Equazioni differenziali lineari. 1 Introduzione Dimensione dello spazio delle soluzioni di una equazione lineare omogenea. 3

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1 15 Dcembre 2014 Equazon dfferenzal lnear. Indce 1 Introduzone. 2 2 Dmensone dello spazo delle soluzon d una equazone lneare omogenea. 3 3 Equazon lnear del secondo ordne. 4 4 Caso Generale Omogeneo Un caso partcolare Caso generale 6 5 Rcerca d una soluzone partcolare Metodo della varazone delle costant arbtrare Alcun cas specal 10 6 Appendce:Massmo Comun Dvsore e Teorema d Bezout. 11 1

2 1 Introduzone. In questa nota esponamo alcun metod per l trattamento delle equazon dfferenzal ordnare lnear d ordne qualsas, omogeneee e non omogeneee, coè delle equazon del tpo y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 0 (t)y = b(t). Anche se partcolare rlevo sarà dato al caso n cu coeffcent sono costant, coè quando gl a sono numer real, alcune cose, come ad esempo la rcerca d soluzon partcolar, valgono anche quando le a non sono costant ma funzon della varable t. Il caso delle equazon al prmo ordne, lnear o no, è stato ampamente trattato nella Nota [EquaD1] a cu faremo sempre rfermento. Inzeremo qund con l caso delle equazon lnear del secondo ordne a coeffcent costant, caso che per l portanza delle sue applcazon (oscllator, moto armonco etc.) trattamo drettamente, senza formalmente fare rcorso esplcto ad argoment d Algebra Lneare, anche se perfettamente deducble dalla trattazone generale. Questo ed l caso del prmo ordne renderanno, forse, pù chare alcune procedure che vedremo subto dopo n cu faremo rcorso sstematcamente ad argoment d Algebra Lneare ntrodott nel corso parallelo d Geometra: vedremo nfatt che l Algebra Lneare fornsce un ottmo lnguaggo e ottm metod per trattare le equazon dfferenzal lnear, n partcolar modo quelle a coeffcent costant,e che le analoge nel lnguaggo fn qu ncontrate hanno una loro ragon d essere. Osservamo ad esempo che la funzone e ax è un autovettore d autovalore a della dervazone pensata come applcazone lneare d un opportuno spazo vettorale n se. Non stupsce qund, pensando a teorem d dagonalzzazone e agl argoment collegat, che tal funzon abbano un ruolo così mportante. In effett abbamo vsto nel caso del prmo ordne e vedremo n quello del secondo che una base dello spazo delle soluzon vene espressa n termn appunto d queste funzon. Dovrebbe essere anche charo a questo punto del corso l perché convenga trattare per prma cosa l caso omogeneo e po quello generale: tra var metod per la rcerca d una soluzone partcolare llustreremo qu prncpalmente quello detto della varazone delle costant arbtrare, che è stato gà ncontrato nel caso dell equazone lneare d ordne 1. C servranno anche alcune nozon come quella d Massmo Comun Dvsore tra polnom che lo studente dovrebbe aver gà ncontrato ma che n ogn caso rchameremo n una appendce. 2

