Esercizi riassuntivi sugli argomenti del corso in preparazione alla prova d esame:

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1 8 apiolo Eercizi riaunivi ugli argomeni del coro in preparazione alla prova d eame: Influenza delle funzioni aenuarici ul valore del empo di aeameno. Volendo fare un dicoro qualiaivo, e non formale e rigoroo dal puno di via maemaico, per cercare di capire i moivi per i quali la funzione aenuarice crea dei problemi al empo di Ga aeameno, conideriamo la funzione di raferimeno ad anello chiuo W Ga Se indichiamo la funzione di raferimeno ad anello apero Ga come rapporo ra numeraore e Na Na denominaore Ga, viluppando i calcoli i rova la relazione W Da Da Na Queo ignifica che il numeraore di W è lo eo di Ga. Quindi, e il numeraore di W è lo eo di Ga, ignifica che gli zeri di W ono gli ei zeri di Ga. Se i mee nella funzione ad anello Ga una funzione aenuarice e la i poiziona, come da buona regola, nella zona di baa frequenza ripeo a ω c, anche gli zeri della funzione W aranno a baa, de frequenza. Inerendo la funzione aenuarice i manifeeranno quindi zeri a baa frequenza. onideriamo un andameno ipico del modulo di ω: W jω Bae Frequenze 0dB ω A baa frequenza la funzione ω ha un modulo circa uguale a W jω agionando in ermini qualiaivi, in Na ci ono degli zeri a baa frequenza. Tale zero ende a far aumenare il modulo. Tuavia il modulo rimane a 0dB coane, allora c è qualcoa che va ad annullare queo effeo di innalzameno. Quindi l inroduzione di zeri a baa frequenza, iccome il modulo deve rimanere coane, fa comparire dei poli a baa frequenza. 0

2 L inroduzione della funzione aenuarice provoca la compara di poli a baa frequenza nella funzione ad anello chiuo W. Supponiamo che W conenga un polo a baa frequenza con frao emplice pari a. La funzione ea W avrà un cero numero di poli e quando a vado a fare la compoizione a frai emplici, ralaciando il dicoro dei reidui, i roverà che l aniraformaa della funzione arà del ipo: a L e a a Se il polo è a baa frequenza, la coane di empo, legaa al polo eo e alla frequenza, avrà un andameno molo leno. Le varie componeni dinamiche del iema reroazionao hanno l andameno chemaizzao in figura: Modulo Grafico omma dei vari conribui: i denoa un leno empo di aeameno. Modulo

3 Ho una convergenza molo lena allo zero. Tempi molo lunghi. Queo conribuo è reponabile dell effeo coda. Tui gli alri poli hanno alri ipi di conribuo. É la omma degli effei o dei conribui di ciacun polo che deermina l effeo coda. Nel cao praico in cui i debba eguire un riferimeno ad onda quadra, Modulo Non arebbe poibile avere iemi che non iano proni e reaivi per eguirne l andameno. Il problema dell effeo coda è molo imporane. Dopo aver volo, nelle core lezioni,. il cao di progeo con funzione aniciparice progeaa ul maimo e aggiuna di funzione aenuarice,. il cao di progeo con ola funzione aniciparice ben cenraa nell ae delle frequenze in modo da rendere eviabile l impiego di una funzione aenuarice, 3. nella lezione odierna affroneremo il erzo cao paricolare di progeo del iema dinamico: rioluzione con funzione aniciparice doppia e correzione del modulo con guadagno compleivo

4 Eercizio n.ro 3 Si conideri il eguene iema di conrollo: 6 G d Ad, Ad Progeare un conrollore in modo da oddifare i egueni requiii: e 0 per r δ M y d r 0.0 3dB 0. ioluzione : Progeo aico: analii delle pecifiche e 0 Prima pecifica: dalle abelle, con un polo nell origine e riferimeno a gradino, il valore nullo dell errore azionario è garanio dalla ipologia della G d A y 0.0 Seconda pecifica:applico il eorema del valore finale conribuo g ull ucia in regime azionario finio, con diurbo a rampa, richiede per Ga un polo nell origine [g], già garanio dalla G; i conidera il conrollore aico rc g 6 lim 0, 6 g 0 c r 0,5 0 c Dopo il confrono ra le due pecifiche, applico quella più reriiva. La cela del egno, eendo g*c>0, riula per il vero poiivo

5 iulai progeo aico: r0 riulao del calcolo , arroondabile a 7 oppure a 0 wc_de8 rad/ Indicazioni ul picco di rionanza: Mr non deve eere in db, ma in unià normali m_phi_de4 Siuazione di progeo : dai calcoli di MaLab riula che : m_wc_de0.038 f_wc_de m_phi_eff dela_phi8.396 devo quindi recuperare circa 8 di fae! Il limie eorico da non raggiungere nella praica in quano enderebbe ad infinio, è di 90, per cui il valore di dela_phi è piuoo elevao. In queo cao è neceario adoperare una funzione aniciparice doppia. Anche il modulo è molo bao, infai, raformao in db riula: 0*log db m D Porei dunque progeare una funzione aniciparice doppia, e conemporaneamene uilizzare qualche accorgimeno per aumenare il modulo. Una poibilià è quella di recuperare per due vole la fae di 4 con funzioni aniciparici emplici. Dalla abella delle curve md ricavo i dai: md5, cenraa in. rad/ 00 Bode Diagram Gm 35.8 db a 45. rad/ec, Pm 30. deg a.5 rad/ec 50 Magniude db Phae deg Frequency rad/ec 4

