SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 10 Settembre Si consideri il seguente sistema retroazionato: d(t)

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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Biani, BIO A-K) Seembre 8. Si onideri il eguene iema reroazionao: d() y () _ e() R() G() ( + on G (), R (). ( + 5)( + 8+.a Faendo uo della ara emilogarimia oo riporaa, i raino i diagrammi di Bode ainoii, del modulo e della fae, aoiai alla funzione d anello L (). Si giuifihi la ripoa..b Si deermini, evenualmene in maniera approimaa, la pulazione riia della funzione d anello L (). Si aloli poi la fae riia di L (). Infine, mediane il rierio di Bode, i deermini e il iema in anello hiuo ia ainoiamene abile oppure no. Noa: ome valore della fae di un numero reale negaivo, i adoi +8, ovvero + π rad.. Sia F() la funzione di raferimeno in anello hiuo dal egnale d() al egnale y(). In bae al diagramma di Bode del modulo di L(), i deermini una poibile approimazione per il diagramma di Bode del modulo di F(). Si giuifihi opporunamene la ripoa. Si faia uo, e oorre, della ara emilogarimia qui oo riporaa. + y() Soluzione.a La funzione d anello di queo iema reroazionao negaivamene è ( ( + L () GR () () (). ( + 5)( + 8+ ( + 5)( + 8+ Ea ha due zeri nell origine (il ipo è g ), uno zero emplie di valore 4, un polo emplie di valore 5 ed una oppia di poli omplei oniugai (le radii del rinomio ) pari a 4 ± ± j5. Perano, le pulazioni da oniderare per il raiameno dei diagrammi di Bode ainoii ono 4 rad/, 5 rad/ e 4 rad / 64.3 rad / 64 rad/. Rea da deerminare il guadagno µ ; a ale opo, riviamo la f.d.. nella forma guadagno e oani di empo (adaa al raiameno dei diagrammi di Bode): ( + 4 L () 4 ( + 5)( Quindi, il guadagno è in queo ao µ, he ha modulo 4 db e fae. In bae alle noe regole di raiameno, qui non riporae per brevià, i riava he i diagrammi di Bode ainoii, del modulo e della fae, di L( jω ) hanno le egueni araeriihe fondamenali: - per quano riguarda il diagramma di Bode ainoio del modulo, i oerva he o dalla pulazione ω rad/ alla pulazione della prima ingolarià fuori dall origine, oia ω 4 rad/, eo ha pendenza +4 db/deade, per via dei due zeri nell origine; eo paa, ad eempio, per il puno (ω rad/, µ db 4 db); o da ω 4 rad/ a ω 5 rad/, la pendenza di ale diagramma aumena, ripeo al valore he aveva in preedenza, di db/deade, paando quindi a +6 db/deade, per via dello zero in 4;

2 o da ω 5 rad/ a ω 64 rad/, la pendenza diminuie di db/deade, ornando quindi +4 db/deade, per via del polo di valore 5; o da ω 64 rad/ in poi, la pendenza diminuie di 4 db/deade, divenando quindi db/deade, per via della oppia di poli omplei oniugai di pulazione naurale ω n 64 rad/; - per quano riguarda il diagramma di Bode ainoio della fae, i oerva he o dalla pulazione ω rad/ alla pulazione della prima ingolarià fuori dall origine, oia ω 4 rad/, la fae vale 8, per via dei due zeri nell origine e del fao he il guadagno è poiivo; o da ω 4 rad/ a ω 5 rad/, la fae aumena di 9, divenando quindi 7, per via dello zero di valore 4 (i raa, infai, di uno zero emplie negaivo); o da ω 5 rad/ a ω 64 rad/, la fae diminuie di 9, divenando 8, per via del polo di valore 5 (i raa, infai, di un polo emplie negaivo); o da ω 64 rad/ in poi, la fae diminuie di 8, divenando, per via della oppia di poli omplei oniugai a pare reale negaiva. I diagrammi di Bode ainoii, del modulo e della fae, di L( jω ) ono riporai in verde nelle due figure egueni (in blu ono riporai i orripondeni diagrammi eai, non ainoii): 6 Diagramma di Bode - Modulo 4 db pulazione 3 Diagramma di Bode - Fae 5 gradi pulazione

