Richiami su numeri complessi

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1 Richiami su numri complssi Insim C di numri complssi E' l'insim dll coppi ordina di numri rali = Z R j Z I ; Z R, Z I R Z = Z R, Z I j Δ = (0,1) unià immaginaria Si noi ch C conin R; in paricolar linsim l'insim dll coppi dl ipo (a,0), coincid con l'insim R. 1

2 Richiami su numri complssi (2) Oprazioni sui numri complssi coniùgio (o coniugao) somma prodoo Z = Z R j Z I Z W = Z R W R j Z I W I ZW = Z R W R Z I W I j Z I W R Z R W I ass Im ZW ZW zr j W Z zi ass R Esisono inolr l sguni oprazioni a risulao ral: 2 2 modulo Z = Z Z = Z Z R I argomno o fas arg( Z ) = Z = arcg Z Z I R 2

3 Richiami su numri complssi (3) Un numro complsso può ssr scrio rami modulo d argomno nl sgun modo: [ cos sin ] j arg(z) Z = Z = Z Z j Z Com consgunza, il prodoo di du numri complssi vrifica la sgun proprià: j arg(z)arg(w) [ ag( ag(w) ZW = Z W ] ZW = Z W arg ZW = arg Z arg W 3

4 Richiami su spazi voriali Sia K un campo, do campo dgli scalari sia V un insim non vuoo nl qual siano dfini l oprazioni di addizion di moliplicazion pr uno scalar, ali ch: u, v V u v V (chiusura rispo alla somma) u V, a K au V (chiusura rispo al prodoo) allora V è do spazio vorial sul campo K s sussisono i sguni assiomi: assiomi dlla addizion A1) u, v, w V, (u v ) w = u (v w) A2) ø V: u ø = u u V A3) u V,, ( u ) V: u ( u) = ø A4) u, v V u v = v u 4

5 Richiami su spazi voriali (2) assiomi dlla moliplicazion M1) a K, u, v V, a(u ( v) ) = a u av M2) a, b K, u V, (a b) u = a u b u M3) a, b K, u V, (a b) u = a (b u) M4) pr lo scalar "unià " 1 K, 1u = u u V li lmni di V si dicono vori. Spazi voriali normai Una norma su uno spazio vorial V è un'applicazion al ch, a K uv, V valgono l proprià : 1) a = a 2) 3). :V R u u u v u v u = 0 u= 0 Disuguaglianza riangolar Uno spazio normao è una coppia V, dov. 0 è la norma 5

6 Richiami su spazi voriali (3) Una mrica o disanza nll'insim A è un'applicazion d: A A R ch soddisfa, xy, A, l sguni proprià: 1. d( x, y) = d( y, x) 0 2. d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y ) (disuguaglianza riangolar) 3. d( x, y) = 0 x = y Uno spazio mrico è una coppia (A,d) dov d è la mrica. Ogni spazio vorial normao è anch uno spazio mrico. Infai, dai 2 vori u v, si può dfinir i la disanza fra di ssi mdian la formula: d ( u, v) = u - v 6

7 Richiami su spazi voriali (4) Spazi uniari Sia V uno spazio vorial sul campo K, (ad smpio R o C), in cui è dfinia una funzion.. : V V K, chiamaa prodoo inrno, ch vrifica l sgunini proprià, uvw,, V a K : 1. u u 0 con u u = 0 u= 0 2. u w v = u v w v 3. a u v = a u v 4. u vw = u v u w 5. u a v = a u v 6. u v = v u 7. u u = u u u u R La coppia ( V, pr-hilbriano).... funzion dfinia posiiva.. forma hrmiiana (linar nl primo argomno anilinar nl scondo) s K complsso, oppur forma bilinar simmrica s K ral ) cosiuisc uno spazio uniario (o spazio 7

8 Richiami su spazi voriali (5) Du vori u,v di uno spazio uniario si dicono orogonali s risula: u v = 0 In uno spazio uniario, si dfinisc la norma di un vor (norma indoa dal prodoo inrno) nl modo sgun: u = u, u quindi uno spazio uniario è anch uno spazio normao, val la rlazion: u v u v Si può inrodurr di consgunza anch la disanza: ch rnd V uno spazio mrico. d ( uv, ) = u v 8

9 Richiami su spazi voriali (6) Esmpio Lo spazio vorial R n è uno spazio uniario s si adoa com prodoo inrno il prodoo scalar ordinario (uclido): n u v = uv i i = uv i = 1 Di consgunza si oin la norma uclida (o modulo) di un vor: u = u = u u = u u u n Du vori u,v di R n si dicono orogonali s risula: u v = 0 9

10 Spazi voriali complssi Spazio vorial complsso a n dimnsioni E' lo spazio vorial C n sul campo C cosiuio dall n-pl di numri complssi. Il gnrico lmno è: A = A,A,...,A ; A,A,...,A 1 2 n 1 2 n A= A ja ; A, A R I R I Oprazioni su vori complssi 1) somma AB= ( A B A B A B ) n,,..., n n ) prodoo pr uno scalar A Z = ZA,ZA,...,ZA Z 1 2 n 10

11 Spazi voriali complssi (2) 3) prodoo scalar uclido A B = (A B A B... A B ) = = A R B ( n n R A I B I j( A quindi il prodoo scalar uclido ra vori complssi sgu la sssa rgola dl prodoo ra numri complssi. 4) vor complsso coniugao 1 2 n I B R A R B A = A,A,...,A, = A R ja I Lo spazio vorial C n non è uniario rispo al prodoo scalar a ordinario uclido. Infai, considriamo ad smpio un vor E dllo spazio C 3. S si inroduc la grandzza: A E = E E = E E E = E E E E 2 je E C x y z R R I I R I I ) 11