6 In queo cao il modulo recupera circa 8 db. Tale funzione aniciparice doppia aumenerà il modulo di circa 6dB e della quanià richiea la fae. Dopo le opporune correzioni del file.m, i oengono quei riulai: md 5 wd m_wc_de f_wc_de m_phi_eff 43.4 avevo biogno di 4, quindi il valore è acceabile mg6.664 m_phi30.06 w_pi wc.538 Il conrollore è: T D ω D m ω D D Il modulo è minore di uno e lo devo aumenare, in corripondenza di quella frequenza. Per aumenare ale modulo ho due poibilià:. moliplicare il modulo per una coane >. In queo cao non ci ono conroindicazioni ul progeo aico che chiede di avere c>6.6; e moliplico per > verifico comunque le condizioni iniziali. Il valore di da uilizzare, per oenere un valore del modulo uniario, è il reciproco del valore del modulo eo.. devo rovare una curva che, in corripondenza dell aumeno del modulo di 8dB, a mone della funzione aniciparice doppia, aumeni la fae di 4 vedi le curve md,4,6 ul diagramma uperiore relaivo al modulo Si noa come ale oluzione ira u la fae di 0 in più del voluo, ma nella fae calane dell aumeno di fae, quindi in riardo ripeo al neceario. Proviamo ad applicare le due oluzioni: modifiche ul file.m: Il modulo vale , circa corripondene a 3,97dB. 5

7 Moliplico per oenere il valore di, quindi devo emplicemene moliplicare per il reciproco quindi oengo un valore di pari a circa 8. % progeo aniciparice c/m_wc_de; Ga3c*Ga; c*; [m_wc_de, f_wc_de]bodega3,wc_de ; m_phi_eff80f_wc :de reurn Si oengono i riulai : m_wc_de.000 nauralmene deve riulare.000 in quano prodoo ra reciproci f_wc_de m_phi_eff43.4 Il conrollore compleivo è: ω D T D m D ω D Le condizioni necearie per il oddifacimeno delle pecifiche ad anello chiuo ono ripeae. Ho biogno della ripoa al gradino modifiche file: %Verifica del oddifacimeno delle pecifiche: picco di rionanza Mr, empo di alia WminrealGa3/Ga3; 0:0.0:0; y_epepw,; figure, plo,y_ep, grid on, zoom on Wlogpace-,3,000; mwbodew,w; m_w_db0*log0queezem_w; on queo comando verifico graficamene il empo di alia 6

8 figure emilogxw,m_w_db grid on, zoom on on queo comando verifico graficamene il picco di rionanza Analii della curva: il empo di alia deve eere calcolao in modo accurao, dal 0% al 90% del valore del modulo. In ogni cao, nella verifica del progeo, i valori di riferimeno devono empre eere calcolai. Ei ono: empo di alia; Mr picco di rionanza; S ovraelongazione; a,x% empo di aeameno. alcolo del empo di alia: valori ricavai dal grafico di MaLab Valuazione del picco di rionanza Mr: dal grafico i ricava il valore di.6798 db Banda paane nel noro cao ra 30rad/ec e 40 rad/ec -3 0 rad/ec 0 rad/ec 30 rad/ec 40 rad/ec Aumenando la cala del grafico i perdono i riferimeni della decade, e quindi non i riece a dare una valuazione correa del valore analiico. La procedura alernaiva per avere una buona valuazione della banda paane è l iruzione margin che va a calcolare, con il margine di fae ed il margine di guadagno, la pulazione di araverameno e la pulazione di oppoizione. Poo calcolare il valore della frequenza u di una funzione di raferimeno qualiai per cui il modulo vale 0dB, uilizzando la funzione margin di MaLab, in paricolare con l ulimo paramero in ucia. ome i rala lo 0 db, geio da MaLab, u 3dB per uufruire del upporo del calcolaore? Ho biogno di calcolare la frequenza, in cui una cera funzione di raferimeno ha il modulo che vale 3dB. A al fine i moliplica la funzione di raferimeno per 7