3 2 Dmensone dello spazo delle soluzon d una equazone lneare omogenea. S è gà vsto che nel caso d una equazone lneare omogenea (sa che coeffcent sano costant sa che non lo sano) l nseme delle soluzon ha una struttura d spazo vettorale, precsamente è un sottospazo vettorale dello spazo delle funzon dfferenzabl fno a un determnato ordne defnte su un nseme D. Voglamo mostrare che tale spazo ha dmensone fnta, par all ordne n dell equazone. 1 Consderamo l problema d Cauchy y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 0 (t)y = 0 y(x 0 ) = 1 y (x 0 ) = 0 y (n 1) (x 0 ) = 0 Tale problema ammette una sola soluzone che ndcheremo con w 1 ; analogamente ndchamo con w la soluzone del problema y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 0 (t)y = 0 y(x 0 ) = 0 y (x 0 ) = 0 y ( 1) (x 0 ) = 1 y (n 1) (x 0 ) = 0 Abbamo così ndvduato n funzon {w 1, w 2,, w n } che sono lnearmente ndpendent; nfatt una eventuale relazone d dpendenza lneare s trasferrebbe per la lneartà della dervazone, n una relazone d dpendenza lneare de vettor 1 Attenzone. S facca attenzone al fatto che talvolta nel seguto con la stessa scrttura s ndcano cose dal sgnfcato profondamente dverso. Quando, ad esempo, s vuol provare che le funzon e t e e 2t sono lnearmente ndpendent come element dello spazo vettorale C (R), sgnfca che s vuol provare che se c 1, c 2 sono due costant tal che c 1 e t + c 2 e 2t = 0 allora c = 0. Lo 0 che compare nella scrttura ndca lo 0 dello spazo vettorale, coè la funzone nulla. S vuol provare qund che se per ogn t n R c 1 e t + c 2 e 2t = 0 allora c = 0 e NON s vuol rsolvere l equazone c 1 e t + c 2 e 2t = 0 nella ncognta t, cosa che sgnfcherebbe provare che esstono de t n R per cu c 1 e t + c 2 e 2t = 0. 3

4 w 1 (x 0 ) w 1(x 0 ) w (n 1) 1 (x 0 ), w 2 (x 0 ) w 2(x 0 ) w (n 1) 2 (x 0 ),, w n (x 0 ) w n(x 0 ) w (n 1) n (x 0 ) che nvece sono palesemente ndpendent per costruzone. Analogamente s vede che tal funzon formano anche un sstema d generator. Se nfatt w è una qualsas soluzone dell equazone omogenea, ndcate con α = w ( 1) (x 0 ) s ha che w e α w sono soluzon dello stesso problema d Cauchy y (n) + a n 1 (t)y (n 1) + + a 0 (t)y = 0 y(x 0 ) = α 1 y (x 0 ) = α 2 y ( 1) (x 0 ) = α y (n 1) (x 0 ) = α n e qund, per l unctà della soluzone, concdono. 3 Equazon lnear del secondo ordne. In questo paragrafo tratteremo le equazon del secondo ordne lnear a coeffcent costant. Anche se gl argoment usat non s dscosteranno molto da quell per l caso generale del paragrafo successvo, formalmente qu non useremo argoment d Algebra Lneare e qund la cosa sarà accessble anche agl student che non hanno quelle nozon. Partamo dunque da una equazone del tpo ay + 2by + cy = 0 e come nel caso lneare vedamo se esstono soluzon del tpo y = e kt. Sosttuendo nella equazone ottenamo che una tale soluzone esste se k verfca la relazone ak 2 + 2bk + c = 0 Questa equazone d secondo grado ha, a seconda del segno del suo dscrmnante = b 2 ac 2 soluzon real o complese conugate o due soluzon concdent nel caso che l dscrmnante sa uguale a 0. Nel caso > 0 se ndchamo con k 1 e k 2 le due radc real, l equazone d partenza avrà due soluzon e k 1t e e k 2t ed ogn altra soluzone sarà del tpo c 1 e k 1t + c 2 e k 2t. 4

