x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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- Lisa Leonardi
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1 Integrle Dento. ( Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d (n+ punt < <..< n, comunque scelt tr e. S pone:,..,n h De. nmento Un prtzone P è dett essere un rnmento (o pù ne dell prtzone P se: P P
2 Integrle Dento: Plurrettngol Assummo che l unzone s lmtt nell ntervllo [,]. Dt un determnt prtzone P d [,] consdermo per ogn ntervllno : m l estremo nerore ssunto dll unzone n M l estremo superore ssunto dll unzone n Costrumo l rettngolo nscrtto: d se ed ltezz m Ed ssocmo d esso l re (che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: ( m. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo (o sclode nscrtto. Costrumo l rettngolo crcoscrtto: d se ed ltezz M Ed ssocmo d esso l re (che può nche essere negtv se lo è l unzone dt d: ( M. L nseme de rettngol nscrtt costturà l plurrettngolo (o sclode crcoscrtto.
3 Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror ( De. Somme Superor S ( P, M Costtuscono un pprossmzone per eccesso dell re De. Somme Ineror s ( P, m Costtuscono un pprossmzone per detto dell re Amo che: s ( P, S ( P, ( E evdente che con pù rnmo l prtzone dell nseme [,], con pù ruscremo d vere un vlutzone precs dell re. Precsmente, pssndo d un prtzone P d un prtzone pù ne P notmo che le somme neror umentno mentre quelle superor dmnuscono rspettndo sempre l relzone (. Qund: se P P s( P, s( P, S( P, S( P, ( con s( P, S( P,
4 Integrle Dento: Somme Superor ed Ineror ( Aumentndo l numero d punt le somme neror umentno Aumentndo l numero d punt le somme superor dmnuscono 4
5 Integrle Dento d emnn: Costruzone Poché le somme neror sono sempre mnor od ugul lle somme superor, mo che: Sup P s In P S De. Funzone Integrle (secondo emnn L unzone è ntegrle (secondo emnn, o -ntegrle se (e solo se: Sup P s In P S De. Integrle Dento (d emnn Il numero rele precedentemente trovto rppresent l ntegrle dento dell unzone sull ntervllo [,] e s scrve: Not. L clsse delle somme neror e delle somme superor sono due clss d numer rel un mnore dell ltr dunque sono clss seprte. Esse possono vere un elemento seprtore (l unco numero compreso tr le somme neror e quelle superor. Se tle numero esste l unzone è dett emnn-integrle (o -Integrle su [,] 5 e tle numero è, per denzone, l ntegrle d emnn dell unzone dt su [,]. ( d
6 Integrle Dento d emnn: Osservzon ( d e sono dett estrem d ntegrzone è detto estremo nerore d ntegrzone è detto estremo superore d ntegrzone è dett unzone ntegrnd Not. L vrle d ntegrzone è un vrle mut. Per cu le seguent espresson ndcno sempre lo stesso numero: ( d ε > ( t dt S(P,-s(P, < ( y dy Teorem Un unzone lmtt su [,] è -ntegrle se esste un prtzone P d [,] tle che: Not. Il teorem precedente erm che le somme neror e superor, per unzon - ntegrl, sono due clss seprte m ndentmente rvvcnte (o contgue. ε 6
7 Funzone non -Integrle Not. Non tutte le unzon sono -ntegrl. Dremo pù vnt delle condzon sucent nché un unzone s -Integrle. Occupmoc d un esempo d unzone che NON è -ntegrle: L Funzone d Drchlet ( se Q se \Q S consder l ntervllo [,]. Ess è un unzon lmtt. Per ess, consderto l tto che qulunque s l prtzone P, nell ntervllno compono nnt numer rrzonl ed nnt rzonl, vremo: M S( P, Sccome: m s( P, In S( P, Sup s( P, L unzone non rsult -ntegrle. 7
8 Integrle Dento: le somme d emnn Not. Consderndo unzon lmtte non possmo ermre che vlor m ed M sono vlor ssunt dll unzon nell ntervllno. Se l unzone è contnu l teorem d Weerstrss sscur l tto che l unzone ssume n tl vlor, che concdono con l mnmo ed l mssmo dell unzone stess (n. Al posto delle somme neror e superor è llor possle consderre le seguent somme d emnn: con σ ( P, ( t t De. P M( Per esse vle l seguente teorem: Teorem é -ntegrle lmσ ( P, P nto (d E vle lmσ(p, P 8
