Note sulla Geometria delle Masse. Sistemi discreti e continui, baricentri, momenti statici, momenti d inerzia

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1 Noe ulla eomeria delle Mae Siemi dicrei e coninui, baricenri, momeni aici, momeni d inerzia erardo Carpenieri /0/04

2 Verione: ennaio 04 Quea opera, il codice di calcolo ed alri maeriali di upporo ono diponibili all url: hp:// Dirii d Auore / Coprigh Que opera è di pubblico dominio ma oggea ad una Licenza di Tipo Creaive Common, per maggiori informazioni: hp://creaivecommon.org È poibile: Condividere: riprodurre, diribuire, comunicare al pubblico, eporre in pubblico, rappreenare, eeguire e reciare queo maeriale con qualiai mezzo e formao. alle egueni condizioni: Aribuzione: aribuzione adeguaa della paernià ul maeriale mediane indicazione di un link alla licenza ed indicazione di evenuali modifiche. NonCommerciale: non è poibile uare queo maeriale per copi commerciali. NoDerivaive: non è conenio raformare il maeriale o baari u di eo e non è poibile diribuire il maeriale coì modificao Carpenieri

3 ndice. eneralià Siemi di puni maeriali, maa oale e baricenro Siemi coninui Proprieà del baricenro Deerminazione grafica del baricenro Momeno d inerzia aiale di un iema maeriale dicreo e marice d inerzia Figure piane e iemi di figure piane Dianze orienae e Momeni Saici Tenore d nerzia e Momeni d nerzia Momeni d nerzia Principali Cerchio di Mohr del Tenore d nerzia Regole praiche Ellie cenrale d inerzia Nocciolo cenrale d inerzia Spoameni rigidi dei iemi di riferimeno Tralazione Roazione Rooralazione Momeni Saici ripeo ad ai ralai ed ai baricenrici Momeni Saici ripeo ad ai ruoai Momeni d nerzia ripeo ad ai ralai Momeni d nerzia ripeo ad ai ruoai Eempi claici Sezioni circolari Carpenieri

4 ... Seore circolare Corona circolare Corona circolare oile: << (r, r ) Cerchio Quaro di cerchio Semicerchio Ellie Triangolo Reangolo Sezione a Sezione a C Caraeriiche geomeriche delle ezioni più comuni Codice di calcolo auomaico per le riangolazioni piane Decrizione Pre-proceing Soluore Po-proceing Codice di calcolo MaLab Eempio numerico Soluzione eaa Soluzione in MaLab Riferimeni Carpenieri

5 ndice delle figure Fig. Siema di puni maeriali S Fig. a) corpo coninuo D, b) uperficie D, c) curva D Fig. Proprieà diribuiva del baricenro Fig. 4 Sinira: piano di immeria, dera: rea di immeria Fig. 5 Deerminazione grafica del baricenro Fig. 6 a) Momeno d inerzia aiale di un iema di puni maeriale; b) momeno d inerzia aiale ripeo ad un ae di verore α Fig. 7 Sinira: eorema degli ai paralleli, dera: dimorazione.... Fig. 8 Veore poizione e iema di riferimeno Fig. 9 Sinira: emipiano delle dianze orienae poiive e emipiano delle dianze orienae negaive, dera: relazione ra dianze orienae e coordinae careiane Fig. 0 Tracciameno del cerchio di Mohr per roazione degli ai di riferimeno.... Fig. Coruzione del cerchio di Mohr per il calcolo dei momeni principali d inerzia.... Fig. (a) Ellie cenrale d inerzia, (b) diameri coniugai ed anipoli Fig. Coordinae careiane ripeo ad un iema di riferimeno ralao Fig. 4 Coordinae careiane ripeo ad un iema di riferimeno ruoao Fig. 5 Ai baricenrici e baricenro di una figura piana Fig. 6 Seore circolare Fig. 7 Sinira: corona circolare, dera: corona circolare oile Fig. 8 Sinira: cerchio, cenro: quaro di cerchio, dera: emicerchio Fig. 9 Ellie Fig. 0 Triangolo Fig. Reangolo Carpenieri

6 Fig. Sezione a Fig. Sezione a C Fig. 4 Triangolazione generica Fig. 5 Eempio di riangolazione Fig. 6 Oupu con indicazione della poizione del baricenro Carpenieri

7 . eneralià Noe ulla eomeria delle Mae La geomeria delle mae udia le proprieà delle mae e dei iemi di mae; quei ulimi inei ia come iniemi di un numero finio di puni maeriali (dei iemi dicrei) che come iniemi di infinii puni maeriali (iemi coninui). n paricolare, ra le proprieà fondamenali di ali iemi i annoverano la maa, il baricenro ed i momeni d inerzia. Nei paragrafi che eguono verranno epoi i meodi per il calcolo di ali proprieà con riferimeno ai iemi maeriali e, come cao paricolare, alle figure piane ed ai iemi di figure piane (ovvero iniemi coiuii da un numero finio di figure piane). Verranno, quindi, epoe le definizioni ed i eoremi alla bae di ale diciplina nonché ed alcune regole praiche per una deerminazione più pediiva di ali proprieà (ree di immeria, ai principali d inerzia, ecc.). La raazione è arricchia da alcuni eempi di calcolo numerici, pecifici per iemi piani molo comuni nelle applicazioni praiche ingegneriiche. n concluione viene preenao un breve codice di calcolo, realizzao in ambiene MaLab uile per il calcolo delle caraeriiche geomeriche (area, baricenro, momeni d inerzia principali) di riangolazioni generiche bidimenionali Carpenieri

8 Noe ulla eomeria delle Mae. Siemi di puni maeriali, maa oale e baricenro Def. : Maa: quanià di maeria poedua da un corpo. Prop. : La maa è una funzione definia poiiva. p. : La maa è coane nel empo. Def. : Siema di puni maeriali: inieme coiuio da un numero N (finio o infinio) di puni a ciacuno dei quali viene aociaa una maa (Fig. ): P m, P, m,..., S, P N, m N () O. : Un iema di puni maeriali coiuio da un numero N finio di puni i dice dicreo ; alrimeni, e il numero di puni è infinio i dice coninuo. Fig. Siema di puni maeriali S. Def. : Maa oale di un iema di puni maeriali. M N m () Def. 4: Baricenro. l baricenro è la media peaa della poizione dei puni del iema S ed è individuao da: O N N m P O m () Carpenieri