5 Nel caso che le due radc k 1 e k 2 concdano nella radce k è facle vedere con una verfca dretta che oltre alla soluzone e kt anche la funzone te kt è soluzone. Tale funzone può esser vsta, tramte l teorema dell Hosptal come l lmte dell ntegrale partcolare ek 2t e k 1t k 2 k 1 al tendere d k 2 a k 1. Resta l caso del negatvo. Cerchamo una soluzone del tpo f(t)e kt. La dervata d y = fe kt è f e kt +kfe kt e la dervata seconda è f e kt +2kf e kt +k 2 fe kt per cu sosttuendo nell equazone ottenamo a(f e kt + 2kf e kt + k 2 fe kt ) + 2b(f e kt + kfe kt ) + cfe kt = = e kt (af + 2(ak + b)f + ak 2 + 2kb + c). Qund prendendo k = b a ottenamo che la funzone fe b a t verfca la nostra equazone dfferenzale se la funzone f è tale che f + b2 + ac f = 0. Detto a 2 γ 2 = b2 + ac soluzon d f = γ 2 f sono f = cos γt e f = sn γt. a 2 Per cu una soluzone generale della equazone omogenea s ottene (c 1 cos γt + c 2 sn γt)e b a t b2 + ac con γ = a 2 S poteva gungere a questa espressone delle soluzon anche rcordando l espressone dell esponenzale complesso e α+β = e α (cos β + sn β). In questo caso le radc del polnomo caratterstco sonocomplesse e conugate e qund anche e α β = e α (cos β sn β) è soluzone. Le due radc del polnomo caratterstco n questo caso sono k 1 = b a + b2 + ac a e k 2 = b a b2 + ac per cu sommando e sottraendo le due espresson a rottenamo le due soluzon gà trovate. 4 Caso Generale Omogeneo. In questo paragrafo trattamo l caso d una equazone del tpo y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 0 = 0. 5

6 L osservazone a pag. 2 della Nota EquazonDfferenzalI c permette d usare metod d algebra lneare. Se V è uno spazo vettorale, L una applcazone lneare d V n se e p un polnomo nella varable T,p(T ) = a T, con p(l) ntendamo l applcazone lneare a L, ove con L s ntende la terazone dell applcazone L volte: L = L L L 2. Nel seguto applcheremo questa osservazone al caso n cu V è lo spazo delle funzon da R a R con tutte le dervate contnue e L l applcazone lneare d dervazone D : f df. Ad esempo partendo dal dx polnomo 3T possamo assocargl l operatore dfferenzale tra V e V dato da 3D 2 + 2Id, l operatore coè che ad ogn funzone f V assoca la funzone 3 d2 dx 2 f + 2f. 4.1 Un caso partcolare. Inzamo con l operatore (D ai) m f. Per caratterzzarne l nucleo osservamo che (D ai) m f = e at D m (e at f) cosa che s dmostra molto faclmente per nduzone. Qund V a = ker(d ai) m = {f (D ai) m f = 0} = {f e at D m (e at f) = 0} = {f D m (e at f) = 0}. Cò sgnfca che la funzone e at f è un polnomo d grado mnore d m, qund V a è lo spazo generato dalle funzon e at, te at,, t m 1 e at. Resta da provare che queste funzon sono lnearmente ndpendent ma questa è una facle verfca. 4.2 Caso generale. Per trattare l caso d un operatore assocato a un polnomo generale P (T ) R[T ] possamo rcorrere alla usuale scomposzone del polnomo n fattor P (T ) = (T a 1 ) m1 (T a h ) m h ove come al solto le a sono le radc (complesse) del polnomo e m le loro molteplctà. 3 Nella sezone precedente abbamo descrtto gl spaz V a : ora voglamo descrvere lo spazo V = ker P (D). Osservamo prelmnarmente che benché l prodotto d due operator lnear non sa commutatvo (AB BA) tuttava rsulta 2 L 0 = Id 3 Il lettore n possesso delle opportune nozon d algebra lneare rconoscerà l parallelsmo tra l procedmento espsoto e la prova del teorema d Jordan. 6

