MODELLO DI HARTMAN (1972)

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1 MODELLO DI HARTMAN (97) TEORIE NON FINANZIARIE CON ANALISI STOCASTICA DISCRETA E VINCOLI TECNOLOGICI CIAMPA VINCENZO IPOTESI: ) impree concorrenziali neurali al richio ) funzioni di produzione lineari omogenee eprimibili in ermini di lavoro e capiale 3) coi di aggiuameno convei 4) prezzo del prodoo (p) noo al empo,inieme alle realizzazioni paae 5) prezzo del prodoo nei periodi ucceivi a regolao da diribuzioni di probabilià oggeive 6) apeaive razionali

2 Maimizzazione del profio nel breve periodo Vincoli: Y F(K, L ) K + (- δ) K + I Funzione obieivo: E [ (P Y -wl C(I ))] Funzione di profio di breve periodo h (K, p, w ) K g (p, w ) [p F(K, L ) wl ] L egue Inveimeno oimale I E 0 {K π(p ) - C(I )} Condizione di oimo C (I ) E[ (-δ) - g(p +, w + )] (-δ) - E g(p +, w + )

3 Quali coneguenze e i hanno da un aumeno dell incerezza ull inveimeno correne? MEAN PRESERVING SPREAD Rohchild & Sigliz (970) CONCLUSIONI Un aumeno dell incerezza ul livello dei prezzi, produce un incremeno del valore dei profii aei, eendo la funzione di profio convea. L incremeno dell incerezza i raduce in un L incremeno dell incerezza i raduce in un incremeno dell inveimeno correne 3

4 Teorie di inveimeno ASPETTI STOCASTICI TEORIE NON FINANZIARIE SILVY DURANTI Analii ocaica e vincoli ecnologici Ipoei del modello: funzione di produzione Cobb-Dougla w aggio alariale fio I inveimeno lordo c( I ) funzione di coo di aggiuameno crecene convea > elaicià coane della funzione di coo α α fluo di caa dell imprea al empo : p L K wl γ I, dove pè il prezzo dell oupu imprea neurale al richio dk ( I K )d () e dp p σ dz (), dove dz egue un proceo Wiener e N( 0; ) 4

5 Il modello il proceo decrio dalla () ha le proprieà: E ( p ) p, Var( p p ) ( ) σ Il valore dell ll imprea è il valore auale aeo maimizzao i del fluo di caa Aumendo che il ao di cono r ia coane: V I, L α α ( K, p ) max E [ p L K wl γ I ] exp r( ) dove i vincoli ono () e (). ( )d (3) Modello di Abel (984) La funzione in (3) deve ripeare la eguene condizione di oimalià: rv α α ( K, p ) d max[ p L K wl γ I ] d + E ( dv ) I, L Applicando il lemma di Io: Aravero alcuni paaggi algebrici i oiene: rv α α ( K p ) max p L K wl γ I + ( I K ), VK + p σ V I, L ( ) V ( dk ) + ( ) V ( dp) V ( dp)( dk ) dv Vk dk + V pdp + kk pp + pk pp (4) (5) (6). max L ( )( ) ( ) α α ( α { } ) p L K wl hp K dove α α α h α α w e hp è il rendimeno marginale del capiale. (7) Differenziando la (6) ripeo a : γ I I V K (8). 5

6 Modello Il ao oimo di inveimeno è ale che il coo marginale dell inveimeno uguaglia il valore marginale del capiale. Derivando la oluzione del problema i può concludere che: α hp q (9) I (0) ασ ( q γ ) h( q ) r + ( α ) Il valore dell imprea è una funzione lineare dello ock di capiale perché la pendenza della funzione del valore, q, è indipendene dallo ock di capiale. q è il valore auale del prodoo marginale aeo del capiale. Per la (0) il ao oimo di inveimeno è funzione crecene di. q Prezzo come Random Walk ( ) Si upponga che p p + e i e i N 0, (RW). Queo paaggio è lecio perché eie i un analogia fra un proceo di Wiener e un RW in cui e N andard (moo browniano). E ( p ) E( p ) p + Il migliore previore dei prezzi fuuri è coiuio dal livello auale dei prezzi. Se ( ) ( ) ( ( )) E applicando la raformazione di Rohhild e Sigliz, I h E g p che aumena la varianza di una variabile cauale laciando inaleraa la ua media arimeica i poono udiare gli effei di un incremeno dell incerezza ul livello degli inveimeni correni. Quando la funzione conideraa è convea (funzione dei profii) i valori aei aumenano: q ( ) E[ g( p )] L incremeno dell incerezza pora a un incremeno del livello degli inveimeni correni. Anche lo ock di capiale deiderao di lungo periodo aumena lim E ( k ) lim E ( I ) 6

