Analisi Matematica I

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1 PRIMA FACOLTÀ DI INGEGNERIA DEL POLITECNICO DI TORINO Classe delle Ingegnerie Industriali Lauree in Ingegneria Chimica, Elettrica, dei Materiali Anno Accademico 3/ Analisi Matematica I Materiale didattico ed esercizi per il lavoro individuale Progetto per il miglioramento della qualità della didattica del Dipartimento di Matematica

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3 Indice Prerequisiti Prima esercitazione 5. Intervalli e intorni Gli insiemi numerici Sommatorie Seconda esercitazione. Le funzioni e gli operatori geometrici Funzioni composte Logaritmi e esponenziali Funzioni elementari reali Proprietà qualitative delle funzioni Terza esercitazione 3 3. Algebra dei limiti, limiti di funzioni composte Teorema del confronto Limiti notevoli Quarta esercitazione 9. Derivate Quinta esercitazione Studi di funzione Sesta esercitazione 3 6. Formula di Taylor Esercizi Settima esercitazione 7 7. Integrali iii

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5 Prerequisiti Prerequisiti all insegnamento universitario dell Analisi Matematica sono: algebra elementare, geometria analitica, equazioni e disequazioni, sistemi lineari e sistemi di disequazioni, calcolo con i logaritmi, trigonometria, semplici nozioni di teoria degli insiemi. Gli esercizi che seguono si riferiscono ad alcuni di questi argomenti e vengono dati unicamente a scopo di ripasso. Esercizio. Scrivere l equazione delle rette: (a) passante per (3, ) e per (3, 7). (b) passante per (, ) e inclinata di π rispetto all asse delle x positive. (c) per (, ) e parallela alla retta del punto (b). (d) per (3, ) e perpendicolare alla retta y = x. Esercizio. Scrivere l equazione delle circonferenze: (a) di centro (, ) e raggio r. (b) di centro (, ) e raggio. (c) di centro (, ) e raggio. (d) di centro ( 3, ) e passante per l origine. Esercizio.3 Determinare le intersezioni fra le curve y = mx e y = 3 x 3x + 3, al variare di m R. Esercizio. Determinare le intersezioni fra le curve y = mx e y = x, al variare di m R. Esercizio.5 Determinare le intersezioni fra le curve y = mx m + e x = y, al variare di m R. Esercizio.6 Risolvere in R le seguenti equazioni: (a) x + = 3x (b) x + = x 3 (c) x x + = (d) x + 7x = (e) (x 3 x )(x + 5) = (f) (x 5)(3x 5) = (g) x = (h) x + 3 x = (i) x = x (j) x + + x = Esercizio.7 Nell esercizio precedente, al posto del segno di = porre un segno di, e risolvere le disequazioni ottenute. Esercizio.8 Risolvere in R le seguenti equazioni irrazionali:

6 (a) 5 x 7 = x (b) 3 x x = x (c) x x = (d) x+ + x x = x x 7 x (e) x+ + x+ 7 x = (f) x + 3 = 7 x 6 x 3 Esercizio.9 Risolvere i seguenti sistemi: (a) (c) (e) { x + y = 3 { x y = x + 3y = x 6y = { x + y + x y = x + y = { x + y = 6 (b) { x + y = 3(x + y) xy = 9 (d) {(x + y) xy = 9 x + x (f) + y = y + x + y = 3 Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) (x )(x ) > ; (b) x + 3x + > (c) (x + ) 8 (x ) (d) x + 5x > (e) (x + )(x )(x 5 3 ) > (f) x x x + (g) x 3 5x+ > x 3 (h) x < (i) 3x x > 3 x x + (j) x x+ < (k) x + x x 3 (l) x + x + x (m) x 3x+ (n) 7 x x (o) 7 x x 3 (p) (x )( x + 3) > x + 3 (q) x + < x (r) (x + )(x ) x + 5 (s) x + < x (t) x 3 x + > Esercizio. Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni: (a) (c) { 3x > x + { 6x + 5 < x 3 x 3 x { x (b) 9 < { 6x + > 3 x (d) 3 x + 5x > x + x < Esercizio. Delle seguenti affermazioni, dire quali sono vere e quali sono false. (a) sin(α + β) = sin α + sin β VERO FALSO (b) tg α = cotg α VERO FALSO (c) cos nx = n cos x VERO FALSO (d) sin ( ) x + 3π = cos x VERO FALSO (e) sin x = = x = π VERO FALSO Esercizio.3 Delle seguenti affermazioni, dire quali sono vere e quali sono false. (a) log(a + b) = log a + log b VERO FALSO (b) log(ab) = log a + log b VERO FALSO (c) log(a + b) = log a log b VERO FALSO (d) log x = log x VERO FALSO (e) (log x) = log x VERO FALSO

7 Esercizio. Delle seguenti affermazioni, dire quali sono vere e quali sono false. (a) = VERO FALSO (b) 3 = 6 VERO FALSO (c) a 3 a = a 6 VERO FALSO (d) (a 3 ) = a 6 VERO FALSO SOLUZIONI Esercizio.. (a) x = 3; (b) y = x; (c) y = x ; (d) y = x + 5 Esercizio.. (a) x + y = r ; (b) x + y x y + = ; (c) x + y + x + y + = ; (d) x + y + 6x 8y = Esercizio.3. Due punti di intersezione distinti per m < 6 e m > ; due punti di intersezione coincidenti per m = 6 e m = ; nessuna intersezione per 6 < m <. Esercizio.. Due punti di intersezione distinti per ogni m R. Esercizio.5. Due punti di intersezione distinti per m /, m ; un unico punto di intersezione per m = ; per m = / la retta e la parabola sono tangenti. Esercizio.6. (a) x = 3 (b) x = / (c) nessuna soluzione reale (d) x, = 7± 57 (e) x, =, x 3 =, x = 5 (f) x = 5, x = 5, x 3 = 5/3 (g) x =, x = (h) x = 3+ 7, x = 3 7 (i) x = (j) nessuna soluzione reale Esercizio.7. (a) x 3 (b) x / (c) per ogni x R (d) x 7 57 e x (e) x 5 3, x = e x (f) 5 x 5 3 e 5 x (g) x e x (h) x 3 57 e x (i) x (j) per ogni x R Esercizio.8. (a) x = 3, x = (b) x =, x = /, x 3 = 5/