9 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. ( Se l unzone ntegrnd è postv su [,] (< llor ( d ppresent l re dell regone d pno delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl ed. E rsult: ( d > + Se l unzone ntegrnd è negtv su [,] (< llor ( d ppresent l re dell regone d pno n senso lgerco (n qunto negtv delmtt dll sse delle, dl grco dell unzone e dlle rette vertcl ed. E rsult: ( d < 9
10 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. ( Se l unzone ntegrnd non h segno sso su [,] (< llor l ntegrle dento può essere postvo, negtvo o nullo. ( d ( d? +.. rctn( ~.7 > d + + π sen ( d + π cos( d
11 Integrle Dento: Sgncto Geometrco. ( ( d g( d Può essere pensto come re dell regone d pno compres tr le due unzon e g. g( d.. ( ( ( d g (
12 Integrle Dento: Condzon Sucent Integrle Dento: Condzon Sucent per l per l -Integrltà. ( Integrltà. ( Teorem. Se l unzone è contnu su [,] llor è -Integrle. Dm. Per l teorem d Weerstrss mmette mssmo M e mnmo m n ogn ntervllno. Esstono qund n due punt t e t * tl che (t m e (t * M. Poché è contnu, dll denzone d lmte mo che: t t t t se < < ε δ δ ( ( : * * Scelto: ε ( ( t t m M P s P S ( (, (, ( * t t t t se < < δ δ ( ( : Fccmo n modo che P <δ llor: ( ε ε ε < ( ( ( * t t Per l teorem l unzone è -Integrle. Scelto:
13 Teorem 4. Integrle Dento: Condzon Sucent per l -Integrltà. ( Se l unzone è lmtt su [,] e possede un numero nto (o l pù un nntà numerle d dscontnutà llor è -Integrle. Teorem 5. Se l unzone è monoton (crescente o decrescente su [,] llor è -Integrle.
14 Integrle Dento: Propretà ( Convenzone ( d ( d ( d d Propretà d lnertà Propretà d ddtvtà ( ( + g( d ( d + g( d Propretà d ( ( d ( d omogenetà 4
15 Integrle Dento: Propretà ( ( d ( d se < ( d ( d Propretà d ddtvtà rspetto ll ntervllo d ntegrzone ( d ( d + c ( d c Propretà d monoton se ( ( n [, ] d ( d ( 5
16 Integrle Dento: Teorem dell med ntegrle Teorem 6 (dell Med Integrle o d Lgrnge. S consder l unzone contnu n [,]. Allor esste lmeno un punto c n [,] tle che: Dm. ( d ( c( Sccome è contnu è -ntegrle. Per l teorem d Weerstrss se m ed M sono l mnmo ed l mssmo dell unzone n [,] mo m ( M vld per ogn n [,]. Dll propretà d monoton dell ntegrle segue:: md ( d Md m( ( d M ( m ( d ( M ( d ( con m M Il teorem d Drou sscur che esste c n [,] tle che (c ( d ( ( c c.v.d. De. Med Integrle ( d ( 6
17 Integrle Dento: Funzone Integrle S consder l unzone, -ntegrle su [,]. Consdermo due punt d [,] : ed. Costrumo l seguente ntegrle dento: ( t dt Consdermo l unzone che d ogn numero (n [,] ssoc l numero rele dento dll relzone precedente: tle unzone è l unzone Integrle d n [,]. De. Funzone Integrle S un unzone -ntegrle su [,] s densce unzone ntegrle F d su [,] (con orgne n F( ( t dt 7
18 Integrle Dento: Teorem d Torrcell-Brrow Teorem 7 (d Torrcell - Brrow S un unzone contnu su [,]. Allor l unzone ntegrle F d su [,] (con orgne è (contnu e dervle n per ogn d [,] e vle F (( Dm. S consder: F( + h F( + h + h F ( t dt ( t dt ( t dt ( t dt [, + h] + h ( t dt ( c h con c Applcndo l teorem 6 dell med ntegrle. F'( lm h F h lm h ( c h h lm h ( c ( + Per l contnutà d c.v.d. L unzone ntegrle F rsult nelle potes del teorem (contnutà d un prmtv d. In generle s può dmostrre che: Teorem 8 Se è -ntegrle llor F è contnu Se è contnu llor F è dervle Se è dervle llor F è dervle con dervt contnu 8
19 Integrle Dento: Teorem ondmentle del clcolo ( Teorem 9 (Fondmentle del Clcolo S un unzone contnu su [,]. S F un su prmtv, llor: Dm. S consder: ( d ( d + ( d ( d F( F( F( + F( F( F( ( d + ( d c.v.d. Convenzone [ F( ] : F( F( ( d 9
