Calcolo differenziale

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1 Calcolo differenziale Algebra delle derivate Derivata di una funzione composta Derivata della funzione inversa Derivata di funzioni simmetriche Politecnico di Torino 1

2 f,g Siano funzioni derivabili in sono derivabili in x 0 le funzioni f(x) ± g(x) f(x)g(x) Algebra delle derivate x 0 R f(x) g(x) se g(x 0 ) 6= Politecnico di Torino 2

3 Algebra delle derivate Inoltre si ha (f ± g) 0 (x 0 )=f 0 (x 0 ) ± g 0 (x 0 ) (f g) 0 (x 0 )=f 0 (x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g 0 (x 0 ) µ f g 0 (x 0 )= f 0 (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g 0 (x 0 ) g(x0 ) 2 5 Si ha Dimostrazione (f g) 0 (x 0 )=f 0 (x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g 0 (x 0 ) f(x) g(x) f(x 0 ) g(x)+f(x 0 ) g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) = lim x x 0 x x 0 µ f(x) f(x0 ) = lim g(x)+f(x 0 ) g(x) g(x 0) x x 0 x x 0 x x 0 = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 lim x x 0 f(x) g(x) f(x 0 ) g(x 0 ) x x 0 g(x) g(x 0 ) lim g(x)+f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 x x 0 = f 0 (x 0 ) g(x 0 )+f(x 0 ) g 0 (x 0 ) Politecnico di Torino 3

4 f,g Siano funzioni derivabili in è derivabile in x 0 la funzione Linearità della derivata x 0 R αf(x)+βg(x), α, β R 7 Linearità della derivata Inoltre si ha (αf + βg) 0 (x 0 )=αf 0 (x 0 )+βg 0 (x 0 ) Politecnico di Torino 4

5 Dimostrazione (αf + βg) 0 (x 0 )=αf 0 (x 0 )+βg 0 (x 0 ) Risulta (αf + βg) 0 (x 0 )=(αf) 0 (x 0 )+(βg) 0 (x 0 ) = αf 0 (x 0 )+βg 0 (x 0 ) 9 Esempio 1 Consideriamo il generico polinomio P (x) =a n x n + a n 1 x n a 1 x + a Politecnico di Torino 5

6 Esempio 1 Applicando le proprietà precedenti si ha P 0 (x) =na n x n 1 +(n 1)a n 1 x n a 1 Ad esempio f(x) =5x 3 2x 2 +7, f 0 (x) =15x 2 4x 11 Esempio 2 Consideriamo la funzione f(x) = 4x3 5x x Politecnico di Torino 6

7 Esempio 2 Applicando le proprietà precedenti si ha f 0 (x) = (12x2 5)(1 2x) (4x 3 5x +1)( 2) (1 2x) 2 = 12x2 5 24x 3 +10x +8x 3 10x +2 (1 2x) 2 = 16x3 +12x 2 3 (1 2x) 2 13 Esempio 3 Consideriamo la funzione f(x) =x 2 cos x Politecnico di Torino 7

8 Esempio 3 Applicando le proprietà precedenti si ha f 0 (x) =2x cos x x 2 sin x 15 Esempio 4 Consideriamo la funzione f(x) =tanx = sin x cos x Politecnico di Torino 8

9 Esempio 4 Applicando le proprietà precedenti si ha f 0 cos x cos x sin x( sin x) (x) = cos 2 x = cos2 x +sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x =1+tan2 x Politecnico di Torino 9

10 Derivata di una funzione composta Sia una funzione derivabile in e sia g(y) una funzione derivabile in y 0 = f(x 0 ) f(x) la funzione composta è derivabile in x 0 e si ha x 0 R g f(x) =g(f(x)) (g f) 0 (x 0 )=g 0 (y 0 )f 0 (x 0 )=g 0 (f(x 0 ))f 0 (x 0 ) 19 Consideriamo la funzione Risulta da cui e quindi h = g f f(x) =1+3x, con h(x) = 1+3x g(y) = y f 0 (x) =3, g 0 (y) = 1 2 y h 0 (x) = 1 2 y 3 = x Esempio Politecnico di Torino 10

11 Esempio 2 Consideriamo la funzione h(x) = log sin 2x h = g f con f(x) =sin2x, g(y) =logy f = ψ ϕ con ϕ(x) =2x, ψ(y) =siny da cui f 0 (x) =ψ 0 ϕ(x) ϕ 0 (x) =cos2x 2=2cos2x e quindi h 0 (x) =g 0 f(x) f 0 (x) = 1 2 cos 2x =2cotan2x sin 2x Politecnico di Torino 11

12 Sia f Derivata della funzione inversa una funzione continua e invertibile in e sia f derivabile in x con f 0 0 (x 0 ) 6= 0 la funzione inversa f 1 (y) y 0 = f(x 0 ) e si ha I(x 0 ) è derivabile in (f 1 ) 0 (y 0 )= 1 f 0 (x 0 ) = 1 f 0 (f 1 (y 0 )) 23 Esempio 1 Calcoliamo la derivata della funzione g(x) = arctan x Consideriamo dapprima la funzione y = f(x) =tanx, per cui f 0 (x) =1+tan 2 x Politecnico di Torino 12

13 Esempio 1 Si ha x = f 1 (y) = arctan y e (f 1 ) 0 (y) = 1 f 0 (x) = 1 1+tan 2 x = 1 1+y 2 25 Esempio 1 In definitiva g(x) = arctan x, g 0 (x) = 1 1+x Politecnico di Torino 13

14 Esempio 2 Calcoliamo la derivata della funzione g(x) =arcsinx Consideriamo dapprima la funzione y = f(x) =sinx, x π 2, π 2 per cui f 0 (x) =cosx = p 1 sin 2 x, x π 2, π 2 27 Esempio 2 Si ha x = f 1 (y) =arcsiny e (f 1 ) 0 (y) = 1 f 0 (x) = = 1 p 1 sin 2 x 1 p 1 y Politecnico di Torino 14

15 Esempio 2 In definitiva g(x) = arcsin x, g 0 (x) = 1 1 x 2 29 Esempio 3 Calcoliamo la derivata della funzione g(x) =log a x Consideriamo dapprima la funzione y = f(x) =a x, da cui f 0 (x) =a x log a Politecnico di Torino 15

16 Esempio 3 Si ha x = f 1 (y) =log a y e (f 1 ) 0 (y) = 1 f 0 (x) = 1 a x log a = 1 y log a 31 Esempio 3 In definitiva g(x) =log a x, g 0 (x) = 1 x log a In particolare g(x) =logx, g 0 (x) = 1 x Politecnico di Torino 16

17 Derivata di funzioni simmetriche Sia f una funzione pari (rispettivamente dispari) derivabile in tutto il suo dominio la derivata f 0 è una funzione dispari (rispettivamente pari) Politecnico di Torino 17

18 Dimostrazione f pari f 0 dispari f pari f(x) =f( x), x dom f f 0 (x) = f 0 ( x), x dom f f 0 dispari 35 Tabella Dx α = αx α 1, α R D sin x =cosx D cos x = sin x D tan x =1+tan 2 x = 1 cos 2 x Politecnico di Torino 18

19 Tabella D arcsin x = 1 1 x 2 1 D arccos x = 1 x 2 D arctan x = 1 1+x 2 37 Tabella Da x = a x log a D e x =e x in particolare D log a x = 1 x log a in particolare D log x = 1 x Politecnico di Torino 19