9 Noe ulla eomeria delle Mae dove O è un puno qualiai dello pazio euclideo deo origine e P è un generico puno del iema maeriale S al quale è aociaa una maa m. Teor. : l baricenro di un iema S di N puni maeriali non dipende dalla cela del puno di origine O del iema di riferimeno. Dim. Teor. La formula () i può ricrivere come: CVD. N N N m P Ω Ω O m P Ω m Ω O O O N N N N m m m m O Ω O N P Ω m -> N m N P m O. : n ermini di coordinae careiane è poibile porre:,, z P,, z O 0,0,0 n al modo, le coordinae careiane del baricenro riuleranno: M N m (4) z M M N N m m z (5) Carpenieri

10 . Siemi coninui Noe ulla eomeria delle Mae Def. 5: Corpo coninuo. È un inieme di infinii puni maeriali le cui poizioni geomeriche, ripeo ad un fiao iema di riferimeno, individuano un dominio regolare dello pazio (vedi Fig. ). (a) (b) (c) Fig. a) corpo coninuo D, b) uperficie D, c) curva D. Def. 6: Denià volumerica. È una funzione definia poiiva nel dominio D del corpo B e che inegraa ul volume di ale corpo ne fornice la maa oale: ρ : D R : M ρ P dv B (6) ovvero: m dm P lim V 0 (7) V dv O. : l baricenro di un corpo coninuo, quindi, ricordando la () arà: Ovvero, aumendo le (5): O M B P O P dv (8) Un dominio i dice regolare e la ua froniera è coiuia da un inieme finio di curve o uperfici regolari a rai Carpenieri

11 Noe ulla eomeria delle Mae z M M M B B B z P P P dv dv dv (9) Def. 7: Denià uperficiale. È una funzione definia poiiva nel dominio D della uperficie piana S e che inegraa ull area di ale uperficie ne fornice la maa oale: ρ : D R : M ρ P ds S (0) ovvero: m dm P lim S 0 () S ds O. 4: l baricenro della uperficie, quindi, i può calcolare come: O M S P O Ovvero, in ermini di coordinae careiane: z M M M S S S z P P P P ds ds ds ds () () O. 5: Nel cao in cui la uperficie S appariene al piano, del iema di riferimeno i avrà: z = Carpenieri

12 Noe ulla eomeria delle Mae Def. 8: Denià lineare. È una funzione definia poiiva nel dominio D della curva γ e che inegraa ulla lunghezza di ale curva ne fornice la maa oale: ρ : D R : M ρ P d γ (4) ovvero: m dm P lim l0 (5) l d O. 6: l baricenro della curva, quindi, i può calcolare come: O M P O P d (6) Ovvero, in ermini di coordinae careiane: M P d M P d (7) z M z P Def. 9: Siema omogeneo. Un iema S i dice omogeneo e la funzione denià è coane in ogni uo puno: 0 d P, PS (8) O. 7: La maa oale ed il baricenro di un corpo ridimenionale omogeneo B O divenano: M O dv OV B O V O B O P O dv (9) (0) - -. Carpenieri

13 Noe ulla eomeria delle Mae dove V è il volume del corpo B 0, uguale a: V dv B O () O. 8: La maa oale ed il baricenro di un corpo bidimenionale omogeneo S O divenano: M O ds OS S O () O P O ds S dove S è l area della uperficie S 0, uguale a: S O S ds S O () (4) O. 9: La maa oale ed il baricenro di un corpo monodimenionale omogeneo γ O divenano: M ρo d ρ γ O L O γ O O L P O d (5) (6) dove L è la lunghezza della uperficie γ 0, uguale a: L d γ O (7) - -. Carpenieri

14 Noe ulla eomeria delle Mae 4. Proprieà del baricenro Teor. : Proprieà diribuiva del baricenro. l baricenro di un iema maeriale coiuio da più puni è uguale al baricenro che i oiene uddividendo in modo arbirario il iema in n pari e coniderando, per la i- ima pare, un unico puno con la maa oale di quella pare e poizionao nel baricenro di quella pare (Fig. ). Fig. Proprieà diribuiva del baricenro. Dim. Teor. Se i uddivide il iema originario in due ole pari i ha:, M, M S ed il baricenro riulerà, per la proprieà uddea:, l iema i criverà: M O M O O M M (8) S S P, m,..., P, m, P, m P m S, k k k k,..., N, N (9) l baricenro del iema iffao i criverà: Carpenieri

15 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri N k k N k k N N m m O P m O P m m O P m O (0) Tuavia i ricorda che i baricenri delle due pari conenono di crivere: O M O P m m O P m O k k k () O M O P m m O P m O N k N k N k () nfai: k M m N k M m () Soiuendo la () e la () nella (0) i oiene la ei. CVD. Def. 0: Puno di immeria. l puno P i dice immerico ripeo al piano π del puno P e: ) il puno medio del egmeno π P P ; ) π P P.

16 Noe ulla eomeria delle Mae Fig. 4 Sinira: piano di immeria, dera: rea di immeria. Def. : Piano di immeria. Sia immeria per S e (Fig. 4): ) P è immerico di P ripeo a π; ) ia P che P apparengono ad S. Def. : Rea di immeria geomerica. Sia immeria geomerica per S e (Fig. 4): ) P è immerico di P ripeo ad r; ) ia P che P apparengono ad S. Def. : Rea di immeria maeriale. Sia immeria maeriale per S (iema dicreo) e: ) P è immerico di P ripeo ad π; ) m(p) = m(p ); Se invece S è un iema coninuo occorre aggiungere: ) ρ(p) = ρ(p ). S E. Si dice che il piano π è un piano di S E. Si dice che r è una rea di S E. Si dice che π è un piano di Carpenieri

17 Noe ulla eomeria delle Mae Prop. : Se un corpo ha un piano di immeria maeriale (ovvero una rea di immeria maeriale) allora il baricenro appariene a quel piano (ovvero a quella rea). 4.. Deerminazione grafica del baricenro O. 0: l baricenro di un iema di S di N puni maeriali i può ricavare ricercando per via grafica il cenro di un iema di veori paralleli, di inenià proporzionale alla maa ed applicai in corripondenza di ciacun puno maeriale (Fig. 5). Fig. 5 Deerminazione grafica del baricenro. Con riferimeno alla Fig. 5, il baricenro del iema di 4 puni maeriali è ao oenuo riporando in ciacun puno due veori di inenià proporzionale alle relaive mae e perpendicolari. Succeivamene, ono ai coruii, per i due iemi veoriali iffai, i poligoni funicolari per il calcolo della maa oale. Si noi che i due puni P e P ono ai celi a cao. lai di ali poligoni ono ai, quindi, numerai e riporai, parallelamene a loro ei, lungo le direzioni dei veori diegnai in precedenza. La prima e l ulima direzione di ciacun poligono conenono di oenere due ree la cui inerezione è proprio il baricenro ricercao Carpenieri

