DETERMINAZIONE GRAFICA DEL BARICENTRO

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1 DETERMNZONE GRFC DEL BRCENTRO (SSTEM D MSSE) Geometria delle masse 1/75

2 L BRCENTRO D UN SSTEM D MSSE È L CENTRO D UN QULSS SSTEM D VETTOR PRLLEL E CONCORD (DETT VETTOR MSS), PPLCT N CORRSPONDENZ DELLE MSSE, CON MODULO PROPORZONLE LLE MSSE STESSE. L CENTRO D UN SSTEM D VETTOR È L PUNTO TTORNO L QULE RUOT L SSE CENTRLE QUNDO VETTOR RUOTNO TTORNO L PROPRO PUNTO D PPLCZONE (DELLO STESSO NGOLO). L COSTRUZONE GRFC DSCENDE DRETTMENTE DLL DEFNZONE D BRCENTRO. Geometria delle masse /75

3 Geometria delle masse 3/75

4 Geometria delle masse 4/75

5 MOMENTO STTCO (SSTEM DSCRETO) S = m S i i M = N i= 1 m i = m i i MSS TOTLE G G i m i P O Coordinate del baricentro = S M = S M G Geometria delle masse 5/75 i G G

6 MOMENTO STTCO (SSTEM CONTNUO) S = d S = d G Figura piana d G P O Coordinate del baricentro = S = S G Geometria delle masse 6/75 G

7 NOT DEFNZONE CNONC D MOMENTO STTCO PER SSTEM CONTNU: S = ρ d, S = ρ d CON M = ρd, G = S M, G = S M NELLE PPLCZON D TPO NGEGNERSTCO ρ = cost. ρ NCDE SULLE PROPRETÀ STTCHE SOLO PER UN FTTORE MOLTPLCTVO MENTRE NON NFLUENZ L POSZONE DEL BRCENTRO (S SEMPLFC): S PUÒ PORRE ρ = 1. S PRL PÙ PROPRMENTE D GEOMETR DELLE REE Geometria delle masse 7/75

8 MOMENTO D NERZ SSLE (SSTEM DSCRETO) i m i P O MOMENT D NERZ = m = m i i MOMENTO CENTRFUGO = m i i i i i i Geometria delle masse 8/75

9 MOMENTO D NERZ SSLE (SSTEM CONTNUO) d P O MOMENT D NERZ = d = d (1.) MOMENTO CENTRFUGO = d Geometria delle masse 9/75

10 Geometria delle masse 1/75 PROPRETÀ DSTRBUTV (DE MOMENT STTC E D NERZ) SSEGNTE SU D UN PNO / n REE DSGUNTE 1,,, n, S VERFC: n n a i = i= 1 i= 1 ( ) S S (.) a i n n ( ) aa, b i = (3.) a, ab i i= 1 i= 1 N.B. LE CRTTERSTCHE STTCHE ED NERZL DELLE REE DSGUNTE, S ( ) ( ) a i aab, i, VNNO CLCOLTE TUTTE RSPETTO GL STESS SS.

11 1 G = G P O S S ( ) = S ( ) ( ) 1 + S ( ) = S ( ) ( ) 1 + S ( ) = ( ) ( ) 1 + ( ) = ( ) ( ) 1 + ( ) = ( ) + ( ) 1 1 G = 1 - G P O P O P O S S ( ) = S ( ) ( ) 1 S ( ) = S ( ) ( ) 1 S ( ) = ( ) ( ) 1 ( ) = ( ) ( ) 1 ( ) = ( ) ( ) 1 Geometria delle masse 11/75

12 MOMENTO D NERZ POLRE (SSTEM DSCRETO) i r m i P O i p = ( ) m r = m + i i i i = + i Geometria delle masse 1/75

13 MOMENTO D NERZ POLRE (SSTEM CONTNUO) d r P O P = r d = ( + ) d = + (4.) Geometria delle masse 13/75

14 d = Bd H G B d d = ( ) Bd H + = B d = H 3 = BH 1 (5.) dr d = πrdr d ( ) r G = πrdr r G R G R 3 r dr = π = PER L 4.: G = = = π R 4 π R 4 4 (6.) Geometria delle masse 14/75

15 atg(b/h) H H/3 G d (/3H-)B/H B B d = H d 3 H B d = H d 3 H + H 3 B H d H H 3 BH = = 3 36 Geometria delle masse 15/75 3

16 C E H G G B D S PUÒ OTTENERE NTEGRNDO L RE ELEMENTRE d RSPETTO. PÙ GEVOLMENTE, PER L 3.: DC = DEC ( ) ( ) ( ) ( DC ) ( CDE) 1 ( ) ( ) DC DEC BH 4 Geometria delle masse 16/75 CDE = (POLRSMMETR) DLLE 5. E 7. = (7.) 3 = (8.)

