Esercizi di Analisi Matematica

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1 Università degli Studi di Udine Anno Accdemico 07/8 Diprtimento di Scienze Mtemtic, Informtiche e Fisiche Corsi di Lure in Informtic e in IBW Esercizi di Anlisi Mtemtic Esercizi del 7 ottobre 07. Nell rppresentzione decimle di un numero irrzionle non c è nessun blocco di 5 cifre che si ripet infinite volte. O sì? E per un numero rzionle?. Chimimo x il numero decimle infinito ottenuto giustpponendo le rppresentzioni in bse dieci dei numeri nturli in questo modo: x = 0, Dimostrre che x non è periodico. 3. Chimimo x il numero decimle infinito ottenuto fcendo sequenze crescenti di zeri e di uni in questo modo: x = 0, Dimostrre che x non è periodico. 4. Interpretre i puntini nelle seguenti espressioni: {, 3, 5, 7, 9,..., 9}, {, 3, 5, 7, 9,...}, {..., 3,,, 0}, {,, 3,..., {, 7}, 3, 3 4, 4 } 5,..., {,, 3, 4,..., n }, {,, 3, 4,...}, {,, 3 3, 4 4,..., n n }, {,, 3 3, 4 4,..., n n,...}, {n, (n + ), (n + ),..., (n) }. 5. Trovre il qudrto successivo dell sequenz seguente: e poi rppresentre il generico n-esimo qudrto. 6. Quli fr le seguenti frsi possono essere enunciti di teoremi, di definizioni mtemtiche, o nessuno dei due? Dto un tringolo, trccire l bisettrice di uno degli ngoli. Il rettngolo è un poligono con quttro lti Trovre un x per il qule x 3x < 0. Il qudrto è un qudriltero con quttro ngoli retti Il qudrto è un rettngolo con quttro lti uguli 7. Seprre ipotesi d tesi nell enuncito seguente: si A un insieme con n elementi. Allor l insieme di tutti i sottinsiemi di A h n elementi. 8. Riscrivere l enuncito seguente in modo d seprre un ipotesi d un tesi: il prodotto di due numeri dispri è dispri.

2 9. Dimostrre che l insieme dei numeri positivi dispri è numerbile. 0. Dimostrre che l insieme delle potenze di è numerbile.. Dimostrre che l insieme N N è numerbile.. Vero, flso, senz senso? + = + log( + x), = log x 3 + x x + x + x = 3 + x 4 x + x, x x + x + = +, log(x) x ( + x), x = log (x) x, sen( x)( + x) = sen( x ), cos( b)( + b) + b = cos( b), cos = 0, + = + b + + b + 3, + b b + = b + b + 3. = I connettivi logici che useremo sono l negzione (not), l disgiunzione (or), l congiunzione (nd), l impliczione (if... then... ), l impliczione invers, l doppi impliczione o equivlenz (iff). Si rmment l tbell di verità: p q p p q p q p q p q p q vero vero flso vero vero vero vero vero vero flso flso flso vero flso vero flso flso vero vero flso vero vero flso flso flso flso vero flso flso vero vero vero 3. Di ciscun delle seguenti espressioni dire innnzitutto se hnno senso, poi se hnno o no un vlore di verità (vero o flso), e, se sì, qule: 4 + =, 4 = 3, = 5, 3 7, 5 4 = 4 5, ( ) = (3 ), = 5 7 3, = 7 9 7, 3 4 = 3 + 5, / 3/5 = 3 5, 3/ 5/7 = 3 7 5, 3/ 5/7 = 3 7 5, 3, , ( ) 5 < ( ) 4 7, < 3 <, , >, > ± 3 + = + = 3, = + = 3, 3 π 3 < π, 3 π 3 < π, Q, Q, 3 {R}, { } {Z}, {, /} Q.,

3 4. Di ciscun delle seguenti espressioni discutere innnzitutto se hnno senso, poi se hnno o no un vlore di verità (vero o flso) per vlori reli generici delle vribili, e, se sì, qule: + b = b +, b = b, b = b +, ( x), x y = y x, ( + b + c)( b c) = b c + b = + b, = b c d + e, = c(d + e), b b c d+e = b d + e, c ( x 4 x + = x b c d+e b c d x 4 + x b c d+e = b d c, b + c d = b + d c, ), x b = x + b x 4b. 5. Un quiz pprso in rete: 6. Discutere l gestione dell ordine delle operzioni in questo clcoltore: 7. Supponimo di spere che vgono le impliczioni seguenti p p p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 Se p è vero, quli ltri sono necessrimente veri? Se p 7 è vero, quli ltri sono veri? Se p 4 è vero, quli ltri lo sono? E per p 8? E se p è flso, quli ltri sono flsi? 3