8 (c) x = 5 (d) x =, x,3 = ± 3 (e) x = 3 (f) x = 5 Esercizio.9. (a) (x, y) = (, ) (b) impossibile (c) tutte le coppie (t, t+ 3 ), t R (d) (x, y ) = (3, ), (x, y ) = (, 3), (x 3, y 3 ) = (3, 5), (x, y ) = ( 5, 3) (e) (x, y) = (, ) (f) (x, y) = ( 3 + 3, + 3), (x, y) = ( 3 3, 3), Esercizio.. (a) x < e x > (b) < x < (c) x (d) x < 5 e x > 5+ (e) < x < e x > 5/3 (f) 3 3 x 3+ 3 (g) x < /5 e x > 3/ (h) x < e x > (i) < x < e 3 < x < 5 (j) x < e < x < (k) qualunque sia x R (l) x + 3 (m) per nessun x R (n) x 7/ (o) x + (p) 3 < x 3 (q) x < 5 3 (r) 3 77 x e x (s) < x < 5 e x > + 5 (t) < x 3 Esercizio.. (a) nessuna soluzione; (b) 6 < x < 3; (c) x e x 3 ; (d) nessuna soluzione Esercizio.. (a) F; (b) V; (c) F; (d) V; (e) F Esercizio.3. (a) F; (b) V; (c) F; (d) V; (e) F Esercizio.. (a) F; (b) F; (c) F; (d) V

9 Prima esercitazione. Intervalli e intorni L insieme ]a, b[= {x R : a < x < b} si dice intervallo aperto di estremi a e b. L insieme [a, b] = {x R : a x b} si dice intervallo chiuso di estremi a e b. Si dice distanza fra due elementi a, b R il numero non negativo a b. Si dice intorno di x ogni intervallo aperto contenente x. Si dice intorno simmetrico (o semplicemente intorno) di centro x e raggio r l insieme di tutti i punti che hanno distanza da x minore di r: {x R : x x < r} = (x r, x + r). Si dice intorno di + ogni semiretta aperta (a, + ). Si dice intorno di ogni semiretta aperta (, b). Esercizio. (a) Scrivere in forma di intervallo l intorno di centro e raggio 5. (b) Scrivere in forma d intervallo l intorno di di raggio 3. Esercizio. (a) Determinare l intorno di x = di raggio massimo contenuto in [, 6). (b) Determinare l intorno di x = di raggio massimo contenuto in [, 6). Esercizio.3 (a) Calcolare la distanza fra -3 e 5. (b) Determinare l insieme dei punti che hanno distanza da x superiore a. (c) Determinare l insieme dei punti che distano meno di 3 e più di da x =. Tale insieme contiene un intorno di x =? Esercizio. Scrivere un intorno di + che contiene x = π. Esercizio.5 Sia dato l insieme A = {x R : < x < 6}. Si può concludere con certezza che: (a) A è un intorno di. VERO FALSO (b) A è unione di due intervalli disgiunti. VERO FALSO (c) A è unione di due intervalli chiusi. VERO FALSO (d) A contiene un intorno di. VERO FALSO

10 Esercizio.6 Sia dato l insieme B = ( 3, 5). Si può concludere con certezza che: (a) B è un intorno di centro l origine e raggio 5. VERO FALSO (b) B è un intorno di centro e raggio. VERO FALSO (c) B = {x R : (x ) < 6}. VERO FALSO (d) B = {x R : x < 6}. VERO FALSO Esercizio.7 Sia dato l insieme C = {x R : < x 8 < π}. Si può concludere con certezza che: (a) C è un intorno di 8. VERO FALSO (b) C è un intorno di centro π. VERO FALSO (c) C è un intervallo aperto. VERO FALSO (d) C non è un intervallo. VERO FALSO Esercizio.8 Sia dato l insieme D = {x R : x 3 }. Si può concludere con certezza che: (a) D contiene un intorno di +. VERO FALSO (b) D è unione di due intervalli limitati. VERO FALSO (c) D è unione di due semirette chiuse. VERO FALSO (d) / D. VERO FALSO Esercizio.9 Sia dato l insieme E = {x R : < x < 3} {x R : < x < }. Si può concludere con certezza che: (a) E contiene un intorno di. VERO FALSO (b) E contiene un intorno di. VERO FALSO (c) E è un intervallo. VERO FALSO (d) / E. VERO FALSO SOLUZIONI Esercizio.. (a) {x R : x < 5} = ( 3, 7); (b) {x R : x < 3} = ( 3, 3). Esercizio.. (a) (, + ); (b) (, + ). Esercizio.3. (a) 8; (b) {x R : x x > } = (, x ) (x +, + ); (c) {x R : < x + < 3} = (, ) (, ). Non contiene un intorno di zero. Esercizio.. (3, + ). Esercizio.5. A = ( 6, ) (, 6). Quindi: (a) F, (b) V, (c) F, (d) V. Esercizio.6. (a) F, (b) V, (c) V, (d) F. Esercizio.7. C = (8 π, 8) (8, 8 + π). Quindi: (a) F, (b) F, (c) F, (d) V. Esercizio.8. D = (, ] [5, + ). Quindi: (a) V, (b) F, (c) V, (d) V. Esercizio.9. E = (, ) (, 5). Quindi: (a) V, (b) F, (c) F, (d) F.

11 . Gli insiemi numerici Si dice che un sottoinsieme A R è limitato inferiormente se esiste h R tale che A [k, + ). A è limitato superiormente se esiste k R tale che A (, k]. Diciamo infine che A è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente, cioè se esistono h, k R tali che A [h, k]. Si dice che b R è un minorante di A se b a, per ogni a A. Si dice che c R è un maggiorante di A se a c, per ogni a A. Se A è limitato superiormente, si dice estremo superiore di A il più piccolo dei suoi maggioranti. L estremo superiore S di un insieme limitato esiste sempre in R, e si indica con sup A. Se S A, si dice che è il massimo di A, e si indica con max A. Se A è superiormente illimitato, si dice che sup A = +. Se A è limitato inferiormente, si dice estremo inferiore di A il più grande dei suoi minoranti. L estremo inferiore s di un insieme limitato esiste sempre in R, e si indica con inf A. Se s A, si dice che è il minimo di A, e si indica con min A. Se A è inferiormente illimitato, si diche che inf A =. Esercizio. Dire se i seguenti insiemi sono limitati; calcolarne inoltre estremo superiore e inferiore, specificando se sono anche massimo e minimo. { } { } (a) A = n+ : n N (b) B = n+ : n Z (c) C = { { } n n : n N \ {}} (d) D = ( ) n+ n : n N (e) E = { x : x + x <, x R } (f) F = {x R : < x + 5 < 8} Esercizio. Sia dato l insieme A = { sin k π : k Z}. Si può concludere con certezza che: (a) è limitato. VERO FALSO (b) contiene infiniti elementi. VERO FALSO (c) ha massimo. VERO FALSO (d) ha un estremo inferiore che non è minimo di A. VERO FALSO Esercizio. Sia dato l insieme B = { n : n N \ {}}. Si può concludere con certezza che: (a) sup B =. VERO FALSO (b) inf B =. VERO FALSO (c) B è illimitato inferiormente. VERO FALSO (d) B. VERO FALSO Esercizio.3 Sia dato l insieme C = {x R : < x < 3}. Si può concludere con certezza che: (a) C è illimitato superiormente. VERO FALSO (b) max C = 3. VERO FALSO (c) inf C = 3. VERO FALSO (d) C (, + ). VERO FALSO { } Esercizio. Sia dato l insieme D = e n : n Z \ {}. Si può concludere con certezza che: (a) 3 è un maggiorante di D. VERO FALSO (b) D. VERO FALSO (c) max D = e. VERO FALSO (d) D non ha minimo. VERO FALSO

