FUNZIONI A DUE VARIABILI RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO
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- Margherita Angeli
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1 Pg. Pro. Muro D Ettorr UNZIONI A DUE VARIABILI RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO PREMESSE DERIVATE PARZIALI DI UNA UNZIONE A DUE O PIU VARIABILI Dt un unzon d n vrbl z=... n s dc drvt przl l unzon drvt consdrndo un com vrbl l ltr com costnt. L drvt przl vn ndct con l sgunt smbolog dov è l vrbl rsptto ll qul s è drvto : oppur Esmpo d unzon du vrbl: z S consdr l com vrbl mntr l è consdrt costnt: z Vcvrs s può consdrr l com vrbl mntr l è consdrt costnt: z S possono clcolr l drvt scond: sono ntt l drvt dll drvt. Pr smpo drvmo l drvt przl rsptto d :
2 Può ssr drvt s rsptto l tnndo costnt l s rsptto l consdrndo costnt l. Drvndo rsptto l : sgnc drvt scond 6 sgnc drvt du volt rsptto Drvndo nvc rsptto l : Sgnc ch l unzon z= è stt drvt du volt prm rsptto l po rsptto l DERIVATA MISTA Or consdrmo l drvt prm przl rsptto ll : Anch qust può ssr drvt s rsptto l s rsptto l. Drvndo rsptto l : 6 Sgnc ch l unzon z= è stt drvt du volt prm rsptto l po rsptto l DERIVATA MISTA Drvndo nvc rsptto l : Pg.
3 Sgnc ch l unzon z= è stt drvt du volt rsptto l Prtnto un unzon z= h du drvt przl prm drvt przl scond. Consdrmo nn l drvt przl scond mst coè qull tt prm rsptto un vrbl po rsptto l ltr. Com gà clcolto: ovvro L uguglnz sopr non è un csul m è un mportnt proprtà not com Rgol d Schwrz: L drvt przl scond mst sono ugul In dntv qundo occorrrà clcolr l drvt scond s potrnno sgur solo tr oprzon d drvzon nvc d. MATRICI E DETERMINANTI Un tbll così ormt: n n n n n n6 k m m m nm prnd l nom d MATRICE con n rgh d m colonn. Ogn lmnto dll mtrc vn ndvduto mdnt du numr pdc ch Drvndo l drvt scond s ottngono 8 drvt przl trz Pg.
4 ndcno rspttvmnt l rg l colonn dov è ubcto: Elmnto gnrco k k rpprsnt l colonn rpprsnt l rg Esmpo: 7 8 è un mtrc rgh colonn L lmnto è qullo dll rg colonn: n qusto cso =. L mtrc pr cu m=n ovvro l numro d rgh è ugul qullo dll colonn s chmno mtrc qudrt. Pr l sol mtrc qudr è possbl clcolr un vlor chmto dtrmnnt. n n... nn Pr qullo ch srvrà n sguto nl clcolo d mssm mnm dll unzon du vrbl occorr spr clcolr l dtrmnnt dll sol mtrc qudr. Mtrc A è A dgonl scondr dgonl prncpl Rgol mnmonc: Il dtrmnnt d un mtrc vl l prodotto dgl lmnt dll dgonl prncpl mno l prodotto dgl lmnt dll dgonl scondr Esmpo: dt Pg.
5 Mtrc Il dtrmnnt vl: A è A Può ssr sts l rgol prcdnt tnndo prsnt ch: l dgonl prncpl vnno d ALTO- SINISTRA BASSO-DESTRA; l dgonl scondr vnno d BASSO-SINISTRA ALTO-DESTRA. Dt l sgunt mtrc : S pplc l rgol d Srrus: colonn = colonn colonn = colonn ovvro s rptono l prm l scond colonn. S h così: dgonl scondr dgonl prncpl L rgol mnmonc d Srrus può ssr così sprss: Il dtrmnnt d un mtrc qudrt è ugul ll somm d prodott dgl lmnt post su ognun dll dgonl prncpl mno prodott dgl lmnt post su ognun dll dgonl scondr Applcndo l rgol d Srrus: Pg.
