Circuiti a tempo discreto

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1 Univerità di Roma La Sapienza Laurea peialitia in Ingegneria g Elettronia Ciruiti a tempo direto Raffaele Parii : Campionamento e riotruzione Relazione tra iruiti C e iruiti D, elaborazione numeria di un egnale C (invarianza della ripota impuliva, elaborazione analogia di un egnale D, deimazione ed interpolazione. 1

2 RELAZIONE RA CIRCUII A EMPO-CONINUO E CIRCUII A EMPO-DISCREO Segnali a tempo ontinuo raformata o di Fourier analogia (F Ω ( Ω = F x t X jω Ω Frequenza analogia X j jωt x t e dt 1 jωt x( t = X ( jω e dω 2 F diretta F invera Segnali a tempo direto DF xn [ ] ( j X e ω ω Frequenza numeria raformata di Fourier atempo direto (DF ( jω [ ] X e = x n e ω [ ] jω n n= 1 j n jωn DF diretta xn= X e e d ω DF invera 2 2

3 Si onidera una equenza x[n] generata dal ampionamento ideale on periodo di un egnale x (t a tempo-ontinuo. t t treno di impuli + ( t = δ t n n= x ( t [ ] x t Converione egnale x[ n] = x ( n ampionato-equenza : impulo di Dira CONVERIORE C/D analogio (A/D ideale δ(t Segnale ampionato = treno di impuli modulato + + = = δ ( = δ ( x t x t t x t t n x n t n n= n= N.B. x (t è un egnale analogio, nullo ovunque tranne he nei multipli interi di. x[n] [ ]è una equenza di numeri e non ontiene neuna informazione i u (normalizzazione della ala dei tempi. 3

4 La traformata di Fourier di (t è: La traformata di un treno di impuli è un treno di impuli in frequenza + ( t = δ t n n= F + 2 S j k ( Ω = δ ( Ω Ω k = dove Ω =2/= 2 f è la pulazione di ampionamento e f =1/ è la frequenza di ampionamento. Cl Caloliamo li la raformata difourier dl del egnale ampionato x (t: x t = x t t Moltipliazione ione in tempo F 4

5 F 1 X ( jω = X ( jω S( jω = = X ( jω δ ( Ω kω = k = + 1 = X jω kjω k = Convoluzione in frequenza La F di x (t onite nella ripetizione periodia della F di x (t on periodo pari alla pulazione di ampionamento Ω. 5

6 Eempio x t empo X Frequenza ( jω 1 t Ω N Ω N Ω t S ( jω 2 t 2 Ω = 2 f = 2Ω Ω Ω 2Ω 6 Ω

7 empo Frequenza x t = x t t X ( jω Ω 2 1 t Ω 2 2 Ω ΩN Ω N Ω Ω NB N.B.: Ω < N Ω 2 Il ampionamento può eere interpretato ome un prodotto di modulazione quando la portante è un treno di impuli. 7

8 Filtro di riotruzione A partire dal egnale ampionato è poibile riotruire i eattamente t (idealmente enza perdita di informazione il egnale a tempo-ontinuo originale: Filtro (ideale di + riotruzione ( = δ ( t t n n= x ( t H ( jω r xr ( t eorema del ampionamento di Nyquit x ( t [ ] 0, 1, 2, Se è limitato in banda (ioè X jω = 0 per Ω >Ω N allora x t è univoamente determinato dai uoi ampioni xn= x n ( n= ± ± e: Frequenza di ampionamento di Nyquit Ω = 2 f > 2Ω N Frequenza di Nyquit 8

9 Filtro di riotruzione X ( jω Hr ( jω 2Ω Ω Ω Ω N Ω N Ω Ω 2Ω Ω X r ( jω Ω < N Ω 2 Ω Ω N N Ω Hr ( jω è un filtro paa bao ideale on frequenza di taglio: Ω = Ω 2 9