7 Proposzone 4.1 Con le notazon precedent s ha p(a)q(a) = q(a)p(a) Essendo p e q polnom, basta osservare che Ap(A) = p(a)a Teorema 4.2 V = V a Per provare questo rsultato abbamo bsogno d una relazone nota come denttà d Bezout e per la cu prova, una semplce conseguenza dell algortmo che permette d calcolare l Massmo Comun Dvsore tra due polnom, rmandamo all appendce a questa Nota. Teorema 4.3 Sano p e q due polnom coprm n R[T ], coè MCD (p, q) = c con c R \ 0. Allora esstono due polnom α, β R[T ] tal che αp + βq = 1 Questo rsultato permette d dmostrare l teorema?? nel caso d un polnomo con due sole radc. Lascamo al lettore l caso generale, facendo un mnmo attenzone alla defnzone d somma dretta d pu spaz vettoral. Il teorema d Bezout c dce che se p 1 = (T a 1 ) m 1 e p 2 = (T a 2 ) m 2 e p = p 1 p 2 poché (p 1, p 2 ) = 1, rsulta mmedatamente V p = V p1 V p2. Infatt da αp 1 +βp 2 = 1 s ha, dett f 1 = α(d)p 1 (D)(f) e f 2 = β(d)p 2 (D)(f) che f = f 1 +f 2 e f 1 V 2, f 2 V 1 Resta da dmostrare che V 1 V 2 = {0}. Ma ancora l denttà d Bezout applcata ad un vettore w V 1 V 2 c dce che w = 0. Lascamo al lettore la cura d mettere a posto dettagl del caso generale. 5 Rcerca d una soluzone partcolare. 5.1 Metodo della varazone delle costant arbtrare. Rprendamo n questo paragrafo l procedmento per la rcerca d una soluzone partcolare gà vsto nel caso delle equazon del prmo ordne, detto metodo della varazone delle costant arbtrare. Punto d partenza è dunque una equazone del tpo y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 0 y = b(t) ( ) d cu s conoscono n ntegral y 1, y 2,, y n dell equazone omogenea assocata, coè per ogn = 1,, n s ha y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 0 y = 0. 7

8 Sappamo che ogn soluzone y dell equazone omogenea è combnazone lneare a coeffcent costant c delle funzon y, y = c y. Come abbamo gà fatto per le equazon del prmo ordne, cerchamo se esste una soluzone partcolare della (**) ottenuta come combnazone lneare delle y a coeffcent funzon c (t) della stessa classe delle y. Dervando la y = c (t)y ottenamo =1 Se mponamo la condzone y una espressone y = =1 c y + c y. =1 c y = 0 ottenamo per la dervata seconda delle =1 y = =1 c y + c y. Rpetamo l procedmento: mponamo che le c verfchno c y = 0 e ottenamo per le dervate d ordne 3 delle y y (3) = c y (2) + c y (3). =1 Rpetamo l procedmento fno ad ottenere y (n 1) = c y (n 1) con =1 c y ((n 2) =1 = 0 e fnalmente per la dervata n-esma y (n) = =1 c y (n) + c y (n 1). Sosttuamo ora valor trovat per y, y,, y n nell equazone d partenza. Ottenamo =1 = =1 =1 c y (n 1) c y (n 1) + c (y (n) + c y (n) + a n 1 c y (n 1) + + a n c y = + + a n 1 y (n 1) + + a n y ) = b(t) 8

9 Rcordando che ognuna delle y è soluzone della equazone omogenea, ottenamo che una condzone affnché c y sa una soluzone dell equazone non omogenea è =1 =1 Qund se le c (t) verfcano l sstema le c y (n 1) = b(t). c 1y 1 + c 2y c ny n = 0 c 1y 1 + c 2y c ny n = 0 c 1y (n 2) 1 + c 2y (n 2) c ny n (n 2) = 0 c 1y (n 1) 1 + c 2y (n 1) c ny n (n 1) = b(t) c y sono una soluzone dell equazone non omogenea. =1 A fn della rsoluzone del sstema dventa nteressante qund lo studo del determnate W (t) 4 della matrce de coeffcent y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n y (n 1) 1 y (n 1) 2 y n (n 1) Questo determnante ha la propretà che se s annulla n un punto dell ntervallo d defnzone dell equazone s annulla ovunque: questa è una conseguenza mmedata del teorema della unctà della soluzone ma s può vedere anche n questo modo. Dervamo W (t): la dervata d un determnante D d ordne n, per la regola della dervazone d un prodotto, è la somma d n determnant D ove l determnante D ha le rghe ugual a quelle d D tranne la esma che è dervata. Osservamo noltre che nel caso d W tutt quest determnant hanno due rghe ugual e pertanto sono null tranne l ultmo che ha l ultma rga composta dalle dervate n-esme delle y. Rmpazzando queste ultme con le loro espresson dervate dalla equazone d partenza, ottenamo d nuovo una somma d determnant tutt null (hanno due lnee ugual) ad eccezone d W = y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n a 1 y (n 1) 1 a 1 y (n 1) 2 a 1 y n (n 1) 4 Questa matrce prende l nome d Wronskano dal matematco polacco Josef Hoene-Wronsk. 9