4 8. Di ciscun delle seguenti espressioni dire innnzitutto se hnno senso, poi se hnno o no un vlore di verità (vero o flso), e, se sì, qule (l vribile x si intende rele): 7 8, ( ), ( > 3), 4 < vero, vero 3 > 4, vero +, flso, , vero flso, flso + = 4., < 3 4 = +, =, flso flso, 3 { 3, }, {, } 0, x + = x x, x < 0 x { }, (x ) 0 R, ( 0 < x x 3 ) 0 < x x Di ciscun delle seguenti espressioni discutere innnzitutto se hnno senso, poi se hnno o no un vlore di verità (vero o flso) per vlori reli generici delle vribili, e, se sì, qule: 3x + < y 3x + 3 < y +, 3x + < y 3x + 3 < y +, ( ) 3x x /3, 3x x /3, x < x < x + < 0, ( ) ( ) x > 3 3x > 9, x > x < vero, x < x flso x > 0 x > 0, x > x > ( ), x > x >, x > x < ( ), x x, x ±, x = ±5, ± < x Vero, flso, mlformto, senz senso? = b b =, { + b = c b = c x + x 3 = x 3 = x x = x = (x )(x ) = 0, { + b = c b = c = c, { + b = c b = c = c = c,. Ai tempi delle trsvolte oceniche, ttorno l 930, fu conito un motto di cui ho trovto in rete tre versioni. Un è Chi vol vle, chi non vle non vol, chi vle e non vol è un vile. Un ltr è Chi vol vle, chi non vol non vle, chi vle e non vol è un vile. L terz è Chi vle vol. Chi vol vle. Chi vle e non vol è un vile!. Frne l nlisi logic.. Discutere l vlidità dell seguente cten di impliczioni: = b = b b = b b ( + b)( b) = b( b) ( + b) = b + = = =. 3. Nelle espressioni seguenti, si possono cncellre delle coppie di prentesi in modo che rimng inlterto il vlore? (b) + ( ( + b), ( x), (b + ), ) +, x x + 3 (x 3), (log x)y, (cos x )x, (tn x) (tn y), sen (x + π), (x y), 3 (x), ( + ). 4

5 4. Al posto dei punti interrogtivi inserire il più pproprito fr =,,,, o niente: x = x? x + = x, x? (x )(x + ), x =? (x ) =, x >? x + >, x <? (x ) <, x < 3 <? x + < 4, { x <? x > y, > y x > x < 4? x > 4, < x > 4? < x < 4, < x > 4? x > 4, > x < 4? x <, > x < 4? x < 4, (x 3 x + 5)(3x ) = 0? (x 3 x + 5) = 0 (3x ) = 0 n < 0? n < 0 xy b? x y b, xy b? x y b, 0 = b? = b, 0 < b? < b, 0 b? b, n Z? n < 3 n, n Z? n Z. 5. Al posto dei punti interrogtivi inserire il più pproprito fr,,, o niente: x y? y x, x y z? x z, x y z w? x + z y + w x y z = w? x + z y + w x 0? x > 0 x 0? x < 0 x 0? x > 0 x < 0 x 0 x? vero x 0 x? flso x 0 x? 0 < x < x 0 x? x < 0 0 < x < x > Esercizi del 5 ottobre 07 5

6 Di seguito dimo degli esempi di come rppresentre grficmente semplici insiemi di numeri reli. Il grfico h in lto i vlori crdine dell vribile. In bsso i pllini pieni significno punti che pprtengono ll insieme, i pllini vuoti sono per punti che non pprtengono ll insieme, le linee continue indicno che tutti i loro punti (esclusi forse gli estremi) pprtengono ll insieme. Le linee continue che proseguono come trtteggite si intende che si estendono fino ll infinito. Un modo per indicre un insieme è l form comptt che non contiene vribili, come per esempio [0, [: [[ Un ltr notzione è l insieme degli x reli che verificno certe condizioni, come per esempio {x R 0 x < }: { < } Un ltro modo ncor è l insieme delle soluzioni di un disequzione, per esempio 0 x < : < Altri esempi: { < } { < } { < } { < } { } - - < - - < > Nel grfico precedente non sono stte rispettte le proporzioni delle distnze fr i vlori di x. Se serve si possono nche rispettre: - - < - - < > 6