9 una coane pari all invero di 3dB. Quindi, iccome 3dB, moliplico ua la funzione per per ralare gli ai di riferimeno. Modifico il file.m [d,d,d,wb]marginw*qr I parameri che ho denominao d ono dei: variabili dummy in quano non richiei nel calcolo, ma calcolai dalla funzione di MaLab e quindi da claificare con il nome di una variabile. I riulai ono: d45 variabile dummy in luogo del margine di guadagno d45 variabile dummy in luogo del margine di fae d45 variabile dummy in luogo della pulazione di oppoizione wb rad/ pulazione di araverameno che rappreena il puno di inerezione con il valore di 3dB, già graficamene valuao circa uguale a 35dB, come da figura riporaa. iporo il file compleo, uilizzao u MaLab per la rioluzione del 3 eercizio: cloe all clear all f''; % Definizione dei dai G6/*0.5*0; c0; _c; Ga_*G; % fda dopo comp. aica wc_de8; m_phi_de4; [m_wc_de,f_wc_de]bodega,wc_de m_phi_eff80f_wc_de dela_phim_phi_de-m_phi_eff %reurn % Progeo aniciparice md5 w_norm.; wdwc_de/w_norm 8

10 _D/wD^//mD*wD^; _*_D; Ga_D*Ga; [m_wc_de,f_wc_de]bodega,wc_de m_phi_eff80f_wc_de %[mg,m_phi,w_pi,wc]marginga %figure, marginga %reurn c/m_wc_de; Ga3c*Ga; c*; [m_wc_de,f_wc_de]bodega3,wc_de m_phi_eff80f_wc_de %reurn % Progeo aenuarice if 0 mim_wc_de wi0.*wc_de/mi _I/mI*wI//wI; _I*; Ga3_I*Ga; [m_wc_de,f_wc_de]bodega3,wc_de m_phi_eff80f_wc_de end %reurn % Verifica del oddifacimeno delle pecifiche %Ga3Ga; WminrealGa3/Ga3; 0:0.0:0; y_epepw,; figure, plo,y_ep, grid on, zoom on wlogpace-,3,000; m_wbodew,w; m_w_db0*log0queezem_w; figure, emilogxw,m_w_db, grid on, zoom on [d,d,d,wb]marginw*qr Nella rioluzione dell eercizio è bene ener cono che è ao meo in evidenza un problema nei riulai che i oengono lanciando il file che abbiamo denominao ea_3.m con Malab 6. 9

11 Lanciando il file alla prima valuazione di modulo e fae a wc_de i oiene con Malab 6:» ea_3 m_wc_de f_wc_de Anziché come calcolao con la precedene releae Malab 5» ea_3 m_wc_de f_wc_de Porando ad un'erraa valuazione del margine di fae effeivo Si raa di un problema di Malab 6. L'errore a nella valuazione della fae alla frequenza wc_de che aggiunge 360 alla fae che dovrebbe eere valuaa. Malab 5 fornice correamene il valore Malab 6 fornice erroneamene il valore è vero che ui gli angoli, come poizione ul piano compleo ono definibili a meno di più o meno 360 gradi. Dal puno di via iemiico dobbiamo però enere cono di come agicono le ingolarià della fd ul comporameno della fae. Nel noro cao abbiamo un polo nell'origine -90 e due poli a E <0 e quindi alra perdia di fae. Non ha perano eno che la fae a wc_de auma un valore poiivo molo probabilmene la ragione di quea erraa valuazione à nel fao che nella fz. di anello ci ono due egni meno, che mandano in crii il calcolo della fae. In quei cai è empre bene racciare per icurezza conviene farlo anche e i adopera Malab 5 il diagramma di Bode della funzione di anello in modo da capire qual è il vero comporameno della fae. Se il riulao della valuazione della fae a wc_de non è compaibile con il comporameno della fae riporao ul diagramma di Bode occorre quindi orarre 360 al riulao rovao: f_wc_def_wc_de-360 La poibilià alernaiva di alzare il valore del modulo uilizzando funzioni aniciparici doppie cegliendo valori di md e di w_norm più elevai, permee di raggiungere i valori di margine di fae e di modulo adeguai, ma la ripoa al gradino, pur rienrando nei limii di pecifica, preena ocillazioni elevae non aupicabili per il conrollo di iemi di queo ipo. Vedi ad eempio md6 e w_norm0. 30

12 Diagramma di fluo della procedura di progeo. Specifiche Prima i mee a poo la fae, poi il modulo modulo fae Ad eempio i può verificare una ovraelongazione ala, la neceià di un recupero di fae, ecc. 3