18 Noe ulla eomeria delle Mae 5. Momeno d inerzia aiale di un iema maeriale dicreo e marice d inerzia Def. 4: Momeno d inerzia aiale. Dao un iema S di N puni maeriali ed una rea r, il momeno d inerzia aiale è la quanià poiiva (Fig. 6): r N m P P (4) (a) (b) Fig. 6 a) Momeno d inerzia aiale di un iema di puni maeriale; b) momeno d inerzia aiale ripeo ad un ae di verore α. Si inroduca il eguene verore della rea r, paane per l origine, in un iema di riferimeno careiano: α αi ei αe αe αe, α (5) l valore aoluo nella (4) i può ricrivere come: in in in P P P O θ P O α θ P O α θ P O α co θ co co P O α P O α θ P O α P O α θ P O α P O α l prodoo calare ra due veori u e v è pari a: u v coθ, eendo θ l angolo compreo ra i due veori Carpenieri

19 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri Conviene, a queo puno, aumere: z P,, (6) 0 0 0,, O Soiuendo: P P z α α α α α z α z α z α z α α α z α α α z α α z α α Soiuendo nella (4): N r m z α z α α α α z α α z α α N N N m α z m α z m α N N N z m α α z m α α m α α Def. 5: Momeni d inerzia ripeo agli ai di riferimeno. Dao un iema maeriale S di n puni ed un iema di riferimeno, i momeni d inerzia ripeo ai re ai aranno: N z m (7) N z m (8) N z m (9) Def. 6: Momeni d inerzia cenrifughi. Dao un iema maeriale S di n puni ed un iema di riferimeno, i momeni d inerzia cenrifughi ono le quanià:

20 Noe ulla eomeria delle Mae N m (40) z z N m z (4) z z N mz (4) O. : Le ei precedeni quanià ono anche dee prodoi d inerzia. n definiiva: r α α α αα αα Nel cao piano, iccome α = 0, i ha: r α Ovvero: r α αα α α α α α α α α α α α α α α αα αα αα nfine, uilizzando la noazione indiciale: r αhαk hk αh h, k h k ovvero, in ermini di componeni: hk α k α α r α α α α α α (4) (44) Def. 7: Marice d inerzia. È la marice rappreenaiva, funzione della bae cela B e, e, e, di una raformazione lineare (ovvero un enore, ovvero un applicazione lineare) dea enore d inerzia : Carpenieri

21 Noe ulla eomeria delle Mae (45) Prop. : Cambiando la bae B ma manenendo fia l origine O del iema di riferimeno i oiene una divera rappreenazione (marice d inerzia) dello eo enore d inerzia. Prop. 4: Cambiando la bae B e l origine O i oiene la rappreenazione (marice d inerzia) di un enore divero da quello iniziale. O. : Per le definizioni dae dei prodoi d inerzia, la marice d inerzia ed anche il enore d inerzia riulano immerici. Def. 8: Siema principale d inerzia. Daa la immeria del enore d inerzia, per il eorema perale, eo riulerà orogonalmene diagonalizzabile e dovrà eiere una bae, con origine O fiaa, ripeo alla quale la marice rappreenaiva del enore d inerzia è diagonale. li ai del iema iffao ono dei principali d inerzia. Def. 9: Se come origine i ceglie il baricenro del iema di riferimeno, la erna principale d inerzia i dice erna cenrale d inerzia e gli ai ono dei ai cenrali d inerzia. O. : La oluzione del problema di diagonalizzazione, fiaa l origine O, della marice d inerzia coincide con il problema agli auovalori ed agli auoveori. n paricolare le oluzioni poono eere di re ipo: a) auovalori diini: eie una ola erna principale d inerzia; b) auovalori (uno ingolo ed uno doppio): il primo fia un ae principale d inerzia ed il econdo fia un piano di ai principali d inerzia qualiai; c) auovalore riplo: ue le erne con origine in O ono principali d inerzia Carpenieri

22 Noe ulla eomeria delle Mae Cor. : Prodoi d inerzia per un corpo coninuo ridimenionale. Dao un corpo coninuo ridimenionale di dominio D con denià volumerica ρ(p), definia punualmene, i prodoi d inerzia aranno: z ρpdv ρpdv D z ρpdv zρpdv D D ρpdv zρpdv D D D (46) (47) (48) Cor. : Prodoi d inerzia per un corpo uperficiale. Dao un corpo coninuo bidimenionale di dominio D nel piano, e con denià uperficiale ρ(p), definia punualmene, i prodoi d inerzia aranno: ρpds ρpds D ρpds 0 D ρpds 0 D D (49) (50) (5) e la marice d inerzia divena: 0 0 (5) 0 0 Teor. : Teorema degli Ai Paralleli (o di Hugen-Seiner o del raporo). Dao un iema S di puni N maeriali, il momeno d inerzia ripeo ad un ae r parallelo ad un ae baricenrico r è pari a: r r Md (5) dove M è la maa oale del iema S e d è la dianza ra gli ai r e r. Dim. Teor Carpenieri

23 Noe ulla eomeria delle Mae Si auma un iema di riferimeno con z r ed il piano z paane per. Siano: * P la proiezione del generico puno generico puno P u z (Fig. 7). P u z r ; P la proiezione del Fig. 7 Sinira: eorema degli ai paralleli, dera: dimorazione. Eiono le egueni relazioni ra le coordinae del generico puno iemi di riferimeno: d z z l momeno d inerzia ripeo ad r arà: N N m m d r z Siccome: N m d d N N N m m d m d r Md dm M N m P nei due (54) (55) - -. Carpenieri

24 Noe ulla eomeria delle Mae N m 0 M oiuendo la (56) nella (55) i oiene la ei. CVD (56) Carpenieri

25 Noe ulla eomeria delle Mae 6. Figure piane e iemi di figure piane Def. 0: Figura piana (o regione regolare): inieme conneo chiuo 4 con inerno non vuoo e la cui froniera è coiuia da un numero finio di curve regolari. Def. : Siema di figure piane: inieme coiuio da un numero finio di figure piane. Def. : Veore poizione. Dai un piano π dello pazio geomerico euclideo E ed un uo generico puno O, deo origine, è poibile definire una corripondenza biunivoca ra un qualiai puno P del piano π ed il veore applicao ad O (Fig. 8): O, : OP P O e e P (57) Def. : Spazio veoriale V : inieme dei veori liberi ordinari appareneni al piano π. Def. 4: Siema di riferimeno careiano oronormale: inieme dell origine O e di una bae di verori orogonali e,e. Fig. 8 Veore poizione e iema di riferimeno. Un inieme i dice conneo quando, prei due puni appareneni all inieme, quei poono eere collegai per il ramie di almeno una curva coninua coiuia da puni ui appareneni all inieme. 4 Un inieme i dice chiuo e coniene il uo inerno e la ua froniera Carpenieri