12 Esercizio.5 Sia dato l insieme E = { x R : x }. Si può concludere con certezza che: (a) min E =. VERO FALSO (b) è un minorante di E. VERO FALSO (c) [, + ) è un insieme di maggioranti di E. VERO FALSO (d) E è illimitato superiormente. VERO FALSO SOLUZIONI Esercizio.. (a) A è limitato, max A =, inf A = / A. (b) B è limitato, max B =, min B =. (c) C è illimitato superiormente, limitato inferiormente. sup C = +, min C =. (d) D è limitato, min D =, max D = 3. (e) E è limitato; min E =, sup E = / E. (f) F è limitato; inf F = 3 / F, sup F = 3 / F. Esercizio.. A = {,, }. Quindi: (a) V, (b) F, (c) V, (d) F. Esercizio.. B [, ), B, / B. (a) V, (b) F, (c) F, (d) F. Esercizio.3. C = ( 3, ) (, 3). Quindi: (a) F, (b) F, (c) V, (d) F. Esercizio.. D [[e, e]. (a) V (e < 3), (b) F ( = e / D), (c) V, (d) F. Esercizio.5. E = 3, ] 3. Quindi: (a) F, (b) V, (c) V, (d) F.

13 .3 Sommatorie n k= a k = a + a a n + a n. Proprietà delle sommatorie. () n k= c = n c. () n k= b a k = b n k= a k. (3) n k= a k = n+ k= a k. () n k= (a k + b k ) = n k= a k + n k= b k. Progressione aritmetica: n k= k = n(n + ). n Progressione geometrica di ragione a : k= ak = an+ a. n Progressione telescopica: k= (a k a k+ ) = a a n+. Esercizio.6 Calcolare le seguenti somme: (a) n k= ( )k 5 k (b) (d) n ( k= ( )k ) k+ (e) (g) k= (k k+ ) (h) n k= ( )k 5 k n k= (c) k= (k k ) (f) [ ( ) k k + k ] (i) n k= ( )k+ 5 k k= (3k + ( ) k 3 k ) k= 3k Esercizio.7 La somma n k= ( )k+ k è uguale a: A B C D n k= ( )k k n k= ( )k n k= ( )k k n k= ( )k k Esercizio.8 La somma n k= (3k 3 k+ ) è uguale a: n A k= 3k n+ B C D E n k= 3k n+ n k= 3k 3 n k= 3k+ k= 3k k= 3k n k= 3k 3 n k= 3k 3 n F 3 n+ Esercizio.9 La somma 5 k=3 3 è uguale a: A 5 3 B 3 C 3 3 D 3

14 Esercizio. La somma n 3k è uguale a: A 3 n(n+) B 3 n(n ) C D 3n(3n+) 3 3 n(n+) 3 SOLUZIONI Esercizio.6. [ ( ) ] (a) ( 5)n+ 6. (b) ( 5)n (c) 5 n (d) ( n. ) (e) (f) 3. (g). (h) 3 3 ( )n+ + n(n + ). (i) 5.5. Esercizio.7. B. Esercizio.8. B,C,F. Esercizio.9. C. Esercizio.. D.

15 Seconda esercitazione. Le funzioni e gli operatori geometrici Per operatore geometrico si intende una trasformazione del piano cartesiano che muta il grafico di una data funzione f(x) nel grafico di un altra funzione g(x). Gli operatori più comuni sono rappresentati nella Figura. e possono essere classificati nel modo seguente: Traslazione a destra: f(x) si muta in g(x) = f(x a), dove a > Traslazione a sinistra: f(x) si muta in g(x) = f(x + a), dove a > Traslazioni verticali: f(x) si muta in g(x) = f(x) + a, dove a R Ribaltamento rispetto all asse y: f(x) si muta in g(x) = f( x) Ribaltamento rispetto all asse x: f(x) si muta in g(x) = f(x) Cambiamento di scala sull asse x: f(x) si muta in g(x) = f(ax) Cambiamento di scala sull asse y: f(x) si muta in g(x) = af(x) Se dopo aver operato una trasformazione il grafico si presenta immutato, si dice che la funzione è invariante rispetto a quella trasformazione. Le funzioni invarianti rispetto alla trasformazione g(x) = f( x) si dicono pari; le funzioni invarianti rispetto alla trasformazione g(x) = f( x) si dicono dispari; le funzioni invarianti rispetto alla trasformazione g(x) = f(x + T ), dove T può essere sia positivo che negativo, si dicono periodiche di periodo T. Esercizio. È data la funzione f(x) il cui grafico è rappresentato nella Figura. in alto a sinistra. Quale degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione g(x) = f( x)? Esercizio. È data la funzione f(x) il cui grafico è rappresentato nella Figura.3 in alto a sinistra. Quale degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione g(x) = f( x)? Esercizio.3 È data la funzione f(x) il cui grafico è rappresentato nella Figura. in alto a sinistra. Quale degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione g(x) = f(x/)?

16 y=f(x) y=f(x-) y=f(x+) y=f(x) y=f(-x) y=-f(x) y=f(x/) y=f(x) y=f(x) Figura.. Operatori geometrici Esercizio. Quale di quattro grafici A, B, C, D mostrati nella Figura.5 è invariante sotto la trasformazione g(x) = f( x )? Esercizio.5 È data una funzione f(x), periodica di periodo T. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere, e quali sono false. A f(x) è periodica di periodo T B f(x) è periodica di periodo T C f(x) è periodica di periodo T/ D f(x) è periodica di periodo T. Esercizio.6 Sia f(x) = x x. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni: f(x), f(x), f( x ), f( x ), f(x), f( x). Esercizio.7 Disegnare i grafici delle seguenti funzioni; [ x ], [x], [x + ], [x] +, sgn (sin x), sin x, sin x, sin x.

17 y=f(x) A B C Figura.. Esercizio y=f(x) A B C Figura.3. Esercizio SOLUZIONI Esercizio. (B); Esercizio. (A); Esercizio.3 (C); Esercizio. (D); Esercizio.5 (sono vere A e D ).