13 Si ripora, a upporo della progeazione dinamica di iemi di conrollo, un diagramma di fluo in cui ono chemaizzae le procedure di progeo che riaumono i cai voli nelle eerciazioni. Parendo dal conrollore aico, riulao del progeo aico, iniziamo la definizione di una nuova funzione ad anello ulla bae delle pecifiche richiee ovraelongazione, picco di rionanza, empo di rialia, empo di aeameno, banda paane, e oeniamo margine di fae e pulazione di araverameno. La prima coa da valuare è il comporameno alla frequenza di progeo in ermini di modulo e fae. Si paa poi a valuare il margine di fae effeivo, verificando che ia uperiore a quello deiderao. Se i preena quea condizione, i paa direamene alla verifica del valore del modulo. Se anche il modulo i preena nelle condizioni oimali, cioè nell inorno del valore uniario, i eeguono le verifiche ad anello chiuo e, qualora ee diano eio poiivo, manenendo ui i valori enro i limii impoi, il progeo è concluo. Se invece il valore del modulo è molo inferiore ad uno o 0dB, i progea una correzione di guadagno aico, calcolandola come l invero del modulo ripeo alla pulazione di araverameno deideraa. Qualora invece il modulo ia molo maggiore di uno, eo i deve abbaare localmene, non riducendo compleivamene il guadagno per eviare di perdere il margine di fae neceario, ma uilizzando la funzione aenuarice per oenere valori di modulo e fae della funzione di raferimeno ad anello chiuo che conenano di ripeare le pecifiche. Nel cao che non ia raggiuno il valore minimo del margine di fae, i progea la funzione aniciparice, i aggiorna la funzione di raferimeno ad anello Ga e i valua il valore del modulo. Anche in queo cao, e molo minore di uno i applica la correzione del guadagno, e molo maggiore di uno i applica la funzione aenuarice. La concluione del progeo implica che le imulazioni u MaLab della ripoa al gradino e del modulo della funzione di raferimeno ad anello chiuo W, oddifino le pecifiche preabilie. Nel cao vi iano ancora delle poibili defezioni, i auano degli accorgimeni pecifici, come ad eempio, e la ovraelongazione rimane roppo ala, i cerca un recupero di fae incremenando il valore del margine di fae con una nuova funzione aniciparice, o modificando la frequenza di applicazione della funzione aenuarice, ecc. iepilogando, per il progeo dinamico ono ai voli re cai pecifici:. rioluzione con funzione aniciparice eguia da funzione aenuarice. rioluzione con ola funzione aniciparice, cenraa nella fae, eviando l impiego della funzione aenarice, e il valore del modulo rimane in un inorno di uno 3

14 3. rioluzione con funzione aniciparice doppia e correzione del modulo aravero un guadagno compleivo inolre abbiamo vio i riocchi dei ingoli progei, come nei cai in cui la funzione aenuarice abbaa il valore della fae, ea va poaa a baa frequenza, oppure nel cao in cui il empo di aeameno è molo reriivo, i evia di uilizzare le funzioni aenuarici o i cerca di porarle ad ala frequenza per avere uno zero ed il corripondene polo della funzione di raferimeno ad anello chiuo ad ala frequenza, in modo che la coane di empo poa eere più veloce, enza racurarne la conroindicazione in ermini di coda di perdia di fae indoa dalla funzione aenuarice. Quee ono le equenze maggiormene uilizzae per arrivare al oddifacimeno delle pecifiche richiee. A concluione delle eerciazioni i oopone un eo d eame per provare le re ipologie di eercizi che devono eere rioli. Simulazione della prova d eame Eercizio n.ro Si conideri il iema dinamico in Figura in cui la enione v coiuice l ingreo menre la enione vr coiuice l ucia. I Vr I I Vr Deerminare la funzione di raferimeno G ioluzione: v r in funzione dei parameri L,, ed. v Nello volgimeno del problema i faccia riferimeno alla eguene raccia: Scrivere le equazioni dinamiche che regolano il comporameno del iema dao. Indicare l epreione analiica della funzione di raferimeno richiea. premeo che: 33

15 d di L v d i vc i vr L criviamo le equazioni di equilibrio: - i d di L v - i d i i - i i i Paiamo ora nel dominio raformao upponendo nulle le condizioni iniziali I I S L V I I S I 3 I I I La G cercaa è: 4 V V oiuendo la 3 nella i oiene: 5 I S I I L V ricavando dalla : I S 6 S S I I oiuendo la 6 nella 5 i oiene: 7 S S L S L I V Infine poiché: 8 I V 34

16 dalla 4 i ha che: 9 S L S L S G iaumendo: Le equazioni dinamiche che regolano il comporameno del iema dao ono: i d di L v i d i i 3 i i i l epreione analiica della funzione di raferimeno è: 9 S L S L S G 35

17 Eercizio n.ro : Un iema è decrio dalla f.d.. G 5. deerminare l epreione analiica dell ucia quando l ingreo è un gradino di ampiezza, pecificando, e poibile, il valore in regime permanene. ucceivamene, i upponga di voler abilizzare ale iema con reroazione uniaria negaiva e con un compenaore in cacaa. Uilizzando il crierio di Nyqui, udiare la abilià del iema reroazionao al variare del guadagno reale. ioluzione: Nello volgimeno del problema i faccia riferimeno alla eguene raccia: Scrivere l epreione dell ucia nel dominio della raformaa di Laplace inieme alla relaiva decompoizione in frai emplici. U è l epreione dell ingreo a gradino di ampiezza In queo cao non è applicabile il eorema del valore finale, in quano la funzione di raferimeno ha un polo non reamene minore di zero. Non è quindi oddifaa la condizione necearia e ufficiene per la abilià del iema. Procedo dunque con il calcolo analiico del egnale all ucia. Y G*U 5 Y Y File MaLab uilizzao: cloe all clear all f''; % variabile di Laplace G*/*^*5; % funzione di raferimeno U/; % ingreo YG*U %; % ucia 36