10 coè l determnante W verfca l equazone dfferenzale W = a 1 W, equazone che ntegrata fornsce la cosddetta formula d Louvlle W = ce a 1 dt. Da cò ottenamo d nuovo che se W = 0 n un punto allora la costante c sarà nulla e qund l determnante sarà nullo ovunque. 5.2 Alcun cas specal. Quando la funzone è d qualche classe partcolare cont del paragrafo precedente possono semplfcars n modo notevole. Questo accade quando la funzone f(t) che è al termne noto, appartene a una classe n un certo senso chusa per dervazone.vedamo d spegare la cosa su degl esemp. Dstnguamo nnanztutto se la f(t) sa o meno soluzone dell equazone omogenea f(t) non è soluzone dell equazone omogenea. Esemplfchamo l procedmento su un esempo concreto d f(t) prendendo f del tpo a cos ωt + b sn ωt. Supponamo coè d avere una equazone del tpo F (y, y,, y (n) ) = a cos ωt + b sn ωt ove F è una funzone lneare nelle y () a coeffcent costant. Le dervate d f saranno una combnazone lneare delle due funzon cos ωt e sn ωt. Pertanto se cerchamo una soluzone y del tpo c 1 cos ωt + c 2 sn ωt, la F calcolata per una tale y rsulterà una combnazone lneare delle funzon sn ωt e cos ωt e la relazone F f = 0 s tradurrà n una relazone d dpendenza lneare per queste due funzon. Il fatto che queste due funzon sano lnearmente ndpendent mplcherà l annullars de coeffcent della combnazone lneare otenuta e qund delle condzon sulle costant c. Vedamo su un esempo. F = y y = sn 5t Charamente la funzone sn 5t non è soluzone dell equazone omogenea. Provando a cercare una soluzone del tpo c 1 cos 5t + c 2 sn 5t ottenamo 5c 1 sn 5t + 5c 2 cos 5t c 1 cos 5t c 2 sn 5t = sn 5t ( c 1 + 5c 2 ) cos 5t + ( 5c 1 c 2 1) sn 5t = 0 Rcordando quanto detto nella nota 1 s ha che l ndpendenza delle due funzon cos 5t e sn 5t mplca { c 1 + 5c 2 = 0 5c 1 c 2 = 1 10

11 Qund la funzone y = 5 26 cos 5t 1 sn 5t è una soluzone partcolare dell equazone data. 26 Un tale procedmento s può rpetere n modo analogo quando la funzone f(t) è un polnomo p(t) o una funzone esponenzale ae bt o prodott d funzon d questo tpo, coè per funzon d tpo p(t)e bt, (a cos ωt+b sn ωt)p(t), (a cos ωt+b sn ωt)e bt. La cosa mportante è che queste funzon abbano dervate dello stesso tpo, coè che queste funzon appartengano ad uno sottspazo (d dmensone fnta) che l operatore dervazone porta n se stesso, coè un sottospazo nvarante per l operatore dervazone. La funzone con cu s fa l tentatvo non è altro che l elemento generco d tale sottospazo nvarante. Pertanto ne var cas la funzone modello per una soluzone partcolare sarà della stessa forma della funzone f, coè rspettvamente una combnazone lneare d sen e cosen d ωt, un polnomo dello stesso grado d f, un polnomo per un esponenzale con lo stesso esponente etc. f(t) è soluzone dell equazone omogenea. Se la funzone f(t) è soluzone dell equazone omogenea questo procedmento presenta degl nconvenent. Enuncamo un rsultato che è facle verfcare n modo spermentale, rnuncando n questa sede a una spegazone approfondta del fenomeno, spgazone che forse esula dalla trattazone elementare fn qu data. Nel caso che la f sa soluzone dell equazone omogenea caratterstca, ndchamo con m la molteplctà della radce corrspondente nell equazone caratterstca: cerchamo una soluzone partcolare dello stesso tpo d quelle cercate ne var cas quando la f non era soluzone dell omogenea, moltplcata per un fattore t m. Come abbam detto lo studente può verfcare spermentalmente la valdtà dell affermazone d cu rnuncamo n questa sede a dare una spegazone teorca. 6 Appendce:Massmo Comun Dvsore e Teorema d Bezout. Rchamamo qu brevemente l algortmo della dvsone eucldea, alcune sue conseguenze come la rcerca del Massmo Comun Dvsore nseme a qualche applcazone. Rcordamo che dat due numer natural o nter a, b s defnsce Massmo Comun Dvsore d a e b e lo s ndca con (a, b) un ntero d tale che d dvde sa a che b se d dvde sa a che b allora d dvde d. Da questo segue mmedatamente che se d e d sono due MCD allora debbono dvders vcendevolmente, coè d = hd e d = kd per cu d = hkd da cu hk = 1 11