18 y=f(x) A B C Figura.. Esercizio 3 A B C D Figura.5. Esercizio. Funzioni composte Siano date due funzioni f e g. A partire dalla variabile indipendente x, applichiamo la funzione f in modo da ottenere i valori della variabile dipendente y. Quindi, applichiamo a questi ultimi la funzione g, in modo da ottenere i valori di un ulteriore variabile dipendente che chiameremo z. In altre parole, z dipende dalla x attraverso y. La funzione che trasforma la x nella z si indica con g f e si chiama funzione composta. Una funzione f è invertibile se non esiste nessuna coppia di punti distinti x, x dom f per cui f(x ) =

19 y=f(x) A B C Figura.6. Esercizio 8 f(x ). Se g è la funzione inversa di una funzione invertibile f, allora (g f)(x) = x. Esercizio.8 È data la funzione f(x) il cui grafico è rappresentato nella Figura.6 in alto a sinistra. Quale degli altri tre grafici A, B, C rappresenta la funzione h(x) = f( x )? Esercizio.9 Siano date le funzioni f(x) = 3x+ e g(x) = x+. Quale delle seguenti funzioni corrisponde a (f g)(x)? A h(x) = 3x + B h(x) = 3x C h(x) = 3x + 8 D h(x) = 3x + x + 8 Esercizio. Sono date le funzioni f(x) e g(x) il cui grafico è mostrato nella Figura.7. Quale degli altri due grafici A, B rappresenta la funzione composta (g f)(x)? Esercizio. Sono date le funzioni f(x) e g(x) il cui grafico è mostrato nella Figura.8. Quale degli altri due grafici A, B rappresenta la funzione composta (g f)(x)? Esercizio. inversa di f(x)? È data la funzione f(x) = x + 3. Quale delle seguenti funzioni corrisponde alla funzione A h(x) = x + 3 B h(x) = x+3 C h(x) = x 3 D h(x) = x 3 Esercizio.3 Verificare che x x + x è invertibile, e determinarne la funzione inversa.

20 y=f(x) y=g(x) A B Figura.7. Esercizio y=f(x) y=g(x) A B Figura.8. Esercizio Esercizio. Data la funzione f(x) = (x + )(x x ), verificare che la restrizione di f a [, + ) è invertibile. Determinare f([, + )) e scrivere la funzione inversa. Esercizio.5 Determinare il più grande intervallo in cui f(x) = x + x è invertibile. Scrivere l espressione della funzione inversa e disegnarne il grafico.

21 SOLUZIONI Esercizio.8 (C); Esercizio.9 (A); Esercizio. (A); Esercizio. (B); Esercizio. (D); { x se x < Esercizio.3 La funzione inversa è h(x) = x se x { + x se x Esercizio. La funzione inversa è h(x) = x se x > Esercizio.5 La funzione è invertibile su [, ]; la funzione inversa è h(x) = x per x [, ].

22 .3 Logaritmi e esponenziali Ricordiamo che: log a x è definito per x >, a >, a. log a x è strettamente crescente, se a >. log a x è strettamente decrescente, se a <. log a x < log b x, se a > b > e x >. a x è definito per x R, a >. a x è strettamente crescente, se a >. a x è strettamente decrescente, se a <. a x > b x, se a > b >, e x >. Ricordiamo anche che come base dei logaritmi e degli esponenziali, in Analisi Matematica si usa preferibilmente il numero irrazionele e =, Esercizio.6 Risolvere le seguenti disequazioni: (a) e x + > (b) log x < (c) e 3x+ x < e (d) log(x )(x + ) > log Esercizio.7 Mettere in ordine crescente le sequenze assegnate: (a) (/e) 3, e 3, 3, e π, (/) 3 (b) e, log, log 3, 3 (c) π 7, π, 3 7, 3 π Esercizio.8 Indicare quali risposte sono corrette, motivando le risposte: (a) log 3 x > log x : A x >. B x >. C x (, ). D x <. (b) log x < log x 5 : A x >. B x >. C x (, ). D mai. (c) log 5 x log 5 x : A mai. B x R. C x R \ {}. D x. (d) x+ > x : A mai. B x R. C x >. D x >. (e) e x : A x >. B x R. C x <. D x. (f) (/5) x : A x >. B mai. C x =. D x R. (g) log x = log x : A x >. B x. C mai. D x R.

23 SOLUZIONI Esercizio.6. (a) [, + ). (b) (, ) (, ). (c) (, ]. ( d) (, 3 ) ( 3+, + ). Esercizio.7. (a) e 3, (/) 3, 3, e 3, e π. (b) log 3, log, e, 3. (c) π, 3 π, 3 7, π 7. Esercizio.8. (a) C, (b) B, (c) C, (d) B,C,D (e) tutte (f) C, (g) A

24 A B C D E F Figura.9. Esercizio 9. Funzioni elementari reali Le funzioni di uso più comune appartengono alla classe delle funzioni elementari reali. Essa comprende tutte le funzioni costanti, la funzione identica f(x) = x, la funzione esponenziale f(x) = e x e la funzione trigonometrica f(x) = sin x. Inoltre, operando con le funzioni elementari reali si ottengono altre funzioni elementari reali. In particolare, sono funzioni elementari comuni la funzione f(x) = /x per x, la funzione f(x) = x per x, la funzione f(x) = cos x e la funzione f(x) = log x per x >. Sono inoltre funzioni elementari comuni le potenze, i polinomi e le funzioni razionali, negli intervalli dove sono definite. Esercizio.9 Associare a ciascuna delle seguenti funzioni il proprio grafico, scegliendo tra quelli mostrati nella Figura.9. f (x) = x 5, f (x) = x, f 3(x) = 3 x, f (x) = ( ) x, f 5 (x) = log x, f 6 (x) = x 3. SOLUZIONE Esercizio.9 (f E, f C, f 3 D, f F, f 5 A, f 6 B).

25 .5 Proprietà qualitative delle funzioni Esercizio. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: (a) log(tan x) (b) log sin x (c) sin(log x) (d) log x x (e) (x + ) 3x (f) (sin x) x+ Esercizio. Siano f, g funzioni strettamente crescenti e h, k funzioni strettamente decrescenti, definite su tutto R. (a) Studiare la monotonia delle funzioni composte f g, f h, h k, h g. (b) In base alle sole informazioni note, è possibile stabilire se f + g, f g, h + k, h k,f + h, f h sono monotone? Esercizio. Data la funzione f(x) = tan x : (a) f è periodica di periodo π. VERO FALSO (b) f è periodica di periodo π. VERO FALSO (c) f è pari. VERO FALSO (d) f non passa per l origine. VERO FALSO Esercizio.3 Data la funzione f(x) = e x + : (a) f è pari. VERO FALSO (b) f è sempre positiva. VERO FALSO (c) f passa per l origine. VERO FALSO (d) f è illimitata inferiormente. VERO FALSO Esercizio. Data la funzione f(x) = (sin(x + )) : (a) f è periodica di periodo π. VERO FALSO (b) f è dispari. VERO FALSO (c) f è sempre. VERO FALSO (d) f(x) [, ] per ogni x R. VERO FALSO Esercizio.5 Date le funzioni f(x) = log x, g(x) = x 3, h(x) = e x, k(x) = 3 x: (a) f g è strettamente crescente. VERO FALSO (b) g h è strettamente crescente. VERO FALSO (c) g k è strettamente crescente. VERO FALSO (d) k f è strettamente crescente. VERO FALSO Esercizio.6 Data la funzione f(x) = { x, x x, x > (a) f è strettamente crescente su [, ]. VERO FALSO (b) f è strettamente crescente su [, + ). VERO FALSO (c) f è invertibile su [, + ). VERO FALSO (d) f è invertibile su una semiretta. VERO FALSO

