ANALISI 1 ANALISI A Prima Prova Intermedia 11 novembre 2017

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1 1 Sino ti E R, x R e supponete he vlg l seguente ffermzione: Qule elle seguenti ffermzioni è neessrimente ver? x E; E ontiene infiniti punti; Nessun elle ltre tre ffermzioni è neessrimente ver; x / E e x è un punto i umulzione i E 2 Qunte sono le soluzioni reli i os2x 2sinx = nell intervllo [,2π]? 4; 6; 2; 8 3 Si f C (R) Se f() = f () =, f () = 1 e f () = 1, qule ei seguenti isegni meglio rppresent il grfio i f in un intorno i x =? ; ; ; { x se x 4 Per β R si f β : R R efinit f β (x) := β +(x β) 2 Qule è l insieme se x > ei β R per i quli f β è iniettiv? { β 1}; {β 1}; {β = } {β 1}; { 1 β } 5 L insieme {z C : z z + 1 2} è un erhio; l insieme vuoto; un rett; un punto 6 Si E := {x R : x > x 4 } Allor E è un intervllo limitto; E è l unione i ue intervlli isgiunti; supe = 2; infe = 2 7 Se z := 4 2i 1+i +eiπ llor z = 2 3i; 3 3i; 3i; 1 3i log(1+x α ) 8 Quleèl insiemeeinumeri α Rperiquli lim x + sin x {α < 1/2}; {α 1/2}; {α 1/2} esistefinito? {α > 1/2};

2 1 Si E := {x R : x < x 4 } Allor E è l unione i ue intervlli isgiunti; supe = 2; infe = 2; E è un intervllo limitto 2 Si f C (R) Se f() = f () =, f () = 1 e f () = 1, qule ei seguenti isegni meglio rppresent il grfio i f in un intorno i x =? ; ; ; { x se x 3 Per β R si f β : R R efinit f β (x) := β +(x β) 2 Qule è l insieme se x > ei β R per i quli f β è suriettiv? {β 1}; {β = } {β 1}; { 1 β }; { β 1} 4 Se z := 4 2i 1+i +2eiπ llor z = 3 3i; 3i; 1 3i; 2 3i 5 Sino ti E R, x R e supponete he vlg l seguente ffermzione: Qule elle seguenti ffermzioni è neessrimente ver? E ontiene infiniti punti; Nessun elle ltre tre ffermzioni è neessrimente ver; x / E e x è un punto i umulzione i E; x E 6 Qunte sono le soluzioni reli i os2x 2sinx = nell intervllo [ 2π,2π]? 6; 2; 8; 4 sin x 7 Quleèl insiemeeinumeri α Rperiquli lim esistefinito? x + log(1+x α {α < 1/2}; ) {α 1/2}; {α 1/2}; {α > 1/2} 8 L insieme {z C : z z + 2 2} è l insieme vuoto; un rett; un punto; un erhio

3 1 Qunte sono le soluzioni reli i os2x 2sinx = nell intervllo [,2π]? 2; 8; 4; 6 { x se x 2 Per β R si f β : R R efinit f β (x) := β +(x β) 2 Qule è l insieme se x > ei β R per i quli f β è iniettiv? {β = } {β 1}; { 1 β }; { β 1}; {β 1} 3 Se z := 4 2i 1+i eiπ llor z = 3i; 1 3i; 2 3i; 3 3i log(1+x α ) 4 Quleèl insiemeeinumeri α Rperiquli lim x + sin x {α 1/2}; {α > 1/2}; {α < 1/2} esistefinito? {α 1/2}; 5 Si E := {x R : x > x 4 } Allor supe = 2; infe = 2; E è un intervllo limitto; E è l unione i ue intervlli isgiunti 6 Si f C (R) Se f() = f () =, f () = 1 e f () = 1, qule ei seguenti isegni meglio rppresent il grfio i f in un intorno i x =? ; ; ; 7 L insieme {z C : z z + 3 2} è un rett; un punto; un erhio; l insieme vuoto 8 Sino ti E R, x R e supponete he vlg l seguente ffermzione: Qule elle seguenti ffermzioni è neessrimente ver? Nessun elle ltre tre ffermzioni è neessrimente ver; x / E e x è un punto i umulzione i E; x E; E ontiene infiniti punti

4 1 Si f C (R) Se f() = f () =, f () = 1 e f () = 1, qule ei seguenti isegni meglio rppresent il grfio i f in un intorno i x =? ; ; ; 2 Se z := 4 2i 1+i 2eiπ llor z = 1 3i; 2 3i; 3 3i; 3i 3 Quleèl insiemeeinumeri α Rperiquli lim x + {α > 1/2}; {α < 1/2}; {α 1/2} sin x log(1+x α esistefinito? {α 1/2}; ) 4 L insieme {z C : z z + 1 2} è un punto; un erhio; l insieme vuoto; un rett 5 Qunte sono le soluzioni reli i os2x 2sinx = nell intervllo [ 2π,2π]? 8; 4; 6; 2 { x se x 6 Per β R si f β : R R efinit f β (x) := β +(x β) 2 Qule è l insieme se x > ei β R per i quli f β è suriettiv? { 1 β }; { β 1}; {β 1}; {β = } {β 1} 7 Sino ti E R, x R e supponete he vlg l seguente ffermzione: Qule elle seguenti ffermzioni è neessrimente ver? x / E e x è un punto i umulzione i E; x E; E ontiene infiniti punti; Nessun elle ltre tre ffermzioni è neessrimente ver 8 Si E := {x R : x < x 4 } Allor infe = 2; E è un intervllo limitto; E è l unione i ue intervlli isgiunti; supe = 2

5 ANALISI 1 Anlisi A Prim Prov Intermei 11 novemre 217 { } 1 1 (4 punti) Si E := N n : n N + Determinte infe e supe e ite se sono nhe minimo e mssimo i E Trovte i punti i umulzione i E 1 (4 punti) Si E R e si g : E R Definite he os vuol ire he un punto x è i mssimo reltivo per g Mostrte, usno l efinizione, he l funzione g : (,+ ) R efinit g(x) := log 4 x log 2 x+2 h un mssimo reltivo per x = 1

6 ANALISI 1 Anlisi A Prim Prov Intermei 11 novemre (4 punti) Sig un funzione erivilenell intervllo [1,2]etlehe g(2) = 1 Sif : [1,2] R efinit ( f(x) := x+ g(x) sin π ) logx x Mostrte he esiste un punto x (1,2) tle he f (x ) = 1 2 (4 punti) Si f(x) := e xlog(sinx+osx) Trovte il nturle ominio i efinizione i f Trovte l rett tngente l grfio i f nel punto x =

7 ANALISI 1 Anlisi A Prim Prov Intermei 11 novemre 217 x se x < 1 3 (4 punti) Sino, R + e f : R R efinit f(x) := x 1 (x 1)+log4 se x 1 Qule è l insieme ei vlori i e per i quli f è ontinu in R? { x se x 3 (4 punti) Si φ : R R efinit φ(x) := Mostrte he φ è x/(x+1) se x iniettiv, trovte l insieme immgine D := φ(r) e srivete l funzione invers φ 1 : D R