Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Primo compitino, 18 novembre 2017 Testi 1

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1 Primo ompitino, 8 novemre 07 Testi Prim prte, gruppo. =, = ; r = α = = 0, = 4; r = α = r = 3, α = π/3; = =. Trovre le soluzioni ell isuguglinz tn( tli he 0 π. + log log(log ; lim + os(e ; lim 4. Clolre le erivte elle seguenti funzioni: rtn(e ; log( sin( Dire se esistono i punti i mssimo e minimo ssoluti ell funzione f( := e reltivmente ll insieme e in so ffermtivo lolrli log + log log } {{ } 7. Trovre lo sviluppo i Tlor (in 0 ll orine 4 ell funzione f( := ep(4 os(. Risolvere grfimente l isequzione +. Prim prte, gruppo. = 3, = 3; r = α = =, = 0; r = α = r =, α = π/4; = =. Trovre le soluzioni ell isuguglinz tn( tli he π 0. 3 ep( 4 + ; lim + 4 os( ; lim 0 os(. 4. Clolre le erivte elle seguenti funzioni: rtn( ; ; Dire se esistono i punti i mssimo e minimo ssoluti ell funzione f( := log(4 reltivmente ll insieme < e in so ffermtivo lolrli log + log log } {{ }

2 Primo ompitino, 8 novemre 07 Testi 7. Trovre lo sviluppo i Tlor (in 0 ll orine 3 ell funzione f( := sin(3 +. Risolvere grfimente l isequzione. Prim prte, gruppo 3. = 3, = 3; r = α = = 0, = ; r = α = r =, α = π/3; = =. Trovre le soluzioni ell isuguglinz tn( 3 tli he 0 π ; lim + log(log ; lim 0 log( + 3 sin. 4. Clolre le erivte elle seguenti funzioni: rtn( Dire se esistono i punti i mssimo e minimo ssoluti ell funzione f( := e reltivmente ll insieme e in so ffermtivo lolrli log + log 7. Trovre lo sviluppo i Tlor (in 0 ll orine 4 ell funzione f( := log( +. Disegnre l insieme ei punti (, tli he +. Prim prte, gruppo 4. =, = ; r = α = = 0, = ; r = α = r =, α = 3π/4; = =. Trovre le soluzioni ell isuguglinz tn( 3 tli he π π ; lim sin( + sin e ; lim 0 sin. 4. Clolre le erivte elle seguenti funzioni: rsin( 4 ; Dire se esistono i punti i mssimo e minimo ssoluti ell funzione f( := log( reltivmente ll insieme < e in so ffermtivo lolrli.

3 Primo ompitino, 8 novemre 07 Testi log log log 7. Trovre lo sviluppo i Tlor (in 0 ll orine 6 ell funzione f( := sin( Disegnre l insieme ei punti (, tli he +. Prim prte, gruppo 5. = 3, = 3; r = α = = 0, = ; r = α = r = 3, α = 5π/6; = =. Trovre le soluzioni ell isuguglinz tn(π tli he 0. + log log ; lim log + sin(e + 8 ; lim 0 3 sin log( Clolre le erivte elle seguenti funzioni: rsin( ; Dire se esistono i punti i mssimo e minimo ssoluti ell funzione f( := e reltivmente ll insieme e in so ffermtivo lolrli log log 7. Trovre lo sviluppo i Tlor (in 0 ll orine ell funzione f( := log( +. Disegnre l insieme ei punti (, tli he. Prim prte, gruppo 6. =, = 3; r = α = =, = 0; r = α = r =, α = 3π/4; = =. Trovre le soluzioni ell isuguglinz tn(π tli he ; lim ; lim + log(log 0 ep( 3.