12 Spazi voriali complssi (3) Tal grandzza è in gnral complssa, quindi non può ssr una norma, ch è una grandzza ral posiiva. Chiamrmo ( E) ampizza complssa dl vor E. A C Lo spazio vorial C n (inparicolar lo spazio complsso ridimnsional C 3 ) è uniario s si adoa com prodoo inrno il prodoo scalar coniugao (o prodoo hrmiiano): A B =AB Du vori A,B dllo spazio C n (C 3 ) si dicono orogonali s: AB = A B=0 12

13 Spazi voriali complssi (4) Essndo lo spazio C 3 uniario rispo al prodoo hrmiiano, si può inrodurr la norma (o modulo) di un vor complsso: Ex Ey Ez R R I I E = E = E E = = E E E E Tal grandzza è ffivamn ral posiiva, quindi consn di inrodurr la nozion di disanza in uno spazio complsso. Si considrino 2 vori u, A dllo spazio C 3,conu vor ral (cioè avn componni rali) A complsso. Si ha: u A = 0 u A= 0 quindi, s uno di 2 vori è ral, la dfinizion di orogonalià in C 3 coincid con qulla classica dllo spazio R 3 13

14 Spazi voriali complssi (5) Chiamrmo vrsor complsso un vor di C 3 a norma uniaria, cioè un vor ch soddisfa la rlazion: ˆˆ i i = 1 Tal vor, avndo in gnral componni complss, non rapprsna in gnral una dirzion gomrica, com avvin nllo spazio R 3 : si raa, in quso snso, di uno psudo-vrsor. Dao un gnrico vor complsso E, si può smpr dfinir il vrsor complsso ad sso associao: ˆi ˆ E = E E= E i E Nllo spazio C 3, si dfinisc la proizion di un vor E lungo un gnrico vrsor complsso i com:,ˆ ˆ = Ei = Ei E i E 14

15 Spazi voriali complssi (6) Ovviamn, la proizion di un vor lungo la sua dirzion dv ssr ugual al modulo dl vor ssso: 2 E E Ei ˆE = E = = E E E avndo indicao con i il vrsor complsso associao ad E. ˆE Si dfinisc bas oronormal pr lo spazio vorial complsso C 3 una rna di vrsori complssi ( ˆ i ˆ ˆ ) u, iv, iw muuamn orogonali, ch soddisfano cioè l rlazioni: ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ i i = i i = i i = 1 u u v v w w ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i = i i = 0 i i = i i = 0 i i = i ˆ i = 0 u v u v u w u w v w v w 15

16 Spazi voriali complssi (7) In gnral, un vor complsso può scrivrsi smpr nlla forma: E= E j E = E ˆ i je ˆ i E, ˆ i, E, ˆ i R R I R R I I R R I I S solo s risula vrificaa una dll 3 sguni condizioni: 1. E = 2. I = 0 3. R 0 allora si può scrivr: E R I E= Aˆi A C ˆi vrsor ral R R l condizioni 1,2,3 si possono riassumr nlla condizion: R ER EI = 0 (cond. di polarizzazion linar) E // E 3 ( 3 ) 16

17 Vori sinusoidali fasori: richiami Una funzion vorial dl mpo dllo spazio si dic vor sinusoidal (o monocromaico) s ciascuna dll su componni è una funzion sinusoidal dl mpo: f P, = f P, iˆ f P, iˆ f P, iˆ = A P cos ϕ P iˆ cos ϕ A P P i A P P iˆ ( ϕ ) ˆ cos ϕ x x y y z z x x x y y y z z z In ogni puno dllo spazio d in ogni isan di mpo, f 3 ( P, ) R. Pr ogni vor sinusoidal, si dfinisc il rispivo vor complsso rapprsnaivo (o fasor) mdian la rlazion (rasformaa di Sinmz vorial): x y ( P) = A ( P) i A ( P) i A ( P ) i 3 C. In ogni puno dllo spazio, jϕ ( P ˆ ) ˆ ϕz ˆ jϕ P j P x x y y z z 17

18 Vori sinusoidali fasori: richiami (2) è rapprsnaivo nl snso ch ad un assgnao vor sinusoidal corrispond smpr uno d un solo vor complsso, vicvrsa. Esis cioè una corrispondnza biunivoca fra l insim di vori sinusoidali l insim di vori complssi ad ssi associai. Si dfinisc la rasformazion invrsa (anirasformaa di Sinmz vorial) nl modo sgun: 1 { j } ( j j f = R = ) 2 Si considrino ora du gnrici vori sinusoidali f g di ugual frqunza, rapprsnai nl campo complsso dai fasori. Il valor mdio mporal dl prodoo scalar fra f g è: T 1 < f g >= f g d T 0 18

19 Vori sinusoidali fasori: richiami (3) Si ha: j j j j 4 g f j2 j2 = = 4 4 j j = inolr: = =R j2 j2 j2 j2 2 2 = R = j2 j2 j

20 Vori sinusoidali fasori: richiami (4) Prano: T T 1 1 < >= = R R j2 f g f g d d T T Il primo addndo non dipnd da, mnr il scondo rapprsna una grandzza sinusoidal di pulsazion 2, prano il suo valor mdio da 0 a T è nullo. Si oin infin: 1 T < f g >= f g d =R T 2 0 Analogamn si può dimosrar ch: < f g >=R 2 20