7 - {-} Qundo l insieme è formto d infiniti punti discreti e si rispettno le proporzioni i punti si possono ccvllre: N 6. Dre un rppresentzione grfic dei seguenti insiemi di numeri reli: 7. Vero, flso, mlformto? {, 4}, {, } {0}, {x x < 0}, {x x < 0 x = }, {x x < x > 9}, {x x < }, {x x < 0}, { } n {,, 3, 4}. n x {0,,, 3} x > ; x {0,,, 3} tle che x > ;!x {0,,, 3} tle che x > ; n N n + n ; x R x > x > ; x R tle che x > x > ; x R x > x 0; ( x R x > ) ( x R x > 0). 8. Delle seguenti espressioni dire quli hnno senso compiuto, e in tl cso se sono vere o flse o ltro: x R tle che x < 0, x R tle che x < 0, x R : (x ) 0, x <, { x < }, { x R x > 0}, {x x R}, { x x }, { x R}, {x R [0, ] [3, 5]}. 9. Voglimo formlizzre l ffermzione tutti gli uomini hnno gli stessi diritti. Si U l insieme di tutti gli uomini. Qule delle formulzioni seguenti è corrett? U x U U h gli stessi diritti, x h gli stessi diritti, x U x h gli stessi diritti di U, x, y U x h gli stessi diritti di y. 7

8 30. Voglimo formlizzre l ffermzione gli esseri umni sono tutti diversi. Si U l insieme di tutti gli esseri umni. Qulcun delle formulzioni seguenti è corrett? x U x è diverso, x U x è diverso d U, x, y U x y. 3. Dre un rppresentzione grfic degli insiemi di numeri reli x che verificno le condizioni seguenti: x < x > 3, x < x > 3, (x < 0), x < x =, x < x <, x < x < 0, x > x > 4, x R \ {, }. 3. Si A l insieme che comprende i numeri reli > e quelli <, e nessun ltro. Dire quli dei seguenti insiemi coincidono con A: {x R x > x < }, {x R x > x < }, {x R (x )(x + ) > 0}, {(x )(x + ) x R, (x )(x + ) > 0}, ], [ ], + ], ], [ ], + ] 33. Usndo le regole di bse delle disuguglinze, dimostrre che se, b, c > 0 llor /(b + c) < /b < ( + c)/b. Cioè se si prte d un frzione positiv, quest ument se si ument il numertore, m cl se si ument il denomintore. 34. Dimostrre che x/( + x ) x qundo x L sottrzione è commuttiv? È ssocitiv? L divisione è commuttiv? È ssocitiv? L elevmento potenz è commuttivo? È ssocitivo? Come vnno interprette espressioni come 3, //3, 34, /bc? Esercizi del 3 novembre Risolvere le seguenti disequzioni: mx{x, } < x, mx{x, x} > x, min{x, x} 0, min{x, x} < mx{ + x, }, min { x, 3 x } < x. 37. Vero o flso? (Per ogni vlore rele delle vribili che rend senst l espressione). mx{x, y} = mx{x, y}, 3 mx{x, y} = mx{3x, 3y}, x + y + x y x + y x y mx{x, y} =, min{x, y} =, min{x + y, x y} = x y, mx{x/y, y/x} = (x + y)/(x y), min{x, y, z} = mx { x, mx{y, z} }, mx{x, y} = min{ x, y}, min{ x, y} = mx{x, y}, mx { x + z, y + z } = z + mx{x, y}, { mx x, } y = min{x, y, x < min x, y, x mx{x, x + }. } 8

