Metodi quantitativi per la stima del rischio di mercato. Aldo Nassigh. 16 Ottobre 2007

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1 Meod quanav per la sma del rscho d mercao Aldo Nassgh 16 Oobre 007

2 METODI NUMERICI Boosrap della curva de ass Prncpal Componen Analyss Rsk Mercs Meod d smulazone per l calcolo del VaR basa su Full versus Paral Revaluaon VaR: mulazone MoneCarlo VaR: mulazone orca

3 Boosrap della curva de ass Boosrap: cosrure la curva zero coupon progressvamene Esempo: noa la curva su enors 1,,3,4 ann, calcolare l asso zero coupon a cnque ann sulla base del prezzo/yeld d un bond con scadenza 5 ann e pagameno cedola annuale: Ann Dscoun Facors 96.78% 93.35% 89.87% 86.41% 8.96% Fluss cedolar de Par Yeld Bonds Presen Value % 3.50% % 100.0% 3.6% 3.6% 103.6% 100.0% 3.71% 3.71% 3.71% % 100.0% 3.79% 3.79% 3.79% 3.79% % 3 Il dscoun facor (e d conseguenza, l asso zero coupon) s calcola numercamene n modo ale che l PV del bond corrsponda al valore d mercao 1y y 3y 4y 5y

4 Prncpal Componen Analyss Prncpal Componen Analyss della curva de ass Le curve de ass sono comunemene denfcae da un ssema d 10-0 verc (scadenze emporal), u ndspensabl? La PCA è un meodo semplce e sandardzzao per rdurre l numero de faor d rscho a -3. La PCA s applca a qualsas ssema alamene correlao. 4

5 Prncpal Componen Analyss Esempo: due faor 3% UD/CHF -3% 0% 3% -3% UD/EUR La correlazone ρ ra reurns e 0.93 Ogn puno corrsponde ad un rlevameno conemporaneo de reurns UD/EUR (asse x) e UD/CHF (asse y). Le frecce blu ndvduano due nuov ass: le Componen Prncpal 5

6 Prncpal Componen Analyss composzone d una fluuazone Frazone spegaa dalla prma componene (peso: w 1 ) UD/CHF P 1 UD/EUR 4 seembre 005: UD/EUR +.06% UD/CHF +1.97% P Reso (peso: w ) Ogn reurn R è scomposo nelle componen lungo nuov ass defn dalle Componen Prncpal: R w 1 P 1 + w P. 6

7 Prncpal Componen Analyss Base: sere sorche d T gorn su d n faor d rscho. I reurns sono scompos nella somma d 3 componen: R w 1 P 1 + w P + + w 3 P 3 + errore 1 n 1 T calcolano le componen prncpal ed pes n modo ale da mnmzzare l errore (le componen devono essere orogonal). Il meodo s può generalzzare ad un numero arbraro d componen (sempre mnore d n). 7

8 Prncpal Componen Analyss Esempo (ass swap EUR) Dec faor d rscho (n10), corrsponden a verc della curva: P1 P P3 1 anno ann ann ann ann ann ann ann ann ann

9 Prncpal Componen Analyss Inerpreazone Quando la PCA è applcaa ad una curva de ass, la prma componene corrsponde ad un parallel shf per ue le scadenze. 1. La sola prma componene descrve la maggor pare delle fluuazon (85-90%).. La seconda componene descrve l l della curva (5-10% d ogn fluuazone). 3. La erza componene descrve la curvaura della curva (1-5% d ogn fluuazone). 9

10 Prncpal Componen Analyss Rappresenazone grafca 0.50 Parallel shf Tl Curvaure anno ann 3 ann 4 ann 5 ann 6 ann 7 ann 8 ann 9 ann 10 ann

11 Prncpal Componen Analyss PCA argomen pro e conro Pro: Mee n evdenza movmen rlevan: sol che possono generare prof/perde cospcu del porafoglo. Può rdurre drascamene emp d calcolo. Conro: La comuncazone ra rsk manager e senor managemen/radng floor non è mmedaa. 11

12 RskMercs La sma della volalà - EWMA Exponenal Weghed Movng Average σ T ( ) 1 λ λ 1 r 1 In modo rcorsvo σ, + 1 λσ 1, 1 ( λ r 1, + 1 ) 1 1

13 RskMercs cash flow mappng Conservazone del Presen Value Conservazone della varanza Conservazone del segno 13

14 RskMercs cash flow mappng Calcolo del asso nerpolao y ay ˆ + (1 aˆ ) 1 y â y Coeffcene d nerpolazone lneare Tasso nerpolao y 1 y Tasso ZC a 1 Tasso ZC a 14

15 RskMercs cash flow mappng Calcolo del Presen Value PV Cf ( 1+ r ) Cf PV r Flusso al empo Presen Value del flusso al empo Tasso ZC a 15

16 RskMercs cash flow mappng Calcolo della devazone sandard σ aˆ σ + (1 aˆ ) 1 σ â σ σ 1 σ Coeffcene d nerpolazone lneare Devazone sandard de rorn a ann Devazone sandard de rorn a 1 ann Devazone sandard de rorn a ann 16

17 RskMercs cash flow mappng Conservazone della varanza Varanza( r ) Varanza[ αr + (1 α) r 1 ] σ α σ 1 + α (1 α) ρ σ σ + (1 α) σ 1, 1 ρ1, Coeff d correlazone ra rorn a 1 e ann 17

18 RskMercs cash flow mappng Rsolvendo s oene: α b ± b a 4 ac dove: a σ ρ σ σ + σ 1 1, 1 b ρ 1, σ σ 1 σ c σ σ 18

19 RskMercs cash flow mappng Mappng delle poszon sandardzzae (aualzzae) PV 1 α PV PV (1 α ) PV 19

20 Meod d smulazone per l calcolo del VaR basa sulla Full Revaluaon Dao l porafoglo Π f (,,..., 1 K ) : -esmo faore d rscho τ : orzzone emporale j y j 1.. N : scenaro per log-reurns 0

21 Meod d smulazone per l calcolo del VaR basa sulla Full Revaluaon Gl scenar dell -esmo faore d rscho con un orzzone emporale d gorn sono da da: j e τ j y Da cu le rvaluazon del porafoglo: j 1.. N Π j Π j Π 1

22 ( ) 1 y e τ N j.. 1 Meod d smulazone per l calcolo del VaR basa sulla Paral Revaluaon ) ( 1 3 1, 1 j K j j K O + Π + Π Π Come prma approssmazone s possono rascurare ermn d ordne superore al prmo (rscho dela) Π K 1 δ Π δ

23 VaR: mulazone MoneCarlo composzone della marce d correlazone Generazone scenar opporunamene correla 3

24 VaR: mulazone MoneCarlo composzone d Cholesk: calcola la marce rangolare superore A, ale che Σ T AA Vanagg: - algormo faclmene mplemenable - la marce P, essendo rangolare, compora un mnor numero d calcol da effeuare vanagg: -Σ deve essere defna posva 4

25 VaR: mulazone MoneCarlo Dao ε veore d elemen casual normalmene dsrbu, con meda 0 e varanza 1, la cu marce d correlazone è l denà, y T A ε y è un veore d elemen casual la cu marce d correlazone è propro Σ. 5

26 VaR: mulazone orca Nell approcco pù semplce, l veore de log-reurns smulao è semplcemene l veore de log-reurns sorc: y ln 1 6