3 .b La pulazione riia della funzione d anello L () è, per definizione, quella pulazione ω per ui L( jω ), ovvero db; ea i oiene quindi riolvendo l equazione jω + ω L( jω ) 4, jω 8 ω + + jω oia ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Que ulima è un equazione algebria di erzo grado nell inognia auiliaria ω (dalla quale i può poi riavare failmene ω, riordando he ω >). Per ridurre la diffiolà della rioluzione di ale equazione, i può erare di riavarne una verione approimaa: in bae ad una prima ima di ω oenua dal diagramma ainoio del modulo raiao al puno.a, infai, aluni ermini nell equazione i poono raurare. Più preiamene, nel ao preene, dal diagramma i vede he ω < rad /, periò ω ω < ω ω < < ω ω 64 periò il faore + + ω i può ben approimare on il valore ; l equazione da riolvere è allora approimaivamene 4 ω ω ω ω ω ω Quea è un alra equazione algebria di erzo grado nell inognia auiliaria ω, periò nel ao preene non i riee a emplifiare di molo il problema della deerminazione di ω oenendo immediaamene un valore per ω. Aoneniamoi dunque dell approimazione di ω he i può oenere dal diagramma di Bode ainoio del modulo di L( jω ) : e il grafio è ao raiao on uffiiene ura, è poibile dedurre da eo he 7 rad / < ω < 8 rad / (in effei, L( j7).897 < e L( j8).67 >; i può verifiare he un approimazione anora migliore è ω 7.3 rad / ). Segliendo, ad eempio, l approimazione ω 7 rad /, i oiene he la fae riia è ω jω + 4 ϕ L( jω) jω 8 ω + + jω

4 j j + j arg arg arg ( π rad 3.693rad Il rierio di Bode è appliabile, in quano L ( ) non ha poli a pare reale maggiore di zero ed il diagramma di Bode del modulo di L( jω ) inerea l ae db una ola vola. Eendo il guadagno poiivo ma il margine di fae ϕm 8 ϕ <, il rierio eo permee di onludere he il iema in anello hiuo oniderao in queo eerizio non è ainoiamene abile.. La funzione di raferimeno in anello hiuo dal egnale d() al egnale y() è F (). + L ( ) ( + + ( 5)( Perano, i ha he, per L( jω) F( jω) + L( jω), per L( jω) L( jω) oia F( jω) db, per L( jω) db L( jω), per L( jω) db db Si ha, dunque, l approimazione del diagramma di Bode del modulo ainoio di F(jω) riporaa in roo nella figura eguene (in verde è riporao, per ompleezza, il diagramma di Bode ainoio del modulo di L(jω)): 6 Diagramma di Bode - Modulo 4 db pulazione 4

5 . Si onideri queo iema dinamio: y () e() G() _ R() _ + d() y() ( + Si auma he G (), R (). ( + 5)( + 8+.a In bae ad opporune oniderazioni vole on il meodo dei veori, i deermini quale ia, ra i egueni A, B, C, D, il diagramma di Nyqui della funzione d anello L (). Si giuifihi la ripoa. Si evidenzi anhe, ul grafio deignao, il diagramma polare di L () A B C D 5 5 5

6 .b Si auma ora he R () (e G() rimanga la ea di prima). Mediane il rierio di Nyqui, i deermini e il iema in anello hiuo ia ainoiamene abile oppure no ( +. Ci i ponga nelle ondizioni di ui al puno.b, oia i auma he G () e ( + 5)( + 8+ R (). Si deermini il valore a raniorio eaurio (oia per + ) di e() quando y () 3 a() e d ( ) ramp ( ). Si giuifihi opporunamene la ripoa. Soluzione.a La funzione d anello di queo iema reroazionao (poiivamene) è ( ( + L () GR () (). ( + 5)( + 8+ ( + 5)( + 8+ Ea ha due zeri nell origine (il ipo è g ), uno zero emplie di valore 4, un polo emplie di valore 5 e una oppia di poli omplei oniugai (le radii del rinomio ) pari a 4 ± ± j5. La ua oane di raferimeno è ρ Come appare immediaamene, quea funzione d anello è l oppoo della funzione d anello dell eerizio. Uiamo il meodo dei veori per deerminare, innanziuo, il diagramma polare di L( jω ). A ale opo, ominiamo on il raiare la mappa dei poli e degli zeri di L ( ) nel piano ompleo; ongiungiamo poi poli e zeri al generio puno jω (ω>) del emiae immaginario poiivo e onideriamo i veori oì oenui, morai nella figura ooane inieme ai loro moduli (ω, v γ, v β, v α e v α ) e alle loro fai (9, γ, β, α e α ripeivamene), oia agli angoli, poiivi in eno aniorario, he ei formano a parire dal emiae reale poiivo: Imag Axi α Pole-Zero Map v α α Due puni noevoli da valuare del diagramma polare ono L( j ) 6 v α v β v γ jω ω β γ 9 e L( + j ) : nel ao preene, i ha he

