MD3 Disequazioni di primo grado ad una sola incognita

Transcript

1 MD3 Disequzioni di primo grdo d un sol incognit

2 Introduzione Gli intervlli [; ] [; [ ]; ] ]; [ [; + [ ]; + [ x x < < x < x < x x > [ ] [ [ ] ] ] [ [. ]. ] ; ] x ] ; [ x < - ] - [ Qulche esempio [ 2; 4] 2 x 4 [4; 7[ 4 x < 7 ] 5; 10] 5 < x 10 [ ] 2 4 [ [ 4 7 ] ]

3 Poiché gli intervlli sono insiemi di numeri reli, le operzioni insiemistiche di unione e di intersezione sono spesso utili qundo si lvor con gli intervlli. Riprendimo le definizioni di unione e intersezione di insiemi. Unione: A B = {x x A o x B} Intersezione: A B = {x x A e x B} Esercizio: dti gli insiemi A = [ 2; 3], B = ]1; 6[ e C = ]4; + [, rppresent sull rett dei numeri e scrivi, se possiile, come singoli intervlli: A B = [ 2; 6[ A B = ]1; 3] A C = [ 2; 3] ]4; + [ A C = { } B C = ]1; + [ B C = ]4; 6[ Proprietà delle disuguglinze Sino,, c dei numeri reli. Vlgono le seguenti proprietà: 1. Se < llor > 2. Se < e < c llor < c Trnsitiv 3. Se < llor + c < + c Proprietà dell ddizione 4. Se < e: Proprietà dell moltipliczione c > 0 llor c < c c < 0 llor c > c Es. 2 2 < < 8 ( 2) 2 < 4 ( 2) 4 > 8 L qurt proprietà dice in prticolre che se moltiplichimo (dividimo) per un numero negtivo si deve cmire il segno dell disuguglinz! 2

4 Definizioni Si dice disequzione d un incognit un disuguglinz dell form f(x) > g(x) oppure f(x) g(x) con f e g funzioni reli. f(x) e g(x) si dicono memri dell disequzione. Un disequzione è di primo grdo qundo le funzioni f e g sono funzioni ffini. Risolvere un disequzione signific trovre dei numeri reli che, sostituiti ll x, verificno tle disuguglinz. Tli numeri si dicono soluzioni dell disequzione e formno l insieme delle soluzioni. L insieme delle soluzioni di un disequzione è un intervllo di vlori. Due disequzioni sono equivlenti qundo hnno lo stesso insieme delle soluzioni (in uno stesso insieme di definizione, solitmente l insieme dei numeri reli). Per risolvere un disequzione: Utilizz le proprietà e le proprietà delle operzioni in R per ottenere un disequzione più semplice ed ncor equivlente e; Continu il processo fino rggiungere un disequzione l cui soluzione è ovvi. 3

5 Esercizi: disequzioni di primo grdo d un sol incognit 1) 3(x 8) 3(10 x) < 5(x 1) x < 49 2) 18x x ) 4(x 1) x 3(x 2) x R 4) 2x 1 5 x > x S = { } 5) 2x 1 2 < x 2 4x x (2x ) x < ) x (2x 1) 1 8 2x x 1 8 x 8 7) (x 3) 2 < (x 1)(x + 2) + 2 [ x 5 4 (1 31 x + 1)] x > ) ( 6x x) (x + 4 x 3 ) 10x < 19 6 x2 ( x ) x < ) (x 1)(x + 1)(x + 2) + x 2 < (x + 1) x > 2 10) (2x 3)(3x + 1) 2(x 3)(3x + 2) 7x < 0 S = { } 11) 4 3(x 1) [x + ] + (x ) (x 1 3 )(x + 2) x 1 2 4

6 Risoluzione grfic di un disequzione Risolvere grficmente l disequzione: 3 2x 0. Risolvere l disequzione 3 2x 0 equivle determinre i vlori di x per cui, nel grfico dell funzione y = 3 2x, risult 0. L prte del grfico di y = 3 2x in cui y 0 (cioè quell i cui punti hnno ordinte non negtive) è disegnt in line continu nell figur qui sotto e corrisponde i vlori di x per cui x 3 2 ; quindi l disequzione è verifict per x

