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1 Cpitolo I tringoli Criteri i ongruenz - Tringoli isoseli erifi per l lsse prim Clsse Dt Congruenz Tringolo isosele Teorem Quesiti Srivere l enunito ei tre riteri i ongruenz ei tringoli.. Definire il tringolo isosele e sriverne le proprietà prinipli. 3. In un tringolo isosele l isettrie ell ngolo l vertie oinie on l ltezz reltiv ll se. 1. Srivere l enunito el teorem utilizzno l formulzione Se... llor..... Inire ipotesi e tesi el teorem utilizzno le lettere presenti nell figur. 3. Completre l imostrzione: Si onsierino i ue tringoli... e... formti ll isettrie. I ue tringoli sono... per il... riterio i... perhé hnno: per per per... Allor vrnno... nhe gli ltri elementi orrisponenti, e in prtiolre......, he esseno uguli e supplementri sono nhe retti,.v.. 4. Srivere il teorem inverso el teorem ell eserizio Risrivere i ue teoremi unitmente, utilizzno l louzione Conizione neessri e suffiiente. 3. olttivo. Dimostrre il teorem inverso. 4. ero o flso? Due tringoli sono ongruenti se hnno: 1. tre ngoli uguli.. tre lti uguli. 3. ue lti e l mein reltiv uno i essi uguli. Se ue tringoli sono ongruenti llor: 4. le meine orrisponenti sono ongruenti ue ue. 5. le isettrii orrisponenti sono ongruenti fr loro. 6. In ogni tringolo isosele le isettrii oiniono on le ltezze. 7. Il tringolo isosele h tutte le ltezze ongruenti. 8. Un tringolo può essere ontempornemente isosele e rettngolo. 007 RCS Liri S.p.A.

2 I tringoli Cpitolo Criteri i ongruenz erifi per l lsse prim Clsse Dt Prolem. Costrueno segmenti ongruenti sui prolungmenti ei lti i un tringolo equiltero nello stesso verso si ottengono tringoli equilteri. 1. Disegnre un segmento AB on lo strumento Segmento.. Disegnre, on entro rispettivmente A e B e rggio AB, ue Cironferenze. 3. Determinre on Intersezione i ue oggetti le intersezioni tr le ue ironferenze. 4. Dre un nome lle intersezioni on Nomi (inizino C...). 5. erifi ell ostruzione 5. Qunte intersezioni vi sono tr le ue ironferenze? 5. Qunti tringoli si possono ostruire ongiungeno A e B on le intersezioni? 6. Congiungere gli estremi el segmento AB on C per formre il tringolo ABC e on lo strumento Mostr/Nsoni nsonere le ue ironferenze he sono servite per ostruire il tringolo ABC. 7. Misurre l lunghezz i AB, BC e AC on Distnz e lunghezz : AB...; BC...; AC Misurre l ngolo ABˆC on Misur ell ngolo : ABˆC erifi ell ostruzione 9. Muoveno il punto B sul foglio i lvoro, ome vrino le misure trovte? 9. ornire un imostrzione el ftto he il tringolo osì ostruito è equiltero. 9. oleno ostruire un tringolo isosele i se AB, m non equiltero, qule pssggio ell ostruzione preeente v moifito? 10. Prolungre i lti el tringolo ABC on lo strumento Rett. 11. Sull rett pssnte per il lto AB, esternmente l lto AB e ll prte i B, posizionre il punto D on Punto su un oggetto. 1. Sui prolungmenti egli ltri lti riportre l lunghezz el segmento BD on Compsso, eterminno osì i segmenti CE e A. 13. Congiungere D, E e per formre il tringolo DE. 14. erifi ell ostruzione 14. Muovere il punto D sull ostruzione. Come vrino le lunghezze i D, DE e E? 14. Che tipo i tringolo è DE? 14. ornire un imostrzione. (I tringoli BDE, CE e AD sono ongruenti perhé...) 14. Se il tringolo ABC nzihé equiltero fosse stto soltnto isosele, il tringolo DE sree stto isosele? 14.e Muovere il punto D sull figur fino he AB BD. Misurre i perimetri p DE e p ABC e le ree DE e ABC on Are. 14.f Stilire qule elle relzioni è orrett: DE p DE ABC p ABC DE p ABC ABC p DE DE p DE ABC p ABC DE ABC p DE p ABC 007 RCS Liri S.p.A. 187

