Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I.

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1 Pietro Bldi Anlisi mtemtic I Progrmm d esme, nno ccdemico Corso di Lure Triennle in Ingegneri Biomedic, cognomi A-I. Il libro di testo dottto durnte il corso è Anlisi Mtemtic Uno, P. Mrcellini, C. Sbordone, Liguori Editore, e l esercizirio llegto, Esercizi di Mtemtic, Volume I, Tomi 1,2,3,4. Un ltro testo consultto è Anlisi Uno, G. De Mrco, Znichelli. Gli esercizi ssegnti per cs e/o svolti lezione sono prte integrnte e fondmentle del corso di Anlisi mtemtic I. Numeri reli - I numeri reli. Assiomi reltivi lle operzioni, reltivi ll ordinmento e ssiom di completezz. - Conseguenze: regole prtiche di clcolo. - Intervlli in R: definizione. - Il modulo di un numero rele: definizione, interpretzione di x come distnz tr i punti x e 0 sull rett dei numeri reli. Proprietà del modulo. - Proposizione: x < r r < x < r. - L disuguglinz tringolre. L disuguglinz x y x y. - Mssimo mx(a) e minimo min(a) di un insieme A (non vuoto) di numeri reli: definizione. - Unicità del mssimo e del minimo di un insieme A R. - Mggiornte, minornte di un insieme A R: definizione. - Insiemi limitti, limitti superiormente, limitti inferiormente: definizione. - Proposizione: A R è limitto se e solo se esiste M > 0 tle che A [ M, M], cioè x M per ogni x A. - Teorem di esistenz del sup e dell inf. Definizione dell estremo superiore sup(a) e dell estremo inferiore inf(a) di un insieme A R. Dimostrzione del teorem. - Crtterizzzione del sup e dell inf. - Proposizione: se un insieme A h minimo, llor min(a) = inf(a); simile per il mssimo. - Insiemi numerici: N, Z, Q, R. (Convenzione: N = {1, 2,...}, cioè 0 / N). - Proprietà di Archimede: sino, b R, con b > 0. Allor esiste n N tle che nb >. - Corollrio: N è illimitto superiormente. - Densità di Q in R: per ogni, b R, con < b, esiste q Q tle che q (, b). - Proprietà degli interi: se A Z è limitto inferiormente, llor A h minimo; simile per il mssimo. - Corollrio: ogni insieme di numeri nturli h minimo ( principio del buon ordinmento ). - Proposizione: non esiste lcun numero rzionle c Q tle che c 2 = 2. - Proposizione: Q non è completo. - Disuguglinz: b 1 2 (2 + b 2 ) per ogni, b R. - Il principio di induzione. - Proposizione: se A B sono sottoinsiemi non vuoti di R, llor inf(b) inf(a), e sup(b) sup(a) (insiemi più grndi dnno più scelt nell ricerc dell inf e del sup). - Proposizione: per ogni A R non vuoto, si h inf(a) sup(a). 1

2 - Corollrio: se, b R, ed E [, b], llor inf(e), sup(e) [, b]. - Equzioni di primo grdo x + b = 0. Disequzioni di primo grdo x + b > 0. - Equzioni di primo grdo con uno o più moduli. - Equzioni di secondo grdo del tipo x 2 = p. - Equzioni di secondo grdo del tipo generle x 2 + bx + c = 0. Ruolo del discriminnte = b 2 4c. Costruzione dell formul delle soluzioni x 1,2 = b± 2. - Fttorizzzione del polinomio di secondo grdo x 2 + bx + c: se 0 e u, v sono le sue rdici, llor x 2 + bx + c = (x u)(x v) per ogni x R. - Disequzioni di secondo grdo. Potenze, esponenzili e logritmi - Potenze con esponente intero positivo: n, definit per bse R ed esponente n N. Regole delle potenze. - Formule per i qudrti: qudrto del binomio ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2, differenz di qudrti 2 b 2 = ( b)( + b). - Il simbolo di sommtori e di produttori. Proprietà: c( n k=1 k) = n k=1 (c k) (proprietà distributiv dell somm) e ( n k=1 k) p = n k=1 p k (regole delle potenze). - Proposizione: per ogni b R, n N, vle l formul 1 b n = (1 b) n 1 k=0 bk. - Corollrio: l formul n b n = ( b) n 1 k=0 n 1 k b k. - Definizione: il fttorile n!, il