18 [num,den]fdaay,'v'; % calcolo con Malab i veori numeraore, denominaore %in alernaiva i poevano uilizzare i comandi: %num4*[ ]; %denconvconvconv[ ],[ ],conv[ 5],[ 0],[ 0]; [r,p,k]reiduenum,den%; % calcolo dei reidui della compoizione in frai emplici figure,bodeg % diagramma di Bode figure, nyquig % diagramma di Nyqui, per verifica iulai: Tranfer funcion: ^5 9 ^4 4 ^3 0 ^ r p k [] Si ricorda che la convenzione di MaLab prevede di ordinare i reidui econdo le poenze creceni dei frai emplici aociai. Quea regola riula molo uile quando ci i rova a che fare con poli di moleplicià maggiore di uno. Scrivere l epreione analiica calcolaa dell ucia icavo dalle abelle l aniraformaa di Laplace y e -5 e - 3 e - 4 δ 5 δ y -0.07e -5 0.e e δ 0. δ Moliplico uo per la funzione a gradino, in modo da unilaerizzare l epreione e renderla coerene con la realà fiica y 0.07e -5 0.e e δ Il valore dell ucia è una ommaoria di 3 ermini decreceni, un ermine coane ed un ermine monoono crecene. La riulane è divergene, caraeriica di un iema inabile. Non è quindi poibile indicare il valore in regime permanene. Tracciare il diagramma di Nyqui neceario per lo udio della abilià del iema reroazionao, pecificando i ragionameni uilizzai per il racciameno. 37

19 La funzione ad anello del iema reroazionao è: Ga G G jω 5 Ogni zero a pare reale negaiva o nulla faa compleivamene di 90 Ogni polo a pare reale negaiva o nulla faa compleivamene di 90 La funzione di raferimeno preena: un polo nell origine che inroduce lo faameno della fae di 90 uno zero reale negaivo ; la fae ale di 90, il modulo ale di 0dB; re poli reali negaivi,,5; la fae cende di 90 x370, il modulo cende di 0x360dB. Traccio i diagrammi di Bode: la fae paa da 90 a -70. Il modulo ha andameno monoono decrecene, da 0dB per baa frequenza 0. rad/ a -4 db per ala frequenza 00 rad/. L andameno è coerene alle previioni di maima Il diagramma di Nyqui ul piano eale-immaginario, con il deaglio della pare proima all origine in quea configurazione: andando a racciare manualmene il diagramma di Nyqui relaivo alla pare proima all origine degli ai, i oiene un grafico come quello riporao in figura 38

20 Puni noevoli: per w0 i ha m e phi-90 per winfinio i ha m-infinio e phi-70 Inerezione con gli ai: Nnpr-npa0 Sabile N Inabile inerezioni N Inabile e Scrivere i riulai oenui nello udio della abilià del iema rero azionao. 39

21 Ga 5 Moliplicando la funzione G per un faore, il puno di inabilià divena Ga jω La abilià della funzione reroazionaa G jω Per < < il iema è abile, quindi per > > Quindi per l inervallo di valori di comprei ra zero e 64.56, 0 < < npa 0 N 0 npr N npa 0 numero poli all inerno del percoro di Nyqui numero di inerezioni il iema è abile. Per ui gli alri cai, il iema è inabile. Verifico con MaLab la abilià del iema: clc cloe all clear all f''; % variabile di Laplace G*/*^*5; % funzione di raferimeno 63 G*G; %aggiorno la funzione ad anello con il conrollore aico YG/G; %; % era l'ucia, adeo è la funzione ad anello chiuo W [num,den]fdaay,'v'; % calcolo con Malab i veori numeraore, denominaore %verifica della abilià del iema, radici del denominaore di Y abilià rooden 40

22 iulai: fuori inervallo abilià i i l ulimo polo ha pare reale poiiva: inabile.0000e-004 nell inervallo abilià i i ui poli con pare reale negaiva: abile 63 nell inervallo abilià i i ui poli con pare reale negaiva: abile 65 fuori inervallo abilià i i poli con pare reale poiiva: inabile Eercizio n.ro 3: Si conideri il iema di conrollo illurao in figura: Dove G d Ad, Ad Progeare un conrollore impiegando il minor numero poibile di funzioni aniciparici e/o aenuarici, in modo da oddifare i egueni requiii: S 5% e y d 0.8 a,% per r A progeo concluo valuare : il oddifacimeno delle pecifiche impoe, calcolandone il valore analiico il picco di rionanza M r in db e la banda paane ω B del iema conrollao; la maima ampiezza del modulo del comando u quando agice olo un riferimeno a gradino di ampiezza uniaria. 4