3 Cpitolo I tringoli Disuguglinze tringolri erifi per l lsse prim Clsse Dt Prolem. Si P un punto interno l tringolo equiltero ABC e sino PD, PE e P i segmenti i perpeniolre he P vengono mnti i lti el tringolo ABC. Determinre l regione el tringolo ABC ui eve pprtenere P ffinhé PD, PE e P sino essi stessi i lti i un tringolo. 1. Disegnre un Segmento AB.. Costruire sul segmento AB un tringolo equiltero ABC i lto AB utilizzno gli strumenti Cironferenz e Intersezione i ue oggetti. 3. erifi ell ostruzione 3. Spostre on il mouse il punto B sul foglio i lvoro per verifire he il tringolo ABC si mnteng equiltero. 3. Esiste in Cri uno strumento he permette i isegnre irettmente un tringolo equiltero? Si potree utilizzre in questo so? 4. Disegnre un punto P internmente l tringolo ABC, trire questo punto le Rette perpeniolri i lti el tringolo e eterminre le intersezioni on essi. 5. Chimre D, E e i punti in ui le perpeniolri interseno i lti el tringolo. 6. erifi ell ostruzione 6. Muovere il punto P ll interno el tringolo ABC e verifire he PDA ˆ.... Costruzione el tringolo i lti PD, PE e P 7. Con lo strumento Compsso ostruire sul foglio i lvoro, fino el tringolo equiltero ABC, un segmento LM i lunghezz pri PD. 8. Con entro negli estremi el segmento LM riportre on Compsso ue ironferenze i rggio pri PE e P rispettivmente. 9. Le ue ironferenze si interseno? Se sì, himre N uno ei ue punti i intersezione e isegnre il tringolo LMN on Tringolo. Se no, spostre il punto P nel tringolo ABC. 10. Dopo ver ostruito il tringolo LMN, inizire muovere on il mouse il punto P per iniviure i punti he ll interno el tringolo ABC nno origine l tringolo LMN. 11. Teori 11. Perhé lune volte il tringolo LMN non si form? È un errore i Cri, un inonveniente ovuto ll nostr ostruzione oppure il tringolo non può esistere? 11. Qule relzione eve sussistere tr tre segmenti qulsisi ffinhé si formi un tringolo? 1. Quesiti sull ostruzione 1. Dove si eve trovre il punto P ffinhé il tringolo LMN si equiltero? 1. Dove si eve trovre il punto P ffinhé il tringolo LMN si isosele? 1. Dove si eve trovre il punto P ffinhé il tringolo LMN esist m i superfiie null? 13. Qul è l regione intern ABC in ui si form omunque un tringolo LMN? Disegnre l figur RCS Liri S.p.A.

4 I tringoli Cpitolo Rette prllele - Tringoli rettngoli erifi per l lsse prim Clsse Dt Prllelismo Angoli esterni Tringoli rettngoli 007 RCS Liri S.p.A. 1. Con riferimento ll figur, inire: ) le oppie i ngoli orrisponenti; ) le oppie i ngoli oniugti interni e esterni; ) le oppie i ngoli lterni interni e esterni. 1. Le ue rette in figur sono prllele se: 1. 4 e 5 sono e 3 sono e 5 sono e sono e 1 sono e sono.... Qule elle seguenti ffermzioni è ver (,, sono sullo stesso pino)? Se non è e non è, llor non è. Se non è e non è, llor non è. Se e, llor. Se e, llor. 3. Dimostrre il seguente teorem: Un rett prllel un lto i un tringolo equiltero form on gli ltri lti (o on i loro prolungmenti) un tringolo equiltero. (Utilizzre il riterio i prllelismo) 4. Qule elle seguenti ffermzioni è fls? Se un tringolo h ue ngoli esterni ottusi llor non è rettngolo. In un tringolo ue ngoli esterni sono sempre ottusi. Un tringolo non può vere ue ngoli interni o esterni retti. Un tringolo può vere un solo ngolo interno ottuso. 4. Qule elle seguenti ffermzioni è ver? L somm egli ngoli interni i un quriltero è pri 360 se e solo se il quriltero è onvesso. Le somme egli ngoli esterni i un qurngolo e i un pentgono entrmi onvessi sono sempre uguli. Gli ngoli esterni i un tringolo rettngolo formti sui prolungmenti ell ipotenus sono omplementri. Ogni ngolo esterno i un tringolo è mggiore ell somm egli ngoli interni esso non ienti. 5. Due tringoli rettngoli sono ongruenti se hnno rispettivmente ongruenti: 1. un teto e un ngolo qulsisi.. l ltezz e l mein reltiv ll ipotenus. 3. l ltezz reltiv ll ipotenus e l ipotenus. 4. l mein reltiv ll ipotenus e l ipotenus. 5. olttivo. Dimostrre il seguente teorem: Due tringoli rettngoli sono ongruenti se hnno un teto e l isettrie ell ngolo retto rispettivmente ongruenti. 189