![Integrle Dento e unzon prmtve [ F( ] : F( F( ( d Not. Gl ntegrl delle unzon contnue possono essere clcolt con le unzon prmtve (se queste s possono esprmere per v elementre.](/docs-images/89/98520403/images/20-0.jpg "Se l unzone ntegrnd non è contnu m solo -ntegrle, l prmtv potree non esstere perché, d esempo, non esstono unzon dervl che hnno dervte con dscontnutà slto. Tuttv può esstere l ntegrle. Es.")
20 Integrle Dento e unzon prmtve [ F( ] : F( F( ( d Not. Gl ntegrl delle unzon contnue possono essere clcolt con le unzon prmtve (se queste s possono esprmere per v elementre. Se l unzone ntegrnd non è contnu m solo -ntegrle, l prmtv potree non esstere perché, d esempo, non esstono unzon dervl che hnno dervte con dscontnutà slto. Tuttv può esstere l ntegrle. Es. ( per < per < per ( d Non esste tuttv un unzone dervle n tutto [,] che ( come unzone dervt
21 Integrle Dento: Integrzone per prt Teorem '( g( d [ ( g( ] ( g'( d Es. Clcolre l re compres tr l sse delle e l grco dell unzone ln( tr punt d scss e ln( d [ ln( ] d ln( d ln( ~.86
22 Integrle Dento: Integrzone per sosttuzone Teorem Sno :[,] contnu, Φ :[,] contnu,dervle,con dervt contnu e con Φ ( n [,]. Allor se g è l unzone nvers d Φ, mo ( d Φ( Φ( ( g( t g'( t dt Es. g ( t sen ( t Φ ( rcsen ( cos d ( t dt rcsen( rcsen( sen t + sen( tcos( t ( t cos( t dt π π rcsen( π π rcsen( 4 Are qurto d cercho d rggo
23 Integrle Dento: Are tr grc d unzon ( [ ( g( ] A d g( ( d + A g( d ( ( c d ( 4 d + ( d + ( d + A ( d c d ( 4 ( c d
24 Integrl mpropr d spece ( Amo snor prlto d ntegrl d unzon lmtte (n prtcolre contnue su ntervll lmtt [,]. Esstono delle estenson s per unzon non lmtte che per ntervll non lmtt. Integrzone Funzon non lmtte su ntervll lmtt Integrl IMPOPI d SPECIE S consder : (,] non lmtt (d es / n (,] tle che s -ntegrle su ogn ntervllo dell orm [+ε,] e tle che : Denmo llor: lm + ( d ( ± lm ε + ε + ( d Se l lmte (* esste nto llor s dce ntegrle n [,] e che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE è convergente Se l lmte (* è ± llor s dce che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE è dvergente Se l lmte (* non esste llor s dce che l ntegrle IMPOPIO d SPECIE non esste (* 4
25 Es. S clcol: Integrl mpropr d spece ( d lm lm + + d ε ε ε ε ε + ε Es. S clcol: d lm + + d lm ln ε ε ε Es. S clcol: + + [ ] [ ] lm d se se + > + < d [ ] + ε Per lm + d + lm+ + ε ε ε < > + se se Per ved es. precedente. Glolmente: + > + ε < + ε lm ε 5
26 Integrl mpropr d spece ( ( d lm ε + ε + ( d (* Ad es. /(- n [, Teorem dvergente + se d é ( ( convergente se < Vle un rsultto perettmente nlogo per: ( d L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge. 6
27 Integrl mpropr d spece ( Anlogmente nel cso n cu s : lm ( ± S densce: ( d lm ε ε + ( d (** Ad es. /(- n [, Vle un rsultto perettmente nlogo quello enuncto nel teorem : Teorem -s dvergente + se d é ( ( convergente se < L ntegrle converge se l unzone è nnt d ordne < ltrment dverge. 7
28 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece ( Integrzone Funzon su ntervll llmtt Integrl IMPOPI d SPECIE S consder : [,+ contnu. Ponmo: + + ( d : lm ( d Anlogmente, se :(-,] contnu. Ponmo: ( d : lm ( d Se :(-,+ contnu. Ponmo: + ( d ( d : ( d + ( d lm ( d + lm h + + h ( d 8
29 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece ( Es. S clcol: + [ ] [ ] d lm lm + d lm Es. S clcol: Es. S clcol: + Es. S clcol (per n : + d n d lm [ ] [ ] + + d lm ln lm ln( d lm lm lm + + d + + n n lm d lm lm + n + n + n n + n se se n n > < n n < > Per n ved es. precedente. Glolmente: + d n + n se se n n > L ntegrle converge se l unzone è nntesm d ordne n> ltrment dverge. 9