26 Noe ulla eomeria delle Mae 7. Dianze orienae e Momeni Saici Def. 5: Rea orienaa. Una rea r giacene nel piano π i dice orienaa e è poibile individuare un eno di percorrenza (o vero) u di ea. Def. 6: Semipiani poiivi (negaivi). Daa una rea orienaa r giacene nel piano π, i definice emipiano poiivo π + (negaivo π - ) l inieme dei puni che giacciono alla inira (alla dera) di un ipoeico oervaore che percorre la rea in eno poiivo e con la ea rivola vero il leore. Def. 7: Dianza orienaa. Daa una rea orienaa r giacene nel piano π, la P dianza orienaa è pari al valore della minima dianza del puno P dalla r rea r compuaa poiivamene e il puno P giace nel emipiano poiivo, alrimeni compuaa con egno negaivo. O. 4: Dao un iema di riferimeno O, e e S ed un generico puno P, le dianze orienae di P ripeo agli ai del iema di riferimeno ono pari a (Fig. 9):, (58) Fig. 9 Sinira: emipiano delle dianze orienae poiive e emipiano delle dianze orienae negaive, dera: relazione ra dianze orienae e coordinae careiane Carpenieri

27 Noe ulla eomeria delle Mae Def. 8: Denià. Daa una figura piana ed un puno P, ad eo è poibile aociare una quanià calare definia poiiva funzione del veore poizione del puno P O nel iema di riferimeno O, e e Def. 9: Area. L area di una figura piana Def. 0: Maa. La maa di una figura piana S : m dm lim (59) 0 d è pari a: A d (60) è pari a: m d (6), p. : Denià coane., (6) O. 5: La maa di una figura piana con denià ρ coane è pari a: m A (6) Def. : Momeni aici di maa. momeni aici di maa di una figura piana ripeo agli ai di un iema di riferimeno S O, e e ono pari alle quanià: m S ρ δ d ρ d (64) m S ρ δ d ρ d Carpenieri, O. 6: Aumendo l p. è poibile calcolare le quanià precedeni come: S m d d S m Def. : Momeni aici di area. Daa una figura piana d d (65), è poibile definire i momeni aici di area ripeo agli ai di un iema di riferimeno, S O, e e come: d d d S S d (66)

28 Noe ulla eomeria delle Mae Def. : Veore dei momeni aici. S S (67) S Carpenieri

29 Noe ulla eomeria delle Mae 8. Tenore d nerzia e Momeni d nerzia Def. 4: Momeni d nerzia di maa. Daa una figura, i dicono momeni d inerzia di maa ripeo agli ai di un iema di riferimeno, S O, e e le egueni quanià: m ρδ d ρ d m ρδ d ρ d m ρδ δ d ρ d Def. 5: Momeni d nerzia di area. Daa una figura (68) con denià coane, i dicono momeni d inerzia di area ripeo agli ai di un iema di riferimeno O, e e S le egueni quanià:, δ d d δ d d δ δ d d (69) O. 7: Per come ono ai definii, i momeni d inerzia ono delle quanià definie poiive. m, m, ed Def. 6: Tenore d inerzia. Daa una figura iema di riferimeno S O, e e, con denià coane ed un, è poibile individuare un enore (d nerzia) che può eere rappreenao con una marice le cui componeni ono i momeni d inerzia: O (70) Carpenieri

30 Noe ulla eomeria delle Mae Def. 7: Momeno d nerzia polare. Daa una figura ed un iema di riferimeno S O, e e la raccia della marice aociaa al enore d inerzia: O r, d O con denià coane, i dice momeno d inerzia polare (7) O. 8: l momeno d inerzia polare rimane coane (invariane) ripeo ad un qualunque iema di riferimeno ruoao S O, e e iema originario O, e e S. 8.. Momeni d nerzia Principali, ripeo al Teor. 4: Siema di riferimeno principale d inerzia. Daa una figura piana ed un iema di riferimeno S O, e e, eierà un alro iema * * di riferimeno (ruoao) S O, e, e quale la marice aociaa al enore d inerzia Dim. Teor. 4 *,, deo principale d inerzia, ripeo al, O riula diagonale: * * 0 O * (7) 0 La marice aociaa al enore d inerzia nel iema di riferimeno, S O, e e è, in generale, del ipo: O (7) ermini della marice d inerzia aociaa al iema principale d inerzia ono dei momeni d inerzia principali e poono eere ricercai riolvendo il problema agli auovalori ed agli auoveori del enore d inerzia. n paricolare, i momeni principali d inerzia coincidono con gli auovalori e gli auoveori coincidono con i verori e,e. * * Carpenieri

31 Noe ulla eomeria delle Mae li auovalori poono eere rovai riolvendo la eguene equazione caraeriica: de 0 (74) O. 9: La immeria del enore O aicura l eienza di due radici dell equazione (74) e l orogonalià dei verori (74) i oiene: * * e,e. Svolgendo l equazione i, i =,. (75) Riulerà:, i =,. (76) * i i coeni direori del primo verore riolvendo il iema: ed imponendo: * * * e poranno eere deerminai n n 0 0 (77) n n (78) l econdo verore porà eere deerminao fruando la condizione di orogonalià: * * e e 0 (79) O. 0: Se α è l angolo del quale occorre ruoare ciacun ae del iema S per oenere il iema S *, allora riulerà: n co ; n in. (80) - -. Carpenieri

32 Noe ulla eomeria delle Mae 8.. Cerchio di Mohr del Tenore d nerzia Teor. 5: Dao un iema levogiro O, e e S ed un iema non levogiro S O, n, m ruoao di un angolo θ ripeo al primo, allora i momeni d inerzia egueni (Fig. 0): nn, n d, mn m nd formano, al variare di θ, una circonferenza di cenro e raggio pari a: (8) C C C 0, R (8) Fig. 0 Tracciameno del cerchio di Mohr per roazione degli ai di riferimeno. Def. 8: Poli del cerchio di Mohr del enore d inerzia. Daa una figura piana ed un iema di riferimeno S O, e e, è poibile individuare due puni del cerchio di Mohr, dei ripeivamene primo e econdo polo, che hanno coordinae pari a: P, P (8) O. : Dal racciameno del cerchio di Mohr i evincono, graficamene, i valori dei momeni d inerzia principali nonché l angolo α del quale occorre - -. Carpenieri,

33 Noe ulla eomeria delle Mae ruoare il iema originario S per oenere il iema principale d inerzia S* (Fig. ): * * C R, R arcg C, (84) Fig. Coruzione del cerchio di Mohr per il calcolo dei momeni principali d inerzia. 8.. Regole praiche O. : Un ae di immeria è un ae cenrale d inerzia. O. : Qualunque ae perpendicolare ad un ae di immeria è un ae principale d inerzia Carpenieri