coefficiente binomile ( n k). - Formul per le potenze del binomio: ( + b) n = n ( n k=0 k) n k b k. (Senz dimostrzione). - Disuguglinz di Bernoulli: (1 + ) n 1 + n per ogni n N, 1. - Disuguglinz di Bernoulli in senso stretto: (1 + ) n > 1 + n per ogni n N, n 2, 1, 0. - Potenze d esponente zero: definimo 0 = 1, per ogni R \ {0}. - Potenze con esponente intero negtivo: m, definit per bse R \ {0}, ed esponente m Z, m 1. - Proprietà: ( 1 ) n = ( n ) 1, n N. - Definizione di rdice qudrt: dto un numero rele 0, l su rdice qudrt è quel numero rele b 0 tle che b 2 =. - Proposizione: x 2 = x per ogni x R. - Disequzioni con moduli e rdici. - Potenz 1/n, definit per bse 0 ed esponente 1/n, n N, cioè definizione di rdice n-esim: dto un numero rele 0, l su rdice n-esim è quel numero rele b 0 tle che b n =. (Osservzione: se n è dispri, l rdice n-esim n = 1/n si può definire nche per < 0). - Potenze d esponente rzionle p, definite per bse > 0 ed esponente p Q. - Potenze d esponente rele p, definite per, p R, > 0. - Regole delle potenze di bse positiv ed esponente rele. - Disuguglinze per le potenze: (1) p > 0 per ogni > 0, p R; (2) Confronto tr p e b p (bsi diverse 0 < < b e stesso esponente p R); (3) Confronto tr p e q (stess bse > 0 ed esponenti diversi p, q R, p < q). Esempi. - Disequzioni di primo e secondo grdo con moduli e rdici. - Logritmo di bse > 0, 1, logritmo nturle: definizione, proprietà. - Definizione di seno iperbolico sinh(x) e coseno iperbolico cosh(x). Proprietà: (1) cosh( x) = cosh(x); (2) sinh( x) = sinh(x); (3) cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. Trigonometri - Misur degli ngoli in rdinti. - Definizione geometric di sin(α) e cos(α). 2

3 - Identità fondmentle cos 2 (α) + sin 2 (α) = 1 (teorem di Pitgor). - Disuguglinze immedite: cos(α) 1, sin(α) 1 (i cteti sono più corti dell ipotenus). - Uguglinze (che si ricvno in modo elementre dlle similitudini dei tringoli): (1) cos( α) = cos(α); (2) sin( α) = sin(α); (3) sin(α + 2π) = sin(α); (4) cos(α + 2π) = cos(α); (5) sin( π 2 x) = cos(x); (6) cos( π 2 x) = sin(x); (7) cos(π x) = cos(π+x) = cos(x); (8) sin(π x) = sin(x); (9) sin(π+x) = sin(x). - Formule di ddizione, di dupliczione, di bisezione, di prostferesi. - Vlori di seno e coseno di ngoli notevoli: 0, π, 2π, π/2, 3π/2, π/4, π/3, π/6. - Definizione di tngente: tn(α) = sin(α) cos(α). Interpretzione geometric dell tngente (usndo l similitudine dei tringoli). - Definizione delle funzioni trigonometriche inverse: rcsin, rccos, rctn. - Disuguglinze trigonometriche: (1) sin(x) x per ogni x R; (2) sin(x) < x per ogni x R, x 0; (3) per ogni x ( π/2, π/2), x 0, si h cos(x) < sin(x) x < 1; (4) sin(α) sin(β) α β per ogni α, β R; (5) cos(α) cos(β) α β per ogni α, β R. Numeri complessi - Definizione: l unità immginri i = 1, soluzione dell equzione x = 0. - L insieme dei numeri complessi C = {z : z = + ib,, b R}. - Operzioni con i numeri complessi: somm, prodotto, opposto, inverso. - Rppresentzione grfic: il pino complesso. - Definizione di complesso coniugto: se u = + ib, con, b R, definimo ū = ib. Proprietà del coniugio. - Definizione di modulo di un numero complesso: se u = + ib, con, b R, definimo u = 2 + b 2. Teorem di Pitgor: u è l distnz del punto u dll origine. Proprietà del modulo. - Rppresentzione grfic: dto u C, disegnre ū e u. - Formul: uū = u 2 per ogni u C. Formul dell inverso: u 1 = ū/ u 2 per ogni u C, u 0. - Rppresentzione dei numeri complessi in coordinte polri: +ib = ρe iϑ, con ρ cos(ϑ) =, ρ sin(ϑ) = b. Significto geometrico di ρ e di ϑ. - L esponenzile complesso: per ϑ R, si definisce e iϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ). Se