30 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece ( Es. Andmento grco
31 Integrle Dento: Integrl mpropr d spece (4 Es. S clcol: + + d lm lm h h + h [ rctn( ] ( d lm lm h + π π [ rctn( h rctn( ] π lm lm h +
32 Integrle Dento: Lunghezz d un curv ( Consdermo un unzone y(. S un unzone contnu con dervt contnu n [,]. Voglmo clcolre l lunghezz dell curv rppresentt dl grco dell unzone tr punt d scss e. Per ncrement nntesm dell vrle ( d +d l vrle y h un ncremento dy che possmo pprossmre con dy (d (derenzle. Allor l lunghezz nntesm dell curv dl può essere scrtt ttrverso l teorem d Ptgor: ( d + ( dy ( d + ( '( d d ( '( dl + dl + [ ] ' ( d Ne segue: ( + d ( dl d dy lunghezz + ( '( d + d
33 Integrle Dento: Lunghezz d un curv ( Es. Lunghezz Crconerenz ( d rggo l ( '( ( '( d 4 d 4 t + dt 4 d L lunghezz dell crconerenz ( d rggo vle: 4 d [ rcsen( t ] 4[ rcsen( rcsen( ] 4 π π Es. Lunghezz Arco d Prol ( ( + y dy ' l + ( '( d + 4 d y + y + SettSh( y 5 + ln( ~.47894
34 Integrle Dento: Lunghezz d un curv ( Es. Lunghezz Ctenr ( curv lungo l qule s dspone un une pesnte omogene, nel cmpo d grvtà, sst gl estrem. ( Ch( '( Sh( l + Sh ( d Ch( d Sh( Sh( Sh( e e 4
35 Integrle Dento: Superce sold d rotzone ( ( dl L superce del soldo d rotzone vene clcolt come somm (ntegrle delle superc lterl de tronch d cono nntesm d ltezz d. L superce lterle d un tronco d cono vle: S lt π( + r d Essendo l potem ed, r rgg delle s. Il prmo teorem d Pppo-Guldno sscur che l clcolo dell superce d rotzone può essere ttuto moltplcndo l lunghezz del segmento dl (che gener l superce d rotzone per l lunghezz dell crconerenz che l rcentro del segmento percorre durnte l rotzone. Percò: ds lt π ( dl S lt ( dl ( + π π [ ] ' ( d 5
36 Integrle Dento: Superce sold d rotzone ( Es. Superce Ser y ( ' ( [ ] ' + ( S ser π d S ser 4π d 4π 6
37 Integrle Dento: Volum sold d rotzone ( ( d Il volume del soldo vene costruto come somm (ntegrle d clndrett nntesm s spessore (ltezz d e superce d se π [(]. dv π [ ( ] d V π [ ( ] d Es. Volume Cono P ( h, h rett : y ( V h h π d π h h h π h V π h 7
38 Integrle Dento: Volum sold d rotzone ( Integrle Dento: Volum sold d rotzone ( Es. Volume Ser ( ser d d V π π d dy y ( y 8 [ ] 4 y y dy y π π π π
39 y y' ( Studo Funzone Fre l grco qulttvo dell unzone e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto Asntot vertcle : - e ( ( ( + y'' ( d d d + + ln d + c Asntot Olquo : y + [ ] ln + [ln( ln(] + ln 5, 5 9
40 Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e e y' e e ( e y'' 4 ( e e t e e d e t dt d t e t t d t dt dt t + t + Punto tngente vertcle nell orgne Flesso per ln( + d t t + dt + dt t t dt + t rctn( t + c e rctn( e + c
41 Studo Funzone g Fre l grco qulttvo dell unzone seguente e clcolre l vlore dell ntegrle nel trtto y e [ ] [ ] e d e rctn( e [ ] [ ] e rctn(,78 e
x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
![x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione](/thumbs/63/50351543.jpg "x = Il problema del calcolo delle aree Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione")
Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt <
Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
![Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione](/thumbs/86/93240147.jpg "Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione")
Integrle Dento. Il prolem del clcolo delle ree Suddvsone dell ntervllo [,] n sottontervll che ne costtuscono un prtzone De. Prtzone S chm prtzone P dell ntervllo [,] un nseme d n+ punt =<
Il problema del calcolo delle aree. Suddivisione dell intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione
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TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione
Regressione Lineare Semplice
reressone lnere Reressone nere Semplce Per ottenere l veloctà d un corpo s msur l su poszone vr temp. Spendo che l relzone tr l poszone del corpo s l tempo t è dt dll lee s = v t trovre con l reressone
Calcolare l area di una regione piana
Integrli Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione Clcolre l
Capitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile
Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt
Geometria Analitica. Parabola (asse verticale) Geometria Analitica La retta. ; y2. x = y = y = ax parabola passante per l origine e con asse l asse y
Geometr Anlt Dstnz tr due punt nel pno rtesno P ( x x ) + ( y ) P y Punto medo d due punt nel pno rtesno M x + x y + ( x ; y ) ; M M y Are d un trngolo nel pno rtesno prtre dlle oordnte de suo x y punt
Il procedimento di linearizzazione consiste nell'usare una funzione delle variabili anziché le variabili stesse.
Y Lnerzzzone Il dgrmm d dspersone suggersce che le funzone d nterpolzone de dt non sono lner, m presentno un ndmento che n un cso (dots ner) potree essere d tpo esponenzle, mentre nell ltro cso (dots ross)
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Clcolo integrle Proprietà dell integrle deinito Teorem dell medi integrle Corollri del Teorem ond. clc. int. Regole di integrzione deinit Clcolo di ree 2 26 Politecnico di Torino 1 Estensione dell integrle
Risultati esame scritto Fisica 2 del 03/10/2016 orali: 11/10/2016 alle ore presso aula H
sultt esme scrtto Fsc del //6 orl: //6 lle ore. presso ul H gl student nteresst vsonre lo scrtto sono pregt d presentrs l gorno dell'orle mtrcol voto 98 7 mmesso 8 7 mmesso 7 7 mmesso 6 7 mmesso 9 7 mmesso
Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b
Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non
ROTAZIONI ( E TEOREMA DI PITAGORA
ROTAZIONI ( E TEOREMA DI PITAGORA ) Defnzone Defnmo rotzone nel pno R un funzone (,) --> f(,) = (',') R, tle che : ) f(,) = f(,) + ort(f(,), per ogn (,) R dove : ort(,b) := (-b,) "ortogonle (ntorro)" d
del prodotto cartesiano A B. Diremo che un elemento a A è in relazione con un elemento b B, e scriveremo a b se, e solo se, ( a,
Relzon bnre Un relzone bnr d un nseme A d un nseme B è un sottonseme R del prodotto crtesno A B Dremo che un elemento A è n relzone con un elemento b B, e scrveremo b se, e solo se, (, b) R Rppresentzone
Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle
IL CONTRIBUTO DEI GRECI. A = b. h. Parallelogramma h. h b
Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 1 IL CONTRIBUTO DEI GRECI h Rettngolo: A =. h h Prllelogrmm A =. h h Tringolo A =!h 2 Poligono come somm di tringoli Cerchio O r A = ". r 2 Mtemtic per Scienze
Formule di Integrazione Numerica
Formule d Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv
Area di una superficie piana o gobba 1. Area di una superficie piana. f x dx 0 e quindi :
Are di un superficie pin o go Are di un superficie pin L're dell superficie del trpezoide si B ottiene pplicndo l seguente formul: f d [] A T e risult 0 [, ] è f f d 0 e quindi : [] f d f d f d f d c Nel
Matematica I, Funzione integrale
Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle
Argomenti della Lezione
ANALISI Argomenti dell Lezione 35. urve, lunghezze, integrli curvilinei 35.1. urve regolri. Definizione 35.1. Un curv regolre Φ é un funzione { (t) : I R φ : I = [, b] R 2 y(t) : I R 25 gennio 2012 continu,
Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna. Matematica aa lezione febbraio 2009
Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Matematca aa 2008-2009 lezone 17 13 febbrao 2009 professor Danele Rtell www.unbo.t/docent/danele.rtell 1/19? 2/19? Fgura 1: ( 5y