23 ioluzione: Nello volgimeno del problema i faccia riferimeno alla eguene raccia: Epreione analiica del conrollore progeao: T D ω D m ω D D -5 m D 4.5 ω.84 rad/ D Decrivere e moivare brevemene la procedura di progeo eguia riporando qualche riga di commeno al procedimeno: Dall analii delle pecifiche i ricavano i valori per il progeo del conrollore aico r. Siccome la f.d.. non ha poli nell origine, è neceario inerire r nella forma c/. Per il progeo del conrollore dinamico, dao che biognava recuperare circa 30 di margine di fae, i è uilizzaa una funzione aniciparice; la funzione aenuarice non è aa necearia in quano, dopo una erie di ierazioni di calcolo, applicando il meodo deo inei per enaivi, i è arrivai alla cela dei valori di md4.5 e w_norm.9 che hanno aicurao le pecifiche calcolae di pulazione di araverameno e margine di fae pur rimanendo nei limii impoi dalle curve md. Abbiamo rienuo di non applicare la funzione aenuarice anche per non peggiorare le performance del iema. Dopo aver impoao il progeo, abbiamo provveduo alla verifica del oddifacimeno delle pecifiche impoe, che ono ae ripeae. Valori oenui per le pecifiche di progeo: S 5% e y d 0.8 a,% per r %

24 Valori oenui per le verifiche a progeo concluo: M r.464db ω.886 rad/ B max u Per meglio comprendere ui i pai dello volgimeno del progeo, ne riporiamo la minua, con il deaglio di ui i calcoli eeguii per poer crivere i riulai richiei nel eo. Progeo Saico La G preena due poli con pare reale minore di zero. Per aicurare la abilià del iema è neceario avere un polo nell origine, per cui il conrollore aico lo dovrà prevedere con la forma c/. La prima pecifica da analizzare riguarda la limiazione ad un valore finio dell errore azionario di ineguimeno a riferimeni polinomiali per un egnale di riferimeno h a rampa di ampiezza uniaria, che preuppone il iolo g della Ga: r e 0. lim 0 A r T La econda pecifica riguarda il limie finio del conribuo ull ucia in regime azionario per diurbi polinomiali addiivi ull ucia, per un diurbo h a rampa, che prevede iolo g della Ga. r y d lim A D T

25 Tra i due riulai, conideriamo la oluzione più reriiva 5 Ora definiamo il egno di c iolviamo il limie per che ende a zero della G G limg lim Noi appiamo che c*g>0, eendo G -0,, anche c arà negaivo. 5 Quindi r arà: T Ora per verificare la fae e il modulo è neceario fare riferimeno alla abella di converione delle pecifiche: per il legame ω ad anello chiuo abbiamo: S M r da cui poiamo calcolare M r la ovra elongazione S è normalmene eprea in percenuale ripeo al valore a regime, ma in queo calcolo è ao indicao in forma decimale con il valore indicaivo del picco di rionanza poo calcolare il valore indicaivo del margine di fae: m > arcen ϕ ; m ϕ > arcen ; M r,5 m ϕ > 0,8996rad > o 5.57 Sempre indicaivamene, i poono valuare i valori di riferimeno per il progeo della banda paane e della pulazione di araverameno, in relazione alle pecifiche del empo di alia: 3 ω B 3 ; ω B 3,75rad / ec 0.8 0,4ω < ω < 0, 8ω ; conideriamo quindi 0,6ω, 5 B B B iporiamo il file uilizzao per la rioluzione dei calcoli di progeo dell eercizio n.ro 3 della imulazione della prova d eame, ul quale ono ae inerii i riulai del progeo aico opra deagliao. 44

26 clc cloe all clear all Inizializzazione andard f''; % definizione della variabile di Laplace % Definizione dei dai iniziali G-.04*5 / 0**0.04*; %Funzione di raferimeno c-5; %valore calcolao dall'analii delle pecifiche per il progeo aico _c/; % conrollore aico Ga_*G; % fda dopo comp. aica wc_de.5; % paramero calcolao wb * 0,6 m_phi_de5; % paramero calcolao 5,5 [m_wc_de,f_wc_de]bodega,wc_de m_wc_de iulai da calcolo MaLab in graeo f_wc_de m_phi_eff80f_wc_de m_phi_eff.698 dela_phim_phi_de-m_phi_eff dela_phi %reurn dai riulai oenui biogna progeare una funzione aniciparice al fine di recuperare fae e modulo, aualmene piuoo bai. 45

27 per recuperare 30 dalla abella celgo md4.5 e w_norm.9 % Progeo aniciparice md4.5; w_norm.9; wdwc_de/w_norm; _D/wD//mD*wD; _*_D; Ga_D*Ga; [m_wc_de,f_wc_de]bodega,wc_de m_wc_de.47 f_wc_de m_phi_eff80f_wc_de m_phi_eff [mg,m_phi,w_pi,wc]marginga mg Inf m_phi w_pi Inf I riulai ono acceabili in quano rienrano nelle pecifiche wc.5693 impoae: figure, marginga m_phi_de > 5 ; m_phi %reurn wc de >.5; wc