7 Esercizio Risolvere grficmente l disequzione 4 2x > x + 1 Equivle determinre i vlori di x in corrispondenz dei quli le ordinte dei punti di y = 4 2x sono, prità di sciss, mggiori delle ordinte dei punti di y = x + 1 (rett in rosso). Ciò equivle determinre per quli vlori di x il grfico di y = 4 2x (rett in lu) è sopr il grfico y = x + 1 (rett in rosso). Quindi l disequzione è verifict per x < 1. Risolvi i seguenti esercizi. 1) 5(x 2) x x 3 2 2) 1 4 x 3x + 8 (2 x 2 ) impossiile 3) 5(3 x) 3x 1 x 2 4) x < 3 5 x > 8 6

8 Prolemi d risolvere con disequzioni 1) Per noleggire un utomoile, un compgni di noleggi offre due opzioni. Con l opzione A si pgno di 15,00 CHF di quot fiss più 0,20 CHF per km percorso. L opzione B prevede 10,00 CHF di quot fiss e 0,25 CHF per km. Per qule tipo di viggi è più conveniente l opzione B? A(x) = 0,20x + 15 B(x) = 0,25x + 10 A(x) > B(x) 0,20x + 15 > 0,25x ,05x > 5 x < 5 0,05 x < 100 L opzione B è più conveniente per viggi di percorrenz inferiore i 100 Km. 2) Due compgnie telefoniche offrono le seguenti triffe: l compgni A offre il primo minuto grtis, poi 0,01 CHF ogni 4 secondi di telefont. L compgni B offre le telefonte 0,01 CHF ogni 6 secondi più il costo di 0,02 CHF ll rispost. Qule deve essere l durt di un telefont ffinché l compgni A si più conveniente dell B? A(x) = 0,01 4 B(x) = 0,01 6 (x 60) per x 60 x + 0,02 A(x) < B(x) 0,01 0,01 (x 60) < x + 0, ,01 0,01 x 0,15 < x + 0, ,03x 1,8 < 0,02 x + 0,24 0,01x > 2,04 x > 204 L telefont deve durre più di 204 secondi (3 minuti e 24 secondi). 7

9 3) Un comune decide di dre in pplto il servizio di sgomero dell neve per l inverno Al concorso, pulicto sul foglio ufficile, rispondono tre ditte, che sottopongono le seguenti offerte: - Ditt A: un triff di se di 1000 CHF, più 200 CHF per ogni or di servizio; - Ditt B: nessun triff orri, m 400 CHF per ogni or di servizio; - Ditt C: un triff di se di 1'800 CHF, più 120 CHF per ogni or di servizio. Stilisci second del numero di ore di intervento qule offert risult l migliore. A(x) = x B(x) = 400x C(x) = x Fino 5 ore di intervento l offert migliore risult l B. D 5 10 ore di intervento l offert migliore risult l A. D 10 ore di intervento l offert migliore risult l C. 4) Dt l funzione dell domnd q d = 100 p e l funzione dell offert q o = 2p 20. Determinre prtire d qule prezzo vi è un eccesso dell offert. 100 p < 2p 20 3p < 120 p > 40 Se il prezzo è mggiore di 40 vi è un eccesso dell offert. 8

10 Esercizi: sistemi di disequzione d un sol incognit 1) { (2x 1)2 < 2(x + 1)(x 3) (x 1)(x + 1) > 2 + x 2 2(x 1) impossiile 2) { (x + 1)2 + 2(x 2 2) 3(x + 1)(x 1) 2x(x 3) + (x + 2) 2 > 5 + 3x 2 x < 1 2 (x 5)(x + 3) > x 2 + 2x 5 3) { 1 9 (8 x) + 1 < (1 3 x + 1) Impossiile (x + 2)2 (2 x)(x + 1) + 4) { 3 x (2x + 1) < 3 2x 2 > x 3 2x x + 2 x > 1 4 ( 1 5) { 8 x 2) x 4 x x + 2 > 1 2 x x x 12 6) { 2 [x (2 x)] 3 2 x 0,2x > (1 x)(2,5) < x < 2 x(x + 1) (x 2)(x + 2) 2(x 1) 7) { (x 1) 2 < (x 2)(x + 3) x > 7 3 9