Gli Elementi di Euclide

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1 Gli Elementi di Euclide Muro Sit e-mil: Versione provvisori. Novembre Indice 1 L struttu degli Elementi. 1 2 Le prime proposizioni 3 3 Il quinto postulto 4 Simplicio: Voi procedete nelle vostre dimostrzioni troppo ll grnde, ed ndte sempre, per qunto mi pre, supponendo che tutte le proposizioni di Euclide mi sino così fmiliri e pronte, come gli stessi primi ssiomi, il che non è [] Slviti: Vermente tutti i mtemtici non vulgri suppongono che il lettore bbi prontissimi lmeno gli Elementi di Euclide [] Glileo Glilei, Discorsi e dimostrzioni mtemtiche intorno due nuove scienze, Giornt Qurt. 1 L struttu degli Elementi. Euclide ncque nel 325 A.C. e morì d Alessndri d Egitto nel 265 A.C. Durnte l su vit rccolse ed espose in modo sistemtico tutte le conoscenze di geometri e di ritmetic, note i suoi tempi. L su oper, gli Elementi, costituì il più utorevole e importnte testo di mtemtic per circ due millenni. Ess è strutturt in tre prti - nell prim prte si presentno le definizioni, dette termini; lo scopo è quello di definire gli oggetti di cui si prlerà nel testo (punto, rett, ngolo, ecceter); - nell second prte si elencno gli ssiomi, suddivisi in postulti e nozioni comuni; si trtt di un serie di proposizioni primitive che vengono ssunte per vere prori; esse non prevedono un dimostrzione, l loro vlidità è grntit dll evidenz di qunto si fferm. L suddivisione degli ssiomi in postulti e nozioni comuni si può giustificre nel seguente modo: i postulti sono proposizioni che rigurdno strettmente l geometri, mentre le nozioni comuni sono di crttere più generle, l punto d risultre vlide nche l di fuori dell mbito dell geometri; - nell terz prte si elencno tutti i teoremi, cioè tutte quelle proposizioni che si riescono dedurre dlle definizioni, degli ssiomi e d ltre proposizioni dimostrte in precedenz. I teoremi, devono sempre essere seguiti d un dimostrzione, convincente e rigoros: è l dimostrzione che grntisce l verità di ogni singol proposizione. A titolo di esempio si riportno qui sotto lcune definizioni (i termini), i primi cinque postulti e due esempi di teoremi (l proposizione 1 e l proposizione 4) con le reltive dimostrzioni così come sono proposte negli Elementi di Euclide. 1 Nome File: euclide-2011.tex 1

2 Termini 1. Punto è ciò che non h prti. 2. Line è un lunghezz senz lrghezz. 3. Line rett è quell che gice ugulmente rispetto i suoi punti. 4. Superficie è ciò che h soltnto lunghezz e lrghezz. 5. Pino è ciò che è posto llo stesso livello rispetto lle rette su se stesso. 6. Angolo pino è l inclinzione reciproc di due linee che in un pino hnno un estremo in comune m non sono per diritto. 15. Cerchio è un figur pin compres d un sol line [chimt circonferenz], tutte le rette che incidono sull qule, condotte d un solo punto tr quelli che sono posti ll interno dell figur [il centro], sono uguli tr loro. 23. Prllele sono due rette che, essendo nello stesso pino e venendo prolungte illimittmente dlle due prti, non si incontrno fr loro d nessun delle due prti. Postulti: 1. D ogni punto si può condurre un rett d ogni ltro punto. 2. Ogni rett termint si può prolungre continumente per diritto. 3. D ogni centro e con ogni intervllo si può trccire un cerchio. 4. Tutti gli ngoli retti sono uguli tr loro. 5. Se in un pino un rett, incontrndone ltre due, form con esse, d un medesim prte, ngoli interni l cui somm è minore di due ngoli retti, llor queste due rette indefinitmente prolungte finiscono con l incontrrsi dll prte dett. b t α β P Figur 1: Postulto 5: se α + β è minore di due ngoli retti llor le rette e b si incontrno in P. Nozioni comuni 1. Cose uguli un ltr medesim sono uguli. 2. Se cose uguli si ggiungono cose uguli, llor si ottengono cose uguli. 2