7 ( j ) ( j + ( j + L( j ), ( j + 5)[( j ) + 8 j + 4] ( j + 5)[ j + 4] da ui i dedue he + L( j ) + L( j ) arg(5 / 4) arg(5 / 4) ; perano, il diagramma polare di L( jω ) paa per l origine del piano ompleo; queo fao elude he ale diagramma polare poa eere pare delle figure B e D riporae nel eo dell eerizio, oia elude he il diagramma di Nyqui di L( jω ) poa eere la figura B o la D; 53.75( + j ) ( + j + L( + j ), ( + j + 5)[( + j ) + 8 ( + j ) + 4] da ui L( + j ) L( + j ) ; perano, il diagramma polare paa per il puno 53.75; queo fao elude he ale diagramma poa eere pare della figura C del eo dell eerizio, oia elude he il diagramma di Nyqui di L( jω ) poa eere la figura C. Quindi, il diagramma polare di L( jω ) è una pare della figura A del eo dell eerizio, oia il diagramma di Nyqui di L( jω ) è rappreenao nella figura A. Per ompleezza, i ripora di nuovo qui oo la figura A: 5-5 Q Si noi he è ora ao meo in evidenza il puno Q in ui (olre all origine ed al puno 53.75) il diagramma di Nyqui inerea l ae reale; ale puno arà uile per lo volgimeno dell eerizio.b. Vio he i veri di perorrenza delle due pari di diagramma di Nyqui ono già indiai in figura, i omprende he il diagramma polare deve eere la pare inferiore di queo diagramma di Nyqui, ome morao nella figura eguene: 7

8 Nyqui Polar Diagram 5-5 Q Per meglio evidenziare il puno Q, i ripora anhe uno zoom del diagramma polare aorno all origine: Nyqui Polar Diagram Q Noa: le ole informazioni relaive a modulo e fae di L( j ) e di L( + j ) non ono, in generale, uffiieni per deerminare il diagramma polare di L( jω ); in queo eerizio è poibile farle baare perhé ono a dipoizione alune opzioni fra ui egliere. Quando non i ha a dipoizione una ale ela, oorre un analii più omplea del modulo e della fae di L( jω ). Nel ao preene, ad eempio, on l aiuo della mappa delle ingolarià, i riava he l andameno della fae di L( jω ) in funzione di ω è 53.75( jω) ( jω+ ( jω+ 5)[( jω) + 8 jω+ 4] L( jω) ω ω ω ω ω ( 53.75) + ( j ) + ( j + ( j + 5) [( j ) + 8 j + 4] γ β α α γ β α α oia, al reere di ω da a +, la fae di L( jω ) prima ree e poi deree. Il modulo di L( jω ) è ω vγ L( jω), jω jω jω jω jω v v v 53.75( jω) ( jω ω jω 4 ( + 5)[( ) ] β α α

9 he preena, al reere di ω, re onribui reeni al numeraore e re onribui anh ei reeni a denominaore, he oiuiono re onribui dereeni per il modulo di L( jω ) ; perano, per ω +, il modulo enderà ad un valore oane finio, per effeo dei re poli, nonoane l inremeno iniziale dovuo ai re zeri. Riaumendo le informazioni appena raole ulla fae e ul modulo, i riava per L( jω ) il diagramma polare già riporao nelle due figure preedeni..b Si noi he il iema di queo eerizio è reroazionao poiivamene. Periò, ai fini dell analii di abilià mediane il rierio di Nyqui, oorre deerminare il numero di giri he il diagramma di Nyqui della funzione di raferimeno d anello derive aorno al puno +. Ora, e i aume he ia R () /e he G() rimanga la ea del puno.a, la funzione d anello L() riula / di quella di prima, periò il uo diagramma di Nyqui è onrao uniformemene di un faore ripeo a quello della figura A del eo dell eerizio, ome indiao nella figura ooane: Q il ui lo zoom aorno all origine è Q