Strutture cristalline 1
Chmc fsc de mterl Strutture crstllne Sergo Brutt Impcchettmento comptto n 2D Esstono 2 dfferent mod d rrngre n un pno 2D crconferenze dentche n modo d tssellre n modo comptto lo spzo dmensonle: Impcchettmento
Integrali definiti (nel senso di Riemann)
Integrli definiti (nel senso di Riemnn) Problem: cos è l re di un figur pin? come clcolrl? Grficmente concetto intuitivo ed evidente. Tecnicmente ci sono definizioni e formule d hoc per le figure elementri.
Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
Il metodo di esaustione
Clcolo integrle Il metodo di esustione Il metodo di esustione y= 2 =0 Il metodo di esustione y= 2 k =0= 0 k n n 1 2 = n Il metodo di esustione y= 2 k 0 k n n 1 2 f( ) k n k n 2 Il metodo di esustione y=
Scrivere 2.1 cm implica dire che la misura sia compresa nell intervallo mm
Il lto d un ddo è pr. cm. Usndo le cfre sgnfctve per stmre l errore clcolre l volume del cuo. Supponendo che l devzone stndrd nell msur del lto s d mm clcolre l devzone stndrd che ssoct ll msur del volume.
5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Esercizi 5.3. Si f : R R un funzione continu, e supponimo che f bbi sintoti obliqui per ±. Provre che f è uniformemente continu in R.. Esibire un funzione f : R R limitt e di clsse C, m non uniformemente
Integrazione per parti. II
Integrzione per prti. II L regol di integrzione per prti f xgx dx [ f xgx] b f xg x dx f, g funzioni derivbili con funzione derivt continu su [, b], pplict ripetutmente, permette in prticolre di integrre
Integrali impropri di funzioni di una variabile
Integrli impropri di funzioni di un vribile. Le funzioni continue Considerimo nel seguito un delle piú importnti ppliczioni del teorem di uniforme continuitá delle funzioni continue su intervlli chiusi
Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica
Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione
Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)
Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.
b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.
Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()
Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di
CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
Soluzione a) Detta F la forza impulsiva dovuta al corpo, il momento dell impulso, calcolato rispetto al punto di sospensione, è dato da
A) meccnc Un srr omogene d lunghezz l, lrghezz trscurle e mss M è ppes vertclmente d un estremtà mednte un perno ttorno cu puo` ruotre. Contro l estremt` ler dell srr vene scglto un corpo che nell urto
Il calcolo integrale. L idea di partenza è semplice. Consideriamo il seguente grafico. Figura 1
Il clcolo tegrle Le dee d Rem sull cocezoe d geometr ho vuto u prood luez scetc, egl h trodotto l ozoe d tegrle deedo quello che o chmmo tegrle d Rem. Il puto d prtez per trodurre l rgometo è estremmete
I vettori. Grandezze scalari: Grandezze vettoriali
Grndee sclr: I ettor engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee ettorl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata
Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si
Definizione (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo che una funzione F è una primitiva di f se
Cpitolo 6 Integrli L opertore derivt D ssoci d un funzione f l su derivt: Df f 0 Ci ciedimo se è possiile invertire quest operzione, vle dire trovre un funzione l cui derivt si un funzione ssegnt Definizione
Integrazione numerica
Cludo Esttco cludo.esttco@usur.t Itegrzoe umerc Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc Formule d qudrtur. Grdo d esttezz. 3 Metodo de coecet determt. 4 Formule d Newto-Cotes semplc. Formule d Newto-Cotes composte.