34 Noe ulla eomeria delle Mae 9. Ellie cenrale d inerzia Def. 9: Ellie cenrale d inerzia (o ellie di Culmann). Daa una figura piana ed un iema di riferimeno principale d inerzia S O, e e, l ellie cenrale d inerzia è quell ellie che ha cenro nel baricenro della, figura, ai orienai come gli ai principali d inerzia (iano *, * ) e emiai i raggi d inerzia * ρ, * ρ : n definiiva l ellie cenrale d inerzia ha equazione: * * * ρ * ρ A A (85) ρ * * ρ * * (86) Def. 40: Diamero coniugao. Daa una ellie cenrale d inerzia ed una rea r, i definice diamero coniugao d quella rea paane per i puni P e P individuai dalle ree r ed r parallele ad r e angeni all ellie. Def. 4: Anipoli. Dao un diamero coniugao d ripeo ad una rea r, i definice anipolo del puno C di inerezione delle ree d ed r, quel puno C, oppoo a lungo d, ale che il emidiamero ρ d è la media geomerica delle dianze coniugae d e d (Fig. ): Eendo: d d ρ (87) d d C d C Carpenieri

35 Noe ulla eomeria delle Mae (a) (b) Fig. (a) Ellie cenrale d inerzia, (b) diameri coniugai ed anipoli Carpenieri

36 0. Nocciolo cenrale d inerzia Noe ulla eomeria delle Mae Def. 4: Nocciolo cenrale d inerzia. Daa una figura piana di riferimeno principale d inerzia S O, e e, ed un iema, il nocciolo cenrale d inerzia è il luogo dei puni coiuio dagli anipoli corripondeni alle ree che non agliano la figura. Cor. : l baricenro della figura appariene al nocciolo cenrale d inerzia in quano è l anipolo corripondene alla rea impropria che non aglia la figura. Cor. 4: La froniera del nocciolo è il luogo degli anipoli corripondeni alle ree angeni alla froniera di e ali da non agliarla. Cor. 5: puni inerni al nocciolo ono gli anipoli corripondeni a ue le poibili ree eerne alla figura. Cor. 6: l nocciolo cenrale d inerzia è una figura convea 5. Cor. 7: rai reilinei del nocciolo ono gli anipoli corripondeni ai faci di ree paani per i puni angoloi della figura. 5 Una figura i dice convea e, prei due puni qualunque appareneni alla figura, il egmeno che li unice è uo conenuo nella figura Carpenieri

37 Noe ulla eomeria delle Mae. Spoameni rigidi dei iemi di riferimeno.. Tralazione Teor. 6: Dai due iemi di riferimeno careiani oronormali S O, e e ed S O, e, e ralai, ovvero ali che //, e e, e// e e O O e e, allora il veore poizione di un generico puno P nel iema di riferimeno S può eere oenuo come (Fig. ): Ovvero, in ermini di coordinae careiane: i (88), i =,. (89) i i Fig. Coordinae careiane ripeo ad un iema di riferimeno ralao... Roazione Teor. 7: Dai due iemi di riferimeno careiani oronormali levogiri (o aniorari) (o derori) S O, e e e S O, e, e, ruoai di un angolo α, compuao con egno poiivo e aniorario, allora il veore poizione di un generico puno (Fig. 4): P nel iema di riferimeno S può eere oenuo come Carpenieri

38 Noe ulla eomeria delle Mae R (90) Ovvero, in ermini di coordinae careiane: co in in co co in in co (9) Fig. 4 Coordinae careiane ripeo ad un iema di riferimeno ruoao. Dim. Teor. 7 verori del iema di riferimeno S poono criveri come: e e co e in in e co e e (9) l veore poizione del puno P, quindi, i può crivere: (9) e e Soiuendo nella precedene i verori appena calcolai: riordinando: dovendo riulare uavia: co e in e in e e (94) co co in e in e (95) co Carpenieri

39 uguagliando le componeni di ed.. Rooralazione Noe ulla eomeria delle Mae ' e e (96) ' i oiene la ei. CVD. Teor. 8: Dai due iemi di riferimeno careiani oronormali levogiri (o aniorari) (o derori) S O, e e e S O, e, e, ed un generico puno P, è empre poibile rovare un veore ed una marice R(α) ale che: ' R (97).4. Momeni Saici ripeo ad ai ralai ed ai baricenrici Teor. 9: Leggi del raporo. Dai due iemi di riferimeno careiani oronormali S O, e e e S O, e, e e e e //, ralai, ovvero ali che // e e, O O e e, allora i momeni aici di una figura ripeo agli ai ralai ono pari a: S A S A (98) S S Ovvero, in ermini di dianze orienae di O ripeo ad O : Dim. Teor. 9 Per definizione i momeni aici di S O, e, e aranno: S S τa S A (99) S ripeo agli ai del iema d S d (00) S Tuavia occorre noare che: Dove: (0) (0) Carpenieri

40 Noe ulla eomeria delle Mae ono le dianze orienae di O ripeo agli ai del iema S. Soiuendo le (0) nelle (00) i oiene: d S S d (0) Svolgendo i precedeni inegrali e ricordando le (66) e la (60) i oiene la ei. CVD. Def. 4: Ai baricenrici. Daa una figura S O, e e, ed un iema di riferimeno, i definicono ai baricenrici quegli ai, paralleli agli ai di S, ripeo ai quali ono nulli i momeni aici (99) (Fig. 5): S S A 0 S S A 0 (04) Def. 44: Baricenro. l baricenro di una figura d inerezione degli ai baricenrici. è il puno O. 4: Dalle (04) è poibile oenere le dianze orienae di O ripeo a : S A S (05) A Applicando le definizioni delle dianze orienae (58) i oerrebbero le coordinae careiane di O ripeo a. Le quanià ricercae, ovvero le coordinae di ripeo ad O aranno, quindi, le oppoe: g g (06) Fig. 5 Ai baricenrici e baricenro di una figura piana Carpenieri

41 Noe ulla eomeria delle Mae Soiuendo nelle precedeni, in definiiva, le coordinae del baricenro ripeo al iema di riferimeno originario O, e e oenere come: g S A.5. Momeni Saici ripeo ad ai ruoai Teor. 0: Dao un iema di riferimeno S O, e, e S i poono, S g A (07) ruoao di un angolo α ripeo ad un iema di riferimeno originario S O, e e,, allora il veore dei momeni aici ripeo al iema ruoao i può eprimere come: S O S co in S R S (08) S in co S Dim. Teor. 0 Ricordando la definizione di momeno aico (66) nonché le relazioni oenue nel cao di roazione del iema di riferimeno (9): S d inα coα d S inα S coα S d coα inα d S inα S coα (09).6. Momeni d nerzia ripeo ad ai ralai Teor. : Leggi del raporo dei momeni d inerzia. Dai due iemi di riferimeno careiani oronormali S O, e e e S O, e, e ovvero ali che e //e, //e d inerzia di una figura e e, ralai, O O e e, allora i momeni ripeo agli ai ralai ono pari a: S S A A (0) Carpenieri