u = + ib, con, b R, llor e u = e +ib = e cos(b) + ie sin(b). - Proprietà: e u e v = e u+v per ogni u, v C. (Senz dimostrzione). - Appliczione dell esponenzile complesso per ricvre le formule dell trigonometri. - Teorem fondmentle dell lgebr: ogni polinomio di grdo n coefficienti complessi h n rdici complesse. (Senz dimostrzione). Funzioni: generlità, grfici delle funzioni elementri - Definizione di insieme prodotto A B = {(, b) : A, b B}. - Pino crtesino R 2 = R R, corrispondenz tr punti del pino e coppie (, b) di numeri reli. Asciss, ordint. - Definizione di funzione f : A B di dominio A e codominio B. - Definizione di grfico di funzione: G f = {(, b) A B : b = f()} = {(, f()) : A} A B. - Grfico dell funzione polinomile di primo grdo f : R R, f(x) = mx + q: le rette. Significto geometrico dei coefficienti m, q. - Definizione di funzione crescente, decrescente, strettmente crescente, strettmente decrescente, monoton, strettmente monoton. - Definizione di funzione costnte. - Osservzione: se G f R 2 è il grfico di un funzione, llor ogni rett verticle intersec G f in l più un punto. (In prticolre: le rette verticli non sono grfici di funzione). 3

4 - Grfico dell funzione polinomile di secondo grdo f : R R, f(x) = x 2 + bx + c: le prbole con l sse verticle. Significto geometrico del segno del coefficiente. - Grfico dell funzione potenz f : R R, f(x) = x n, con esponente n N. - Simmetrie: definizione di funzione pri (f( x) = f(x) per ogni x A) e di funzione dispri (f( x) = f(x) per ogni x A). Significto geometrico: il grfico di un funzione pri è simmetrico rispetto ll sse delle ordinte; il grfico di un funzione dispri è simmetrico rispetto ll origine. - Grfico dell funzione potenz f : R \ {0} R, f(x) = x m, con esponente m Z (bse: x 0). - Grfico dell funzione potenz f : (0, + ) R, f(x) = x p, con esponente rele p R (bse: x > 0). Distinzione qulittiv dei grfici: p > 1, p = 1, p (0, 1), p = 0, p < 0. - Grfico dell funzione esponenzile di bse > 0: f : R R, f(x) = x. Distinzione qulittiv dei grfici: (0, 1), = 1, > 1. Cso notevole f(x) = e x = exp(x), esponenzile di bse e. - Grfico dell funzione logritmo di bse > 0, 1: f : (0, + ) R, f(x) = log (x). Distinzione qulittiv dei grfici: (0, 1), > 1. Cso notevole: logritmo nturle (bse e). - Grfico delle funzioni trigonometriche: l funzione seno sin : R [ 1, 1], l funzione coseno cos : R [ 1, 1], l funzione tngente tn : ( π/2, π/2) R, l funzione rctngente rctn : R ( π/2, π/2), l funzione rcseno rcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2], l funzione rccoseno rccos : [ 1, 1] [0, π]. - Definizione di funzione f : R R periodic di periodo T. - Definizione di funzione f : A B iniettiv sul dominio A. - Definizione di funzione f : A B suriettiv sul codominio B. - Definizione di funzione f : A B biiettiv o invertibile dl dominio A l codominio B. Definizione di funzione invers f 1 : B A. Uguglinze dell funzione invers: (1) f(f 1 (b)) = b per ogni b B; (2) f 1 (f()) = per ogni A. - Osservzione: se f è iniettiv, llor ogni rett orizzontle intersec il suo grfico G f in l più un punto. Se f è suriettiv, llor ogni rett orizzontle intersec il suo grfico G f biiettiv, llor ogni rett orizzontle intersec il suo grfico G f in esttmente un punto. - Definizione di nti-immgine f (E) di un insieme E B trmite l funzione f. in lmeno un punto. Se f è - L funzione segno: f : R R, f(x) = x x per x 0, f(0) = 0. Grfico G f. - L funzione prte inter: f : R R, f(x) = [x] = mx{m Z : m x}. Grfico G f. - L funzione prte frzionri: f : R R, f(x) = x [x]. È un funzione periodic. Grfico G f. Successioni - Successioni di numeri