo e ia (A, B) un aglio -. Allora, il fluo neo inviao aravero il aglio è uguale alla quanià che lacia. 3 3 A 3 7 valore = = 3

32 Fluo e aglio Lemma del valore del fluo. Sia f un fluo e ia (A, B) un aglio -. Allora e ou of A f ( e) e in o A f ( e) v( f ). Dim. v( f ) e ou of f ( e) va f e ou of v ( e) f e in o v ( e) f e ou of A ( e) f e in o A ( e). Per la conervazione del fluo, ui i ermini ecceo v = ono. Inolre il fluo enrane in è. 3

33 Fluo e aglio Proprieà di dualià debole (limiazione uperiore al fluo). Sia f un fluo, e ia (A, B) un aglio -. Allora v(f) cap(a, B) (ricorda cap( A, B) c( e) ) (il valore del fluo è al più la capacià di un qualiai aglio). capacià aglio = 3 valore fluo 3 e ou of A 3 A 3 7 capacià = 3 33

34 Fluo e aglio Proprieà di dualià debole. Sia f un fluo, e ia (A, B) un aglio -. Allora v(f) cap(a, B). Dim. Per il lemma del valore del fluo: v( f ) e ou of A e ou of A e ou of A f ( e) f ( e) c( e) cap( A, B) e in o A f ( e) A 7 B 3

35 Cerificao di oimalià Corollario Sia f un fluo, e ia (A, B) un aglio. Se v(f) = cap(a, B), allora f è un fluo maimo e (A, B) è un aglio minimo. valore fluo = capacià aglio = valore fluo 3 A 3 7 3

36 Teorema Max-fluo Min-aglio Teorema del cammino aumenane. Un fluo f è un fluo maimo e non ci ono cammini aumenani. Teorema max-fluo min-aglio. [Ford-Fulkeron ] Il valore del fluo maimo è uguale al valore del minimo aglio. Dim. Proviamo enrambi morando che ono equivaleni: (i) Eie un aglio (A, B) ale che v(f) = cap(a, B). (ii) f è un fluo maimo. (iii) Non ci ono cammini aumenani nel grafo reiduale G f. (i) (ii) Queo è il corollario al lemma di dualià debole. (ii) (iii) Moriamo per conrappoizione: non (iii) non (ii). Sia f un fluo. Se eie un cammino aumenane, allora poiamo migliorare f mandando delle unià lungo quel cammino. Quello che ne riula è ancora un fluo: valgono le proprieà di capacià e conervazione. 3

37 Prova del Teorema Max-fluo Min-aglio (iii) (i): Non ci ono cammini aumenani relaivi ad f Eie un aglio (A, B) ale che v(f) = cap(a, B). Sia f un fluo enza cammini aumenani. Sia A* l inieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale e B* ui gli alri. Per definizione di A*, A*. Per l ipoei (iii), A*. v ( f ) e ou of A* f ( e) Quano vale f(e)? e ino A* f ( e) Per archi uceni da A*: ia (u,v) ale che u A* e v B*. Allora f(e) = c(e). Se foe f(e) < c(e) allora ci arebbe un arco (u,v) nel grafo reiduale e quindi v A*. 37

38 Prova del Teorema Max-fluo Min-aglio (iii) (i ): Non ci ono cammini aumenani relaivi ad f Eie un aglio (A, B) ale che v(f) = cap(a, B). Sia f un fluo enza cammini aumenani. Sia A* l inieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale e B* ui gli alri. Per definizione di A*, A*. Per l ipoei (iii), A*. v ( f ) e ou of A* f ( e) quano vale f(e)? e ino A* f ( e) Per archi enrani in A*: ia (u,v ) ale che u B* e v A*. Allora f(e) =. Se foe f(e) > allora ci arebbe un arco (v,u ) nel grafo reiduale e quindi u A*. Quano 3