17 sin a Geometria delle masse 17/75 π S = d= R t sinθdθ= R t G S R = = π π = tr Rsinθ dθ= tr π ( ) 3 G π (9.) π b ( ) = tr Rsinθ dθ= Rdθ Rsinθ t θ R G πtr 3 4 = (1.) N.B. θdθ= [ θ sinθcosθ] 1 d = trdθ = trπ b a

18 S 4 R G = = 3 π π R 4 R = r rsinθ dθ dr= 3 π 4 4 πr 8 R = 8 9 π π R Geometria delle masse 18/75 ( ) = r rsinθ dθ dr= πr 8 4 (11.) DLLE 3. E 6. S H DRETTMENTE: dr G r R 1 = π R S = r dr = R 3 R πr πr = = (SMMETR RSPETTO LL SSE ) 4 8

19 dz B' H t G z α H sinα H 3 t H BH ( sin ) = z α tdz = = sinα 1 1 sinα B H' d 3 H cosα H 3 t H ( cos ) = z α tdz = = cosα 1 BH = 1 cosα 3 Geometria delle masse 19/75 d

20 TEOREM DEL TRSPORTO b h b a G d a d P O PRMO TEOREM Geometria delle masse /75 = d (1.) a a + TERZO TEOREM ab = a b + dh (13.)

21 PER L CLCOLO D a E ab, NON È LECTO CONCENTRRE L RE NEL BRCENTRO. ECCEZON: a) SE N UN RETTNGOLO b δ RSULT δ << b i S H: P O δ 1 = + = δ 3 + δ δ i i i b b b 1 = + = b) i i i i Geometria delle masse 1/75 G b i

22 H G 3 H BH = + BH = 3 H H/3 B G B H/6 3 BH H BH = = 6 36 BH H BH = + = CON NOTO DLL 8. PER LE FGURE NON ELEMENTR, CON LE 3., 1. L CLCOLO D E È PÙ GEVOLE, RSPETTO LL USO DRETTO DELL DEFNZONE (1.). Geometria delle masse /75

23 G R CON LE 1. E 1. S ROTTENE L 9. = = tr π G ( ) 3 4 π G R CON LE 3., 6. E 1. S ROTTENE L 11. Geometria delle masse 3/75 ( ) 4 4 πr 8 R = = G 8 9 π

24 LEGG D TRSFORMZONE = cosα+ sinα = cosα sinα OQ=OH+HQ OT=SK-HW R S T Q H α K MOMENT D NERZ (14.) = cos α+ sin α sinαcosα Geometria delle masse 4/75 = sin α+ cos α+ sinαcosα = sinαcosα α α+ sin cos + cos α sin α ( )

25 RSULT (15.) + = + = costante ESSENDO (16.) 1+ cosα 1 cosα cos α= sin α= sinαcos α= sinα LE 14. DVENTNO (17.) + cos sin + = cosα+ sin α = sinα+ cos α = + α α Geometria delle masse 5/75

26 N UN PNO a ab, LE 17.1 E 17.3 DESCRVONO PUNT D UN CRCONFERENZ D CENTRO C E RGGO R, PR (18.): C +, ; 1 ( ) = + = + 4 R SEMPRE NEL PNO a, LE 17. E 17.3 SONO EQ. PRMETRCHE D UN CRCONFERENZ CON STESSO CENTRO C E STESSO RGGO R. ab PER ROTZONE α DEGL SS, L PRMETRO È α. Geometria delle masse 6/75

27 SS PRNCPL D NERZ (PROCEDMENTO NLTCO) GL SS RSPETTO CU S H UN ESTREMNTE D E (19.): d d α ( ) = sinα cosα= DLL 19. S RCV L NGOLO α CHE NNULL L DERVT PRM D (.): tg ξ= tg α = Geometria delle masse 7/75