reli. Distinzione tr l successione ( n ) (funzione con dominio N) e l insieme immgine { n : n N}. - Definizione di limite di un successione (limite finito, +, ). - Definizione di successione costnte, o definitivmente costnte. - Definizione di definitivmente nel contesto delle successioni. - Successioni che non hnno limite: esempio principle: n = ( 1) n. - Proposizione: si R tle che < ε per ogni ε > 0. Allor = 0. - Unicità del limite di successione. - Definizione di successione limitt. - Esistono successioni limitte che non hnno limite (esempio: n = ( 1) n ). - Proposizione: ogni successione convergente è limitt. - Proposizione: dto C > 0, si h n se e solo se ε > 0 esiste n N tle che n < Cε per ogni n n. - Definizione di successione infinitesim. - Proposizione: se n è infinitesim e b n è limitt, llor l successione ( n b n ) è infinitesim. - Teorem dell permnenz del segno per le successioni: se n e > 0, llor n > 0 definitivmente; simile per < 0. 4

5 - Corollrio (del teorem dell permnenz del segno per successioni): se n 0 definitivmente e n, llor 0; simile per n 0. - Osservzione: le disuguglinze strette, pssndo l limite, diventno lrghe; esempio: n = 1/n > 0 per ogni n, m lim n = 0. - Pssggio l limite del modulo: se n, llor n. - Corollrio: se n, 0, llor 1 2 < n < 3 2 definitivmente. - Operzioni con i limiti finiti: somm n + b n, prodotto n b n, opposto n, inverso 1 n di successioni convergenti. - Corollrio 2 (del teorem dell permnenz del segno per successioni): (1) se n b n definitivmente, e n, b n b, llor b; (2) se n b definitivmente, e n, llor b; simile per n b. - Teorem dei due crbinieri (per le successioni). - Corollrio (del teorem dei crbinieri): se n b n e b n 0, llor n. - Proposizione: n 0 se e solo se n 0. - Operzioni con i limiti infiniti: somm, prodotto, opposto, inverso. - Limiti notevoli di trigonometri: (1) se n 0, llor sin( n ) 0, cos( n ) 1. (2) Se n 0 e n 0, llor sin( n )/ n 1. - Teorem di confronto (per successioni): (1) se n b n definitivmente, e n +, llor nche b n + ; (2) se n b n definitivmente, e b n, llor nche n. - Limite notevole per le potenze: lim n + n nei csi > 1, = 1, ( 1, 1), 1. - Definizione di successione crescente, strettmente crescente, decrescente, strettmente decrescente, monoton, strettmente monoton. - Teorem sulle successioni monotone: (1) ogni successione monoton h limite; (2) ogni successione monoton limitt converge. - L successione che definisce il numero e: l successione n = (1 + 1 n )n è crescente e limitt. - Definizione del numero e: e = lim n + (1 + 1 n )n. - Proposizione: per ogni x R, l successione n = (1 + x n )n è definitivmente crescente e limitt. (Senz dimostrzione). - Definizione dell esponenzile: e x = lim n + (1 + x n )n. Proprietà dell esponenzile. - Disuguglinze per l esponenzile: (1) 1 + x e x per ogni x R; (2) e x < 1 1 x per ogni x < 1; (3) 0 ex 1 x 1 x 1 x per ogni x < 1, x 0. - Proposizione: (1) se n +, llor e n + ; (2) se n, llor e n 0; (3) se n c, c R, llor e n e c. - Limite notevole dell esponenzile: se n 0, llor en 1 n 1. - Limiti notevoli per il logritmo: (1) se n +, llor log( n ) + ; (2) se n 0, n > 0, llor log( n ) ; (3) se n c, c > 0, llor log( n ) log(c). (Senz dimostrzione). - Limiti di esponenzili con bse > 0, e. (Senz dimostrzione). - Limite notevole del logritmo: se n 0, n > 0, llor log(1+n) n 1. - Limite notevole: se x n ±, llor (1 + 1 x n ) xn e. (Senz dimostrzione). - Limite di potenze: se n, b n b, con > 0, b R, llor bn n b. (Senz dimostrzione). - Limite notevole: se p R, x n +, llor log(xn) e x p 0, xn n x n 0 (i logritmi tendono + più lentmente di qulunque potenz; gli esponenzili tendono + più velocemente di qulunque potenz). (Senz dimostrzione). - Limite notevole: se p R, n 0, n 0, llor (1+n)p 1 n p. - Per ogni > 0, si h n! n +. nn n! +. 5