42 Dim. Teor. Noe ulla eomeria delle Mae S S A Dalle definizioni di momeni d inerzia e ricordando le formule oenue in cao di ralazioni degli ai: δ d δ τ d δ δ τ τ d δ d τ d τ δ d δ d δ τ d δ δ τ τ d δ d τ d τ δ d δ δ d δ τ δ τ d δ δ d τ δ d τ δ dτ τ d Con ovvio ignificao dei imboli, oiuendo: Ricordando che: S A S A S S A () () () oiuendo nella precedene i oiene agevolmene la ei. CVD. Cor. 8: Leggi di Hughen. Se gli ai del iema di parenza ono baricenrici, ovvero e O, riuleranno nulli i momeni aici S S 0 e, quindi, le (0) divenano: Carpenieri

43 Noe ulla eomeria delle Mae A A A (4).7. Momeni d nerzia ripeo ad ai ruoai Teor. : Dao un iema di riferimeno S O, e, e ruoao di un angolo α ripeo ad un iema di riferimeno originario S O, e e,, allora il veore dei momeni aici ripeo al iema ruoao i può eprimere come: co in in co in co in co inα coα inα coα co α in α (5) Dim. Teor. Dalle definizioni di momeni d inerzia e ricordando le formule oenue in cao di roazione degli ai: Svolgendo: d inα coα d in α co α inα coα d d coα inα d co α in α inα coα d inα coα coα inα d in α d co α dinα coα d (6) (7) Carpenieri

44 Noe ulla eomeria delle Mae d in d in d co co in co in co in co αd α α α α α inα coα dinα coα d in α d co α d Soiuendo le (69) nella precedene i oiene la ei. CVD Carpenieri

45 . Eempi claici Noe ulla eomeria delle Mae Nella preene ezione vengono udiae alcune delle figure piane più comuni, come il eore circolare ed i relaivi cai paricolari, i poligoni e le ezioni coiuii da iniemi di reangoli. Per ciacun cao vengono derivae le relazioni per il calcolo dell area, del baricenro e dei momeni d inerzia principali... Sezioni circolari Dao il eore circolare rappreenao in Fig. 6 calcolare: area, poizione del baricenro, momeni d inerzia principali ripeo agli ai baricenrici e direzioni principali d inerzia aumendo: r 00mm r 900mm π θ 6 Succeivamene paricolarizzare le relazioni oenue per i cai di: - corona circolare: θ 0, θ π ; - quaro di cerchio: r 0, r r, θ 0, π θ ; θ π - cerchio: r 0, r r, θ 0, θ π.... Seore circolare Fig. 6 Seore circolare. Dominio Carpenieri

46 Noe ulla eomeria delle Mae θ : θ θ θ, r rcoθ, rin r r Area θ θ A r r mm Momeni aici Paando alle coordinae polari 6 : S d, S r r θ r θ r d r θ r θ r 7 in co co co S r dr θdθ θ θ θ mm r r S S inθ inθ mm Baricenro 7 Si noi che, in generale: in in r r S r r θ θ 454.9mm A θ θ co co r r S r r θ θ 454.9mm A θ θ θ θ. g Momeni d inerzia ripeo agli ai, d, d d 6, co, in D f dd f ρ θ ρ θ ρdρdθ D Carpenieri

47 r Noe ulla eomeria delle Mae 4 r θ inθcoθ in in dr r θ rdθ r dr θ dθ 7 4 θ r θ θ r r 4 4 r r θ θ inθcoθ inθcoθ 4.40 mm 8 Analogamene: θ θ r r r r θ θ inθcoθ inθcoθ 4.40 mm 8 nfine: r θ r θ dr rinθ rcoθ rdθ r dr inθcoθdθ r θ r θ 4 r r coθ 4 r θ θ r r θ θ mm co co Momeni d inerzia ripeo ad ai baricenrici paralleli a ed A.490 mm 9 4 A.490 mm 9 4 A.580 mm 9 4 Cenro e raggio del cerchio di Mohr θ 7 in co in d c Carpenieri

48 C mm, Noe ulla eomeria delle Mae R.580 mm Ai e Momeni principali d inerzia 9 4 Si noi che il eore circolare analizzao ha un ae di immeria, ovvero un ae cenrale d inerzia, inclinao ripeo all ae di: α θ θ π 4 momeni principali d inerzia riulano: R mm ξ C 9 4 R.90 mm η C Corona circolare Dominio (Fig. 7) rco θ, rin θ :0 θ π, r r r Area A π r r Baricenro 0 Momeni principali d inerzia r π ξ ξ 0 r Carpenieri

49 Noe ulla eomeria delle Mae Fig. 7 Sinira: corona circolare, dera: corona circolare oile.... Corona circolare oile: << (r, r ) l raggio medio e lo peore riulano: r r r r r Un generico elemeno infinieimo della corona circolare i può vedere come un reangolo di bae rdθ ed alezza. Ergo, il momeno d inerzia di ale elemeno ripeo all origine del iema di riferimeno (momeno d inerzia polare) è pari a: d O rdθ rdθ r negrando ul dominio i oiene, infine: O π 0 d O πr π 0 rdθr πr Daa la immeria, i ha: O πr..4. Cerchio Dominio (Fig. 8) Carpenieri

50 Noe ulla eomeria delle Mae rco θ, rin θ :0 θ π Area A πr Baricenro 0 Momeni principali d inerzia 4 r π 4 0 Fig. 8 Sinira: cerchio, cenro: quaro di cerchio, dera: emicerchio...5. Quaro di cerchio Dominio Area Baricenro π rco θ, rin θ:0 θ A π r Carpenieri

51 Noe ulla eomeria delle Mae Momeni d inerzia ripeo agli ai, 4 r π 4 r π 6 4 r 8 Momeni d inerzia ripeo ad ai baricenrici paralleli a ed 4 r r 4r 4 4 A π π πr 6 4 π 6 9π 4 6 9π 4 πr 4 r r 4r 4 4 A π r 8 4 π 9π 8 Cenro e raggio del cerchio di Mohr C 4 4 πr 6 9π Ai e Momeni principali d inerzia 4 4 R r 9π 8 π α 4 * C R πr r 6 9π 9π Carpenieri

