3. MODELLI MATEMATICI

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1 3. MODE MAEMA ASSFAZONE DE MODE iemi ono decrii da opporuni modelli maemaici. Poiamo claificarli in re caegorie: Modelli maemaici nel dominio del empo o in campo reale Decrivono il comporameno del iema al variare del empo. Sono caraerizzai da una legge maemaica eprea in. Appariene a quea caegoria il modello. Modelli maemaici nel campo compleo Decrivono il comporameno del iema con una funzione complea in una variabile. a variabile, oo opporune condizioni, può rappreenare ia il empo che la frequenza del iema. Appariene a quea caegoria la funzione di raferimeno F(). Modelli maemaici nel dominio della frequenza Decrivono il comporameno del iema oopoo a impulo inuoidale al variare della frequenza delle ue armoniche. ienra in queo gruppo la funzione di ripoa armonica G(jω). Eempi dei primi due modelli, e F() ono ai già affronai nei capioli precedeni. l modello armonico G(jω) deriva da F() e arà decrio più avani in queo capiolo. PASSAGGO A MODE Noo un modello (a cela ra, F(), G(jω)), è empre poibile paare ad un alro aravero operazioni maemaiche: ampo raformaa di aplace F() ampo F(jω) ampo - Aniraformaa di aplace n queo capiolo decriviamo come rialire a un modello maemaico parendo da una rappreenazione grafica del iema, dei uoi componeni e delle loro inerazioni. Poiché i iemi elerici, ermici, idraulici poono empre eere rappreenai in modo equivalene a una ree elerica, uilizzeremo eempi di rei. 3.

2 MODE MAEMA NE DOMNO DE EMPO MODEO Eprime la variazione della ripoa del iema in funzione del empo. E il modello più claico e maggiormene uilizzao. n un iema la è il rapporo ra la ripoa e la olleciazione applicaa: O() () ESEMP D MODE MAEMA NE DOMNO DE EMPO > ONDENSAOE N OENE ONNUA Un condenaore è un componene eleronico paivo coiuio da due armaure che immagazzinano energia elerica. onideriamo il iema coiuio da un condenaore che uilizzi una correne coninua fornia da un generaore. erchiamo il modello maemaico che eprime la enione v() ulle armaure di. i() O Poiamo immaginare il generaore come l inpu del iema e il condenaore come l unico uo componene. oupu arà la enione (ddp) generaa ulle armaure. l valore dell oupu è dao dalla legge di funzionameno del condenaore: v() 0 i() l valore dell inpu è la correne coninua (egnale a gradino E) prodoa dal generaore: i() E ombinando inpu e oupu in una ola epreione roviamo il modello maemaico: v() 0 E 3.

3 MODE MAEMA NE DOMNO OMPESSO FUNZONE D ASFEMENO F(S) Si oiene calcolando la raformaa di aplace del modello maemaico nel empo. E una funzione di variabile complea, indicaa col imbolo F() o con l acronimo Fd. n un iema la Fd è il rapporo ra la raformaa della ripoa e la raformaa della olleciazione ad eo applicaa: O() () () O() () O() FD N FOMA D BODE G(S) Daa una funzione di raferimeno F() è poibile criverla nella coiddea forma di Bode come rapporo di faori in cui compaiono le coani di empo: G() ( + τ ) ( + τ )... ( + τm ) K 0 q... ( + ) ( + ) ( + n q ) 3.3

4 MODE MAEMA NE DOMNO DEA FEQUENZA FUNZONE D SPOSA AMONA G(jω) Se nella Fd conideriamo la variabile complea come coiuia dalla ola pare immaginaria jω: jω oieniamo la forma canonica della funzione di raferimeno, dea anche funzione di ripoa armonica. Si indica col imbolo G(jω): G(jω) G() j ω a funzione armonica è di fondamenale imporanza poiché rappreena il modello maemaico nel dominio della frequenza. G(jω) eprime il comporameno del iema in funzione delle armoniche del egnale in oupu, ciacuna caraerizzaa da una pulazione ω (o un equivalene frequenza f). 3.4

5 MODE MAEMA DE OMPONEN EEMENA ipo Grafico F() Denominazione v() i() V() () eiore eienza elerica EE v() i() V() () nduore nduanza elerica v() i() 0 i() v() V() () ondenaore apacià elerica EM Φ() Φ() () Φ() Φ() () () Φ() eienza ermica Φ() () apacià ermica DAU Q() Q() p() Q() Q() p() P() Q() eienza idraulica Q() P() apacià idraulica a abella è raa da: De Sani, acciaglia, Saggee - Siemi, SBN:

6 MODE MAEMA DE SEGNA ANON Grafico F() Denominazione δ () Dela di Dirac, 0 0, < 0 Gradino uniario E E, 0 0, < 0 E Gradino di ampiezza E, 0 0, < 0 ampa uniaria k, 0 0, < 0 k ampa di coefficiene angolare k, 0 0, < 0 3 Parabola uniaria in( ω), 0 0, < 0 ω + ω Sinuoide co( ω), 0 0, < 0 + ω oinuoide a abella è raa da: De Sani, acciaglia, Saggee - Siemi, SBN: