Esercizi per il corso di Algoritmi, anno accademico 2014/15

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1 Eercizi per il coro di Algorimi, anno accademico 0/ Eercizi u Union-Find. Eercizio: Scrivere peudocodice per Make-Se, Union, e Find-Se uando la rappreenazione aravero lie linkae e la euriica di unione peaa. Si auma che ciacun oggeo abbia un campo rep[x] che puna al rappreenane dell inieme conenene x. Si auma che ciacun inieme S nella collezione abbia un aribuo head[s] che puna all elemeno nella ea della lia che rappreena S, ail[s] che puna all elemeno nella coda della lia che rappreena S, e ize[s] che cona il numero di elemeni nella lia.. Eercizio: Morare la ruura dai riulane e le ripoe riornae dalle operazioni di Find- Se durane la eecuzione del programma eguene: for i o do Make-Se(x i ) for i o by do Union(x i ;x i+ ) for i o by do Union(x i ;x i+ ) Union(x ;x ) Union(x ;x ) Union(x ;x 0 ) Find-Se(x ) Find-Se(x 9 ) Si upponga di uare la rappreenazione aravero lie linkae e la euriica di unione peaa.. Eercizio: Morare la ruura dai riulane e le ripoe riornae dalle operazioni di Find-Se durane la eecuzione del programma eguene: for i o do Make-Se(x i ) for i o by do Union(x i ;x i+ ) for i o by do Union(x i ;x i+ ) Union(x ;x ) Union(x ;x ) Union(x ;x 0 ) Find-Se(x ) Find-Se(x ) Si upponga quea vola di uare la rappreenazione aravero alberi e le euriiche di unione per rango e compreione di cammini.

2 . Eercizio: Dai gli iniemi digiuni rappreenai dagli alberi qui oo riporai a u b d v z c e i r x l n m o p ridiegnare gli alberi dopo l eecuzione di ciacuna delle operazioni Union(o, ), Find(l), Union(, m).. Eercizio: Uando l euriica dell unione per peo, morare che una qualiai equenza di m operazioni di MAKE-SET, UNION, e FINDSET, n delle quali ono MAKE-SET, prende empo O(m+nlogn)

3 Eercizi u Grafi N.B. Si ricorda che ogni algorimo và accompagnao da una argomenazione ul perchè calcola correamene l oupu e da un analii della ua compleià di empo. Inolre, i poono uare algorimi vii a lezione (come BFS, DFS, ec.) enza neceariamene riporare il relaivo peudocodice, purchè lo i menzioni epliciamene. In generale, di ogni algorimo è preferibile preenare il relaivo peudocodice. Tuavia, anche una ola decrizione a parole dell idea dell algorimo (purchè precia e correa) verrà acceaa all eame.. Eercizio: Progeare ed analizzare un algorimo che, prendendo in inpu un grafo non orienao G = (V, E), deermina e G coniene o meno cicli. La compleià dell algorimo deve eere O( V ), indipendenemene da E.. Eercizio: Dao un grafo non direo G = (V,E), e re verici u,v,w V, decrivere ed analizzare un algorimo che decide e eie un cammino in G che pare da u ed arriva a v, paando per w.. Eercizio: Dao il grafo G rappreenao in figura r a u v w z x eeguire u di eo l algorimo BFS(G, ), indicando ad ogni pao l arco coniderao dall algorimo, e calcolando ia l albero BFS riulane che i valori d[c] per ogni nodo c del grafo.. Eercizio: Progeare ed anaizzare un algorimo per il eguene problema: Inpu: Un grafo conneo e non direo G = (V,E). Oupu: Si e eie un arco e E che i può rimuovere da G, in modo ale che G = (V, E {e}) ia ancora conneo, No, alrimeni.. Eercizio: Dao il grafo G rappreenao in figura

4 r a u v w z x eeguire u di eo l algorimo DFS(G, ), indicando ad ogni pao l arco coniderao dall algorimo, e calcolando l albero DFS riulane.. Eercizio: Decrivere l algorimo per deerminare e un grafo direo G = (V, E) è forememe conneo, argomenare con preciione la ua correezza e valuarne la compleià di empo.. Eercizio: Dao un grafo G = (V,E) non direo, il uo diamero D(G) è definio come la dianza ra i due verici di G maimalmene diani, e G è conneo, è definio come alrimeni. Formalmene: { e G non è conneo D(G) = max u,v V d(u,v) alrimeni dove d(u,v) è la dianza ra i due verici u e v. Analogamene, l eccenricià di un verice u è definia come { e G non è conneo e(u) = max v V d(u,v) alrimeni menre il raggio R(G) di G è definio come R(G) = min u V e(u). Si dia un algorimo che, dao in inpu un grafo G = (V,E) non direo, calcoli D(G) e R(G).. Eercizio: Daa la rappreenazione mediane lie di adiacenza di un grafo direo G = (V, E), crivere un algorimo che deermini il numero di archi uceni da ogni verice ed un eparao algorimo per deerminare il numero di archi enrani in ogni verice. 9. Eercizio: Il quadrao di un grafo orienao G = (V,E) è il grafo G = (V,E ) ale che (u,w) E e e olo e v : (u,v) E (v,w) E. In alre parole, e eie un percoro di due archi fra i nodi u e w. Scrivere un algorimo che, dao un grafo G rappreenao con marice di adiacenza, reiuice il grafo G. 0. Eercizio: Decrivere un algorimo per il eguene problema. Dao in inpu un grafo orienao G = (V,E) rappreenao ramie lie di adiacenza e un nodo V, reiuire il numero dei nodi in V raggiungibili da che i rovano alla maima dianza da.

5 . Eercizio: Decrivere un algorimo per il eguene problema: Inpu: un grafo direo G = (V, E) rappreenao mediane lie di adiacenza. Oupu: per ogni nodo v V il numero dei nodi w raggiungibili da v (ovvero il numero dei nodi w V per i quali eie un cammino orienao da v a w).. Eercizio: Decrivere un algorimo per il eguene problema: Inpu: un grafo direo G = (V,E) rappreenao mediane lie di adiacenza, un nodo v V ed un inero k Oupu: il numero di nodi del grafo a dianza k da v.. Eercizio: Decrivere un algorimo per il eguene problema: Inpu: un grafo non direo G = (V, E) rappreenao mediane lie di adiacenza Oupu: il numero di componeni connee di G.. Eercizio: Dao un grafo non direo G = (V,E), un riangolo in eo è una ripla di verici a,b,c V ali che (a,b),(b,c),(c,a) E. Decrivere un algorimo per il eguene problema: Inpu: un grafo direo G = (V, E) rappreenao mediane marice di adiacenza; Oupu: il numero di riangoli in G.. Eercizio: Dao un grafo non direo G = (V,E), con V = {,...,n} ed un array di ineri A[...n], G è deo ben colorao e per ogni {i,j} E vale che A[i] A[j]. Si decriva un algorimo per il eguene problema: Inpu: G = (V, E) rappreenao mediane marice di adiacenza, veore A Oupu: SI, e G è ben colorao, NO, alrimeni. Si riolva l eercizio anche oo l ipoei che di G ia rappreenao mediane lie di adiacenze.. Eercizio: Dao un grafo non direo G = (V,E), con V = {,...,n} ed un ooinieme S V, S è deo un Verex Cover per G e per ogni {i,j} E vale {i,j} S. Si decriva un algorimo per il eguene problema: Inpu: G = (V, E) rappreenao mediane marice di adiacenza, ooinieme S V Oupu: SI, e S è un Verex Cover NO, alrimeni. Si riolva l eercizio anche oo l ipoei che di G ia rappreenao mediane lie di adiacenze.

6 . Eercizio: Decrivere un algorimo per il eguene problema: Inpu: un grafo direo G = (V,E) rappreenao mediane lie di adiacenza, due nodi v,w V. Oupu: Il numero di nodi raggiungibili da v che i rovano alla ea dianza ia da v che da w.. Eercizio: Si decriva l algorimo per il calcolo dell ordinameno opologico di un DAG, argomenando la correezza e valuandone la compleià di empo Giuificare con preciione le relaive affermazioni effeuae. 9. Eercizio: Dao il grafo rappreenao in figura m n o p q r u v w x y z deerminarne un ordinameno opologico, applicando pao pao l algorimo vio a lezione. 0. Eercizio: Si preeni l algorimo di Dijkra per il calcolo dei cammini minimi in un grafo, i argomeni la ua correezza e e ne valui la ua compleià di empo.. Eercizio: Si eegua l algorimo di Dijkra per il calcolo dei cammini minimi dal nodo ul eguene grafo: 0 x 9 y z