26 Esercizio.7 Data la funzione f(x) dell esercizio precedente, e data g(x) = x : (a) f g è pari. VERO FALSO (b) f g è strettamente crescente su [, + ). VERO FALSO (c) f g è invertibile in [, ]. VERO FALSO (d) f g ha più di due intersezioni con l asse delle x. VERO FALSO Esercizio.8 Data la funzione f(x) dell esercizio precedente, e data h(x) = e x : (a) f h è strettamente negativa. VERO FALSO (b) f h è strettamente decrescente su R. VERO FALSO (c) f h è limitata superiormente. VERO FALSO (d) f h è limitata inferiormente. VERO FALSO SOLUZIONI Esercizio.. (a) k Z (kπ, π + kπ) (b) {x R : x kπ, k Z}. (c) (, + ). (d) (, ). (e) [, + ). (f) k Z [kπ, (k + )π]. Esercizio.. (a) f g, h k strettamente crescenti; f h, h g strettamente crescenti. (b) f + g, f h strettamente crescenti; h + k strettamente decrescente; f g e h k possono essere non monotone. Esercizio.. (a) F, (b) F, (c) V, (d) F. Esercizio.3. (a) V, (b) V, (c) F, (d) F. Esercizio.. (a) V, (b) F, (c) V, (d) V. Esercizio.5. (a) V, (b) F (è strett. decresc.), (c) F (= x), (d) F (è strett. decresc.). Esercizio.6. (a) F, (b) F, (c) V, (d) V. Esercizio.7. (a) V, (b) F, (c) V, (d) V. Esercizio.8. (a) F, (b) F, (c) F, (d) V.

27 3 Terza esercitazione 3. Algebra dei limiti, limiti di funzioni composte Ricordiamo i principali teoremi sui limiti. Se lim x f(x) = l e lim x g(x) = m, allora lim x (f(x) + g(x)) = l + m e lim x f(x)g(x) = lm. Se lim x f(x) = l, lim x g(x) = m e m, allora lim x (g(x)/f(x)) = l/m. ( può essere indifferentemente +,, x ecc.). La regola relativa alla somma si estende anche al caso di limiti infiniti, ad eccezione del caso + che dà luogo ad una forma indeterminata. Anche la regola relativa al prodotto si estende al caso di limiti infiniti, ad eccezione del caso che dà luogo ad un altra forma indeterminata. Per quanto riguarda il rapporto di due funzioni, forme indeterminate si presentano quando il numeratore e il denominatore tendono entrambi a zero o all infinito. Si ricordi inoltre che se lim x f(x) = e g(x) è una funzione limitata, allora lim x f(x)g(x) = (anche se il limite della g non esiste). Si tenga presente che se f(x) è una funzione elementare reale e se x dom f, allora f(x) è continua in x e quindi lim x x f(x) = f(x ) (il limite si calcola sostituendo il valore di x al posto della x). Particolare attenzione deve essere fatta nel trattamento di limiti di funzioni composte. Si tenga presente che se f(y) è una funzione continua e se lim x g(x) = y dom f, allora lim f(g(x)) = f( lim g(x) ) = f(y ). x x Tuttavia, se f non è una funzione continua, questa regola può ammettere eccezioni. Per calcolare i limiti, è infine utile ricordare i limiti di alcune funzioni principali. In particolare, per ogni n =,, 3,... si ha lim x + xn = + { + n pari lim x xn = n dispari lim x ± x n = lim n x = + x +

28 e per ogni a > lim x + x n = + { lim + n pari x x n = n dispari lim x + ax = + lim x ax = lim log a x = + x + lim log x + a x = Esercizio 3. Supponiamo di sapere che lim x f(x) =, e che f(x) per x x. Allora, possiamo affermare con certezza che A lim x f(x) = + B lim x f(x) = C lim x f(x) = D lim x f (x) = E lim x f(x) = Esercizio 3. Supponiamo di sapere che lim x f(x) = +. Allora, possiamo affermare con certezza che A lim x + f(x) = B lim x f(x) = C lim x f(x) = D lim x f (x) = + E lim x (f(x) 5) = + Esercizio 3.3 Supponiamo di sapere che lim x x (f(x) g(x)) =. Allora, possiamo affermare con certezza che A lim x x f(x) = lim x x g(x) B f(x) = g(x) + o() (x x ) C lim x x (g(x) f(x)) = D f(x ) = g(x ) Esercizio 3. Supponiamo di sapere che lim x + f(x) = + e che lim x + g(x) =. Allora, possiamo affermare con certezza che A lim x + (f(x) g(x)) = + B lim x + (f(x) g (x)) è una forma indeterminata C lim x + f(x) g(x) = D lim x + f(x) g(x) =

29 Esercizio 3.5 Siano date le funzioni f(x) = sin x, g(x) = x + 3, h(x) = x. Per ciascuna delle seguenti domande, indicare qual è la risposta esatta tra quelle suggerite e spiegare perché. = + = A il limite lim x + f(x)g(x) non esiste esiste finito = + (f g)(x) = B il limite lim x + h(x) non esiste = = + = C il limite lim x + h(x)(g f)(x) non esiste = = + (g f)(x) = D il limite lim x + h(x) non esiste = Esercizio 3.6 Sia data la funzione f(x) = x3 + 3x + cos x 3x 3 + x. Stabilire quali le seguenti uguaglianze sono vere e quali sono false, spiegando perché. A lim x + f(x) = lim x + x 3 3x 3 +x B lim x f(x) = lim x cos x x C lim x f(x) = lim x 3x+cos x x D lim x + f(x) = + E lim x f(x) = Esercizio 3.7 Calcolare il limite per x + delle seguenti funzioni (il risultato è indicato a fianco): f(x) = x3 x+ x +3 (+ ) f(x) = (x+)+ x+ () f(x) = x 3x + x 5 +5 () f(x) = x5 3x 3 +5 x 5 + ( ) f(x) = +x x6 3+x ( ) f(x) = x x () f(x) = x 3 +x x+3 (+ ) f(x) = 5 x+ () f(x) = 6 x+3 (+ ) f(x) = +x x () f(x) = 3x+3 (+ ) f(x) = sin x x x () f(x) = ( x ) + x 3x 3 ( ) f(x) = ( + 5x 3 x 5 + ) log x ( ) Esercizio 3.8 Calcolare i seguenti limiti (il risultato è indicato a fianco): lim x ± x x (± ) lim x ± (x )3 +x 3(x ) (± ) Esercizio 3.9 Calcolare i seguenti limiti (il risultato è indicato a fianco):

30 lim x x 3 +x lim x 3x +5x ( 5 ) lim x x5 +x x5 3x 5x 8 5x (+ ) lim 3 x + x5 3 x 3 lim x + x6 x 3 x 6 () lim x+ x x +x 3 x + 3x 6 +5x () x 6 x 3 () log x () SOLUZIONI: Esercizio 3.: sono vere C e D ; Esercizio 3.: sono vere B, C, D e E ; Esercizio 3.3: sono vere B e C ; Esercizio 3.: sono vere A, B e D. Esercizio 3.5: A (non esiste), B (= ), C (= + ), D (= ). Esercizio 3.6: sono vere A, B, C e D.