10 Queo ignifia he il puno Q indiao in preedenza (eerizio.a) divena il puno Q, oia non è più ira 4, ma ira.4; quindi, il diagramma di Nyqui della nuova funzione d anello è uo a inira del puno +, periò non fa giri aorno ale puno, oia N. Eendo il numero P di poli a pare reale poiiva della funzione d anello pari a P, i ha he NP, periò, per il rierio di Nyqui, il iema in anello hiuo oniderao è ainoiamene abile ( +. Se i i pone nelle ondizioni di ui al puno.b, oia i aume he G () ( + 5)( + 8+ e R (), il iema in anello hiuo è ainoiamene abile, periò i può appliare il eorema del valore finale per deerminare il valore a raniorio eaurio di e() a frone di y () 3 a() e d () ramp (). Più preiamene, dee F () la f.d.. da Y () a E ( ) e F ( ) la f.d.. da D ( ) a E, ( ) i ha he: - quando y () 3 a() e d(), lim e ( ) lim E ( ) + ye lim F ( ) Y ( ) ye 3 lim RG ( ) ( ) 3 lim RG ( ) ( ) 3 3 lim 3; ( + ( 5)( quando y () e d ( ) ramp ( ), lim e ( ) lim E ( ) + lim F ( ) D( ) de R () lim ( ) ( ) RG R () lim RG ( ) ( ) lim ; ( + ( 5)( per il prinipio di ovrappoizione degli effei, quando i hanno enrambi gli ingrei y () 3 a () e d ( ) ramp ( ), lim e ( ) 3. + Noa: equivalenemene, i può volgere il alolo in queo modo: quando ono preeni enrambi gli ingrei y () 3 a() e d ( ) ramp ( ), lim e ( ) lim E ( ) + ( ye de ) lim F ( ) Y ( ) + F ( ) D( ) de

11 3 R ( ) lim + ( ) ( ) ( ) ( ) RG RG R ( ) 3 lim R ( ) G ( ) R ( ) 3 lim R ( ) G ( ) 3 lim ( + ( 5)( lim. Un alro modo anora onie nel deerminare il valore a raniorio eaurio di y(), a frone di y () 3 a() e d () ramp (), e poi nell oervare he e()y ()-y(): più preiamene, dee F () e F ( ) y y dy, ripeivamene, la f.d.. da - quando y () 3 a() e d(), lim y ( ) lim Y( ) lim F ( Y ) ( ) + y y G () 3 3 G () lim lim RG () () RG () () ( + 3 ( + 5)( + 8+ lim ; ( + ( 5)( quando y () e d ( ) ramp ( ), lim y ( ) lim Y( ) lim F ( D ) ( ) + dy Y () a Y( ) e la f.d.. da D ( ) a Y( ), i ha he lim lim R() G () RG () () lim ; ( + ( 5)( per il prinipio di ovrappoizione degli effei, quando i hanno enrambi gli ingrei y () 3 a () e d () ramp (), è lim y ( ) + ; - quindi, vio he e()y ()-y() e he + y () 3 a(), i oiene anora lim e ( ) Si onideri il eguene iema dinamio lineare a oeffiieni oani a empo direo: x( + ) (3 + α) x( ) + αu( ) x( + ) x( ) β x( ) y () 6 x() + x() u () on i parameri α, β R.

12 3.a Si deermini la funzione di raferimeno Zea dall ingreo u() all uia y(). 3.b Si dia per quali valori di α e β il iema ia ainoiamene abile, giuifiando la ripoa. 3. Si onideri il ao pariolare α 3 e β. Si deerminino, in al ao, i primi re ampioni (ioè da a ) di y() quando u () imp (). 3.d Si onideri ora il ao α 3 e β e i auma he u () a (). Si deerminino i valori y() e y(+ ), giuifiando la ripoa in bae all appliazione di opporuni eoremi. Soluzione 3.a Per deerminare la funzione di raferimeno Zea dall ingreo u() all uia y(), applihiamo la raformazione Zea ad ambo i membri di ogni equazione del iema, nell ipoei he x() x() : x( + ) (3 + α) x() + αu() zx( z) (3 + α) X( z) + αu( z) x( + ) x( ) βx( ) zx( z) X( z) βx( z) y () 6 x() x() u () + Y( z) 6 X( z) + X( z) U( z) [ z+ (3 + α) ] X( z) αu( z) ( z+ β ) X( z) X( z) Y( z) 6 X( z) + X( z) U( z) α X( z) U( z) z + (3 + α) α X( z) X( z) U( z) z+ β z+ β z+ (3 + α) α α α α Y( z) 6 U( z) + U( z) U( z) 6 + U( z) z+ (3 + α) z+ β z+ (3 + α) z+ (3 + α) z+ β z+ (3 + α) da ui la f.d.. G(z) eraa: Y( z) α α Gz ( ) 6 + U( z) z+ (3 + α) z+ β z+ (3 + α) 6α( z+ β) + α ( z+ β)[ z+ (3 + α) ] (*) z+ β z+ (3 + α) ( )[ ] ( z )[ z ] ( z+ β)[ z+ (3 + α) ] α + + β (3 + α) + 6α z z( β 6 4 α) α β( 6 4 α) ( z+ β)[ z+ (3 + α) ] (**) Alernaivamene, ed equivalenemene, i può riavare G(z) dalla noa formula Gz ( ) CzI ( A) B+ D, ove, in queo ao, (3 + α ) α A, B, C [6 ], D β : z + (3 + α) α Gz ( ) [6 ] z + β

