N 10 I NUMERI COMPLESSI

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1 Untà Ddttc N 0 I NUMERI COMPLESSI 0) Introduzone dell untà mmgnr 0) Introduzone elementre de numer compless 0) Alcune operzon su numer compless 0) Rppresentzone geometrc de numer compless 05) Rppresentzone de numer compless mednte vettor Pgn d 5

2 I numer compless No sppmo che l rdce qudrt d un numero negtvo non esste nel cmpo de numer rel. Inftt non esste n R n qunto non è possble trovre un numero rele l cu qudrto è Per rendere possble l estrzone d rdce d ndce pr d un numero rele negtvo s ntroducono numer mmgnr. S pone per defnzone: - = coè: = - Il smbolo, che rppresent l rdce qudrt del numero, è detto untà mmgnr. S defnsce po numero mmgnro l smbolo b, che esprme l prodotto del numero rele b per l untà mmgnr. Infne, dces numero complesso l somm d un numero rele e d un numero mmgnro b. Un numero complesso ssume l seguente form: + b Due numer compless s dcono conugt qundo hnno l stess prte rele ed oppost coeffcent dell untà mmgnr. I due seguent numer conugt. + b e b sono compless e Il prodotto d due numer compless e conugt è un numero rele. Inftt bbmo: ( )( ) + b b = b + b b = + b che è un numero rele n qunto somm d due numer rel. Le operzon d ddzone, sottrzone, moltplczone s eseguono ll stess mner de numer rel con l unc vvertenz d rcordre che rsult: =. L dvsone tr due numer compless s effettu rcordndo che l prodotto d due numer compless e conugt è un numero rele: ( ) 5 6 ( 5 6) = = = = = = = = = = = = = + Pgn d 5

3 Ulteror precszon su come operre con numer compless Dll relzone = - deducmo: = = =- ( ) ( ) = = = = 5 = = e così d seguto. D tutto cò deducmo che le potenze dell untà mmgnr s rpetono con un perodo ugule quttro. n n+ n = n+ n n+ n = = =, = =-, = =-, n+ n = = con n = 0,,,,,... Queste relzon c consentono d clcolre l vlore d qulss potenz d con esponente nturle. In form comptt bbmo: 0 =; m = 0 k = m+n = m = =; m = =-; m = =- ; m = con m= 0,,, ed n N N.B. = = 0 n rppresent l prte nter del quozente tr numer k e, m è l resto dell dvsone tr k m numer k e. = n+ k= n+ m Il clcolo con numer compless dt n form lgebrc + b è dentco l clcolo co numer rel che conoscmo gà, con l sol vvertenz che l untà mmgnr è sottopost ll regol specle = - =- = 5 = e così d seguto. Esemp: = = = 7 = 9+ n= 9 m= = = = = = 0+ n = 0 m= = = = = 87 = + n = m= Rppresentzone geometrc de numer compless Pno complesso d Guss Nello studo de numer rel bbmo vsto che esste un corrspondenz bunvoc fr numer rel e punt d un rett orentt sull qule bbmo fssto un orgne ed un untà d msur. Adesso voglmo fre vedere che esste un corrspondenz bunvoc fr numer compless ed punt d un pno. Pgn d 5

4 Rfermo l pno d un sstem ortonormle d ss crtesn d orgne O. Consdermo un qulss numero complesso + b e d esso fccmo corrspondere l punto P(, b) del pno crtesno che h come scss l prte rele e come ordnt l coeffcente b dell prte mmgnr. E' evdente che d ogn numero complesso z = + b corrsponde uno ed un sol punto del pno. Vcevers, fssto un punto P(, b) del pno s fcc corrspondere d esso l numero complesso z = + b che h come prte rele l'scss e come coeffcente dell'untà mmgnr l'ordnt b. E' evdente che d ogn punto P(, b) corrsponde uno ed un solo numero complesso. Rest pertnto stblt un corrspondenz bunvoc fr punt P del pno ed numer compless. Il punto P(, b) chms mmgne del numero complesso, mentre + b s dce ffss d P. Il pno consderto rcoperto dlle mmgn de numer compless è detto pno complesso o pno d Argnd o pno d Guss. S not che, n prtcolre, le mmgn de numer compless rel, essendo punt d ordnt null, sono stute sull'sse delle scsse l qule dces sse rele del pno complesso. b y sse mmgnro : z = 0 + b = b b b O sse rele : z = + 0 = x Le mmgn de numer compless mmgnr ( z = 0 + b = b ) essendo punt d scss null, sono stute sull'sse delle y che dces sse mmgnro del pno complesso. Spesso l'mmgne d un numero complesso s rppresent col numero stesso e nel lnguggo corrente s prl, tlvolt, d scss e ordnt d un numero complesso rspettvmente n luogo d scss ed ordnt dell corrspondente mmgne. Pgn d 5

5 5 D qunto detto s deduce che numer rel occupno tutt e soltnto punt d un rett (l'sse rele o sse delle scsse), mentre numer compless occupno tutt e soltnto punt d un pno. Rppresentzone de numer compless mednte vettor Un'ltr rppresentzone o nterpretzone geometrc de numer compless nel pno crtesno (equvlente, n fondo, ll precedente) è l seguente: s P(, b) l'mmgne del numero complesso z = + b e s consder l vettore OP = P O le cu component lungo gl ss crtesn sono e b dovendos vere : v = OP= P O= OP + OP = u + b u Pertnto l numero complesso z = + b determn unvocmente l vettore v = P O e, vcevers, questo vettore determn unvocmente ( mednte le sue component lungo gl ss crtesn) l numero complesso z = + b : coè tr vettor del pno pplct nel punto O ed numer compless sussste un corrspondenz bunvoc. Pertnto, come mmgne del numero complesso z b = +, nvece del punto P( b), s può prendere l vettore d component crtesne, b pplcto nell'orgne O. Questo c consente d ffermre che <<l'nseme de numer compless, nzché dll'nseme de punt d un pno, può essere rppresentto dll'nseme de vettor del pno pplct nell'orgne O>>. v = O = ( P O) + ( P O) = u + b u P Pgn 5 d 5