6 A MASSIMI E MINIMI LIBERI Rcordmo l procdur gnrl d rcrc d mssm rltv pr l unzon d un sol vrbl: s: clcolo drvt prm l drvt vn uguglt zro rsolt l quzon corrspondnt: pr... s: clcolo drvt scond Pr dcdr s un soluzon dll quzon prcdnt rpprsnt l scss d un punto d mssmo o mnmo s h ch vl: scss punto d mnmo scss punto d mssmo null s può dr :occorr studr l Esmpo: pr - 8 punto d mnmo 6 8 punto d mssmo Pr l unzon du vrbl s sgu un procdur nlog. Dt l unzon vrbl: Pg. 6
7 Pg. 7 z s: clcolo dll drvt prm l du drvt przl prm vngono uguglt zro contmpornmnt:... vlor sstm sono l copp d dl soluzon n n s: clcolo dll drvt scond Con l drvt scond s orm un mtrc dtt hssno : Pr dcdr s un copp d vlor soluzon dl sstm prcdnt rsult un mssmo o mnmo s h ch vl: ultrormnt procdr occorr sll punto d mssmo punto d s mnmo punto d s sstono m mn Esmpo n :
8 Pg. 8 E dt l sgunt unzon vrbl: Clcolo drvt prm scond: Vn ormto l sstm con l drvt prm uguglt zro unc soluzon prtnto: sll è un punto d punto P coè l - - dt Esmpo n : Dt l sgunt unzon vrbl: Clcolo drvt prm scond: 6 Vn ormto l sstm con l drvt prm uguglt zro è un sstm d grdo ch mmtt du copp d soluzon:
9 prtnto: 6 dt 6 mnmo punto d sll Esmpo n : Dt l sgunt unzon vrbl: Clcolo drvt prm scond: Il sstm con l drvt prm uguglt zro è: 6 è un sstm d grdo ch mmtt l mssmo copp d soluzon. In qusto cso l soluzon sono soltnto du: L hssno vl: dt 6 prtnto: 6 punto d sll 6 punto d sll Pg. 9
10 Esmpo n : Dt l sgunt unzon vrbl: Clcolo drvt prm scond: Il sstm con l drvt prm uguglt zro è: 6 6 è un sstm d grdo ch mmtt copp d soluzon. In qusto cso l soluzon sono: L hssno vl: dt prtnto: 6 punto d sll 6 6 mssmo 6 6 mnmo 6 punto d sll Pg.
11 MASSIMI E MINIMI VINCOLATI Nll sgunt rpprsntzon d un unzon du vrbl mdnt ln d lvllo l punto P è l mssmo mntr rmnndo sull ln d quzon = l punto d mssmo vncolto è Q. Immgnndo d prcorrr un strd montn rpprsntt dll ln l punto P è l cm dl coll mntr l punto Q è l punto pù lto dll strd psso = unzon d vncolo P Q L unzon d vncolo = è sprss n orm mplct: s è possbl splctrl nll quzon =g l rcrc d mssm mnm vncolt s rduc ll rcrc d mnm mssm d un unzon d un sol vrbl. Esmpo: z unzon vrbl unzon d vncolo In qusto cso l vncolo = può ssr splctto: L unzon così ottnut un rtt vn sosttut nll unzon d mssmzzr: z z Tl unzon d un sol vrbl è clmnt mssmzzbl prltro rsult un prbol. Pù n gnrl è possbl rcrcr mssm mnm vncolt con l mtodo d Lgrng. Pg.
12 Mtodo d moltplctor d Lgrng Con l unzon d cu sopr s costrusc un unzon dtt ppunto d Lgrng o lgrngn dov è l vrbl uslr. è un unzon nll tr vrbl dov d sono l coordnt dgl vntul punt d m./mn. vncolt mntr l vrbl uslr non h un sgncto mmdto. Procdmnto S clcolno l tr drvt przl prm d rsptto l tr vrbl E cl vrcr ch rsult ch: Rsult ormto l sgunt sstm d grdo n nll tr vrbl L soluzon sono n trn Pr stblr s un punto rsult d mnmo o mssmo vncolto s consdrno l drvt scond d con cu s costrusc l sgunt mtrc : Rcordndo ch l drvt mst sono ugul è cl clcolr ch: noltr not nch com moltplctor d Lgrng Pg.
13 Pg. Prtnto l mtrc h un sprsson smplct dtt hssno orlto: Il vlor dt è clcolto mdnt l rgol d Srrus. Pr un trn soluzon dl sstm prcdnt rsultrà llor: mn è un è un MAX Esmpo: Dt l sgunt unzon vrbl: con l sgunt vncolo: L unzon d Lgrng è: λ λ λ λ Clcolo dll drvt prm: Il sstm con l drvt prm uguglt zro è: è un sstm d 8 ch mmtt l mssmo 8 trn d soluzon. In qusto cso l soluzon sono solo du:
14 Pg. Clcolo dgl lmnt dll ssno orlto: L hssno orlto vl: λ λ Clcolndo l dtrmnnt dll hssno orlto pr l trn soluzon dl sstm prcdnt s h: m punto d m - P z mnmo punto d mn -- P z
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