39 Prova del Teorema Max-fluo Min-aglio (iii) (i): Non ci ono cammini aumenani relaivi ad f Eie un aglio (A, B) ale che v(f) = cap(a, B). Sia f un fluo enza cammini aumenani. Sia A* l inieme dei verici raggiungibili da nel grafo reiduale. Per definizione di A*, A*. Per l ipoei (iii), A. v( f ) e ou of A e ou of A f ( e) c( e) cap( A, B) f e in o A ( e) A B original nework 3

40 Trovare aglio minimo L algorimo di Ford-Fulkeron può eere uao anche per calcolare un aglio minimo in una ree di fluo: Eeguire l algorimo di Ford-Fulkeron Al ermine coniderare G f e deerminare l inieme A* dei verici raggiungibili da con una viia BFS o DFS. Reiuire il aglio (A*, V\A*) Correezza: Prova del Teorema Max-fluo Min-aglio

41 Calcolo del aglio minimo 3 G: G f : 7 3 A*={, 3} e B*=V\A* Cap (A*, B*) = =v(f)

42 Analii dell algorimo di Ford-Fulkeron Limiazione uperiore al valore del fluo: Infai v( f ) e ece da f ( e) e ece da C c( e) C Aunzione. Tue le capacià ono ineri fra e C. Invariane. Ogni valore del fluo f(e) e ogni capacià reiduale c f (e) reano ineri durane l eecuzione dell algorimo. e ece da c( e) Teorema. L algorimo ermina in al più v(f*) C ierazioni (f*=max fluo). Prova. Ogni cammino aumenane P incremena il valore del fluo di almeno. Il fluo aumena perché il primo arco di P in G f ece da e P non riorna in ; iccome non ci ono archi enrani in in G il primo arco di P è in avani. Più preciamene il fluo aumena ad ogni ierazione di b = booleneck(p,f). Oervazione: Se le capacià non foero ineri, l algorimo porebbe coninuare all infinio.

43 Compleià di empo Supponiamo che ui i nodi abbiano almeno un arco incidene, quindi m n/ e O(m+n) = O(m). Corollario. Compleià empo di Ford-Fulkeron è O(mC). Prova. Al maimo v(f*) C ierazioni In ogni ierazione: roviamo un cammino aumenane in O(m) mediane BFS o DFS nel grafo reiduale. il grafo reiduale ha m archi il grafo reiduale rappreenao uilizzando le lie delle adiacenze (in e ou) Augmen(f, c, P) ha compleià O(n) (P ha al più n- archi) aggiornameno grafo reiduale in O(m) (per ogni arco coruiamo gli archi indiero e avani opporuni) Teorema Inegralià. Se ue le capacià ono numeri ineri, allora vi è un fluo maimo f per cui ogni valore del fluo f(e) è un inero. Prova. L algorimo ermina, quindi il eorema egue dall invariane. 3

44 L algorimo di Ford-Fulkeron è peudo-polinomiale D. L algorimo di Ford-Fulkeron è polinomiale nella aglia dell inpu? m, n, e log C R. No: l algorimo può fare anche C ierazioni, a econda della cela del cammino aumenane e quindi un numero eponenziale ( C = log C )

45 Eempio: prima cela dei cammini Eempio: maimo fluo =C con f((,))= e f(e)=c/ per gli alri Calcolabile in ierazioni dell algorimo di Ford-Fulkeron cegliendo P =-- P =-- C/ X X C/ C/ C/ C/ C/ C/ C/ C/ C/ C/ C/ C/ X X C/

46 Eempio: econda cela dei cammini Eempio: maimo fluo =C con f((,))= e f(e)=c/ per gli alri Calcolabile in C ierazioni dell algorimo di Ford-Fulkeron cegliendo P 3 =--- e P =--- alernaivamene per C/ vole ognuno. In G f compare (,) o (,) alernaivamene. X X X C/ C/ C/ C/ X X X C/ C/ X C/ C/ X X