10 Aliaing Ω 2 Nel ao in ui Ω > i ha la ovrappoizione degli pettri: N X ( jω Ω N Ω Ω Eempio: egnale inuoidale Ω x (t Ω N > 2 t 10

11 Campionamento di egnali inuoidali [ ] = = o( Ω + φ = o( ω + φ xn xn A n A n Pulazione normalizzata (D: ω =Ω (è adimenionale N.B.: per le equenze i perde la ala dei tempi (ompare olo l indie n. Coneguenza: la tea inuoide D può derivare da infinite inuoidi C. Eempio 1 Ω= 200 rad /, = ω = 0.1 rad Ω = 2000 rad /, = ω = 0.1 rad

12 Aliaing Che uede e f non ripetta Nyquit? x t A f t = o ( 2 f + φ 0 [ ] = = o( 2 + φ xn xn A fn Cambiamo la frequenza aggiungendo kf, on k intero : ( φ y t = A f + kf t+ o [ ] o 2 yn= yn = A f + kf n + φ = 0 ( f f φ = Ao 2 f n + 2 kf n + = 0 ( φ = Ao 2 f n + 2 kn+ = 0 ( φ [ ] = Ao 2 f n + x n 0 12

13 Riultato: le equenze ono inditinguibili! Le infinite inuoidi on frequenza f 0 +kf danno luogo alla tea equenza x[n]. [ ] Eempio Conideriamo una inuoide di frequenza f 0 ottoampionata a frequenza f (f < f 0. 0 f 0 -f f f 0 f Le inuoidi a frequenza f 0 e f 0 - f ono inditinguibili e ampionate a f. 13

14 Folding Conideriamo o ora le omponenti a frequenza negativa del oeno. o. ( φ wt = A f + kf t = o 2 ( + ( φ [ ] o 2 ( f f 0 wn= wn = A f + kf n = 0 ( φ = Ao 2 f n + 2 kf n = 0 ( φ = Ao 2 f n + 2 kn = 0 ( φ ( φ [ ] = A o 2 f n = A o 2 f n + x n

15 Riultato: le equenze ono inditinguibili! Le infinite inuoidi on frequenza -f 0 +kf danno luogo alla tea equenza x[n]. Eempio Conideriamo una inuoide di frequenza f 0 ottoampionata a frequenza f (0,5f <f 0 < f. 0 f -f 0 1/2 f f 0 f f Le inuoidi idia frequenza f 0 e f - f 0 ono inditinguibili ibili e ampionate a f. 15

16 La frequenza apparente è la frequenza più baa tra tutte le frequenze delle inuoidi (inditinguibili he generano la tea equenza. In ao di folding o aliaing queta non orriponde alla frequenza vera. Frequenza apparente Folding f /2 Aliaing f 0 Frequenza vera 0 f 0 f /2 f 0F f f 0A 2ff f Le inuoidi di frequenze f 0, f 0F e f 0A generano la tea equenza. 16

17 Spettro di un egnale ampionato Sovraampionamento: erve a evitare aliaing e folding Eempio Sinuoide a f 0 =100 Hz: x( t = Ao( 2 ( 100 t+ φ Campioniamo a f =1000 Hz, =1 m (10 ampioni per periodo. La ondizione di Nyquit è oddifatta. Frequenza normalizzata: f f^ = ω = f = f S 2 f S A/2 ˆf Frequenze riotruibili 17

18 Eempio Sinuoide a f 0 =600 Hz, ampionata a f =1000 Hz. La ondizione di Nyquit non è oddifatta. A/ ˆf Sottoampionamento: Per Nyquit deve eere f >2f 0 Se f <f 0 è aliaing, Se 0,5 f <f 0 < f è è folding. La banda riotruita è [-1/2 f, 1/2 f ], quindi per evitare ambiguità oorre oddifare la ondizione di Nyquit. 18

19 Relazione tra DF e traformata di Fourier del egnale C x [ n ] = x ( n X e ω X ( jω Poihé, è poibile mettere in relazione la DF on la F. ( j Infatti: + = x = t x n δ t n n F X j x n e jωn Ω = n= 19

20 Siome: ( jω [ ] X e = allora la relazione erata è: n= x n e jωn X j X e X e S ( jω ( jω Ω = ω =Ω = X ( jω Dato he S è la ripetizione periodia di XC jω, i iha: 1 j S Ω = C Ω Ω = k = X j X j jk X e ( j Ω 20

21 Cioè: ( jω 1 ω 2k X e = XC j j k = X e jω è una verione alata in frequenza della XS ( jω, on fattore di ala dato da ω = Ω. N.B. queta proprietà i può interpretare ome una normalizzazione delle frequenze: Ω =Ω ω = 2 La normalizzazione delle frequenze orriponde alla normalizzazione della ala dei tempi di un fattore nel paaggio da x (tax[n] x[n]. 21

22 Riotruzione di egnali limitati in banda Data una equenza x[n], viene generato un treno di impuli (analogii x (t he otituie l ingreo del filtro analogio di riotruzione: g g xn [ ] Convertitore di una equenza numeria in equenza di impuli x ( t Filtro analogio di riotruzione ideale xr ( t CONVERIORE D/C (D/A ideale + x t = x n δ t n r ( [ ] n= + = r n= x t x n h t n [ ] Ripota impuliva analogia 22

23 Il filtro di riotruzione è un filtro paa-bao ideale (analogio Ω per Ω < = Hr ( jω = altrove H r ( jω h r ( t = in t/ t/ r Ω + ( = [ ] x t x n n= t ( ( / in t n / t n N.B. h r (n=0 (n = ±1, ±2,... allo opo di eliminare l Interferenza Interimbolo (ISI. 23

24 Il proeo di riotruzione può eere vito ome una interpolazione ideale. x t ( x t xr ( t t t Riotruttore o interpolatore generale: + n= x(t = x[n]p(t n S ( ( / + in t n / x ( [ ] r t = x n t n r n= ( j Ω = r Ω X j H j X e Ω 24 t

25 Interpolazione (riotruttore non ideale 1, < Ordine 0: p t = 2 2 P( jω p(t 0, altrove t x r (t - 0 t Ω t 25

26 Odi Ordine 1: ( t 1 t, t p t = (Lineare P( jω 0, altrove p(t - 0 t 2 Ω x r (t t 26

27 1. Elaborazione numeria di un egnale C Filtro analogio x t xn [ ] yn [ ] yr ( t C/D CIRCUIO D D/C 2. Elaborazione analogia di un egnale D Filtro numerio xn [ ] D/C x ( t y ( t CIRCUIO C C/D yn [ ] 27

28 1. Elaborazione numeria di un egnale C X x xn ( t [ ] yn [ ] y ( t ( jω C/D ( j j D/C H e ω X e ω Y e ω Y ( jω j j ω j ω j ω = Y e H e X e L obiettivo è determinare la ripota in frequenza del filtro analogio ompleivo: H Si riorda he: eff j Ω = xn [ ] = x n Yr X jω jω + ( j ω 1 ω 2kk X e = X j j k = RISPOSA IN FREQUENZA EFFEIVA r r 28

29 e inoltre: r + + ( = [ ] ( = [ ] y t ynh t n yn r n= + Y j y n H j e r n= jnω [ ] Ω = r Ω = n= in t n / ( t n / ( jω per jω Y e H Ω < = ( Ω Y( e r j = (* ( 0 altrove Si ha dunque: ( j Y e ω ω =Ω Ω Ω ( j ( j r Y j Ω = H j Ω H e X e = r jω = Hr j Ω H e X jω j k = k 29

30 ( jω Se, ome per ipotei, x (t è limitato in banda e r è un filtro di riotruzione ideale (relazione (* della pagina preedente, allora r ontiene olo la replia di X per k = 0 : H Y jω ( jω r jω Ω = ( Ω Y j H e X j Ω< H eff j H( Ω e Ω < jω = 0 Ω 30