9 38. Disegnre il grfico delle funzioni seguenti: f(x) := mx{x, x}, f(x) := min{x, 3x + }, f(x) := mx{ x, 3 + x, }, f(x) := min{x, x }, f(x) := x + mx { x, min{x, 3x} }, f(x) := x 3x +, f(x) := mx{x, 5 x}, f(x) := min{x, 5 x} Qundo si chiede di studire grficmente il segno di un espressione, bisogn indicre in form grfic per quli vlori dell vribile l espressione è > 0, qundo è = 0, qundo è < 0, ed eventulmente qundo non h senso. L convenzione grfic in questo corso è che i trtti continui indicno zone in cui l espressione è > 0, trtti trtteggiti zone in cui è < 0, pllini sono punti in cui è = 0, e qudrtini vuoti e linee zigzg punti in cui l espressione non esiste. Sono mmissibili convenzioni diverse, in prticolre quell con segni + e invece di trtti continui o trtteggiti, m comunque bisogn che ci si un modo chiro di indicre qundo l espressione vle 0 o non esiste, cos che molti studenti non hnno imprto fre bene lle superiori. I csi bse dello studio del segno sono qundo l espressione è un polinomio di primo o secondo grdo. Prim di tutto rccomndo di trovre dove il polinomio si nnull, segnndo il punto sull rett, e poi di ssegnre line continu o trtteggit in cui viene divis l rett, iutndosi con un disegnino dell funzione polinomio. Qundo il grdo è, cioè qundo l espressione è del tipo mx + q, il trtteggio è sinistr se m < 0 e destr se m > 0. Qundo il grdo è, cioè x + bx + c, bisogn vedere se l prbol incontr o no l sse x, e in qunti punti

10 Qundo l espressione è il reciproco di un polinomio di primo o secondo grdo, gli zeri del polinomio sono punti di non esistenz dell espressione. Questi punti si segnlno vistosmente nel grfico con un qudrtino vuoto e un line zigzg verticle. Per il resto il reciproco h lo stesso segno del polinomio Trccire lo schem grfico del segno delle espressioni seguenti: x +, 3x, 3 x, x 3x, (3x ), x x, x +, + x x, /(x ), x + x, x x. Qundo si chiede di studire il segno di un espressione che è il prodotto di fttori di primo o secondo grdo (o loro reciproci), si pplic l regol dei segni. Lo schem grfico riport il segno dei singoli fttori, e poi il segno risultnte ( + ) Fre lo schem grfico del segno delle espressioni seguenti: (x x )(x + ), (x + 3)( 3x + x ), ( x + )(x + x + ), 4. Risolvere le disequzioni rzionli seguenti: x + x x, x + x + x, x + x x x <, 6 + 3x 6x + 3 x + 5 > 0, x x + 6 x 0, x + x 3 x < 0, + 0 x 3x x 3x + 4, 3x + x + x 5 x.

11 4. Risolvere le disequzioni con vlori ssoluti seguenti: 5 + 3x <, x 4, + 4x x < 0, x 3 x +, x 6 < 0, 5 + 3x 3x + 6 < 0, 6x + 4x + > 0, 3x 4 x x, 5 x > x, 5x + 3 x + 5 > 5x + + x. 43. Risolvere i seguenti sistemi di disequzioni: { { 5 + 6x + x > 0 6x + x < 0 x + 3x + 6x + 6 3x < 0 x < 4 x x + < { (4x 3) 5x + 6 < 0 5(x 4) < 0 3x 4x x x > 0 x + > 0 3x x x + x < 44. D < b segue che < b? Segue che < b? 45. Vero o flso: n N si h che n 5n + 6 0, n Z si h che 3n 4n + <, n N tle che 3n n Riscrivere le formule seguenti usndo connettivi logici (,...) e disuguglinze <,..., m senz usre simboli di insiemi o intervlli, presupponendo sempre che l vribile x si mbientt in R (esempio: x [0, ] divent 0 x ): x R \ {, 0}, x ], + [, x ], + [ \ {5}, x ], [ ], [, x R. 47. Per ognun dei predicti seguenti, scrivere l insieme degli x R che lo rendono vero, usndo le notzioni degli intervlli, e senz usre l vribile x (esempio: x > divent ], + [): x < 3, x < 0 x, x, x x, x x, ( y > 0 si h che x < y), ( y > 0 si h che x y), ( y Z tle che x y). 48. Studire il segno delle espressioni seguenti, cioè dire per quli x sono positive, negtive, nulle: ( x)(x + x 3), x 3, + x x, x + 6 4(3x ), 4x + 7x (5 x) 3, 3x + x x x, x4 + x.