12 che n Z sgnfca h = k = ±1 e qund d = ±d. Inzamo rchamando l teorema d dvsone d Euclde. Teorema 6.1 (Dvsone con resto) Dat due numer nter a, b Z con b 0, esstono e sono unc due numer nter q, r tal che a = bq + r e 0 r < b. Esstenza. Consderamo l nseme A = {a nb, n Z}. Poché l sottonseme de natural A N è non vuoto, ha un mnmo r. Qund r = a bq per qualche q Z. Un tale r rsulta senza dubbo 0. Supponamo ora che r b. Allora a b = bq +r b da cu a b qb = r b e questo mplca a b(q ±1) = r b Avendo supposto r b abbamo che a b(q±1) 0. Ma essendo 0 cò sgnfca che a b(q ±1) A N. Questo genera un assurdo perché a b(q ±1) = r b < r e r era stato scelto come l mnmo. Unctà. Supponamo che v sano due coppe (q, r ) che soddsfno le due condzon. Abbamo a = q 1 b + r 1 = q 2 b + r 2 Se r 1 r 2, sa r 1 > r 2 qund 0 < r 1 r 2 < b Sottraendo le due equazon membro a membro ottenamo coè b(q 2 q 1 ) = r 1 r 2 b (q 2 q 1 ) = r 1 r 2. Osservamo che q 2 q 1 0 mplca b (q 2 q 1 ) b Ma r 1 r 2 < b. Contraddzone. Qund q 1 = q 2 e d conseguenza r 1 = r 2. La condzone r < b è essenzale per l unctà d q e r: senza tale condzone l unctà vene scuramente meno potendos sempre scrvere m = 0n + m. L algortmo d dvsone d Euclde permette d costrure un algortmo per la rcerca del MCD tra due numer nter. Applchamo nfatt l algortmo d dvsone eucldea a due nter m, n che per semplctà supporremo postv. m = nq 0 + r 0 Rpetamo la procedura dvdendo n per r 0 e così va n = r 0 q l + r 1 r 0 = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 12