Volume di un solido di rotazione
Volume di un solido di rotione Si un rco di curv vente equione f. Se f() è un funione continu e non negtiv nell'intervllo limitto e chiuso,, si dimostr che il volume del solido generto dl trpeoide CD in
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,
I vettori. Grandezze scalari: Grandezze ve9oriali
I ettor Grndee sclr: engono defnte dl loro lore numerco esemp: lunghe d un segmento, re d un fgur pn, tempertur d un corpo, ecc. Grndee e9orl engono defnte, oltre che dl loro lore numerco, d un dreone
Teoremi su correnti e tensioni
Teorem su corrent e tenson 1) ombnzone lnere efnzone: n un crcuto, ogn corrente e tensone è dt un combnzone lnere d genertor: V = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... I = K 1 $ g 1 K 2 $ g 2 K 3 $ g 3... oe
1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione: y ax x b = + +
. In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le curve di equzione:, dove, sono prmetri reli con. ) Determinre i vlori di per i quli queste curve hnno un punto di mssimo
5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento
Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in
Formulario di Analisi Matematica 1
Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà
Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001
Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +
Integrazione definita
Integrzione definit Si [,b] R un intervllo chiuso e limitto. Si f : [,b] R limitt. Def. Trpezoide di f sull intervllo [,b] è l regione di pino delimitt dll sse =, dlle rette = e = b e dl grfico di f. Viene
1 Lavoro sperimentale (di Claudia Sortino)
1 Lvoro sperimentle (di Cludi Sortino) Prtendo d un nlisi epistemologic del prolem, ho preprto un test che ho successivmente proposto due quinte clssi di un istituto industrile. QUESTIONARIO SULL INTEGRAZIONE
OPTOELETTRONICA E FOTONICA Prova scritta del 7 luglio 2009
OPTOLTTRONC FOTONC Prov scritt del 7 luglio 9 COGNOM Nome Mtricol Posto n dell fil n s Un sistem untistico (che rppresent un sort di ttrzione centrle su un prticell d prte di, dove è un costnte rele con
Integrale: Somma totale di parti infinitesimali
I problemi del Clcolo Ininitesimle (Newton, Method o Fluxions, 67) o Problem. (Derivt) Dt l lunghezz dello spzio percorso in ogni istnte di tempo, determinre l velocità in ogni istnte. 2 o Problem. (Integrle)
Soluzioni a cura di Nicola de Rosa
MINISERO DELL'ISRUZIONE, DELL'UNIVERSIÀ E DELLA RICERCA SCUOLE IALIANE ALL ESERO ESAMI DI SAO DI LICEO SCIENIFICO Sessione suppletiv 005 Clendrio ustrle SECONDA PROVA SCRIA em di Mtemtic PROBLEMA Si consideri
Liceo Scientifico Statale A. Volta, Torino Anno scolastico 2014 / 2015
Leo Sentfo Sttle A. Volt, Torno Anno solsto 0 / 0 Cognome e Nome: LOGARITMI ED ESPONENZIALI Complet on l equone d sun funone: A) B) C) D) 0) Qule funone pss per l punto ( ; ) ed è sempre postv? 0) L funone
Intorduzione alla teoria delle Catene di Markov
Intorduzone alla teora delle Catene d Markov Mchele Ganfelce a.a. 2014/2015 Defnzone 1 Sa ( Ω, F, {F n } n 0, P uno spazo d probabltà fltrato. Una successone d v.a. {ξ n } n 0 defnta su ( Ω, F, {F n }
Integrali in senso generalizzato
Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Integrzione su domini non itti Definizione.. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito
Dimostrazione del teorema di Gauss Green nel piano
imostrzione del teorem di Guss Green nel pino Gli eventuli lettori sono pregti di segnlrmi gli eventuli errori di stmp. Grzie! L.V. Ricordimo che: dominio è l chiusur di un perto; dominio normle regolre
3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)
. Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y
1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati
Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste
Scuole italiane all estero - Bilingue italo-slovacca 2005
www.mtefili.it Scuole itline ll estero - Bilingue itlo-slovcc 1) E dt l equzione y x + x + c dove i coefficienti,, c sono numeri reli non negtivi. Determinre tli coefficienti spendo che l prol p, che rppresent
Introduzione al calcolo integrale
Introduzione l clcolo integrle Indice: Integrle di Riemnn. Proprietà delle funzioni integrbili. Continuità dell funzione integrle. Teorem dell Medi. Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. Metodi di integrzione.