28 d dα = L NGOLO α PER L QULE S H UN ESTREMO D NNULL L MOMENTO CENTRFUGO. d d = dα dα ; d = d dα dα MOMENT D NERZ E TTNGONO VLOR ESTREM PER LO STESSO VLORE α., CORRSPONDE ma min,. min ma Geometria delle masse 8/75

29 UGUGLNDO ZERO L d dα, S OTTENE D NUOVO L.: tg η= tg α = SE α È SOLUZONE DELL., LO È NCHE α +π : atg n α = + π 1 π atg n α = + Geometria delle masse 9/75

30 RESTNO NDVDUT SS ξ E η, TR LORO ORTOGONL, RSPETTO QUL E ξ η RSULTNO UNO MSSMO E L LTRO MNMO, MENTRE =. ξη E SONO DETT ξ η MOMENT PRNCPL D NERZ. Geometria delle masse 3/75

31 CLCOLMO, =, ξ η α=α ESPRMENDO cosα E sin α N FUNZONE D tgα (1.): cosα = ± 1 + α 1 tg sinα = ± tgα 1 tg + α E TENENDO CONTO DELL., PER α = α LE 17. DVENTNO (.): ξ η + 1 ( ) = ± + 4 DOVE S È SSUNTO Geometria delle masse 31/75 >.

32 DLLE 18. E. S RCONOSCE CHE, NEL PNO, PUNT (,) ξ E (,) η SONO GL ESTREM DEL DMETRO DELL CRF D EQ. PRMETRCHE 17.1 E 17.3, PRLLELO LL SSE ( (, ) η R C (, ) (, ) ξ > ): ξ = C + = η C R R SE η ξ < : Geometria delle masse 3/ ( ) 4 = ± +

33 NELL POTES ( = ξη Geometria delle masse 33/75 ξ E η, ) LE PRME DELLE 14. DVENTNO (3.): sin η = cos α+ α ξ cos η = sin α+ α ξ E LE 17. DVENTNO (4.): + = ξ η + ξ η cosα + = ξ η ξ η cosα = ξ η sinα

34 DL CONFRONTO TR LE 4. E LE EQ. PRMETRCHE N ϕ: = + Rcosϕ C = + Rsin ϕ C DELL CRF ( ) ( ) R Geometria delle masse 34/75 + = C C NEL PNO, S RCONOSCE CHE LE 4. SONO LE EQ. PRMETRCHE N DELL CRF DEL PNO α ( > ): + ξ η ξ η + = + CON C ξ η,, R ξ η =.

35 LE 17.1, 17.3 E LE 4.1, 4.3 DESCRVONO L STESS CRCONFERENZ NEL PNO. CÒ CHE CMB È L ORGNE D PERCORRENZ. 17.1, , 4.3 d d O α O α ξ (, ) η α C (, ) origine (, ) ξ (, ) η C (, ) origine α (, ) ξ Geometria delle masse 35/75

36 EQ. PRMETRCHE 17.1/17.3 E 17./17.3 CONFRONTO 17.1, , 17.3 d d O α O α (, ) (, ) α origine origine α (, ) η C (, ) ξ (, ) η C (, ) ξ VERS D ROTZONE SU (PNO D MOHR) S CONSERVNO, SU S NVERTONO. Geometria delle masse 36/75

37 (PROCEDMENTO GRFCO) CRCOL D MOHR CONSENTONO D CLCOLRE MOMENT D NERZ E, RSPETTO D UN QULSS COPP D RETTE NORML PER O, E, NOT MOMENT D NERZ, E L MOMENTO CENTRFUGO, RSPETTO Geometria delle masse 37/75 D UN PREFSST COPP D RETTE NORML E PER O. S COSTRUSCONO NEL PNO PRTRE D PUNT D ( ) E D ( ),.,

38 O α d D (, D' (, ) RGORE, D NON DOVREBBE ESSERE DSEGNTO NEL PNO, M NEL PNO Geometria delle masse 38/75.

39 L DE D BSE È NDVDURE PUNT DMETRL, CO QUL DENTFCRE N MODO UNVOCO L NTERO CRCOLO. POCHÉ LE 4. SONO NEL PRMETRO DMETRLMENTE Geometria delle masse 39/75 α, PUNT OPPOST (NGOLO L CENTRO D π) RPPRESENTNO PROPRETÀ NERZL PER COPPE D SS RUOTTE TR LORO D π. NELL POTES CHE, E α ) È SNO NOT ( = QUND SUFFCENTE TROVRE L PUNTO PER α =π.