5 Cpitolo I tringoli Rette prllele - Tringoli rettngoli erifi per l lsse prim Clsse Dt Prolem. Due rette r e s sono inienti, m il loro punto intersezione e fuori ei mrgini el foglio i lvoro. Misurre l ngolo onvesso rŝ formto r e s. Costruire l isettrie i tle ngolo. 1. Disegnre sul foglio i lvoro ue Rette non prllele r e s tli he il punto P in ui si interseno fuori el foglio i lvoro.. issre sull rett r un punto A on lo strumento Punto su un oggetto. s 3. Trire l rett pssnte per A e prllel s on lo strumento Rett prllel. 4. Misurre l ngolo formto e r: Misur ell ngolo sˆ r erifi ell ostruzione / Teori 5. olttivo. Invee i utilizzre lo strumento Rett prllel presente su Cri, esrivere un proeimento per l ostruzione i un rett prllel un rett t. 5. Qule relzione sussiste tr l ngolo sr ˆ e l ngolo sˆ r? Perhé? 5. Qunto misur l ngolo sr ˆ? 6. Trire l rett isettrie ell ngolo sˆ r utilizzno il pulsnte Bisettrie. 7. erifi ell ostruzione / Teori 7. olttivo. Desrivere un proeimento he porti ll ostruzione ell isettrie senz over utilizzre le mro ontenute in Cri. 7. Qule relzione sussiste tr l isettrie e l isettrie ell ngolo sr ˆ? 8. Con Rett perpeniolre trire l rett perpeniolre e pssnte per A. 9. Chimre B l intersezione ell on l rett s, utilizzno lo strumento Nomi. 10. Determinre il punto meio el segmento AB on il omno Punto meio. 11. erifi ell ostruzione / Teori 11. olttivo. Desrivere un proeimento he porti ll ostruzione el punto meio i un segmento senz over utilizzre le mro ontenute in Cri. 11. Qule relzione sussiste tr l isettrie i sr ˆ e il segmento AB? 1. Disegnre l isettrie ell ngolo sr ˆ. s n 13. erifi ell ostruzione 13. Preso un punto qulsisi sull rett eterminre le istnze i tle punto lle ue rette. 13. Come sono tr loro queste istnze? 13. olttivo. ornire un imostrzione i quest ultimo risultto. n RCS Liri S.p.A.

6 I tringoli Cpitolo Tringoli - Rette prllele - Disuguglinze Test rispost multipl per l lsse prim Clsse Dt Riportre in tell le lettere orrisponenti lle risposte estte, forneno un giustifizione lle risposte Dte le rette r e s tglite ll trsversle t, inire qule tr le seguenti rppresent un oppi i ngoli orrisponenti: (1; ) (3; 5) (5; 1) (4; 5). Con riferimento l quesito 1, inire qule tr le seguenti rppresent un oppi i ngoli oniugti: (1; ) (3; 5) (5; 1) (4; 5) 3. Le isettrii i un oppi i ngoli orrisponenti formti ue rette prllele tglite un trsversle sono: prllele. oinienti. perpeniolri. ipene ll mpiezz egli ngoli. 4. Uno ei seguenti enuniti è flso. Un ngolo esterno i un tringolo può essere ongruente un ngolo interno esso iente. Gli ngoli uti i un tringolo rettngolo sono omplementri. L somm egli ngoli esterni i un tringolo è pri ll somm egli ngoli interni. Ogni ngolo esterno è mggiore i isun ngolo interno esso non iente. 5. Qule ei seguenti enuniti è flso? Due tringoli isoseli sono ongruenti se hnno ongruenti: gli ngoli ll se. i lti oliqui e l ngolo l vertie. un lto oliquo e l se. l se e un ngolo esterno. 6. Con riferimento ll figur, uno ei seguenti enuniti è flso. CH è l proiezione ortogonle i BC sull rett AC. H è l proiezione ortogonle i B sull rett AC. BH è l istnz i B ll rett AC. AH è l istnz i AC BH. 7. Con riferimento l quesito 6, l istnz i B AC è: AB AH BH AC 8. L proiezione ortogonle i un segmento non nullo su un rett è: un punto, se il segmento è ll rett. un segmento, se il segmento è ll rett. un punto, se il segmento è ll rett. sempre un punto. 007 RCS Liri S.p.A. 191