28 % Verifica del oddifacimeno delle pecifiche WminrealGa/Ga; 0:0.0:0; y_epepw,; figure,plo,y_ep, grid on, zoom on S.497,90% 0.663, 0% a,%3.36 Da queo grafico i ricavano: Sovraelongazione maima: S 4.97%; empo di alia: al 90% del valore a regime al 0% del valore a regime ec. Tempo di aeameno al %: a,% 3.36 ec. %reurn % Analii armonica wlogpace-,3,000; [m,f]bodew,w; % L'iruzione reiuice i valori mqueezem; % Iruzione ecnica per erarre i valori m_db0*log0m; % Traccio il grafico e valuo il picco di rionanza e la banda paane figure, emilogxw,m_db grid on zoom on 47

29 Da queo grafico i ricavano: Il picco di rionanza: Mr.464 db La banda paane ω B circa.9 db imao graficamene %reurn % calcolo analiico della banda paane [d,d,d,wb]marginw*qr d Inf d Inf d Inf Wb.886 Variabili dummy % e_infinio W_reminreal/Ga3; e_epepw_re/,; % Traccio il grafico e verifico che l'errore rienri nel limie abilio % funzione Ga di ipo, polo nell'origine e ripoa al egnale a rampa figure, plo,e_ep 48

30 grid on zoom on Da queo grafico i ricava il valore dell errore per regime azionario, pari a % y_infinio W_dyW_re; y_rampepw_dy/*0.,; %Pao da rampa a gradino dividendo per S inegrale % Traccio il grafico dell andameno di y_infinio figure, plo,y_ramp grid on zoom on % Il diurbo ull'ucia a regime permanene è una coane 49

31 Da queo grafico i ricava il valore del diurbo a regime permanene, pari a % u_max W_ruminreal/Ga3; u_epepw_ru, ; % Traccio il grafico figure,plo,u_ep grid on zoom on Da queo grafico i ricavano: maima ampiezza del modulo del comando u quando agice olo un riferimeno a gradino di ampiezza uniaria: 79.4 %verifica della abilià del iema, radici del denominaore di W [num,den]fdaaw,'v'; abiliàrooden abilià i i i i 50

32 Da quei riulai i deduce che il iema è abile in quano ue le pari reali delle radici del denominaore della funzione ad anello chiuo ono minori di zero. 5

33 Eame B del 30/04/03: 0,8 Dove G d Ad, Ad 4 Progeare un conrollore impiegando il minor numero poibile di funzioni aniciparici e/o aenuarici, in modo da oddifare i egueni requiii: S 0% e y d 0.9 a,% 0 per 3,5 r 4 δ 0.8 A progeo concluo valuare : il oddifacimeno delle pecifiche impoe, calcolandone il valore analiico il picco di rionanza M r in db e la banda paane ω B del iema conrollao; la maima ampiezza del modulo del comando u. ioluzione: Nello volgimeno del problema i faccia riferimeno alla eguene raccia: Epreione analiica del conrollore progeao: ω m D ω D D T D m 6 doppio D 5

34 ω D rad/ doppia Decrivere e moivare brevemene la procedura di progeo eguia riporando qualche riga di commeno al procedimeno: Dall analii delle pecifiche i ricavano i valori per il progeo del conrollore aico r. Siccome la f.d.. non ha poli nell origine, è neceario inerire r nella forma c/. Per il progeo del conrollore dinamico, dao che biogna recuperare circa 64 di margine di fae, i uilizza una funzione aniciparice doppia con una cela dei valori di md6 e w_norm; la funzione aenuarice non è necearia in quano, i raggiunge un margine di fae effeivo ufficiene, ad un valore di modulo inferiore a 0dB, correggibile grazie ad un guadagno compleivo c.4535 che aicura il oddifacimeno delle pecifiche impoe, ue ripeae. Valori oenui per le pecifiche di progeo: S 0% e y d 0 0,9 a, % 0, % ,63 Valori oenui per le verifiche a progeo concluo: M r 0 ω B 4,0860 rad/ max u 06,306 Svolgimeno: Progeo Saico La G preena due poli con pare reale minore di zero. Per aicurare la abilià del iema è neceario avere un polo nell origine, per cui il conrollore aico lo dovrà prevedere con la forma c/. La prima pecifica da analizzare riguarda la limiazione ad un valore nullo dell errore azionario di ineguimeno a riferimeni polinomiali per un egnale di riferimeno h a gradino, che preuppone il iolo g della Ga: r 0,8 lim T 0, e A r 0,05 0 Da cui i ricava che, nelle condizioni g e c/ la pecifica viene oddifaa. 53

35 La econda pecifica riguarda il limie finio del conribuo ull ucia in regime azionario per diurbi polinomiali addiivi ull ucia, per un diurbo h a rampa, che prevede iolo g della Ga. r 0,8 lim T 0, y d A D 0,05 0,05 0,8 50 0, Tra i due riulai, conideriamo la oluzione più reriiva 50 Ora definiamo il egno di c iolviamo il limie per che ende a zero della G 0,8 G limg lim 0, Noi appiamo che c*g>0, eendo G 0,05 poiivo anche c arà poiivo. Quindi r arà: 50 T Ora per verificare la fae e il modulo è neceario fare riferimeno alla abella di converione delle pecifiche: per il legame ω ad anello chiuo abbiamo: S M r da cui poiamo calcolare M r la ovra elongazione S è normalmene eprea in percenuale ripeo al valore a regime, ma in queo calcolo è ao indicao in forma decimale con il valore indicaivo del picco di rionanza poo calcolare il valore indicaivo del margine di fae: m > arcen ϕ ; m ϕ > arcen ; M r,0 Si conidera quindi il valore minimo di 55 m ϕ > 0,9437rad > o