40 N LTRE PROLE, L CRCOLO È DENTFCTO N MODO UNVOCO SE SONO NOT (, ) E (, ) α= D D. π α= α= α=π/ d d,,,, Geometria delle masse 4/75 = NOT α= = = = = π π α= α= α= α= π α= α= π α= α= RSULT (, ) (, ) π α= α=

41 S SUOLE QUND PORRE E DSEGNRE D ( ), QUESTO PUNTO, CON BUSO D FORMLSMO, NEL PNO, RESTNDO NTESO CHE È L MOMENTO D NERZ RSPETTO LL SSE, QUNDO QUESTO RUOT D UN NGOLO TLE D PORTRLO SOVRPPORS LL SSE. PER LO STESSO NGOLO D ROTZONE, L MOMENTO CENTRFUGO PER L COPP D SS RUOTT SSUME L VLORE. Geometria delle masse 41/75

42 d O α O α= > > D (, C D' (, ) Geometria delle masse 4/75 α=π O

43 d O α η ξ > > D (, C D' (, ) Geometria delle masse 43/75

44 d O α η D * ξ > > D (, C D' (, ) Geometria delle masse 44/75

45 d O α η D * t ξ > > D (, C //t D' (, ) T ( t //, t // t ) Geometria delle masse 45/75

46 η d O α α η D * ξ α ξ > D (, > η C α ξ D' (, ) Geometria delle masse 46/75

47 η O α α d ξ D' (, ) η > < ξ C α η ξ D * α D (, ) Geometria delle masse 47/75

48 η O α α d ξ D (, ) α < D * > ξ ξ α C η η D' (, ) Geometria delle masse 48/75

49 η d O α α ξ ξ α η C ξ < D' (, η < D (, ) α D * Geometria delle masse 49/75

50 NOTE L CRCOLO D MOHR È SEMPRE UBCTO NEL SEMPNO POSTVO >. SE GL SS PRNCPL ξ E η S RFERSCONO L BRCENTRO, PRENDONO L NOME D SS CENTRL D NERZ. η G O Geometria delle masse 5/75 α α d ξ

51 ELLSSE CENTRLE D NERZ (O D CULMNN) ρ ξ r G ρ η Geometria delle masse 51/75 ξ ρ η + = 1 ρ η ξ RGG D NERZ ρ = ξ ξ ρ = η η POLRE D R RSPETTO E * * ξξ ηη : + = 1 ρ ρ η ξ R (ξ *, η * ) E ξ R È L POLO DELL RETT r

52 L CORRSPONDENZ BUNVOC TR PUNT R E LE RETTE r PRENDE L NOME D POLRTÀ 1. SE R E, L POLRE r È TNGENTE D E NEL POLO R. r R (ξ *, η *). SE R r, L POLRE r E L POLO R S DCONO UTOCONUGT: def R r r E R SONO UTOCONUGT E, ELLSSE CENTRLE D NERZ, È L LUOGO DE PUNT UTOCONUGT. Geometria delle masse 5/75 G E

53 DUE POL R E R S DCONO CONUGT N UN POLRTÀ QUNDO L UNO PPRTENE LL POLRE DELL TRO: R def r, R r R E R SONO CONUGT N UN POLRTÀ DUE RETTE r E r S DCONO CONUGTE N UN POLRTÀ QUNDO L UN CONTENE L POLO DELL LTR: R def r, R r r E r SONO CONUGTE N UN POLRTÀ Geometria delle masse 53/75

54 TEOREM D RECPROCTÀ TUTTE LE RETTE D UN FSCO, PROPRO O MPROPRO, D CENTRO H HNNO POL SULL RETT h, POLRE D H. H 4 H 3 H h 1 H H 1 h 6 G h H 6 h 5 h 4 h 3 H 5 Geometria delle masse 54/75