31 In onluione, la ripota in frequenza dell intero iruito it (analogio è pari alla ripota in frequenza del iruito D per : ω =Ω Ω: Y jω ( j r H ω eff jω = H e X jω ω =Ω Inoltre, indiando on h (t e h[n] ripettivamente la ripota impuliva del filtro analogio e quella del filtro numerio, i può dimotrare he: hn [ ] = h ( n ioè il filtro numerio i ottiene da quello analogio imponendo l invarianzal della ripota impuliva. 31

32 2. Elaborazione analogia di un egnale D xn [ ] x ( t y ( t D/C H ( jω j X ( e ω X ( jω Y ( jω ( jω = ( jω ( jω Y j H j X j C/D yn [ ] jω Y e ω j In queto ao i vuole determinare H e ω : ( j Ω = X j X e ω ω =Ω Ω< Quindi i ha: ( jω = ( Ω H e H j ( jω 1 1 jω Y e = Y( jω ω = Y Ω= ω < ω Ω= ( ω < 32

33 Cambiamento della frequenza di ampionamento di iruiti D: deimazione e interpolazione Il ampionamento produe una equenza numeria a partire da un egnale analogio: x ( (t x[n] [ ] = x ( (n alvolta è neeario ambiare la frequenza di ampionamento, ioè ièottenere una nuova equenza x'[n] ] = x (n', on ', direttamente da x[n]: x[n] x'[n] = x (n' Naturalmente i ono due poibilità: ridurre la frequenza di ampionamento aumentare la frequenza di ampionamento Deimazione Interpolazione 33

34 Deimazione i = riduzione i della frequenza di ampionamento (ottoampionamento o downampling [ ] = [ ] = x n x nm x nm d x[ n] M d [ ] = [ ] x n x nm Compreore La frequenza di ampionamento può eere ridotta di un fattore M enza aliaing, e la frequenza di ampionamento originaria è M volte più elevata di quella di Nyquit. Si deve ioè avere: ( jω 0 X e = per ω > M 34

35 In pratia prima del otto-ampionamento viene inerito un filtro numerio anti-aliaing. Shema di un deimatore Periodo di ampionamento Periodo di ampionamento Periodo di ampionamento = M xn [ ] Filtro paa bao anti-aliaing Guadagno = 1 xn [ ] xd [ n] ω = M nm M Deimatore 35

36 Interpolazione = aumento della frequenza di ampionamento (ovraampionamento o upampling In queto ao i vuole ottenere dalla equenza x[n] [ ] = x (n una nuova equenza x i [n] = x (n, eendo =/L. [ ] = n [ ] x n x x e n = L L xe [ n] Expander x e [ n] x n per n = 0, ± L, ± 2 L, = L 0 altrove 36

37 In pratia, dopo il ovra-ampionatore, viene inerito un filtro numerio paa-bao. Shema di un interpolatore Filtro paa bao xn [ ] x [ n ] interpolatore xi [ n ] L e Guadagno = L ω = L Periodo di amp. Periodo di amp. ' =/L Periodo di amp. ' =/L 37

38 Eempio di interpolazione [ ] xn 1 j X ( e ω n [ n ] xe n 1 L = 2 1 X e ( e jω ω L = 2 n i [ ] x n 2 2 L L L L ω L n 2 L L 2 ω (N.B. i nuovi ampioni i i ono otruiti on il filtro interpolatore t 38

39 Filtro interpolatore Spettro dell uita: L = 2 1 L X = ' i ( e jω ω 2 L L 2 Ripota impuliva: i [ ] h n n in L = n L Proprietà: i [ ] h n 1 n = 0 = 0 n= ± L, ± 2L 39

