ALGORITMO FFT (Fast Fourier Transform)

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1 AGORITO FFT (Fast Fourr Transor) Rha sulla DFT Sa un sgnal rodo d rodo rarsntato dal vttor -dnsonal d oonnt [], [],.., [-] S dns Trasorata d Fourr Dsrta (DFT) dl sgnal la susson F: F[ ] Forula d nvrson: [ ] [ ] F[ ],, K,,, K, a DFT d un vttor uò ssr alolata attravrso un rodotto atr-vttor ntrodundo la atr A (d dnson ) t.. Inatt: (A )[] A [] [] F[] A F A Il rodotto atr-vttor A rhd l alolo d rodott r ogn oonnt d F. Essndo l oonnt d F, l osto outazonal total sarà

2 Algorto FFT algorto FFT (Fast Fourr Transor) è basato su un todo strant nt r l alolo dlla DFT, on una sostanzal rduzon dl to d alolo attravrso una rduzon dl nuro d orazon. Assuao h sa un otnza d : Introdundo la DFT uò ssr rsrtta o [] F[] a FFT s basa ondantalnt su ngrdnt: l rortà d la dooszon bnara dgl nd d ) PROPRIETÀ DI S,,.,- sono l rad -s dll untà Inatt: ) ( / / In artolar s è ultlo d n : Inatt: n n ) DECOPOSIZIOE BIARIA DEGI IDICI, { },, K K Il rodotto s otrà und srr: 4 da u:

3 Avndo srsso l rodotto o soa d var trn (h ndhao gnrant on a, b, ) ossao srr: a b a b Dall rortà d, è rò noto h s è ultlo d, llo svluo d, tutt gl addnd ultl d non daranno alun ontrbuto ossono ssr gnorat. Gl un a dar ontrbuto sono ull sottolnat. Ponao: ( ) ( ) Rtornando alla orula dlla DFT ossao und srr tutto n unzon dgl nd, : F[] F[,,,, ] [] [,,,, ] F[,,,, ] [,,,, ] Costo outazonal: oonnt d F è rhsto l alolo d soator (ssndo log ) ognuna ontnnt du trn. Costo oonnt : log Costo total : log Ilntazon dlla FFT lntazon dlla FFT s sgu n ass sussv attravrso l ntroduzon d osdtt vttor ntrd (). F[,,,, ] [, (),,, ] Il ro vttor ntrdo () (alolato a artr dal vttor d nut) dvnta l argonto dlla sonda soatora r l alolo dl sondo vttor ntrdo () osì va.

4 Esltando vttor ntrd ando attnzon agl nd da u dndono: () () () [, [,,,, ] [,,,,,, ] Eso: 4 ; 6 a orula dlla FFT dvnta: F[,,, ], () ] [ (), [, [,,,,,,,,,, ] ] ] [,,, ] ntr r : ( ) ( ( ) ) I vttor ntrd: () () () [,,, ] [,,, ] [,,, ] [,,, ] () () () [, [,,, [,,, ] [,,, Doo l alolo dl uarto vttor ntrdo s arrva a: F[,,, ] [,,, ],, a oonnt [,,, ] dl vttor F ond on la oonnt [,,, ] dl vttor. Una volta ottnuto l uarto vttor ntrdo, bsogna rordnar l su oonnt attravrso un orazon d BIT-REVERSA r ottnr l oonnt d F nl gusto ordn. Pr so: F[] F[,,, ] [,,, ] [] F[] F[,,, ] [,,, ] [8] ] ] ] 4

5 Sha a aralla Calolao sltant alun oonnt d vttor ntrd. ) () () () () [,,, ] [,,,] [] [] [8] [] [] [9] 8 [5] [7] [5] ( ( ( ; ; ; ; ; {, }) {, }) {,}) ) [,,,] () [,,, ] ; ( ) [] [] () () [5] [] [] () () () [4] [] [] () 8 [5] 5 ( ( ( ; ; ; ; {, }) {, }) {,}) Co s ntrrta l grao a aralla:. sbarrtt l r ndano l oonnt dl vttor ntrdo rdnt h ntrano n goo r l alolo dl sussvo.. S la sbarrtta trna snza ra la oonnt dl vttor ntrdo rdnt va oltlata r ; on la ra va oltlata r l ndato.. Sondo la trnologa da no usata: () () [] () F[] 5

6 Rlazon tra FT DFT Sa (x) una unzon nll ntrvallo [-X,X] (ω) ˆ la sua trasorata d Fourr n [-Ω,Ω]. X Caonanto dlla (x) su unt: x X δx,, δx Ω Caonanto dlla (ω) su unt: ω Ω δω,, δω Valgono l rlazon: ΩΧ δω Χ S uò dostrar h: ˆ( ω ) δ x (x ) Il alolo dlla trasorata d Fourr (dsrtzzata) d una unzon uò ssr atto utlzzando la DFT:. Caonanto dlla (x) (x ). oltlazon r la as (-) [](-) (x ). Calolo dlla DFT [] 4. oltlazon r la as (-) r l attor d noralzzazon δ x 6