4 4 Primo ompitino, 8 novemre 07 Testi 4. Clolre le erivte elle seguenti funzioni: rsin(e ; Dire se esistono i punti i mssimo e minimo ssoluti ell funzione f( := log(4 reltivmente ll insieme < e in so ffermtivo lolrli log log log 7. Trovre lo sviluppo i Tlor (in 0 ll orine ell funzione f( := ep(4 os(. Risolvere grfimente l isequzione +. Seon prte, gruppo.. Per ogni R eterminre il numero i soluzioni ell equzione ep( = ( 5.. Trovre l prte priniple per 0 ell funzione f( := log ( sin( 3 3 log. Per ogni R trovre l prte priniple per 0 i f( Consierimo i tringoli elimitti gli ssi rtesini e un rett tngente l grfio = e in un punto i siss positiv. Tr tutti questi tringoli eterminre quelli i re mssim e i re minim. Seon prte, gruppo.. Per ogni R eterminre il numero i soluzioni ell equzione ep( = ( Trovre l prte priniple per 0 ell funzione f( := log ( sin( log. Per ogni R trovre l prte priniple per 0 i f( Ugule l gruppo. Seon prte, gruppo 3.. Per ogni R eterminre il numero i soluzioni ell equzione ep( = (.. Trovre l prte priniple per 0 ell funzione f( := log ( ep( log. Per ogni R trovre l prte priniple per 0 i f( Ugule l gruppo. Seon prte, gruppo 4.. Per ogni R eterminre il numero i soluzioni ell equzione ep( = ( Trovre l prte priniple per 0 ell funzione f( := log ( ep( 3 3 log. Per ogni R trovre l prte priniple per 0 i f( Ugule l gruppo.

5 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni 5 Prim prte, gruppo.. r = ; α = 3π 4 ; r = 4; α = π ; = 3; = 3.. L insieme elle soluzioni è 3. + ; non esiste;. 4. 0, π 3π 4 8, π ]. e + e 4 ; 4 + ( + 4 log = log Il punto i mssimo è = ; il punto i minimo non esiste. 6. L orine orretto è. 7. f( = O( 6. = = + soluzioni Prim prte, gruppo.. r = 3; α = 5π 6 ; r = ; α = π; = ; =.. L insieme elle soluzioni è 3. 0; ;. ( π ] 4, π log + ; 7 ( 5 ; Il punto i mssimo è = 0; il punto i minimo non esiste. 6. L orine orretto è. 7. f( = O( 5. = soluzioni soluzioni = Prim prte, gruppo 3.. r = 3; α = π 3 ; r = ; α = π ; = ; = 3.

6 6 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni. L insieme elle soluzioni è 3. + ; ; , π π 4 3, π ]. 58 ( log 3 = log Il punto i mssimo non esiste; il punto i minimo è = L orine orretto è. 7. f( = O( 6. A = = + Prim prte, gruppo 4.. r = ; α = 3π 4 ; r = ; α = π ; = ; =. (. L insieme elle soluzioni è 3π ] ( 4, π π ] ( π 3 4, π 6 4, π ] ; non esiste; ; ( log = log. 5. Il punto i mssimo è = 0; il punto i minimo non esiste. 6. L orine orretto è. 7. f( = O( 0. A = = + Prim prte, gruppo 5.. r = 6; α = 3π 4 ; r = ; α = π ; = 3; = 3.. L insieme elle soluzioni è 3. 0; non esiste;. 4. ( ],. 4 log ; ( log +3 = 8 log. 5. Il punto i mssimo è = ; il punto i minimo è = 0.

7 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni 7 6. L orine orretto è. 7. f( = 3 + O( 3. = = Prim prte, gruppo 6.. r = 4; α = π 3 ; r = ; α = π; = ; =.. L insieme elle soluzioni è 3. ; 0; non esiste. 4. e e 4 ; ( + 0., ] 4, Il punto i mssimo è = ; il punto i minimo non esiste. 6. L orine orretto è. 7. f( = O( 3. soluzioni = = + Seon prte, gruppo.. Risrivo l equzione in questione nell form f( = on f( := ( 5 ep(. Per eterminre il numero i soluzioni ell equzione evo quini isegnre il grfio ell funzione f(. A questo sopo osservo he f( è efinit per ogni, è positiv per > e negtiv per <, tene per e per, tene + per + e per +. Inoltre, stuino il segno ell erivt prim f ( = (4 8 5( 6 ep(, ottengo he l funzione rese negli intervlli (, /] e 5/, +, e erese negli intervlli /, e (, 5/]; in prtiolre = / è un punti i mssimo lole on f( / = (/5 5 e /,69 0, mentre = 5/ è un punto i minimo lole on f(5/ = 5 e 5/ 8,