7 . Eercizio: Sia G = (V,E) un grafo direo, con lunghezze l(e) > 0 per ogni arco e E. Si progei e i analizzi (e i argomeni la correezza) un algorimo che prei in inpu un verice V ed un arco (u,v) E, deermini:. e ra ui i cammini di lunghezza minima da a v ne eie almeno uno che ui l arco (u,v);. e ra ui i cammini di lunghezza minima da a v ne eie almeno uno che non ui l arco (u,v).. Eercizio: Dao un grafo orienao G = (V,E), con lunghezze l(e) > 0 per per ogni arco e E, e due nodi v, V. (a) Si proponga un algorimo che deermini, olre ad un cammino minimo p da v a che upponiamo eere p = (v,,... n,), un econdo cammino p che ia il cammino di lunghezza minima ra quelli che congiungono v con e non conengono l arco ( n,). (b) Si provi la correezza e i valui la complei a dell algorimo propoo. (c) Si proponga un algorimo che deermini, olre ad un cammino minimo p da v a, un econdo cammino p che ia il cammino di lunghezza minima ra ui i cammini che congiungono v con e ono diini da p.. Eercizio: Si decriva l algorimo di Ford e Fulkeron per il calcolo del maimi fluo in una ree di fluo e i analizzi in deaglio la relaiva compleià.. Eercizio: Si conideri il eguene problema: Inpu: n perone ed n job da eeguire È dao un grafo direo G = (V,E) con archi che vanno olo da perone a job, in cui un arco dalla perona p al job j vuol dire che poenzialmene la perona p porebbe eeguire il job j (e l arco (p,j) non c è vuol dire che la perona p non può eeguire il job j). Sono dai i egueni vincoli al problema: Ciacuna perona può eere aegnaa ad eaamene un job Ciacun job può eere aegnao ad eaamene una ola perona Oupu: Trovare una aegnazione degli n job alle n perone che oddifi i vincoli al problema (o dichiarare che ciò non è poibile, e una ale aegnazione non eie). Suggerimeno: i proceda in maniera analoga a come fao per riolvere il problema del Maimo Maching.. Eercizio: Una cuola vuole organizzare un ballo di fine anno. Ogni coppia di udeni compoa da un ragazzo ed una ragazza che inendono danzare inieme devono regirari (alrimeni non poono danzare inieme). I regolameni della cuola impongono che ogni daa coppia non poa danzare inieme più di vole. In più, ogni udene non può danzare più di 0 vole in oale. Il problema è di maimizzare il numero di danze in oale. Formalizzare con preciione il problema come un problema di maimo fluo.

8 . Eercizio: Daa la eguene iuazione nel campionao di baeball, i deermini e la quadra di Deroi può ancora erminare con il maggior numero di viorie nel girone, uando le ecniche di fluo vie a lezione. w(i) g(i) g(i, j) quadra vine da giocare NYY BAL BOS TOR DET New York Yankee Boon Oriole Boon Red Sox Torono Blue Jay 0 0 Deroi Lion Eercizio: Si eegua l algorimo di Bellman-Ford per il calcolo dei cammini minimi dal nodo ul eguene grafo, uando come orgene. Si decrivano con preciione le compuazioni effeuae dall algorimo pao dopo pao. 0 x 9 y z 9. Eercizio: Sia G = (V,E) un grafo direo in cui ad ogni nodo u V è aociao un peo w(u) > 0. Decrivere un algorimo per calcolare i cammini di peo minimi da un nodo orgene V a ui i nodi v V. In quea iuazione, il peo di un cammino è definio come la omma dei pei dei nodi che appaiono nel cammino. (Sugg.: i riduca il problema a quello di calcolare i cammini di peo minimi in un opporuno grafo con pei u archi). 0. Eercizio: Derivare l equazione di ricorrenza per il coo di cammini minimi in grafi, argomenando i relaivi pai. Decrivere un algorimo per il calcolo dell equazione prima oenua.. Eercizio: Derivare l algorimo per coprire e un grafo direo con lunghezze ugli archi coniene cicli di coo oale negaivo e provarne la correezza.

9 9. Eercizio: Derivare l algorimo per rovare in un grafo direo un ciclo di coo oale negaivo (e eo eie) e provarne la correezza.. Eercizio: Decrivere l algorimo di Prim per la coruzione di un MST e provarne con preciione la correezza.. Eercizio: Decrivere l algorimo di Krukal per la coruzione di un MST e provarne con preciione la correezza.. Eercizio: Dao il grafo rappreenao in figura, calcolare un MST di eo applicando l algorimo di Prim a parire dal nodo I. Si decrivano con preciione le compuazioni effeuae dall algorimo pao dopo pao. E H I 0 A M 0 F G J L B 0 0 C D K. Eercizio: Dao il grafo rappreenao in figura, calcolare un MST di eo applicando l algorimo di Krukal. Si decrivano con preciione le compuazioni effeuae dall algorimo pao dopo pao. E H I 0 A M 0 F G J L B 0 0 C D K

10 0. Eercizio: Dao il grafo rappreenao in figura, calcolare un MST di eo applicando l algorimo di Krukal. Si decrivano con preciione le compuazioni effeuae dall algorimo pao dopo pao. E J K M A C F G I L B H D. Eercizio: Dao il grafo rappreenao in figura, calcolare un MST di eo applicando l algorimo di Prim a parire dal verice I. Si decrivano con preciione le compuazioni effeuae dall algorimo pao dopo pao. E J K M A C F G I L B H D 9. Eercizio: Si proponga un algorimo che, dao in inpu un grafo non non orienao G = (V,E), pei w(e) per ogni arco e E, ed un arco (u,v) E, deermini l eienza o meno di un MST per G non conenene l arco (u,v). Si moivi la correezza e i calcoli la complei a dell algorimo propoo. Si riconiderino i puni precedeni nel cao in cui i voglia deerminare l eienza di un MST per il grafo G conenene l arco (u,v).