52 Noe ulla eomeria delle Mae * C R πr r 6 9π 9π Semicerchio Dominio rco θ, rin θ :0 θ π Area r A π Baricenro 0 4 r π Momeni d inerzia ripeo agli ai, Momeni principali d inerzia 4 r π Ellie 4 r r 4r 4 8 ξ A π π πr 8 π 8 9π r η A π 8 Si riporano le caraeriiche inerziali di una ellie cenraa nell origine e di emidiameri a e b (Fig. 9) Carpenieri

53 Noe ulla eomeria delle Mae Dominio Fig. 9 Ellie. a θ b θ θ π a b a b co, in :0,,, Area A πab Baricenro 0 Momeni principali d inerzia π 4 ab π a b 4.. Triangolo Calcolare l area, il baricenro ed i momeni d inerzia ripeo agli ai baricenrici del riangolo rappreenao nella Fig Carpenieri

54 Noe ulla eomeria delle Mae Dai Numerici: a = 800 mm b = 900 mm Dominio Fig. 0 Triangolo., R : 0 a & 0 b a Area b a a a a a a A da d d b d b a ab ba 60000mm a Baricenro b a a a b a a b a S da d d d d Carpenieri

55 a ab d a a 0 Noe ulla eomeria delle Mae a ab ab S.08 0 mm a ab S 9.60 mm 6 7 S a 66.67mm A S b 00.00mm A Momeni d inerzia b a a a b a a b a d d d d d a ab d a a 0 4 a ab ab mm 4 a ab d mm b a a a b a d d d d Carpenieri

56 a a b d a 0 b 40 Noe ulla eomeria delle Mae a a b b a a a a 0 0 d d 4 a b a b 4a a mm Momeni d inerzia ripeo ad ai baricenrici ab A.60 mm ab A.80 mm ab A 7.0 mm 7 Cenro e raggio del cerchio di Mohr 9 4 ab C a b.450 mm R a b ( a a b b ) mm 7 4 Ai e Momeni principali d inerzia α ag 8.6 R ( ( )) * C a b ab a b a a b b mm Carpenieri

57 Noe ulla eomeria delle Mae * C R ( a bab a b ( a a b b )) mm 7.4. Reangolo Calcolare l area, il baricenro ed i momeni d inerzia principali del reangolo rappreenao nella eguene Fig.. 4 Dominio Area Fig. Reangolo., R : a b & c b a d d b d A da d d b a d c Baricenro a c c b d a a c c d b d c S da d d ba Carpenieri

58 b d b a c a Noe ulla eomeria delle Mae b a S da d d d c c d S A b a S A c d Momeni d inerzia ripeo agli ai ed b d d b d c a a c c d d d b a b d b b a c a c a d d d d c d b d b d b a c d a c a c d d d Momeni principali d inerzia Si auma: B b a H d c d B B d H H d B B H H BH d B B d H H d B B H H B H Carpenieri

59 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri.5. Sezione a Calcolare l area, il baricenro ed i momeni d inerzia principali della ezione a rappreenaa nella Fig.. Fig. Sezione a. Dominio, : & R b 0 0 h b b R & :, H h b b b b R & :, Area b h b A

60 Baricenro Noe ulla eomeria delle Mae Le aree e le ordinae dei baricenri delle re pari della ezione ono: A b h h A A b H l momeno aico può, quindi, eere oenuo come la omma dei momeni aici delle re pari: S S S S A A A S b h h b H S b h h b H b Le coordinae del baricenro della ezione compleiva ono: S b h h b H b A b hb S b A Momeni principali d inerzia l iema di riferimeno ralao nel baricenro della ezione riulerà un iema principale d inerzia in quano riula nullo il momeno d inerzia cenrifugo:,,, A A A Carpenieri

61 Noe ulla eomeria delle Mae l moivo è che è nulla l acia baricenrica di ciacuna pare della ezione ripeo al iema baricenrico. momeni principali riulano, quindi:,,,,,, Dove:, b b, h h h, b b H, b, h, b.6. Sezione a C Calcolare l area, il baricenro ed i momeni d inerzia principali della ezione a C rappreenaa nella Fig Carpenieri

62 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri DAT NUMERC b = 00 mm b = 480 mm h = 750 mm = = 75 mm = 60 mm Fig. Sezione a C. Dominio h h b R & :, 0 h R & :, 0 0 b R & :, Area A b h b mm Baricenro L area e le coordinae delle re pari della ezione riulano: b A b h

63 A h Noe ulla eomeria delle Mae h A b b momeni aici oali riulano, perciò: S S S S A A A S S S S A A A Soiuendo: h S b h h b mm b b S b h b mm Le coordinae del baricenro riuleranno: b b b h b S A b h b h b h h b 9.06mm S A b h b 48.05mm Momeni d inerzia ripeo al iema di riferimeno ralao nel baricenro La omma dei momeni delle ingole pari conenono di oenere i momeni principali d inerzia della ezione:,,, mm,,, mm Carpenieri

64 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri Dove:, b b h h h h, b b,, b b b h h, b b b, l momeno d inerzia cenrifugo riula, invece:,,, mm Eendo: h b b A, h h A, b b A, Cenro e raggio del cerchio di Mohr C mm

65 Noe ulla eomeria delle Mae R.950 mm 9 4 Ai e momeni principali d inerzia α ag.09 R 9.60 mm * 9 4 C R.60 mm * 9 4 C Carpenieri

66 Noe ulla eomeria delle Mae. Caraeriiche geomeriche delle ezioni più comuni Reangolo A BH B H BH B H ξ η BH B H Triangolo caleno A BH H BH BH ξ 6 BHin α η Carpenieri

67 Noe ulla eomeria delle Mae Sezione a doppia T immerica A BH bh B H Sezione a T immerica η ξ H hb hb b BH bh A BH bh B BH bh BH bh Cerchio ξ BH bh 4BHbhH h η B H bh b bb B BH bh πd A 4 ξ η D D 5πD 64 4 πd Carpenieri

68 Noe ulla eomeria delle Mae Semicerchio πd A 8 D D π Corona circolare ξ π 8 R 8 9π A π D d 4 4 D D Scaolare immerico ξ π η D d A BH bh B H ξ η BH bh B H b h Carpenieri

69 Noe ulla eomeria delle Mae Sezione a C immerica A BH bh B H b b B h BH bh H ξ BH bh Eagono regolare A R R R 5 ξ η R Carpenieri

70 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri Trapezio iocele H b B A b B b B h B B b b H B b ξ 48 6 Ellie BH π A 4 H B ξ η π BH π B H Croce immerica bh H b B A H B B b H bh H h B b h ξ η