13 z + β α [6 ] [ z+ (3 + α)]( z+ β) z (3 α) + + z + β α [6 ] [ z+ (3 + α)]( z+ β) z (3 α) + + α( z + β) [6 ] [ z+ (3 + α)]( z+ β) α 6 α( z + β) + α [ z+ (3 + α)]( z+ β) 6 α( z+ β) + α [ z+ (3 + α)]( z+ β) [ z+ (3 + α)]( z+ β ) L ulima epreione oinide proprio on la (*) rovaa in preedenza. 3.b Il iema è ainoiamene abile e e olo e ui i poli di G(z) hanno modulo minore di. Eendo ali poli β e (3 + α), dovrà allora averi β < β < < β < < β < (3 + α) < 3 + α < < 3+ α < 4< α < 3. Nel ao α 3 e β, dalla (*) o dalla (**) equivalenemene, i ha he 8( z ) + 6 ( z )( z+ 6) 6 + ( z )( z+ 6) z + 8z Gz ( ) z ( z+ 6) z ( z+ 6) z + 5z 6. ( ) ( ) z + 8z Perano, quando u () imp (), oia U( z ), i ha he Y( z) G( z) U( z). z + 5z 6 z 8z Per empliià di alolo, definiamo y (): y (), in modo he ia Y + ( z) Y( z) ; per z + 5z 6 deerminare i primi re ampioni (ioè da a ) di y ( ), applihiamo l algorimo della lunga diviione ad Y ( z) : + + z + z + 8z z 8z 8z 9 + 8z + 8z + 5z 6z 68z 6z z 8z z 5z 6 Si riava quindi he y (), y () 8, y (), da ui y() /, y()8/, y() /. 3.d Nel ao α 3 e β, i ha he 8( z ) 6 ( z ) z 6 + ( z )( z 8) z 6z+ Gz ( ), z z z z z z ( ) ( ) ( ) 3

14 i ui poli ono e. Si può perano appliare il eorema del valore finale nel ao z oia U( z). Si ha, allora, he z z z 6z+ z z 6z+ Y( z) G( z) U( z) z z z z e he quindi ( ) ( ) z 6z+ z 6z+ y( + ) lim( z ) Y( z) lim( z ) lim. z z z Appliando, invee, il eorema del valore iniziale, i ha he z 6z+ y() lim Y( z) lim. z z z ( ) ( z ) ( z ) u () a (), 4. Si auma di voler analizzare il omporameno di un iema dinamio lineare a empo oninuo on l auilio di un alolaore. Più preiamene, i auma di avere a dipoizione il programma Malab e di far eeguire al alolaore i egueni omandi: num [ ]; den [ ]; F f(num, den); [A, B, C, D] f(num, den); [y, ] impule(f); 4.a Quali valori hanno le marii A, B, C, D? In alre parole, i deermini di quale dei iemi I, II, III, IV oo riporai F è la funzione di raferimeno (dall ingreo u() all uia y()). x () x() x() + u() x () x() x() + u() I x () x() II x () x() y () 99 x() + u () y () x() x () x() x() + u() x () x() x() u() x () x() x () x() III IV x 3() x() x 3() x() y () x() + x() + x3() y () x() + x() + x3() + u () Si giuifihi auraamene la ripoa. 4.b Il iema è ainoiamene abile? Perhé? 4. Si deermini l epreione analiia della ripoa y () del iema, egliendo quella orrea ra le alernaive A, B, C, D di eguio propoe: A. y ( ) e 99 in ( 99 ) a ( ) + o( 99 ) a ( ) + a ( ) + ramp ( ) 99 B. y ( ) in ( ) a( ) 99e o ( ) a( ) a( ) C. y () in( 99 ) a() + o( 99 ) a() a() ramp() 99 D. y () e in( 99 ) a() + 99o( 99 ) a() + a() Si giuifihi auraamene la ripoa, evidenziando ui i paaggi he oorrono per arrivare all epreione ela. 4