11 0. Eercizio: Sia G = (V,E) un grafo non orienao e peao, con archi di coo c(e), per ogni e E. (a) Si decriva brevemene un algorimo efficiene (per eempio ra quelli vii a lezione) che deermini un Minimum Spanning Tree per G e e ne valui la compleià. (b) Si provi o i refui la eguene proprieà: dao un Minimum Spanning Tree per G queo coniene almeno un arco ra quelli aveni peo minimo in G. (c) Si provi o i refui la eguene proprieà: dao un Minimum Spanning Tree per G queo coniene un cammino minimo per ogni coppia di nodi in G.. Eercizio: Sia G = (V,E) un grafo non orienao e peao, con archi di coo c(e), per ogni e E. Si provi la eguene affermazione: ia S V un ooinieme dei nodi, e ia e = (u,v) l arco di coo minimo con un eremo in S e l alro in V S. Allora ogni MST coniene l arco e.. Eercizio: Preenare la definizione formale di fluo f in un grafo G = (V, E), con orgene, deinazione e capacià c(e), per ogni e E. Si provi la eguene affermazione: per ogni verice u V {,} vale f(u,v) = 0 v V. Eercizio: Siano f un fluo e (A,B) un aglio in una ree di fluo G con orgene e deinazione. Si provi il eguene riulao: Il fluo neo che aravera il aglio è uguale al fluo ucene da, ovvero ( ) f(e) f(e) = f(e) = v(f) e ucene da A e enrane in A e ucene da. Eercizio: Siano f un fluo e (A,B) un aglio in una ree di fluo G con orgene e deinazione. Si provi il eguene riulao: Il valore del fluo v(f) è al più pari alla capacià c(a,b) del aglio. Eercizio: Un geore di ree deve collegare il nodo e il nodo della ree in figura. Per moivi di icurezza i due nodi devono eere collegai da due cammini digiuni ugli archi. Formalizzare il problema come problema di fluo e riolverlo, uando le ecniche di fluo, per l eempio in figura. E poibile avere re cammini digiuni ra e? Moivare la ripoa.

12 . Eercizio: Applicare l algorimo di Ford e Fulkeron alla ree di fluo di oo riporaa. Ad ogni pao i ripori il cammino aumenane celo e i calcoli il valore del maimo fluo oenuo da a. Indicare infine il aglio di capacià minima Eercizio: Si conideri la ree di fluo in figura, in cui il primo numero u ogni arco denoa la capacià dell arco, ed il econdo denoa una aegnazione di fluo già u di eo effeuao. Qual è il valore di queo fluo già aegnao? Di quano può eere ancora aumenao per arrivare ad un fluo di valore maimo? Giuificare le ripoe.,,,,,0,,,,,,,,,. Eercizio: Applicare l algorimo di Ford e Fulkeron alla ree di fluo di oo riporaa. Ad ogni pao i ripori il cammino aumenane celo e i calcoli il valore del maimo fluo oenuo da a. Indicare infine il aglio di capacià minima.

13 Eercizio: Applicare l algorimo di Ford e Fulkeron alla ree di fluo di oo riporaa. Ad ogni pao i ripori il cammino aumenane celo e i calcoli il valore del maimo fluo oenuo da a. Indicare infine il aglio di capacià minima. 0. Eercizio: Si formuli il problema del Maimo Maching in ermini di fluo in rei e i preeni la relaiva oluzione.. Eercizio: Si formuli il problema del Maimo numero di Cammini Digiuni ra due verici e di un grafo in ermini di fluo in rei e i preeni la relaiva oluzione.. Eercizio: Dao un grafo G con vincoli di capacià ia u archi che u verici, i formuli il problema del Maimo Fluo dal verice al verice di G e i mori che eo è equivalane al problema di calcolare il maimo fluo in una opporuna ree di fluo avene capacià olo u archi.. Eercizio: Si decriva il problema della Selezione di Progei con vincoli di prerequiii vio a lezione e e ne dia una formulazione in ermini di fluo in rei.. Eercizio: Si provi che i egueni riulai ono ra di loro equivaleni (ovvero ognuna implica le alre). (a) un aglio (A,B) ale che v(f) = c(a,b) (b) Il fluo f ha valore v(f) maimo (c) G f non ha cammini aumenani