47 Eempio: numero eponenziale di incremeni del fluo Eempio: maimo fluo =C con f((,))= e f(e)=c/ per gli alri Calcolabile in C ierazioni dell algorimo di Ford-Fulkeron cegliendo P 3 =--- e P =--- alernaivamene per C/ vole ognuno. In G f compare (,) o (,) alernaivamene. X C/ C/ X C/ C/ X X X C/ C/ C/ C/ X X 7

48 Scegliere Buoni Cammini Aumenani Fare aenzione quando i celgono i cammini aumenani. Alcune cele porano ad algorimi eponenziali. Buone cele porano ad algorimi polinomiali. Se le capacià foero irrazionali, l algorimo porebbe non erminare! Obieivo: cegliere cammini aumenani in modo ale che: Poiamo rovare cammini aumenani efficienemene. Poche ierazioni. Scegliere cammini aumenani con: [Edmond-Karp 7, Diniz 7] Maima capacià boleneck (però può richiedere molo empo). Sufficienemene grande capacià boleneck. Compleià: O(m log C) Alro algorimo che ceglie cammino con minor numero di archi

49 7. Maching Bipario Un applicazione del calcolo del fluo maimo

50 Maching Maching. Inpu: grafo non-orienao G = (V, E). M E è un maching e ogni nodo appare in al più un arco in M. Problema del max maching: rovare un maching di cardinalià maima.

51 Maching bipario Maching bipario Inpu: grafo bipario non orienao G = (L R, E). Ogni arco ha un eremo in L e l alro in R M E è un maching e ogni nodo appare in al più un arco in M. Problema del max maching: rovare un maching di cardinalià maima. ' 3 ' 3' maching -', 3-', -' ' L ' R

52 Maching bipario Maching bipario Inpu: grafo bipario non orienao G = (L R, E). Ogni arco ha un eremo in L e l alro in R M E è un maching e ogni nodo appare in al più un arco in M. Problema del max maching: rovare un maching di cardinalià maima. ' 3 ' 3' max maching -', -', 3-3' -' ' L ' R

53 Maching bipario e fluo Formulazione in ermini di fluo maimo. Creare un grafo G' = (L R {, }, E' ). Orienare ui gli archi da L a R, e aegnare capacià. Aggiungere orgene, e archi di capacià da ad ogni nodo in L. Aggiungere pozzo, e archi di capacià da ogni nodo in R a. La cardinalià maima di un maching in G = valore di maimo fluo in G'. G' ' ' 3 3' ' L ' R 3

54 Correezza Teorema. La cardinalià maima di un maching in G = valore di maimo fluo in G'. Dim. Dao un maching maimo M di cardinalià k. Si conideri il fluo f che invia unià lungo ognuno dei k cammini da a che conengono gli archi del maching. f è un fluo e ha valore k. ' ' ' ' 3 3' 3 3' ' ' G ' ' G'

55 Correezza Teorema. La cardinalià maima di un maching in G=valore maimo fluo in G'. Dim. Sia f un fluo maimo in G' di valore k. Per il eorema di inegralià k è inero e quindi f è -. Si conideri M = inieme di archi da L a R con f(e) =. Ogni nodo in L e R parecipa in al più arco in M (conervazione) M = k: conidera aglio (L, R ) (ricorda: f ( e) f ( e) v( f ). ) e ou of A e in o A ' ' ' ' 3 3' 3 3' ' ' G' ' ' G

56 Maching bipario: compleià di empo Quale algorimo per il fluo maimo uare per il maching bipario? Ford-Fulkeron generico: O(m val(f*) ) = O(mn). Edmond-Karp: O(m log C ) = O(m ). Algorimo col minor numero di archi : O(m n / ). Maching u grafi non-biparii. La ruura dei grafi non-biparii è più complicaa, ma ben noa. [Tue-Berge, Edmond-Galai] Algorimo di Bloom : O(n ). [Edmond ] Migliore al momeno: O(m n / ). [Micali-Vazirani ]