6 Funzioni continue - Definizione di punto di ccumulzione di un insieme A R. - Definizione di punto isolto di un insieme. - Definizione: si dice che + è di ccumulzione per l insieme A R se A è illimitto superiormente. Simile per. - Teorem (crtterizzzione dei punti di ccumulzione): p è di ccumulzione per A se e solo se esiste un successione ( n ) tle che: (1) n A n N; (2) n p n N; (3) n p per n. - Definizione di limite di funzione (definizione bst sulle successioni). - Definizione di punto di ccumulzione d destr/d sinistr di un insieme A R. Teorem di crtterizzzione dei punti di ccumulzione d destr/d sinistr. (Senz dimostrzione). - Definizione di limite destro/sinistro di funzione (definizione bst sulle successioni). - Unicità del limite di funzione. - Può ccdere che un certo limite di funzione non esist. Esempio: non esiste il limite lim x + sin(x). - Teorem ponte : si f : A R, A R, p R punto di ccumulzione per A, v R. Sono equivlenti: (i) lim x p f(x) = v (definizione bst sulle successioni), e (ii) ε > 0 δ > 0 tle che f(x) v < ε x A, x p < δ, x p. - Teorem ponte scritto esplicitmente nei 9 csi possibili (il punto p cui tende x nel dominio può essere: p R, p = +, p = ; il vlore v cui tende f(x) nel codominio può essere: v R, v = +, v = ). (Senz dimostrzione). - Il teorem ponte vle nche per limite destro/sinistro. (Senz dimostrzione). - Teorem dell permnenz del segno (per limiti di funzione). - Teorem sui limiti destro e sinistro di funzione: (1) se il limite lim x p f(x) esiste e vle v, llor esistono si il limite destro lim x p + f(x) che quello sinistro lim x p f(x) e vlgono entrmbi v; (2) se il limite destro lim x p + f(x) e il limite sinistro lim x p f(x) esistono e vlgono entrmbi v, llor esiste il limite lim x p f(x) e vle v. - Teorem dei crbinieri (per i limiti di funzione). - Teorem di confronto (per i limiti di funzioni). - Definizione di funzione continu in un punto p. Definizione di funzione continu in un insieme A. - Osservzione: f è continu in p se e solo se lim x p f(x) = f(lim x p x), cioè: le funzioni continue in p sono proprio quelle per cui i simboli f e lim x p si possono scmbire. - Le funzioni: modulo, potenz, esponenzile, logritmo, seno, coseno, tngente, rcseno, rccoseno, rctngente, sono tutte continue, ciscun nel proprio dominio. Esempio: l funzione f : R \ {0} R, f(x) = 1 x (definit per x 0) è continu in ogni punto x 0, cioè è continu nel suo dominio R \ {0}. - Continuità dell funzione compost. - Teorem dell permnenz del segno per le funzioni continue: se f è continu in p e f(p) > 0, llor esiste δ > 0 tle che f(x) > 0 x A, x p < δ. - Teorem dell esistenz degli zeri. - (Primo) Teorem dei vlori intermedi: f continu in [, b] ssume tutti i vlori compresi tr f() e f(b). - Definizione di punto di minimo/mssimo per f in [, b] (è un punto x del dominio). Definizione di vlore minimo/mssimo per f in [, b] (è un vlore y = f(x) del codominio). - Teorem di Weierstrss. (Senz dimostrzione). - (Secondo) Teorem dei vlori intermedi: f continu in [, b] ssume tutti i vlori compresi tr il suo vlor minimo e il suo vlor mssimo in [, b]. - Criterio di invertibilità per funzioni continue e strettmente monotone. - Teorem sull esistenz dei limiti per funzioni monotone (e non necessrimente continue). - Criterio di continuità delle funzioni monotone. - Teorem di continuità dell funzione invers. 6