7 9. Qule ei seguenti enuniti è flso? L istnz i un punto P un rett: può ssumere qulsisi vlore rele. è l lunghezz minim el segmento he h ome estremi il punto e un punto sull rett. è l lunghezz el segmento i perpeniolre onott l punto ll rett. è null se il punto si trov sull rett stess. 10. L isettrie i un ngolo interno i un tringolo: ivie il lto opposto in ue prti uguli per qulsisi tringolo. ivie il lto opposto in ue prti isuguli per qulsisi tringolo. può non inontrre il lto opposto. non soisf nessun elle preeenti. 11. Qule elle seguenti ffermzioni è fls? In un tringolo sleno l ltezz reltiv un lto è sempre minore ell mein orrisponente llo stesso lto. minore ell isettrie orrisponente llo stesso lto. minore el lto orrisponente. minore i isuno ei lti ienti. 1. In un tringolo qulsisi si ongiung il vertie C on un punto P qulsisi el lto opposto. Qule elle seguenti ffermzioni è ver? CP è sempre minore i CB. CP è sempre minore ell ltezz CH. CP è sempre minore el semiperimetro. CP può essere mggiore el semiperimetro. 13. Con riferimento l tringolo in figur, qule elle seguenti ffermzioni è ver? DBC ˆ 6 BAC ˆ DBC ˆ 6 ACB ˆ DBC ˆ 6 BAC ACB ˆ nessun elle preeenti 14. In un tringolo isosele: le ltezze reltive i lti oliqui sono sempre minori ell ltezz reltiv ll se. le ltezze reltive i lti oliqui sono sempre minori ell se. le ltezze reltive i lti oliqui possono essere mggiori ei lti oliqui. le tre ltezze sono sempre uguli. 15. Consierno un tringolo ABC, qule elle seguenti ffermzioni è fls? AC AB 6 BC AC AB 7 BC AC 6 AB BC AC 7 AB BC 16. Qule elle seguenti ffermzioni è fls? In un tringolo rettngolo: l ipotenus è sempre mggiore i isun teto. l ipotenus è sempre oppost ll ngolo mggiore. l ipotenus è sempre iente ll ngolo minore. l ipotenus è sempre iente ll ngolo mggiore RCS Liri S.p.A.

8 17. Qule ei seguenti tringoli esiste? AB 1; BC 5; AC 6 AB 1; BC 0; AC 6 AB 1; BC 16; AC 5 AB 1; BC 16; AC Qule ei seguenti tringoli esiste? 19. Due tringoli hnno ue lti orrisponenti ongruenti: AB A B 7 e AC A C 6. Qule elle seguenti ffermzioni è ver? BC 4,6; AC 8,; Bˆ 30 ;  116 BC 4,06; AC 8,;  70 ; Bˆ 116 BC 8,; AC 4,06; Bˆ 90 ; Ĉ 60 BC 4,6; AC 8,; Bˆ 116 ;  30 I ue tringoli sono ongruenti. Se  7  solo uno ei ue tringoli esiste. Se  7  Se  7  llor BC 7 B C. llor B C 7BC. 007 RCS Liri S.p.A. 193

9 Cpitolo I tringoli Criteri i ongruenz - Tringoli isoseli: verifi, prov strutturt rispost multipl e lortorio i Cri Oiettivi erifi Test Conosere/Applire i riteri i ongruenz ei tringoli Clssifire i tringoli in isoseli, sleni, equilteri Dimostrre/Applire semplii proprietà el tringolo isosele 1.; 3.; 4..; 3.; 4. 3.; 3.; 4. 5, 10 L. Cri Teori l prgrfo Soluzioni egli eserizi ;. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. tempo previsto: 60 min Rette prllele - Tringoli rettngoli: verifi, prov strutturt rispost multipl e lortorio i Cri Oiettivi erifi Test Rionosere ngoli lterni, oniugti, orrisponenti 1. Dimostrre/Applire il riterio i prllelismo 1.;.; 3. Conosere le proprietà ell relzione i prllelismo 3. Dimostrre/Applire teoremi sull ngolo esterno e sull somm egli 4.; 4. ngoli interni Dimostrre/Applire i riteri i ongruenz ei tringoli rettngoli 5.; 5. Costruire il segmento he ientifi l istnz i un punto un rett Costruire l proiezione ortogonle i un segmento su un rett 1,, 3 4 6, 7, 9, 11 6, 8 L. Cri Teori l prgrfo , 9 Soluzioni egli eserizi tempo previsto: 60 min ;. ; 3. ; 4. Disuguglinze tringolri: prov strutturt rispost multipl e lortorio i Cri Oiettivi Test L. Cri Teori l prgrfo Dimostrre/Applire i teoremi sulle isuguglinze tringolri Dimostrre/Applire semplii proprietà el tringolo isosele 1, 13, 15, 16, 17, 18, Soluzioni lortorio i Cri tempo previsto: 60 min L regione in ui si form omunque il tringolo LMN è il tringolo equiltero vente i vertii sui punti mei el tringolo ABC. Soluzioni quesiti prov strutturt rispost multipl tempo previsto: 45 min RCS Liri S.p.A.