15 Soluzione 4.a Il odie Malab riporao nel eo dell eerizio india he la funzione di raferimeno ( f a per ranfer funion ) F ha il numeraore i ui oeffiieni delle poenze dereeni di ono, ed, ed il denominaore i ui oeffiieni delle poenze dereeni di ono,, e ; perano, ale f.d.. è + + F (). Il leore è inviao a far eeguire a Malab i omandi propoi; rihiamando poi F dal promp, oerrà proprio >> F Tranfer funion: ^ ^3 + ^ + Oorre ora deerminare di quale iema, fra i quaro propoi dall eerizio, F() ia la f.d.. Eendo il denominaore di F() di grado 3 e non eendo poibili emplifiazioni ra numeraore e denominaore (he non hanno, infai, faori omuni), i dedue he F() deve eere la f.d.. di un iema dinamio del erzo ordine; perano, le opzioni I e II ono da arare. Si noa, poi, he il grado del numeraore è reamene inferiore a quello del denominaore, periò la marie D deve eere nulla; iò elude il iema IV. Perano, il iema orreo è il III. Verifihiamo quea affermazione alolando la f.d.. di ale iema mediane raformazione di Laplae di ambo i membri di iuna equazione, nell ipoei he x() x() x3() : x () x() x() + u() X() X() X () + U () x () x() X () X() x 3() x() X 3() X () y () x() + x() + x3() Y() X() + X() + X3() ( + ) X() X() + U() X() U() U() X() X() X3() X() X3() X () Y() X() + X() + X3() periò Y() X() + X() + X3() Y() X() + + U() U(), + + ( + + ) da ui, appuno, Y() + + F (). U( ) ( + + ) 4.b Il iema non è ainoiamene abile, perhé non ui i poli della ua f.d.. F() ono a pare reale negaiva: infai, aano alla oppia di poli omplei oniugai ± ± j 99, he ono a pare reale negaiva, F() preena un polo nell origine (e quindi il iema è abile, ma non ainoiamene). 5

16 4. In bae ai omandi riporai all inizio dell eerizio, y () è la ripoa all impulo del iema, periò Y () F () F (). ( + + ) ( + ) + 99 Oervando ale forma e penando ai relaivi poli, i può ubio dedurre he nell epreione analiia di y () non i poono eere egnali di ipo ramp(), periò i poono ubio eudere le alernaive A e C. Inolre, eendoi in Y () una oppia di poli omplei oniugai on pare reale, i prevede di oenere in y () un eno e un oeno enrambi modulai da e : queo elude anhe l alernaiva B. Perano, l alernaiva orrea è D. Come verifia, applihiamo il meodo di Heaviide per deerminare l epreione analiia di y (). + + A B + C A + A + A + B + C Y () + ( + ) + 99 ( + ) + 99 ( + ) + 99 da ui, eguagliando i oeffiieni delle poenze di dello eo ordine (per il prinipio di idenià dei polinomi), A ( ) A+ B ( )A+ C 99 B ( )A C 5 Perano, i ha he ( + ) + ( + ) + Y () + + +, ( + ) + 99 ( + ) + 99 ( + ) + 99 la ui aniraformaa di Laplae è y () a() + e o( 99 ) a() + e in( 99 ) a() 99 e in ( 99 ) a( ) + 99 o( 99 ) a( ) + a( ), oia proprio l alernaiva D ra quelle propoe. 5. Si onideri un iema lineare a oeffiieni oani a empo oninuo. Sia A la ua marie dinamia. 5.a Si dia ome, a parire dagli auovalori della marie A, i poa indagare ulle proprieà di abilià (ainoia, in pariolare) del iema. 5.b Si enuni un opporuno rierio he permea di onludere riguardo l ainoia abilià o meno del iema, enza dover alolare gli auovalori di A. 5. Si onideri ora un iema nonlineare a empo oninuo. Come i può appliare il rierio enuniao al puno 5.b al fine di indagare le proprieà di abilià di un uo ao di equilibrio? Soluzione Ci i riferia alla eoria. 6