71 Noe ulla eomeria delle Mae 4. Codice di calcolo auomaico per le riangolazioni piane 4.. Decrizione Nella preene ezione viene preenao e fornio un piccolo ool per il calcolo dell area, del baricenro e delle caraeriiche inerziali di qualiai ipo di riangolazione piana. Per riangolazione i inende una figura piana coiuia da uno o più riangoli aveni o meno verici e lai in comune. Si può noare che, cegliendo riangoli di dimenioni opporunamene piccole è poibile approimare qualivoglia figura piana come una riangolazione. Vengono in upporo, infai, algorimi molo uilizzai ad eempio in programmi di CAD (non epoi in queo documeno) che hanno il compio di modellare figure, anche non piane, come delle riangolazioni. Le riangolazioni ono ipicamene inercambiabili ra ofware di calcolo e di grafica nei formai l e df. 4.. Pre-proceing La fae di pre-proceing di queo programma conie nelle egueni operazioni. n primo luogo occorre preparare due file di inpu denominai node. e riangle. coneneni, ripeivamene, le coordinae dei nodi della riangolazione e la marice delle conneivià di ui i riangoli (Fig. 4). n paricolare, ogni riga del file node. arà, per il generico nodo i-imo, del ipo: i i zi (8) nvece, per il generico riangolo l, la riga del file riangle. arà nella forma: i j k (9) dove i, j e k rappreenano gli indici dei nodi ai verici del generico riangolo, le cui coordinae careiane corripondono a quelle delle omonime righe del file node.. Siano, quindi, n ed n, ripeivamene, il numero oale di nodi ed il numero oale di riangoli Carpenieri

72 Noe ulla eomeria delle Mae Fig. 4 Triangolazione generica. 4.. Soluore l oluore, in prima baua, eegue il calcolo del baricenro di ogni riangolo come media delle coordinae careiane dei nodi ai verici. n paricolare, per il generico riangolo l di verici i, j e k, le coordinae del baricenro riuleranno: i j k i j k l l zi z j zk zl ; (0) ; ; A queo puno, aumendo la eguene corripondenza: i,4 ; j ; k ; () è poibile uilizzare la eguene formula di au per il calcolo dell area di ciacun riangolo: A l i i i i () i Si noi che ale formula è valida anche per un generico poligono di più di re lai eendendo opporunamene la ommaoria precedene. A queo puno è, quindi, poibile calcolare i momeni aici oali ripeo ai due ai come: n n S A S l l l l Le coordinae del baricenro riuleranno, in definiiva: S A A l l () S (4) A Carpenieri

73 Noe ulla eomeria delle Mae avendo indicao con A l area oale della riangolazione. l calcolo proegue, quindi, con la ralazione del iema di riferimeno originario nel baricenro appena calcolao, uilizzando le formule di ralazione vie in precedenza. Ripeo a ale nuovo iema di riferimeno di ai, è, quindi, poibile uilizzare ancora le formule di au per il calcolo dei momeni d inerzia di ciacun riangolo: l i i i i l i i i i i (5) i i i i l i i i i i (6) i i i i i i i i i i i i d inerzia e con la oluzione del problema agli auovalori ed auoveori del enore d inerzia per l oenimeno delle direzioni principali. n paricolare ale oluzione viene oenua ia con l auilio dei cerchi di Mohr che con un comando auomaico in MaLab Po-proceing La fae finale del programma conie nella ampa a video di una figura con la rappreenazione della riangolazione con il baricenro e nella ampa di un file di oupu, denominao RESULTS., conenene: coordinae nodali, caraeriiche dei ingoli riangoli, poizione del baricenro, area, momeni Carpenieri (7) momeni compleivi, quindi, i oengono ommando i momeni d inerzia dei ingoli riangoli: n (8) l l l n (9) l l n (0) A queo puno, infine, il calcolo ermina con la coruzione della marice l

74 Noe ulla eomeria delle Mae d inerzia principali e caraeriiche del cerchio di Mohr. Si noi che ui i riulai fornii in oupu ono in unià di miura congrueni con le unià di miura fornie nel file delle coordinae node Carpenieri

75 4.5. Codice di calcolo MaLab Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

76 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

77 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

78 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

79 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

80 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

81 Noe ulla eomeria delle Mae Carpenieri

82 Noe ulla eomeria delle Mae 4.6. Eempio numerico l codice precedene è ao uilizzao per la ezione a doppio T in Fig. 5, opporunamene chemaizzaa come una riangolazione coiuia da riangoli e 4 nodi. La ezione ha le egueni dimenioni: b = mm b = 5 mm = = = mm h = mm H = 5 mm Soluzione eaa Fig. 5 Eempio di riangolazione. Uilizzando le formule eae per la ezione a doppio T della Sezione.5 i ha: Area A b h b mm 5 Baricenro Carpenieri

83 Noe ulla eomeria delle Mae S S S S A A A mm A b 0. mm. 05mm h mm A h 0. mm 5. H 45mm A b 50. mm. S mm A b. 50mm Momeni principali d inerzia,,, mm, b 4... b mm, h h 4... h mm, b 4... b H mm,,, 4. 9mm b. 5mm, Carpenieri

84 h 0. 5mm, 4 b 0. 4mm, 4 Noe ulla eomeria delle Mae Soluzione in MaLab riulai precedeni confermano, a meno di approimazioni numeriche, l oupu fornio dal codice, del quale i ripora un erao nel eguio. La Fig. 6 viene prodoa in oupu dal codice ed indica la poizione del baricenro con un puno roo. TOTAL AREA A =.00000E+00; BARCENTER = E+000; =.8666E+000; MOHR CRCLE DATA Radiu =.077E+00; Cener =.899E+00; EENVALUES.9667E+00; E+000; E+000;.46E+00; EENVECTORS E+000; Carpenieri

85 E+000; E+000; E+000; Noe ulla eomeria delle Mae PRNCPAL MOMENT OF NERTA P, =.46E+00; P, =.9667E+00; phi = E-07; NERTA ELLPSOD ro_ =.7446E+000; ro_ =.0865E+000; Fig. 6 Oupu con indicazione della poizione del baricenro Carpenieri

86 5. Riferimeni Noe ulla eomeria delle Mae AA. VV. (0). Manuale dell'ngegnere. Nuovo Colombo. Hoepli. Acione, L. (007). Elemeni di Scienza delle Coruzioni. CUES. Belluzzi, O. (966). Scienza delle Coruzioni. Zanichelli. Cavallo, A., Seola, R., & Vaca, F. (994). uida operaiva a MATLAB. Liguori. Demidovic, B. (005). Eercizi e problemi di analii maemaica. Ediori Riunii. Fabrizio, M. (00). Elemeni di Meccanica Claica. Zanichelli. Furiozzi, B., Meina, C., & Paolini, L. (00). Pronuario per il calcolo di elemeni ruurali. Le Monnier. Palm, W. (0). Malab Un'inroduzione per gli ingegneri. Mcraw-Hill. Viola, E. (99). Eerciazioni di Scienza delle Coruzioni, Vol.. Piagora Carpenieri