Corso di Laurea in Economia Matematica per le applicazioni economiche e finanziarie. Esercizi 4

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1 Corso di Laura in Economia Matmatica pr l applicazioni conomich finanziari Esrcizi 4 Vrificar s l sgunti funzioni, nll intrvallo chiuso indicato, soddisfano l ipotsi dl torma di Roll, in caso affrmativo, calcolar l ascissa di punti dov si annulla la drivata prima.. + [, ] [ c ] [, ] [ c ]. ln( sin ) [ 5π π, ] [ c 6 6 ] π sin [0, π] [ c ] [, ] [No] 7. [, ] [No] [, ] [No] Studiar la monotonia dll sgunti funzioni.. [crsc pr 0, dcrsc pr ]. + [crsc pr ]. + [crsc pr, dcrsc pr pr ] [crsc pr 0, dcrsc pr 0 ] [crsc pr, dcrsc pr ] [crsc pr, dcrsc pr < 0 pr 0 < ] 7. ln [crsc pr < 0, dcrsc pr > 0 ] Stabilir s l sgunti funzioni sono monoton nll insim indicato. -, +. ( ). - (, ). f ) (, + ) [strttamnt crscnt] [non monotona] ( [strttamnt dcrscnt] R\ {} [non monotona] + R [non monotona] + R [strttamnt crscnt]

2 Trovar gli vntuali punti critici dll sgunti funzioni.. [ ]. + [, ]. [ ] + [, ] [ 0, ± ] + [nssuno] Dtrminar gli strmanti dll sgunti funzioni [, punto di massimo rlativo]. + [ 0, punto di minimo rlativo]. ln( + ) + ln( ) [, punto di massimo rlativo] + [,punto di massimo rlativo] 4 [, punto di minimo rlativo] ln [, punto di massimo rlativo] Calcolar il massimo il minimo assoluti dll sgunti funzioni nll intrvallo indicato [0,] [ M 5, 0; m 7, ] 4 M m. + [,] [ M 66, ; m, ± ]. M m 6 [,] [ M 4, 0; m, ] M m 6 [ 4,4] [ M 4,M 0; m 0, m ± 4 ] + [, ] [ M 5, M ;m, m ] [0,] [ M,M ;m 0, m 8 ] Studiar la convssità/concavità dll sgunti funzioni nl loro dominio.. ln( + ) [convssa] ln + [né convssa né concava]. ( ). [né convssa né concava] ln [convssa] Trovar i flssi dll sgunti funzioni.. [ 0]. + [ 0]

3 5. [ 0 (tg orizz); 5 ± 5 ] [ ] [ 0 (tg orizz); ± ] Esrcizi di vario tipo. Associar i grafici (a) (d) a qulli dll loro drivat I IV, giustificando la sclta: [(a)-ii (b)-iv (c)-i (d)-iii]. Disgnar il grafico di una funzion la cui drivata prima la cui drivata sconda siano ngativ nl dominio.. Disgnar il grafico di una funzion con drivata prima ngativa drivata sconda positiva nl dominio. Disgnar il grafico di una funzion f continua su [0,] ch ha massimo assoluto in 0, minimo assoluto in, minimo rlativo in, massimo rlativo in.

4 4 Disgnar il grafico di una funzion f continua su [0,] ch ha minimo assoluto in 0, massimo assoluto in, minimo rlativo in.5, massimi rlativi in in. Disgnar il grafico di una funzion f ch ha un massimo rlativo in d è drivabil in. 7. Disgnar il grafico di una funzion f ch ha un massimo rlativo in d è continua ma non drivabil in. 8. Disgnar il grafico di una funzion f ch ha un massimo rlativo in non è continua in. 9. Disgnar il grafico di una funzion su [,] ch ammtta massimo rlativo ma non ammtta massimo assoluto. 0. Disgnar il grafico di una funzion su [,] ch ammtta massimo assoluto ma non minimo assoluto.. Disgnar il grafico di una funzion su [,] ch sia discontinua ammtta sia massimo assoluto ch minimo assoluto.. Disgnar il grafico di una funzion avnt du massimi rlativi, un minimo rlativo nssun minimo assoluto.. Disgnar il grafico di una funzion ch soddisfi l condizioni sgunti: f ' > 0 s < f ' ( ) ( ) ( ) > 0 s > f ' 0 Disgnar il grafico di una funzion ch soddisfi l condizioni sgunti: f '' < 0 s < f '' ( ) ( ) < 0 s > f non drivabilin La figura sgunt riporta i grafici di f, f ', f ''. Idntificar ciascuna curva. [(a)-f (b)- f ' (c)- f '' ] 7. Vin assgnato il grafico dlla drivata prima f ' di una funzion f. Su quali intrvalli f crsc? Su quali dcrsc? Pr quali valori di la funzion ha massimo o minimo rlativo? [Crsc su (,5); dcrsc su (0,) (5,6). Massimo rlativo pr 5; minimo rlativo pr ]

5 5 8. Vin assgnato il grafico dlla drivata prima f ' di una funzion f. Su quali intrvalli f crsc? Su quali dcrsc? Pr quali valori di la funzion ha massimo o minimo rlativo? 9. A partir dal grafico di f, valutar su quali intrvalli la drivata prima f ' è crscnt o dcrscnt. [crscnt su (,5); dcrscnt su (,) su (5,+ )] 0. La figura rapprsnta il grafico dlla drivata prima f ' di una funzion f. Dov f è crscnt dov dcrscnt? Pr quali valori di la funzion f ha un massimo o un minimo rlativo? Su quali intrvalli f è concava su quali convssa? Trovar l asciss di punti di flsso.. E dato il grafico dlla drivata sconda di f. Trovar l asciss di punti di flsso. [, 7]

6 . E dato il grafico dlla funzion ' ( ) f. Su quali intrvalli f è crscnt? Pr quali la funzion ammtt massimo o minimo rlativo? Su quali intrvalli f è convssa su quali concava? Quali sono l asciss di punti di flsso? 6 [crscnt su (,4) (6,7); minimi rlativi in 6; massimo rlativo in 4; flssi in, 5] 4 f disgnarn il grafico. Disgnar il grafico + f (snza calcolar l sprssion dlla drivata prima).. Trovar gli asintoti dlla funzion ( ) di f ' ( ) a partir da qullo di ( ) Su qual intrvallo la funzion + è crscnt? 4 + Su qual intrvallo la funzion 5 In qual punto la curva ( ) + 7. In qual punto la curva ( ) [ ln( + 4) ] 8. Vrificar ch la curva ( ) Su qual intrvallo la funzion ( ) è convssa? f ha tangnt orizzontal? f ha tangnt orizzontal? [ ln,+ ] 4 [,+ ] [, ] f non ammtt tangnti con pndnza ln f è crscnt? Su qual intrvallo è convssa? [ ] [crscnt su (0,); dcrscnt su (,+ ); convssa su (,+ ); concava su (0, )] 0. Dat l sgunti funzioni, trovar il dominio, i limiti, i punti di massimo minimo rlativo, gli intrvalli di monotonia, i punti di flsso gli intrvalli di convssità disgnar un grafico di f ( ) f

7 7 f 5 ( ) ( ) 4 f + ( ) ln( ) f + f ( ) ln( ) f ( )