7 Si ricorda che: Prezzo come proceo auoregreivo azionario W 0 + W + e e N 0, σ e W + W + e ( ) 0 ( p p) e p p a + AR() Random Walk Il valore aeo dei profii maimizzai al empo + i può oenere aravero l epanione in erie di Taylor della funzione dei profii e la oiuzione delle deviazioni del prezzo in + dal valore medio con media e varianza condizionae al empo. Queo calcolo pora a oenere: q '' ' ( p) + γ π ( p) σ + γ π ( p)( p p) + γ '' ( p)( p ) γ π 0π 3 p con γ 0 Eendo la derivaa econda dei profii poiiva, un aumeno dell incerezza pora a un aumeno di q e γ a dunque dell inveimeno. ( )( ) γ a a a a γ 3 Proceo AR() Ricavando media e varianza della diribuzione del prezzo in +: ( p ) p + a ( p p) E + a Var( p+ ) σ a i upponga che la funzione dei profii ia lineare g ( p ) γ p + ω il prezzo d ombra del capiale è: q γ ( a) ( )( a ) ω aγ p + + a p q d 0 + d p Gli effei di lungo periodo di una variazione dell incerezza ullo ock deiderao di capiale dipendono dalla varianza dei fuuri prezzi ombra: a Var( q+ ) d Var( p+ ) d σ a. Un aumeno di σ provoca un aumeno degli inveimeni e h(.) relaiva a E [ ( )] è convea h q + convea, menre li fa diminuire e è concava., quindi un aumeno dell incerezza fa aumenare lo ock deiderao di capiale e i coi di aggiuameno ono concavi, li fa diminuire e ono convei. 7

8 Concluioni Gli elemeni, che deerminano la confliualià fra i modelli di Pyndick, Abel e Harman ono: L effeo dell incerezza ul livello deiderao degli inveimeni correni è collegao alla preenza di una funzione convea; la curvaura della funzione del coo di aggiuameno marginale condiziona la relazione fra il ao di crecia aeo dell inveimeno e il ao di crecia aeo del rendimeno marginale del capiale, q. In condizioni di cerezza, il ao di crecia dell inveimeno uguaglia il ao di crecia di q moliplicao per l elaicià dell inveimeno ripeo a q,. Tuavia, in condizioni di incerezza, quea relazione è ripeaa olo e la funzione del coo di aggiuameno marginale è lineare. l aunzione di Pyndick chee ( di ) 0 è inappropriaa per l analii del comporameno del ao di inveimeno oimale, Abel dimora che il ao di crecia aeo è indipendene dalle variabili di ao (p,k), è coane. Anche e queo ao di crecia coane è zero in condizioni di cerezza non lo è in condizioni di incerezza. ( σ 0) Deciioni di inveimeno e informazione limiaa ANALISI STOCASTICA E COSTI DI AGGIUSTAMENTO MODELLO DI PINDYCK A CURA DI GURI ELDA 8

9 Le eorie ocaiche non finanziarie Caraeriica comune di quee eorie è la coniderazione delle variabili fuure come deerminani dell inveimeno; L incerezza formalizzaa non globale; L incerezza riguarda il lao dell offera; Si coniderano forme di mercao perfeamene concorrenziale; L inveimeno è giuificao a mezzo di coi di aggiuameno. Il problema La queione da riolvere è l effeo prodoo dall aumeno dell incerezza ullo ock di capiale deiderao dalle impree. Le concluioni raggiune da diveri eorici ono conraani: Per Abel e Harman: aumeno dell incerezza aumeno degli inveimeni correni, olo in preenza di funzioni di domanda lineari omogenee Pindyck: aumeno dell incerezza aumeno degli inveimeni, indipendenemene dal vincolo ecnologico. Impora olo la conveià dei coi di aggiuameno. 9

10 L approccio di Pindyck (98) Il proceo di oimizzazione delle impree è coniderao nel coninuo; L incerezza aumena con l aumeno dei periodi coniderai; Il proceo ocaico dell evoluzione del prezzo è un moo Browniano geomerico: p p[θ ] dove θ rappreena uno hock ulla domanda eogeno e poiivo; Coninua Non prende in coniderazione neun vincolo ecnologico; I coi di aggiuameno ono convei e ono deerminani nella relazione fra incerezza e ock deiderao di capiale; Impree concorrenziali e neurali al richio; 0

11 Problema di Pindyck Incorporare un equazione differenziale ocaica nel problema di max dei profii aei. Profio di breve periodo: Π pf(l,k) w L- v I c(i) il fluo conao dei profii da max è: max E 0 Π e -r d K. I-δK Coninua La oluzione chiede che venga oddifao: max [Π() + /d E dj] O con: JJ(K,θ,) Quindi in ogni iane di empo la combinazione oima dei faori produivi deve eere cela in moda ale che le variazioni dei flui conai dei profii eguagli le variazioni dei profii correni.

12 Concluione Pindyck giunge nella concluione che la condizione di equilibrio di lungo periodo per l accumulazione di capiale è daa dalla nullià del ao di variazione aeo dell inveimeno. La variazione i aea dell inveimeno i è: pf K (r + δ) [C (I) - v] + ½ σ θi θc (I) Cuninua L effeo dovuo ad un aumeno dell incerezza dipende dalla derivaa erza dei coi di aggiuameno. C poiivo: aumeno del grado di incerezza incremeno degli inveimeni; C negaivo: aumeno del grado di incerezza diminuzione degli inveimeni.

13 In inei Avendo ipoizzao dei prezzi dell oupu che i evolvono nel empo eguendo un proceo ocaico coninuo, anche il proceo di accumulazione del capiale è in coninuo aggiuameno, quindiicoi di aggiuameno aumono un ruolo cenrale nella deerminazione dello ock di capiale deiderao. 3