3 3. Se d cose uguli si tolgono cose uguli, llor si ottengono cose uguli. 4. Cose che possono essere portte sovrpporsi l un con l ltr sono uguli tr loro. 5. Il tutto è mggiore dell prte. 2 Le prime proposizioni Il primo teorem degli Elementi di Euclide è il seguente Proposizione 1. Dto un qulsisi segmento di rett, è possibile costruire un tringolo equiltero che bbi per lto quel segmento. C D A B E Figur 2 Si AB il dto segmento di rett. È possibile trccire [per il postulto 3] il cerchio BCD di centro A e rggio AB e il cerchio ACE di centro B e rggio BA. Questi cerchi si intersecno in due punti. Si chimi C uno di essi. È possibile [per il postulto 1] trccire i segmenti AC e BC. Poichè il punto A è il centro del cerchio CDB, AC è ugule AB [Def. 15]. E poichè il punto B è il centro del cerchio CAE, BC è ugule BA [Def. 15]. Così, CA e CB sono entrmbi uguli AB. M cose uguli un ltr medesim sono uguli [Nozioni comuni 1]. Quindi nche CA è ugule CB e i tre segmenti CA, AB, BC sono tr loro uguli. Così il tringolo ABC è equiltero e risult costruito sul dto segmento di rett AB, il che si dovev fre. Proposizione 4. Se due tringoli hnno due lti rispettivmente uguli i due lti, e hnno nche l ngolo, quello compreso di lti uguli, ugule ll ngolo, vrnno nche l bse ugule ll bse, e il tringolo srà ugule l tringolo, e i restnti ngoli, sotto cui si tendono i lti uguli, srnno rispettivmente uguli i restnti ngoli. A D B C E F Figur 3 3

4 Sino ABC e DEF due tringoli venti i lti AB e AC rispettivmente uguli i due lti DE e DF, e l ngolo BAC ugule ll ngolo EDF. Io dico che l bse BC è ugule ll bse EF, e il tringolo ABC srà ugule l tringolo DEF, e i restnti ngoli, sotto cui si tendono i lti uguli, srnno rispettivmente uguli i restnti ngoli, ABC DEF, ACB DF E. Sovrpposto inftti il tringolo ABC l tringolo DEF e posto il punto A sul punto D e il lto AB su DE, nche il punto B si sovrpporrà E per il ftto di essere AB ugule DE; sovrppostosi or AB DE nche il lto AC si sovrpporrà DF per il ftto di essere l ngolo BAC ugule EDF : così che BC come bse si sovrpporrà EF come bse. Se inftti, sovrppostisi B E e C F, l bse BC non si sovrpporrà EF, i due lti comprendernno un dominio; il che è impossibile. L bse BC si sovrpporrà quindi EF e srà ugule ess: così che nche il tringolo ABC totle si sovrpporrà l tringolo DEF totle e srà ugule esso, e i restnti ngoli si sovrpporrnno i restnti ngoli e srnno uguli essi, ABC DEF e ACB DF E. [] il che si dovev dimostrre. 3 Il quinto postulto Se si rilegge l elenco dei postulti di pg. 2 si not subito che i primi quttro sono semplici, fcilmente comprensibili e vengono enunciti in meno di un rig. Per il quinto l situzione è divers: l enuncito è ben più lungo e complicto; per cpirlo bisogn leggerlo più volte e iutrsi con un figur. Inoltre l vlidità dei primi quttro è evidente, quello del quinto molto meno. Anche Euclide deve verci pensto e ripensto prim di includerlo nel suo elenco, tnto che si trttiene dll usrlo fino ll proposizione 29. Che cos fferm esttmente il quinto postulto? t β b α P Figur 4 Se le rette e b formno con l trsversle t ngoli l cui somm è molto minore di due ngoli retti è del tutto evidente che le rette si incontrno in un punto P come richiesto dl quinto postulto. M, si osservi l fig. 4, se si tengono fisse le rette e t e si ruot l rett b in modo d fr crescere l ngolo β, llor il punto P si spost sempre più verso destr fino d uscire dl foglio. In questo cso l evidenz del quinto postulto è meno scontt perchè il punto P cess di essere osservbile. Il filosofo e mtemtico Proclo (412 d.c d.c.) disse: Questo non è un postulto, è un teorem!, e cercò di dimostrrlo senz riuscirci. Qulche secolo prim nche il grnde geogrfo Tolomeo ( 100 d.c d.c), cercò un dimostrzione per il quinto postulto e dedicò ll rgomento un intero libro, oggi ndto perduto. I suoi sforzi, come quelli di tnti ltri, furono vni. Un formulzione equivlente del quinto postulto è quest Proposizione 3.1. In un pino è dt un rett e un punto non pprtenente d ess. Esiste un e un sol rett pssnte per il punto e prllel ll rett dt. 4

5 Per convincersi ncor di più dell scrs evidenz del quinto postulto si osservi l seguente figur O Figur 5 Se si potesse rcchiudere il pino contenente l rett e il punto O nell regione intern l cerchio llor esisterebbero infinite rette (le corde del cerchio) pssnti per O che non intersecno l rett. Fcendo crescere il rggio del cerchio le rette per O che non incontrno restno sempre infinite. È così evidente che quest situzione cess di sussistere qundo il pino divent illimitto? 5