31 3. Teorema del confronto Esistono varie versioni del teorema del confronto, tutte in qualche modo utili nel calcolo dei limiti. Ricordiamo le seguenti. Se lim x f(x) = + e f(x) g(x), allora lim x g(x) = +. Se lim x f(x) = e g(x) f(x), allora lim x g(x) =. Esercizio 3. Calcolare il limite per x + delle seguenti funzioni (il risultato è indicato a fianco): cos x+3x f(x) = x + (3) f(x) = (x + 3) sin x (non esiste) f(x) = (x + 3) sin(x + 3) (non esiste) f(x) = (x + 3)(sin x + 3) (+ ) Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti (il risultato è indicato a fianco): lim x + cos x x () lim x + x+cos x x lim x ± x +sin x x (+ ) (± ) lim x + cos x+3 sin x x x x +sin x ()

32 3.3 Limiti notevoli Il calcolo di limiti si riconduce molto spesso mediante opportune sostituzioni e manipolazioni algebriche a uno dei così detti limiti notevoli sin x lim x x = lim cos x x x = ( lim + x e = e lim x + x) x = x x log( + x) ( + x) α lim = lim x x x x Si ricordi anche che, per ogni n =,, 3,..., = α e x lim x + x n = + lim x + e x x n = log x log x lim = lim x + x n x + x n = Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti: a. lim x sin x sin x b. lim x x+sin x x sin x c. lim x x+sin x x sin x d. lim x sin(sin x) x Esercizio 3.3 Calcolare i seguenti limiti: ) x ( a. lim x + e x log(e+x) b. lim x x log(+xe c. lim x ) x e 3x d. lim x +3x 9+x 3 e. lim x 3 sin(3 x) x 3e x 3. SOLUZIONI Esercizio 3.. a. b. c. + d. Esercizio 3.3. a. e e b. /e c. /3 d. 9/ e. /

33 Quarta esercitazione. Derivate Riportiamo innanzitutto le principali regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari reali più comuni. Se due funzioni f e g sono entrambe derivabili per x = x, anche il loro prodotto f g è derivabile in x e si ha (f g) (x ) = f (x ) g(x ) + f(x ) g (x ). In particolare, se a è una costante, (a g) (x ) = a g (x ). Se f è derivabile per x = x e se f(x ), anche il suo reciproco /f è derivabile in x e si ha ( ) (x ) = f (x ) f f (x ). Combinando la regola per la derivata del prodotto con quella per la derivata del reciproco si ha, se f(x ), ( ) ( g (x ) = g ) (x ) = g (x )f(x ) g(x )f (x ) f f f (x ) Se f è derivabile per x = x e g è derivabile in y = f(x ), la funzione composta (g f)(x) = g(f(x)) è derivabile nel punto x e si ha. (g f) (x ) = g (f(x ))f (x ). Sia y = f(x) una funzione invertibile e sia x = g(y) la sua inversa. Se g (f(x )), dove si è posto y = f(x ). (g ) (x ) = f (x ) = g (f(x )) = g (y ) (.)

34 f(x) f (x) Insieme di derivabilità x α αx α dipende dal valore di α sin x cos x R cos x sin x R tg x + tg x = cos x cotg x cotg x = arcsin x x sin x x π + kπ x kπ x < arccos x x x < arctg x + x R arccotg x + x R e x e x R a x a x log a R log x log a x x log a e x sinh x cosh x R cosh x sinh x R tgh x tgh x = cosh x cotgt x cotg x = sinh x settsh x x + x > x > R x R settch x x x > settth x settcth x x x < x x > Esercizio. Calcolare le derivate prime delle seguenti funzioni (nei punti in cui queste esistono): ) x a. f(x) = ( + x b. f(x) = arcsin x c. f(x) = e x d. f(x) = x sin x.

35 Esercizio. Calcolare, dove esistono, la derivata prima e seconda delle seguenti funzioni: (a) f(x) = x x (b) f(x) = arctan x (c) f(x) = e x (d) f(x) = cos((x + x) 5 ) (e) f(x) = x + sin x (f) f(x) = arcsin x Esercizio.3 Fino a quale ordine è possibile derivare le funzioni seguenti per ogni x R? a. f(x) = e x x, b. f(x) = x x, c. f(x) = 3x 3 5x + Esercizio. Calcolare per x = le derivate destre e sinistre delle funzioni seguenti. Per quali di queste funzioni si può dire che esiste la derivata in x =? + x x x < f(x) = x =, f(x) = e x x > Esercizio.5 Sia { (x β) f(x) = x α sin x x < Determinare α e β in modo che f sia continua e derivabile su R. { { x x x x >, f(x) = x > Esercizio.6 Scrivere l equazione della retta tangente a y = cos x nel punto (, +). Esercizio.7 Scrivere l equazione della retta tangente nel punto x = al grafico di f(x) = 3x + log(x 3) Esercizio.8 Sia f(x) = x 7 + x. Verificare che f(x) è invertibile su R. Verificare che f è derivabile sul suo dominio. Calcolare inoltre (f ) () e (f ) (). Esercizio.9 Sia data una funzione f(x) continua e derivabile su tutto l asse reale. risposte proposte, ve ne sono di corrette. A 3 f(x) è continua e derivabile su tutto il suo dominio. B f(x) è continua e derivabile su tutto il suo dominio. C f( x ) è continua e derivabile per x. D e f(x) è continua e derivabile su tutto il suo dominio. Indicare se fra le Esercizio. Specificare quali delle seguenti affermazioni sono vere, quali sono false. A Se f(x) è derivabile nel punto x, allora f(x) è continua nel punto x B Se f(x) ammette derivata seconda nel punto x, allora esiste δ > tale che f(x) è continua in ogni punto x dell intervallo (x δ, x + δ) C Se f(x) non è derivabile in x, allora non può essere continua in x. D Se (D f)(x ) e (D + f)(x ) esistono finite e coincidono, allora f(x) è derivabile in x SOLUZIONI Esercizio.. (a) f (x) = ( ) [ ] + x x log( + x ) x+

36 (b) f (x) = (arcsin x) x (c) f (x) = xe x ( e x ) 3/ (d) f (x) = sin x + x cos x Esercizio.. (a) f (x) = ( x ) 3/, f (x) = 6x( x ) 5/ (b) f (x) = (arctg x) (+x ), f +xarctg x (x) = (arctg x) 3 (+x ) (c) f (x) = e x x 3, f (x) = x e x (x 3) (d) f (x) = 5 sin((x + x) 5 ) (x + x) (x + ), f (x) = 5 cos((x + x) 5 ) (x + x) 8 (x + ) sin((x + x) 5 ) (x + x) 3 (x 3 + 9x + 8x + ) ( ) ( (e) f (x) = x + cos x, f (x) = x + cos 3 x x sin ) x (f) f (x) = sgn x, f x (x) = xsgn x( x ) 3/ Esercizio.3. (a) f(x) C (R) (b) f(x) C (R), non esiste la derivata terza per x = (c) f(x) C (R) Esercizio.6. y = Esercizio.7. y = x + 6 Esercizio.8. f (x) = 7x 6 + > per ogni x implica f strettamente crescente, quindi invertibile. Inoltre, (f ) () = /f () =, (f ) () = /f () = /8 Esercizio.9. A F, B F, C V, D V. Esercizio.. A V, B V, C F, D V.