7 Clcolo differenzile - Il coefficiente ngolre dell rett che unisce due punti A = (p, f(p)) e B = (p + h, f(p + h)) sul grfico G f di un funzione f vle f(p+h) f(p) h e si chim rpporto incrementle. - Definizione di derivt di un funzione f nel punto p. Definzione di funzione derivbile nel punto p. Interpretzione geometric: f (p) è l pendenz dell rett tngente G f nel punto (p, f(p)). - Definizione di funzione derivbile in un intervllo (, b) o [, b]. - Definizione di derivt destr/sinistr. - Clcolo delle derivte delle funzioni elementri: polinomi, potenze, esponenzile, logritmo, seno, coseno. - Se f è derivbile in p, llor f è continu in p. - Il vicevers non vle: esistono funzioni che sono continue in un punto p m non sono derivbili in p. I due esempi principli sono il modulo e l rdice: - L funzione f(x) = x è definit nel dominio D = [0, + ) m è derivbile in D 1 = (0, + ), e non è derivbile in x = 0. - L funzione f(x) = x è definit nel dominio D = R, m è derivbile in D 1 = R \ {0}, e non è derivbile in x = 0. 1 f(x) - Derivt dell somm f(x) + g(x), del prodotto f(x)g(x), di f(x), del rpporto g(x), dell funzione compost g(f(x)). - Teorem: l derivt dell funzione invers. - Derivt di rcseno, rccoseno, rctngente. - Derivt di f(x) = log(x + x 2 ± 1). - Definizione di derivt second f (x), derivt terz f (x),..., derivt n-esim f (n) (x). - Definizione di funzione di clsse C n (A) su un dominio A R. - Definizione di punto interno di un insieme A R. - Definizione di punto di minimo/mssimo globle (o ssoluto) e locle (o reltivo) di un funzione. - Teorem di Fermt. - Teorem di Rolle. - Teorem di Lgrnge. - Appliczione del teorem di Lgrnge: le disuguglinze sin(x) x, cos(x) 1 x 2 per ogni x R. - Proposizione: f : [, b] R è costnte se e solo se f è derivbile in [, b] e f (x) = 0 per ogni x [, b]. - Criterio di monotoni per f dllo studio del segno di f. - Equzione dell rett tngente l grfico G f di f nel punto (p, f(p)): y = f(p) + f (p)(x p). - Definizione di funzione convess/concv in un intervllo. - Definizione di punto di flesso. - Criterio di convessità per f dllo studio del segno di f. (Senz dimostrzione). - Condizioni necessrie e sufficienti del secondo ordine per punti di mssimo/minimo di un funzione. - Definizione di sintoto orizzontle, obliquo, verticle per un funzione. - Regol per il clcolo di un sintoto obliquo o orizzontle. - Studio di funzione (cioè: cos si intende per studio di funzione). - Teorem di de l Hôpitl. Dimostrzione di un cso significtivo. - Definizione di polinomio di Tylor T n (x) di ordine n, centrto nel punto p, per un funzione f. - Teorem dell formul di Tylor con resto in form di Peno. - Clcolo dei polinomi di Tylor per le funzioni e x, sin(x), cos(x), log(1 + x), (1 + x) α, centrte in p = 0. - Definizione di o piccolo. - Operzioni con gli o piccolo. - Clcolo di limiti con gli o piccolo. 7

8 - Teorem: si f C n, f (p) = 0,..., f (n 1) (p) = 0, f (n) (p) 0. Se n è dispri, llor p non è punto di mssimo locle, né di minimo locle, ed è punto di flesso; se n è pri, llor p è punto di mssimo locle se f (n) (p) < 0, ed è punto di minimo locle se f (n) (p) > 0. (Senz dimostrzione). - Appliczione dell formul di Tylor per il clcolo degli sintoti obliqui o orizzontli di un funzione. Clcolo integrle - Definizione di prtizione di un intervllo [, b]. - Definizione di somm integrle inferiore s(f, P ) e somm integrle superiore S(f, P ) di un funzione limitt f : [, b] R rispetto d un prtizione P di [, b]. - Lemm dei rffinmenti (rffinndo un prtizione, l somm integrle inferiore cresce, l somm integrle superiore cl). - Lemm: si f : [, b] R un funzione limitt, e P, Q due prtizioni di [, b]. Allor s(f, P ) S(f, Q). In ltri termini: l insieme A = {s(f, P ) : P prtizione di [, b]} delle sue somme integrli