36 Sempre indicaivamene, i poono valuare i valori di riferimeno per il progeo della banda paane e della pulazione di araverameno, in relazione alle pecifiche del empo di alia: 3 ω B 3 ; ω B 3,3333rad / ec 0.9 0,4ω < ω < 0, 8ω ; conideriamo quindi ω 0,6ω B B _ de B il valore può comunque variare ra.33 e.666 rad/ iporiamo il file uilizzao per la rioluzione dei calcoli di progeo. In graeo i riulai ul promp clc cloe all clear all % file uilizzao nell'eame del 30/04/03 al LAIB3 prof.anale Maimo f''; % Definizione dei dai G0.8/*4^; c50; % Ho deerminao il c dell'analii delle pecifiche _c/; Ga_*G; % fda dopo comp. aica wc_de; m_phi_de55; %figure, marginga; [m_wc_de,f_wc_de]bodega,wc_de f_wc_def_wc_de-360; % per ovviare al problema di programma MaLab 6 m_phi_eff80f_wc_de dela_phim_phi_de-m_phi_eff reurn m_wc_de f_wc_de m_phi_eff dela_phi

37 Si devono recuperare 64 di margine di fae quindi è neceario, dao il valore elevao del dela_phi, fare uo delle funzioni compenarici elemenari ed uilizzare una doppia funzione aniciparice. Dal grafico delle md ricavo i valori di md6 e w_norm. % Progeo aniciparice md6; w_norm; wdwc_de/w_norm; _D/wD^//mD*wD^; _*_D; Ga_D*Ga; [m_wc_de,f_wc_de]bodega,wc_de m_phi_eff80f_wc_de [mg,m_phi,w_pi,wc]marginga %figure, marginga; reurn m_wc_de f_wc_de m_phi_eff mg m_phi w_pi wc.3358 Il valore del margine di fae è, grazie all azione aniciparice, di quai 63, maggiore del minimo valore ammiibile che era ao calcolao di 55. La doppia funzione aniciparice è quindi ufficiene per avere il margine di fae adeguao. Il valore del modulo rimane uavia inferiore al valore di riferimeno di 0dB, anche e la wc calcolaa da MaLab con la funzione margin per l auale funzione di raferimeno ad anello chiuo Ga rienra nel campo di valori ammiibili della wc_de da.33 a.666 rad/. Moliplico il valore della Ga per un coefficiene c che rali la curva del diagramma di Bode in modo che vi ia corripondenza ra il valore di wc_de ed il valore di ω ne che, coneguenemene, il valore del modulo ia di 0dB 56

38 c/m_wc_de %il valore di c deve riporare a il valore di m_wc_de Ga3c*Ga; c*; [m_wc_de,f_wc_de]bodega3,wc_de m_phi_eff80f_wc_de reurn c.4535 m_wc_de.0000 f_wc_de m_phi_eff In queo modo viene garania la abilià del iema in regime permanene enza fare ricoro alla funzione aenuarice, oenendo migliori preazioni in ermini di ripoa ai egnali. Ora non rea che verificare il ripeo delle pecifiche uilizzando le imulazioni calcolabili con MaLab: Dal grafico della ripoa del iema al gradino WminrealGa3/Ga3; 0:0.0:0; y_epepw,; figure, plo,y_ep, grid on, zoom on S,0558,90% ,0% a,0%

39 ricavo i valori di S5.58%; ,5686; e a,%.63. Dal grafico della ripoa armonica wlogpace-,3,000; m_wbodew,w; m_w_db0*log0queezem_w; figure emilogxw,m_w_db grid on, zoom on ricavo il valore del picco di rionanza Mr 0 menre il valore della banda paane in corripondenza di 3dB viene calcolao analiicamene dal comando MaLab: [d,d,d,wb]marginw*qr wb % calcolo di e_infinio W_reminreal4/Ga3; e_epepw_re,; figure, plo,e_ep grid on zoom on r Da cui i ricava e 0 ; peralro già previo dalle condizioni g e impulo a gradino 58

40 d y r e 0 % calcolo di y_infinio W_dyminreal/Ga3; y_rampepw_dy/,; %Pao da rampa a gradino dividendo per S % Traccio il grafico figure, plo,y_ramp grid on zoom on Da cui i ricava che il diurbo ull'ucia a regime permanene è un valore coane pari a y 0,5504, già prevedibile dall analii delle condizioni g e impulo a rampa % calcolo di u_max W_ruminreal/Ga3; u_epepw_ru, ; % Traccio il grafico figure, plo,u_ep grid on zoom on 59

41 u max Da cui i ricava il valore maimo di 06,309 60