37 5 Quinta esercitazione 5. Studi di funzione Gli esercizi sugli studi di funzione sono importanti perché in essi si applicano la maggior parte dei concetti dell Analisi Matematica. Prima di iniziare lo studio si consiglia di leggere attentamente le domande, di rispondere a quelle soltanto, seguendo l ordine suggerito dal testo. Evitare gli automatismi, e ricordare che lo studio di una funzione non è quasi mai fine a se stesso, ma serve per ricavare informazioni su certe proprietà qualitative della funzione che spesso non si possono ottenere direttamente. Eseguire sempre tutti i passaggi, darne giustificazione e riportare per scritto, sia pure in maniera sintetica, tutti i ragionamenti. Precisare quali sono i teoremi che di volta in volta è necessario applicare ricordandosi di verificarne le ipotesi. Esercizio 5. Determinare il dominio delle seguenti funzioni. Determinarne quindi i punti estremi e gli intervalli di monotonia. Nel caso che una di esse risulti limitata superiormente o inferiormente, determinare inoltre estremo superiore o inferiore dell immagine. Studiare infine il comportamento per x ±. f(x) = e /x, f(x) = x x, f(x) = e x x Esercizio 5. Determinare massimi e minimi relativi e assoluti di f(x) = x 3 x + per x [, 3]. Esercizio 5.3 Determinare dominio, asintoti, intervalli di monotonia, massimi e minimi, e disegnare un grafico qualitativo, delle seguenti funzioni: f(x) = x3 x x Esercizio 5. Sia data la funzione g(x) = log x x h(x) = x + x. f(x) = { 5+x x x 5 x 3 x x >. (a) Dire se la funzione è continua e derivabile nel suo dominio; (b) determinare gli eventuali asintoti di f; (c) determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi e assoluti; (d) disegnare un grafico qualitativo di f; (e) determinare il numero di soluzioni dell equazione f(x) = k al variare di k R.

38 Esercizio 5.5 Indicare se fra le risposte proposte, ve ne sono di corrette. La funzione f(x) = x + x in x = ha: A una discontinuità di tipo salto. B un punto angoloso. C una cuspide. D un punto di minimo assoluto. Esercizio 5.6 Sia data la funzione { x x f(x) = x < x. A A f(x) è possibile applicare il teorema degli zeri, e concludere che ha almeno uno zero in (, ). B f(x) ha un massimo assoluto in [, ]. C f(x) ha un minimo assoluto in [, ]. D f(x) è monotona decrescente in [, ] Esercizio 5.7 Sia data una funzione f(x) continua in (, + ), strettamente crescente in (, ) e strettamente decrescente in (, + ). A f ha un massimo in x = e f () =. 3 B f(x) ha un massimo in x =. C Se f(x), f(x) ha un minimo in x =. D e f(x) è decrescente in (, + ). Esercizio 5.8 Sono date le funzioni: f(x) = arctan e x g(x) = x + arctan e x. a) Studiare dominio, eventuali asintoti e intervalli di monotonia di f, e disegnarne un grafico qualitativo. b) Studiare dominio ed eventuali asintoti di g. c) Determinare gli eventuali punti di non derivabilità, gli eventuali punti di massimo e di minimo locali e globali di g, e calcolare l immagine di f. d) Disegnare un grafico qualitativo di g. Esercizio 5.9 Sia data la funzione: f(x) = x + arctan x. a) Studiare dominio e eventuali asintoti di f. b) Studiare intervalli di monotonia e eventuali massimi e minimi locali e assoluti di f. Determinarne inoltre gli eventuali punti di non derivabilità. c) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio 5. Sia data la funzione: f(x) = ( x + ) 3 e x. 3

39 a) Studiare dominio e eventuali asintoti di f. b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti di f, e determinare l immagine di f. c) Disegnare un grafico qualitativo di f. d) Calcolare il numero delle soluzioni dell equazione f(x) = k, al variare di k R. Esercizio 5. Sia data la funzione: f(x) = log x. a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuità, comportamento agli estremi del dominio e eventuali asintoti di f. Dimostrare che f è prolungabile per continità in x =. b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti di f. Detto f il prolungamento continuità di f,determinare massimi e minimi locali e assoluti di f. c) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio 5. Sia data la funzione: f(x) = { log x x > 3 log (x ) x a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuità e eventuali asintoti di f. b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti, ed eventuali punti di non derivabilità di f. c) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio 5.3 Sia data la funzione: f(x) = { x x 3 x3 x x > a) Studiare dominio, eventuali punti di discontinuità e eventuali asintoti di f. b) Studiare massimi e minimi locali e assoluti, ed eventuali punti di non derivabilità di f. c) Disegnare un grafico qualitativo di f. Esercizio 5. Studiare la funzione (dominio, asintoti, estremi locali e assoluti, flessi): f(x) = log(log x) log x. Determinare k R in modo che l equazione f(x) = k abbia un unica soluzione. Esercizio 5.5 Per k, è data la funzione: f(x) = + ex k e x. a) Esistono dei valori di k per cui f(x) è derivabile in x =? Se sì, calcolarli. b) Studiare la funzione per k =,,, 3.

