Nozioni di base sulle coniche (ellisse (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iperbole(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola e circonferenza):

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1 Nozioni di bas sull conich (lliss (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, iprbol(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1, parabola circonfrnza): Dlta =0, significa un solo punto di intrszion tra fascio di rtt conica Dlta >=0, significa 2 punti di intrszion (la rtta è scant alla conica) Dlta <0, significa ch non sistono intrszioni tra fascio conica Solo il fascio di rtt proprio ha un cntro dl fascio. Dato il fascio proprio 3y=mx-2, ossia mx=3y+2 l du rtt gnratrici dl fascio in qustion sono x=0 3y+2=0 con cntro in (0;-2/3) L quazion di un fascio proprio è: y=m(k)x+q(k) ma può anch ssr scritta com combinazion linar di du rtt gnratrici dl fascio, ossia com: ax+by+c +k(ax+by+c)=0 Qulla di un fascio improprio (ch non ha ovviamnt un cntro dl fascio) è: y=mx+q (ossia varia al variar di q) Distanza tra du punti: AB 2 ( xb xa ) ( yb y A ) 2 Il dlta quarti vin usato quando il cofficint dll'incognita di primo grado è un numro pari. Il dlta quarti rnd molto più smplici i calcoli. Data l'quazion gnrica: ax²+bx+c = 0 S b è un numro pari, si può usar la formula ridotta, qulla con il dlta quarti. DELTA/4 = (b/2)² - ac La formula ridotta è quindi: x = (-b/2 ± DELTA/4) / a Esmpio svolgimnto quazion paramtrica: Pr prima cosa dobbiamo disgnar l'lliss, poi mttr in vidnza l'arco dl primo quadrant, ch è qullo ch vrifica l condizioni x>=0;y>0, adsso possiamo disgnar l rtt dl fascio ch passano pr gli strmi dll'arco (=0) calcolar il valor corrispondnt di k. Quindi crcar la tangnt. Pr trovar il k dlla tangnt dvi mttr a sistma lliss fascio imporr ch il dlta dll'quazion di scondo grado sia nullo. Pongo x=0 y=0. Infatti pr x=0 y= +/-2 prndndo solo i valori di y positivi com da sistma abbiamo 2+k=0 quindi k=-2

2 E pr y=0 x=+/-2 ch sostituito nl fascio ci da (prndo solo x>=0): 2*2+k=0, ossia k=-4 Poi, pr trovar la rtta tangnt ho usato il mtodo di imposizion dl dlta=0, ho trovato. Ora da qui il libro (così com la prof) non sa spigar com andar avanti. Tutto qullo ch ho capito è ch dvo trovar i valori di k pr cui si ha 1 sola soluzion qulli pr cui s n hanno 2, ma com si fa? I risultati sono: 1 soluzion pr: 2 soluzioni pr : Svolgimnto: In pratica dvi risolvr il sistma: con vincolo Dalla sconda quazion dl primo sistma possiamo sprimr in funzion di x: Sostituiamo nlla prima quazion Facciamo i conti con la prima, ch quazion di scondo grado (in qusto caso dtta quazion risolvnt) Calcoliamo il discriminat associato: Pr qustioni torich snza vincoli (posizioni tra una rtta una circonfrnza) avrmo: 1. s allora non abbiamo intrszioni tra la rtta la circonfrnza (la rtta è strna alla circonfrnza)

3 2. s abbiamo un unico punto di intrszion tra la rtta la circonfrnza (la rtta è tangnt alla circonfrnza) 3. s abbiamo du punti di intrszion (la rtta è scant alla circonfrnza) Ora prò noi abbiamo il vincolo ch ci cra un po' di problmi, non prdiamoci d'animo: Dalla condizion poiché allora ncssariamnt prtanto (la soluzion con + dv ssr scartata) A qusto punto pr concludr immdiatamnt l'srcizio convin passar all'intrprtazion grafica dl problma. Hai già trovato i vincoli A qusto punto riporti tutto su un grafico In nro la rtta tangnt di quazion in blu la rtta scant In rosso la rtta ch conducono all rtt:

4 Ora un ragionamnto tranquillo tranquillo. Il fascio di rtt è un fascio improprio quindi dscriv un fascio di rtt paralll! Tutt l rtt comprs tra la rtta tangnt la rtta "blu" avranno du punti di intrszion, qusta informazion si traduc com: Inoltr tutt l rtt comprs tra la rtta "rossa" la rtta "blu" avranno invc un unico punto di intrszion, qusta informazion si traduc analiticamnt com: La rtta tangnt ha un punto di intrszion con la circonfrnza quindi s unico punto di intrszion. abbiamo un Altro Esmpio (sistma paramtrico circonfrnza fascio paramtrico (paramtro k) di rtt): x2+y2-6x-4y=0 (c=-a/2 ;-b/2) (k+1)x+8ky-6k+2=0 x>0, y<=4 Rtt gnratrici cntro: kx+x+8ky-6k+2=0 ; x+2+k(x+8y-6)=0, ossia x+2=0 x+8y-6=0, ossia x=-2 8y=8 da cui y=1 con cntro in c(-2 ;1) Arco di circonfrnza intrssato con cntro nll origin O(0;0), da cui: (k+1)0+8k*0-6k+2=0, 6k=2, k=1/3. Pr y=4 la circonfrnza val x2+16-6x-16=0; x2-6x=0, ossia x=0 x=6. Da cui i punti: 0;4 6;4 di cui considro solo il scondo in quanto x>0. P1(6:4). Da cui cui: (k+1)6+8k*4-6k+2=0, 6k+6+32k-6k+2=0, 32k=-8, k= -1/4. La nostra circonfrnza passrà anch in y=0; x2-6x=0; x=0 (ch scarto) x=6 (ch acctto) quindi P2(6;0) Da cui cui: (k+1)6+8k*0-6k+2=0, 6k+6-6k+2=0, k=pr qualunqu valor dlla x>0=k=+oo. Pr dtrminar il snso di rotazion troviamo il cofficint angolar con i nostri du valori di k=- 1/4 k=1/3: (-1/4+1)x+8*-1/4y-6*-1/4+2=0, ossia: 3/4x-8/4y+6/4+2=0 ch splicitata in y divnta: 3x- 8y+6+8=0, ossia -8y=-3x-14, y=3/8x+14/8 con m=3/8=0.375 (1/3+1)x+8*1/3y-6*1/3+2=0, ossia: 4/3x+8/3y-2+6=0 ch splicitata in y divnta: 4x+8y+4=0, ossia 8y=4x-4, y=1/2x-1/2 con m=1/2=0.5 Poiché i cofficinti sono divrsi si tratta di un fascio proprio non improprio (non sono paralll). S m=1=45 pr cui s m=1/2=45 /22.5. S m=0.375, avrmo m=45 *0.375=16.87 Siamo passati da un angolo di 0.3 pr k=-1/4 ad un angolo maggior pr k=1/3 pari a 0.5. Prtanto il snso di rotazion, al variar di k, è antiorario! Crchiamo ora la tangnt alla circonfrnza ponndo succssivamnt la condizion dlta=0 o Dlta/4=0: (pr i calcoli mi astngo in quanto vngono cos mostruos non lo dico solo io!) y = kx + (4-6k) la mtto a sistma con la lliss pr trovar l du tangnti... pongo DELTA=0 x² + 3 [ kx + (4-6k) ]² - 9 = 0

5 x² + 3k²x² + 6kx (4-6k) + ( 4-6k )² - 9 = 0 x² ( 1 + 3k² ) + 6kx (4-6k) + ( 4-6k )² - 9 = EQUAZIONE RISOLVENTE (***) poniamo DELTA/4 = 0 9k² ( 4-6k )² - ( 1 + 3k² ) [ ( 4-6k )² - 9 ] = 0 mnomal ch ho affidato nuovamnt i calcoli a Boris... prché vngono dll cos MOSTRUOSE... COME VERIFICARE SE UNA RETTA RISULTA ESTERNA, TANGENTE O SECANTE AD UNA PARABOLA si risolv il sistma tra l'quazion dlla conica l'quazion dlla rtta si trova una quazion di scondo grado dlla qual si trova il discriminant(delta) s DELTA < 0 allora la rtta è strna(nssun punto di intrszion); s DELTA = 0 allora la rtta è tangnt(du punti di intrszion coincidnti); s DELTA >0 allora la rtta è scant(du punti di intrszion distinti). Ricapitoliamo: Il fascio ha cntro in C(-2,1); l rtt gnratrici sono x+2 = 0 (k = 0) x+8y-6 = 0 (k = ). L'arco di circonfrnza intrssato è qullo fra O(0,0) B(6,4) nlla part ch comprnd il punto A(6,0). La rtta pr A è qulla con k =. La rtta pr O ha k = 1/3. La rtta pr B ha k = -1/4. Si capisc ch, al variar di k, l rtt girano in snso antiorario. La rtta tangnt alla circonfrnza, qulla ch intrssa, l'altra è fuori... ha k = 3/13 tocca il punto T (1,-1). In conclusion: Pr 3/13 k < 1/3 : 2 soluzioni (l rtt intrscano du volt) Pr 1/3 k fino a : 1 soluzion; Pr da - a k -1/4 : 1 soluzion.