40 Cambiamento della frequenza di ampionamento di un fattore non intero Si poono ombinare in modo opportuno un interpolatore e un deimatore INERPOLAORE DECIMAORE [ ] xn L xe [ n] Filtro interpolatore paa bao Guadagno =L ω = L x [ n i ] x [ n ] x d [ n] Filtro anti-aliaingaliaing paa bao Guadagno=1 ω = M i M Periodo di ampionamento Periodo di ampionamento ' =/L Periodo di ampionamento '' =M/L 40

41 I filtri deimatore e interpolatore ono in aata e poono eere ombinati inieme. La frequenza di taglio è la minima tra le due. xn [ ] L xe [ n] ω Filtro paa-bao Guadagno = L = min, L M x [ n ] x d [ n] i M Periodo di Periodo di Periodo di Periodo di ampionamento ampionamento ampionamento ampionamento ' =/L ' =/L '' =M/L 41

42 Eempio: onverione dal lformato audio DA a quello CD. DA : 48 KHz CD : 44.1KHz 44.1 L M 44.1 = 48 = = M L 48 La elta dei fattori L e M è effettuata in modo da minimizzare l errore: Parte intera inferiore E = ( L L 48 eendo: L= M 44.1 Per eempio: L = 160, M =

43 Filtraggio a tempo-direto di egnali a tempo-ontinuo - Cao ideale x t xn [ ] yn [ ] yr ( t C/D CIRCUIO D D/C - Modello più realitio i ˆx[ n ] ŷn [ ] x ( t x ( t y ( t a o DA x ( t Filtro antialiaing Sample and hold Conv. A/D CIRCUIO D Conv. D/A Filtro di riotr. Hr ( jω yˆr ( t 43

44 Appliazione di deimazione ed interpolazione - Obiettivo: uare filtri analogii anti-aliaing di emplie realizzabilità - Soluzione: ampionare a frequenze elevate (>> frequenza di Nyquit xa ( t xo ( t ˆx[ n] x [ n ] y [ n] d d ŷn [ ] x ( t Filtro anti- aliaing i Sample and hold Conv. A/D Deimatore M CIRCUIO D Interpolatore L Conv. D/A yda ( t Filtro di ŷy ( t riotr. H r ( jω r 44

45 Eempio filtro aliaing (emplie Ω Ω X ( jω 1 Ω N X a ( jω 1 egnale Ω N egnale rumore Ω Ω rumore filtrato SEGNALE ORIGINARIO SEGNALE FILRAO filtro di deimazione (ripido Ω Ω N X^ X(e( jω 1 1 Ω N Ω Ω rumore (on aliaing SEGNALE CAMPIONAO ω N =Ω N = ω = Ω 2 ω N 2 M X d (e jω 1 SEGNALE DECIMAO 2 2 ω = Ω 45

46 Prefiltraggio Neeario per: 1. Limitare la banda del egnale in ingreo 2. Limitare gli effetti del rumore a banda larga Converione A/D 1. Sample-hold x 0 (t = x[n]h (t n = h 0 (t x a (nδ(t n on h 0 (t = 1 0 < t < 0 [ ] 0 0 a 0( 0 altrove n + n ( t = δ t n n= x a (t x (t h 0 (t x 0 (t 2. Converione x a (t C/D Quantizzatore ^ Codifia S/H x[n] x[n] x B [n] ^ 46

47 Converione D/A Ω < - Filtro di riotruzione ideale: H r ( jω = 0 Ω > - In pratia: x DA (t = X 0 ( jω = ^ x[n]h 0 (t n = x[n]h 0 (t n n n n errore di quantizzazione + e[n]h 0 (t n x 0 0( (t e 0 0( (t x[n]h 0 ( jω e jnω = X(e jω H 0 ( jω Si definie un filtro di riotruzione ompenato: H H r( jω = r ( jω H 0 ( jω H 0 ( jω 2 n 2in Ω /2 Ω filtro ompenato filtro ideale 2 Ω e jω 2 47