13 fno ad ottenere resto 0 r k 1 = r k q k+1 + r k+1 r k = r k+1 q k Allora d = r k+1 è l MCD (m,n). Infatt rsulta mmedato verfcare, rsalendo le dvson che d dvde sa m che n e che se d dvde sa m che n allora seguendo n modo dscendente sempre l algortmo d dvsone eucldea rsulta che d dvde d. Qund d è lmcd tra m e n. Rpercorrendo n senso ascendente la successone d tal dvson s vede che esstono due numer nter (non necessaramente natural) α e β tal che d = r k+1 = αm + βn. Tutto questo può essere rpetuto mutats mutands per l caso d due polnom a coeffcent real o compless con la condzone che l resto della dvsone sa d grado mnore del dvsore. Abbamo l concetto d dvsbltà, e usando appunto l grado al posto del modulo possamo rpetere la dvsone eucldea e qund l algortmo che c da l MCD. Tra l altro avremo l teorema d Bezout che enuncamo Teorema 6.2 Sano p, q due polnom non null con (p, q) = d. Esstono polnom α, β tal che αp + βq = d Per provarlo basta rpercorrere a rtroso l algortmo d Euclde. Abbamo vsto all nzo della Nota una applcazone del Teorema d Bezout alla decomposzone d uno spazo vettorale n sottospaz nvarant. Una altra applcazone nteressante è alla decomposzone d Hermte d una funzone razonale. Inzamo con quello che vene detto svluppo α adco d un polnomo. Dato un polnomo p R[x], α R esstono costant c 0, c 1,, c k tal che p = c 0 + c 1 (t α) + c 2 (t α) 2 + c 3 (t α) c h (t α) h. Basta scrvere l polnomo come p((t α) + α) ed esplctare l espressone. Osservamo n pù che tale scrttura è unca. Sano nfatt p = c 0 + c 1 (t α) + c 2 (t α) 2 + c 3 (t α) c h (t α) h p = d 0 + d 1 (t α) + d 2 (t α) 2 + d 3 (t α) d h (t α) h due tal scrtture. Sottraendo membro a membro ottenamo 0 = c 0 d 0 + (c 1 d 1 )(t α) + (c 2 d 2 )(t α) (c h d h )(t α) h e se r è l pù pccolo ntero per cu c r d r è non nullo ottenamo 0 = (t α) r ((c r d r ) + + (c n d n )(t α) n r ) Da cu (c r d r ) + + (c n d n )(t α) n r = 0 da cu ponendo t = α ottenamo c r = d r. Un altro modo è d consderare l fatto che coeffcent c sono determnat a meno d un fattorale da valor delle dervate d p n α. 13

14 Corollaro 6.3 Sa p R[t], α R ed m un ntero postvo. Allora esstono b 1, b 2,, b m R e g(t) R[t]tal che p(t) (t α) m = b m (t α) m + b m 1 (t α) m b 1 (t α) + g(t) Basta dvdere ogn termne nella espressone precedente per (t α) m. S osserv anche che le costant b sono unvocamente determnate. Consderamo ora una funzone razonale f rapporto d due polnom che penseremo senza fattor a comune, coè f = p con (p, q) = 1. q Supponamo che q = q 1 q 2 con (q 1, q 2 ) = 1 Dal teorema d Bezout ottenamo che esstono a 1, a 2 tal che a 1 q 1 + a 2 q 2 = 1 da cu 1 q = 1 = a 1q 1 + a 2 q 2 = a 1 + a 1. q 1 q 2 q 1 q 2 q 2 q 1 Il lettore avrà rconoscuto la decomposzone usata per calcolare l ntegrale d 1 fnzon del tpo. Con quest metod ottenamo l seguente rsultato (t a)(t b) Teorema 6.4 Sa h(t) una funzone razonale espressa come quozente d due k(t) polnom a coeffcent compless. Sa k(t) = (t α 1 ) m1 (t α r ) mr la fattorzzazone d k(t) tramte le sue radc dstnte. Allora esstono n C[t] polnom h 1,, h r (t) tal che h(t) k(t) = h 1 (t) (t α 1 ) m 1 + h 2(t) (t α 2 ) m h r(t) (t α r ) mr, Da ragonament fn qu fatt deducamo che se abbamo una funzone razonale h h del tpo con k 1 e k 2 prm tra loro, abbamo una scomposzone = k 1 k 2 k 1 k 2 hα 1 + hα 2 k 2 k 1 Applcando questa osservazone a polnom k 1 (t) = (t α 1 ) m 1 e k 2 (t) = (t α 2 ) m2 (t α r ) mr ottenamo h(t) k(t) = h 1 (t α 1 ) m 1 + R 1(t) dove R 1 è una funzone razonale l cu denomnatore è k 2. Iterando l procedmento arrvamo alla decomposzone voluta. Abbamo così rtrovato la decomposzone d Hermte usata per l calcolo d ntegral d funzon razonal. 14