55 QUNDO UN RETT r TRSL, L SUO POLO DESCRVE UN RETT BRCENTRC, DETT DMETRO CONUGTO LL DREZONE D r. LE RETTE PER L CENTRO G D E S DCONO DMETR. G E diametri DUE DMETR S DCONO CONUGT QUNDO CSCUNO D ESS È CONUGTO LL DREZONE DELL LTRO. Geometria delle masse 55/75

56 COSTRUZONE GRFC DEL DMETRO CONUGTO LL DREZONE D 1 RETT DT diametri coniugati d G E c 1 c retta data diametro coniugato alla È POLO D 1 c, B È POLO D L TEOREM D RECPROCTÀ, L RETT d CHE PSS PER E B CONTENE TUTT POL DEL FSCO Geometria delle masse 56/75 c PER MPROPRO VENTE COME CENTRO L PUNTO MPROPRO D c 1 E c.

57 L NTPOLO D UN RETT r è L PUNTO R SMMETRCO, RSPETTO L CENTRO G D E, DEL POLO R D r. L RETT r È L NTPOLRE D R. G E L CORRSPONDENZ TR r E R S CHM NTPOLRTÀ RSPETTO LL ELLSSE CENTRLE D NERZ E. DUE PUNT S DCONO CONUGT NELL NTPOLRTÀ QUNDO L UNO PPRTENE LL NTPOLRE DELL LTRO. Geometria delle masse 57/75 c 1 : POLO D c 1 NTPOLO D c c 1: POLRE D NTPOLRE D B

58 SU OGN DMETRO d, PUNT CONUGT NELL NTPOLRTÀ, R E R, VERFCNO L RELZONE: GR GR = cost= k. L G C E C G : GL = GL : GC k = GL c 1 c OVE L COSTNTE k è L POTENZ DELL NVOLUZONE, D CENTRO G, SUBORDNT DLL POLRTÀ SUL DMETRO d. Geometria delle masse 58/75

59 NOCCOLO CENTRLE D NERZ È L LUOGO N DEGL NTPOL DELLE RETTE DEL PNO CHE NON TGLNO L FGUR σ. N G σ a) L BRCENTRO G D σ PPRTENE N. Geometria delle masse 59/75

60 b) L CONTORNO DEL NOCCOLO È L LUOGO DEGL NTPOL DELLE RETTE TNGENT LL FRONTER DELL FGUR SENZ TGLRL. Y N G X σ σ' c) PUNT NTERN L NOCCOLO SONO GL NTPOL DELLE RETTE ESTERNE LL FGUR. d) L NOCCOLO È SEMPRE UN FGUR CONVESS. Geometria delle masse 6/75

61 e) SE L FRONTER DELL FGUR H UN PUNTO NGOLOSO, L CONTORNO DEL NOCCOLO H UN TRTTO RETTLNEO; SE L FRONTER DELL FGUR H UN TRTTO RETTLNEO, L CONTORNO DEL NOCCOLO H UN PUNTO NGOLOSO. U v r s 1 r 1 V s N G R1 R u σ S S 1 Geometria delle masse 61/75

62 f) SE UN FGUR PN H FORM POLGONLE, L NOCCOLO H NCH ESSO FORM POLGONLE: VERTC DEL NOCCOLO SONO GL NTPOL DE LT DELL FGUR, LT DEL NOCCOLO SONO LE NTPOLR DE VERTC DELL FGUR. Geometria delle masse 6/75

63 ESERCZO 8.3 t H = cm B = 8 cm H G 3 s s = 1,3 cm t = 1 cm O B Geometria delle masse 69/75 ( 1) ( ) ( 3) = + + ( 1) ( ) ( 3) = + + ( 1) ( ) ( 3) = + +

64 ξ= = tan,7 1 ξ= arctan (,7 ) = 'ξ Geometria delle masse 7/75

65 ' ξ 3 Geometria delle masse 71/75

66 ' ξ 'ξ Geometria delle masse 7/75

67 'ξ 6 1 ξ 1 =,11876 cm; η 1 = 6, cm ξ =,9797 cm; η =, cm ξ 3 =,491 cm; η 1 =, cm ξ 4 =,11876 cm; η 4 = 6, cm ξ 5 =,9797 cm; η 5 =, cm ξ 6 =,491 cm; η 6 =, cm Geometria delle masse 73/75