inferiori e l insieme B = {S(f, P ) : P prtizione di [, b]} delle sue somme integrli superiori sono due insiemi seprti: α β per ogni α A, β B. - Definizione di funzione integrbile in [, b]. Definizione di integrle b f = sup(a) = inf(b). - Criterio di integrbilità. - Definizione di b f (con < b) e di f. - Proprietà dell integrle: (1) dditività; (2) linerità; (3) confronto; (4) disuguglinz fondmentle b f b f. Dimostrzione di (3),(4). - Teorem di integrbilità delle funzioni continue. (Senz dimostrzione). - Integrle delle funzioni costnti (re del rettngolo). - (Primo) Teorem dell medi integrle (per funzioni limitte integrbili). - (Secondo) Teorem dell medi integrle (per funzioni continue). - Teorem di integrbilità delle funzioni monotone. - Significto geometrico dell medi integrle come ltezz del rettngolo di bse [, b] e re pri b f. - Definizione di primitiv di un funzione. - Proposizione: si F un primitiv di f in [, b]. Allor G è primitiv di f se e solo se esiste un costnte c R tle che G(x) = F (x) + c per ogni x [, b]. - Definizione di funzione integrle I(x) di punto inizile : I(x) = x f(t) dt. - Teorem fondmentle del clcolo integrle: I(x) è un primitiv di f(x). - Formul fondmentle del clcolo integrle: se F è un primitiv di f, llor b f = F (b) F (). - Definizione di integrle indefinito. - Integrle indefinito (cioè primitive) delle funzioni elementri. - Integrle indefinito: integrzione per sostituzione. Regol di trnsformzione del dx. - Integrle indefinito: integrzione per prti. - Integrzione di un funzione rzionle N(x) D(x), con N(x), D(x) polinomi: richimo ll divisione tr polinomi con quoziente e resto. Clcolo di mx+q dx nei tre csi > 0, = 0, < 0. x 2 +bx+c - Formul per l re dell regione pin compres tr due grfici di funzione. - Definizione di integrle generlizzto. Clcolo di lcuni integrli generlizzti. - Proposizione: se f(x) = o(x n ) per x 0, e f è continu in ( M, M), llor l funzione integrle I(x) = x f è I(x) = o(xn+1 ) per x 0. - Osservzione: se f(x) 0, llor l funzione integrle I(x) = x x + (finito oppure + ). - Teorem di confronto per gli integrli generlizzti. - Teorem: formul di Tylor con resto in form integrle. - Teorem: formul di Tylor con resto in form di Lgrnge. f è crescente, e dunque h limite per 8

9 Serie - Definizioni: serie, termine generle di un serie, somm przile n-esim di un serie, somm di un serie. Serie convergente, divergente, indetermint. Crttere di un serie. - Condizione necessri per l convergenz di un serie: serie convergenti hnno il termine generle infinitesimo. - Osservzione: le serie termine generle n definitivmente 0 convergono o divergono +, m non sono mi indeterminte. - L serie geometric di rgione p. - L serie rmonic. Disuguglinz per l somm przile: log(n + 1) s n log(n) L serie rmonic generlizzt. - Criterio del confronto per le serie. - Criterio degli infinitesimi e del confronto sintotico per le serie. - Criterio del rpporto per le serie. - Esempio: l serie esponenzile. - Criterio dell rdice per le serie. - Definizione di serie ssolutmente convergente. - Teorem: l convergenz ssolut di un serie implic l su convergenz. - Criterio di Leibniz per serie termini di segno lterno. - Criterio del rpporto e dell rdice per le successioni. - Definizione di serie di Tylor per funzioni di clsse C. - Reinterpretzione dell serie geometric: l funzione f(x) = 1 1 x coincide con l su serie di Tylor, che è convergente, per ogni x ( 1, 1). - Teorem: condizione sufficiente per l sviluppbilità in serie di Tylor. - Esempi principli: le funzioni seno, coseno, exp sono sviluppbili in serie di Tylor, in tutto R. In prticolre, e x = k=0 1 k! xk per ogni x R. 9