8 8 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni Usno questi ti trio il grfio = f( (nel frlo non rispetto le proporzioni: = f ( f (5/ / 5/ f ( / = f ( Dl grfio ottengo il seguente shem per le soluzioni ell equzione f( = : per < f( / i sono ue soluzioni; per = f( / è un soluzione ( = /; per f( / < < f(5/ non i sono soluzioni; per = f(5/ è un soluzione ( = 5/; per > f(5/ i sono ue soluzioni.. Osservo ome prim os he f( := log ( sin( 3 ( sin( 3 3 log = log 3. Usno lo sviluppo i Tlor sin t = t 6 t3 + O(t 5 on t = 3 ottengo quini f( = log ( O(, e usno il mio i vriile t = O( e lo sviluppo log( + t t f( = log( + t t = O( 6 6. In onlusione l prte priniple i f( per 0 è 6 6. Per qunto visto l punto preeente, ( p.p.(f( = 6 per ogni 6 6. Nel so = /6 ho isogno i uno sviluppo più preiso i f(. Usno lo sviluppo i Tlor sin t = t 6 t3 + 0 t5 + O(t 7 on t = 3 ottengo f( = log ( O(8, e usno il mio i vriile t = O( 8 e lo sviluppo log(+t = t t +O(t 3 f( = log( + t Quini = t t + O(t 3 ] = O(8 ] 6 ( 6 + O( + O 6 3 ] 6 ] = O(8 ] 36 + O(8 + O( 4 + O( 8 = O(8. f( = 80 + O(8 80.

9 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni 9 3. Per ogni 0 inio on T il tringolo elimitto gli ssi rtesini e ll rett tngente l grfio i f( := e nel punto i siss. Usno il ftto he l rett in questione h equzione = f ( ( + f( = e ( + ottengo suito he l intersezione on l sse elle, vle ire l ltezz i T, è = e ( +, mentre l intersezione on l sse elle, vle ire l se i T, è = +. Ne segue he l re i T è t ll funzione g( := ( + e. Cero or i punti i mssimo e minimo ssoluto ell funzione g( reltivmente ll semirett 0. Per frlo onfronto i vlori i g per = 0, = +, e per gli 0 ove si nnull l erivt g ( = ( e, vle ire =. Poihé g(0 = /, g( = /e e g(+ = 0, onluo he = è il punto i mssimo ssoluto i g, e il vlore mssimo è g( = /e, mentre non i sono punti i minimo ssoluto, e l estremo inferiore ei vlori i g è 0 ( rggiunto per +. In ltre prole, il tringolo i re mssim è T, mentre quello i re minim non esiste. Seon prte, gruppo.. Risrivo l equzione in questione nell form f( = on f( := ( 3 6 ep( e isegno il grfio = f(. A questo sopo osservo he f( è efinit per ogni 3, è sempre positiv, e tene + per ± e per. Inoltre, stuino il segno ell erivt prim f ( = (4 6( 3 7 ep( ottengo he l funzione erese negli intervlli (, ] e (3, 4], e rese negli intervlli, 3 e 4, +. In prtiolre = e = 4 sono punti i minimo lole on f( = e / 3 =,7 0 9 e f(4 = e 3 = 7, Usno questi ti trio il grfio = f(: = f ( f (4 = f ( f ( 3 4 Dl grfio ottengo il seguente shem per le soluzioni ell equzione f( = : per < f( non i sono soluzioni; per = f( è un soluzione ( = ; per f( < < f(4 i sono ue soluzioni; per = f(4 i sono tre soluzioni (tr ui = 4; per > f(4 i sono quttro soluzioni. {. Anlogo l gruppo : p.p.(f( = 6 4 ; p.p.(f( + 4 ( = 6 4 per 6, 80 8 per = Ugule l gruppo.