Integrali su intervalli illimitati Criteri di convergenza 1 Integrali di funzioni non limitate Criteri di convergenza 2 Altri integrali impropri
Clcolo integrle Integrli su intervlli illimitti Criteri di convergenz Integrli di funzioni non limitte Criteri di convergenz 2 Altri integrli impropri 2 2006 Politecnico di Torino Definizione Considerimo
Matematica Finanziaria 29 novembre 2000
Mtemtc Fnnzr 9 novembre 000 TEST d Ottmzzzone. FILA A Rspondere lle se domnde sbrrndo l csell ce s rtene corrett. Un sol rspost è corrett. Nel cso s ntend nnullre un rspost cercre l corrspondente csell.
DETERMINAZIONE GRAFICA DEL BARICENTRO
DETERMNZONE GRFC DEL BRCENTRO (SSTEM D MSSE) Geometria delle masse 1/97 L BRCENTRO D UN SSTEM D MSSE È L CENTRO D UN QULSS SSTEM D VETTOR PRLLEL E CONCORD (DETT VETTOR MSS), PPLCT N CORRSPONDENZ DELLE
ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrale secondo Riemann
ANALISI 1 1 DICIOTTESIMA - DICIANNOVESIMA LEZIONE Integrle secondo Riemnn 1 prof. Cludio Sccon, Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: http://www2.ing.unipi.it/
Curve e integrali curvilinei
Curve e integrli curvilinei E. Polini 13 ottobre 214 curve prmetrizzte Un curv prmetrizzt è un funzione : [, b] R n. Al vrire di t nell intervllo [, b] (con < b) il punto (t) descrive un triettori nello
" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6
CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione
Integrali in senso generalizzato
Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Anlisi Mtemtic II - CdL in Ingegneri Informtic ed Elettronic.. 6/7 Integrzione su domini non itti Definizione. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile
SOLUZIONE PROBLEMA 1. Punto 1 Osserviamo anzitutto che la funzione
SOLUZIONE PROBLEMA 1 Punto 1 Osservimo nzitutto che l funzione g(x) = (x b)e,-,. è continu e derivbile in R in qunto composizione di funzioni continue e derivbili. Per discutere l presenz di punti di mssimo
Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 13 a.a
Anlisi Mtemtic per Bio-Informtici Esercitzione 3.. 27-28 Dott. Simone Zuccher 28 Febbrio 28 Not. Queste pgine potrebbero contenere degli errori: chi li trov è pregto di segnlrli ll utore (zuccher@sci.univr.it).
Ing. Alessandro Pochì
Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll
DETERMINAZIONE GRAFICA DEL BARICENTRO
DETERMNZONE GRFC DEL BRCENTRO (SSTEM D MSSE) Geometria delle masse 1/75 L BRCENTRO D UN SSTEM D MSSE È L CENTRO D UN QULSS SSTEM D VETTOR PRLLEL E CONCORD (DETT VETTOR MSS), PPLCT N CORRSPONDENZ DELLE
Problema: Calcolo dell'area di una superficie piana
Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerii per il Design Lezione 7 Novemre 00 Integrle definito F. Cliò Prolem: Clolo dell're di un superfiie pin Metodi Numerii per il Design - Lezione