10 0 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni Seon prte, gruppo 3.. Risrivo l equzione ome f( = on f( := ( ep(. Il grfio i f è simile quello el gruppo, on l ifferenz he l sintoto vertile è in = e i punti i minimo lole sono = e = 3. Dl grfio i f ottengo he per < f( non i sono soluzioni; per = f( è un soluzione ( = ; per f( < < f(3 i sono ue soluzioni; per = f(3 i sono tre soluzioni (tr ui = 3; per > f(3 i sono quttro soluzioni.. Osservo he ( ep( f( = log e proeo ome per il gruppo, usno gli sviluppi e t = + t + t + O(t 3 e log( + t t: f( = log ( + + O(4 = log( + t t = + O(4. t In onlusione l prte priniple i f( per 0 è. Per qunto ftto sopr l prte priniple i f( + è ( + per ogni. Nel so = ho isogno i uno sviluppo più preiso ell funzione f(, he ottengo usno gli sviluppi e t = + t + t + 6 t3 + O(t 4 e log( + t = t t + O(t 3 : f( = log ( O(6 t = log( + t = t t + O(t3 ] = O(6 ] ( 3 ] + O(4 + O = O(6. D questo ottengo he l prte priniple i f( per 0 è Ugule l gruppo. Seon prte, gruppo 4.. Risrivo l equzione ome f( = on f( := ( 3 7 ep(, Il grfio i f è simile quello el gruppo, on l ifferenz he l sintoto vertile è in = 3, il punto i mssimo lole è = / e il punto i minimo lole è = 7/. Dl grfio i f ottengo he per < f( / i sono ue soluzioni; per = f( / è un soluzione ( = /; per f( / < < f(7/ non i sono soluzioni; per = f(7/ è un soluzione ( = 7/; per > f(7/ i sono ue soluzioni. {. Anlogo l gruppo 3: p.p.(f( = 3 ; p.p.(f( + 3 ( + = 3 per, 4 6 per =. 3. Ugule l gruppo.

11 Primo ompitino, 8 novemre 07 Soluzioni Commenti Seon prte, eserizio. Aluni ei presenti hnno provto risolvere questo eserizio isegnno seprtmente i grfii = ep( e = ( 3 6 (mi riferiso per sempliità l gruppo, otteneno risultti ompletmente errti. In effetti questo pproio present iversi prolemi: il primo è he questi isegni sono solo pprossimtivi, mentre il numero i intersezioni ipene ll preisione el isegno, il seono è he le intersezioni i questi ue grfii (quno i sono non rientrno tutte nell re effettivmente isegnt; il terzo è he il grfio = ( 3 6 è stto isegnto solo per un vlore i, mentre il isegno mi on e osì nhe il risultto finle. Seon prte, eserizio. Aluni ei presenti hnno isegnto il grfio ell funzione f( senz stuire il segno ell erivt f (, m risolveno solo l equzione f ( = 0. Pur esseno orretto il isegno, non è hiro ome si possiile isegnre un grfio senz spere ove l funzione rese e ove erese... Seon prte, eserizio, punto. Nel isutere il so iffiile ( = /6 per il gruppo iversi ei presenti hnno sviluppto ulteriormente solo un elle ue funzioni oinvolte: in un so quell ll interno el logritmo m non il logritmo, nell ltro il logritmo m non l funzione ll interno. In entrmi i si il risultto finle è sglito, os i ui i si può orgere sriveno (orrettmente i resti. Per hirire, nel primo so l versione orrett ei pssggi ftti è l seguente (mi riferiso sempre l gruppo : ( sin( 3 f( = log 3 = log ( O(8 usno quini mio i vriile t = O( 8 e lo sviluppo log(+t = t+o(t si ottiene f( = log( + t = t + O(t = ] ( 0 + O( 8 + O ] 6 6 = O(. Nel seono so invee si omini on ( sin( 3 f( = log 3 = log ( O( e usno mio i vriile t = O( e lo sviluppo log( + t = t t + O(t 3 si ottiene f( = log( + t = t t + O(t 3 = ] O( ] ( O( + O 3] 6 6 = O( 7 + O( 8 + O( 4 + O( 8 = O(. Seon prte, eserizio 3. Pohissimi ei presenti hnno impostto orrettmente l eserizio. In prtiolre qusi tutti hnno sritto in moo errto l equzione ell rett tngente l grfio = e (vnifino i loli suessivi; l errore è stto più o meno sempre lo stesso: inire on si l siss el punto i tngenz, si l vriile inipenente nell equ zione ell rett tngente, otteneno osì un equzione he non è quell i un rett (e tntomeno quell ell rett tngente. Seon prte, eserizio 3. Molti hnno impostto l eserizio senz fre lun isegno...