40 Esercizio 5.6 Dimostrare che arctan x + arctan x = π, per x >, Esercizio 5.7 Dimostrare che per x Determinare poi k. arctan x + arctan x = π, per x <. arcsin x x + arctan x = k. + Esercizio 5.8 Date due funzioni f e g derivabili in R, e tali che a) f() =, g() = b) f = g, g = f, dimostrare che f e g hanno derivate di ogni ordine, e che f + g =. SOLUZIONI Esercizio 5.. La prima funzione non è definita per x = ed ha un asintoto verticale destro in x =. Ha inoltre un asintoto orizzontale completo (y = ). Anche la seconda funzione ha un asintoto orizzontale completo (y = ), e un asintoto verticale a x =. I due minimi si hanno per x = ± (punti angolosi). La terza funzione ha un asintoto obliquo per x, y = x. I grafici sono mostrati nella Figura 5.. Esercizio 5.. La funzione presenta due minimi (x = ±3/) e tre massimi (x =, x =, x = 3). In x = non è derivabile. Il grafico è mostrato in Figura 5.. Esercizio 5.3. La funzione f ha due asintoti verticali (x = ±) e un asintoto obliquo (y = x) per x ±. Si hanno due massimi e due minimi relativi. La funzione g è definita per x >, e tende a zero per x + ; il massimo si ha per x = e. La funzione h è definita per x. Si ha un massimo relativo per x = / 3. Ha inoltre asintoto obliquo sinistro (y = x) e asintoto obliquo destro (y = 3x). I grafici sono mostrati nella Figura 5.3. Esercizio 5.. Si ha un asintoto verticale completo per x = e un asintoto obliquo y = x per x. Per il grafico, si veda la Figura 5.. Esercizio 5.8. La funzione f ha un asintoto orizzontale sinistro (y = ) e un asintoto orizzontale destro (y = π/). La funzione g ha un asintoto obliquo a sinistra (y = x) e un asintoto obliquo a destra (y = x+ π ). Per i grafici, vedere la Figura 5.5. Esercizio 5.9. La funzione presenta asintoto obliquo a sinistra (y = x + π ) e asintoto obliquo a destra (y = x + π ). Si hanno punti di minimo per x = ± e un punto di massimo per x =. In x = e in x = la funzione non è derivabile. La Figura 5.6 mostra il grafico. Esercizio 5.. La funzione è pari: i punti di massimo sono a x = ±/ 3. La retta y = è asintoto orizzontale completo. Il grafico è presentato nella Figura 5.7. Esercizio 5.. Si hanno asintoti verticali completi per x =, x =. Si ha anche asintoto orizzontale completo (asse delle ascisse). La funzione non è definita per x =. Il grafico è visualizzato nella Figura 5.8. Esercizio 5.. Si ha un asintoto verticale completo a x = e un asintoto orizzontale destro per y =. La funzione non è definita per x =, e non è derivabile per x = /. Il grafico è presentato nella Figura 5.9. Esercizio 5.3. La funzione presenta asintoto obliquo a destra (y = x). C è un minimo per x = /3 e un massimo per x =. Il punto x = è a tangente verticale. Per il grafico, si veda la Figura 5..

41 Esercizio 5.. La funzione ha asintoto verticale destro per x = e massimo assoluto per x = e. Il grafico è mostrato nella Figura 5.. Esercizio 5.5. In tutti i casi considerati, la retta y = funge da asintoto orizzontale destro. Per k =,, 3 si ha anche l asintoto orizzontale sinistro (y = ). Nel caso k = si ha asintoto verticale per x =. Per k = l asintoto verticale si trova in x = log e per k = 3 si trova in x = log 3. I grafici sono visualizzati, nei vari casi, nella Figura 5.. Prima funzione Seconda funzione Terza funzione Figura 5.. Esercizio 5.

42 y=f(x) Figura 5.. Esercizio y=f(x) y=g(x) y=h(x) Figura 5.3. Esercizio y=f(x) Figura 5.. Esercizio 5.

43 y=f(x) y=g(x) Figura 5.5. Esercizio y=f(x) Figura 5.6. Esercizio y=f(x) Figura 5.7. Esercizio 5.

44 y=f(x) Figura 5.8. Esercizio 5. y=f(x) Figura 5.9. Esercizio 5. 3 y=f(x) Figura 5.. Esercizio 5.3 y=f(x) Figura 5.. Esercizio 5.

45 k= k= k= k= Figura 5.. Esercizio 5.5

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47 6 Sesta esercitazione 6. Formula di Taylor Sia f(x) una funzione data e x un punto del suo dominio, nel quale f sia derivabile almeno n volte. La formula di Taylor (col resto in forma di Peano) si scrive f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) n = i= f (i) (x ) (x x ) i + o((x x ) n ) x x. i! (x x ) f (n) (x ) (x x ) n + o((x x ) n ) n! Essa risponde al seguente problema: determinare un polinomio P (x) di grado non superiore ad n che approssima nel modo migliore possibile la funzione f nelle vicinanze del punto x, nel senso che f(x) P (x) lim =. x x x x Tale polinomio si dice il Polinomio di Taylor di ordine n della funzione f nel punto x o anche, se x =, Polinomio di McLaurin. Si parla anche di sviluppi di Taylor (o di McLaurin) arrestati all ordine n. Se inoltre la derivata (n + )-esima della funzione f esiste in un intorno di x (eventualmente x escluso) allora la formula di Taylor si può anche scrivere col resto in forma di Lagrange f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + f (x ) (x x ) f (n) (x ) (x x ) n + f (n+) (t) n! (n + )! (x x ) n+. ove t è un punto compreso tra x e x. Ecco gli sviluppi di McLaurin di alcune funzioni importanti. e x = + x + x + x3 xn n! + o(xn ). sin x = x x3 6 cos x = x ( )n xn+ (n + )! + o(xn+ ) ( )n xn (n)! + o(xn ).

48 x = + x + x x n + o(x n ). + x = x + x ( ) n x n + o(x n ). log( + x) = x x arctg x = x x ( )n xn n + o(xn ) ( )n xn+ n + + o(xn+ ). 6. Esercizi. Calcolare la formula di Taylor arrestata al 6 ordine di f(x) = sin x, in un intorno di x =.. Calcolare la formula di Taylor arrestata al ordine di f(x) = log( sin x), in un intorno di x =. 3. Calcolare la formula di Taylor arrestata al ordine di f(x) = ex +x, in un intorno di x =.. Calcolare la formula di Taylor arrestata al 6 ordine di f(x) = sin x, in un intorno di x = π. 5. Calcolare la formula di Taylor arrestata all ordine n di f(x) = e x, in un intorno di x =. 6. Calcolare la formula di Taylor arrestata all ordine n di f(x) = x, in un intorno di x =. 7. Calcolare la formula di Taylor arrestata all ordine n di f(x) = x, in un intorno di x =. 8. Calcolare la formula di Taylor arrestata all ordine n di f(x) = log x, in un intorno di x = Calcolare la formula di Taylor arrestata al terzo ordine di P (x) = + x + 3x x 3, in un intorno di x =.. Determinare la parte principale in x = di f(x) = + x + 3x x 3 5e x.. Determinare la parte principale di f(x) = cos x +, per x π.. Calcolare - con l ausilio delle formule di Taylor - i seguenti limiti: a. lim x sinh x sin x x 3 b. lim x e x sin x cos x e x e x3 SOLUZIONI Esercizio. sin x = x 3 x + 5 x6 + o(x 6 ) x Esercizio. log( sin x) = x + 6 x + o(x ) x Esercizio 3. e x +x = + x 3 x x + o(x ) x Esercizio. sin x = (x π )x +! (x π )x 6! (x π )x6 + o((x π )6 ) x π Esercizio 5. e x = e [ n k= k! )(x + )k ] + o((x + ) n ) x Esercizio 6. x = n k= k! ) logk x k + o((x) n ) x Esercizio 7. x = n k= k! ) logk (x ) k + o((x ) n ) x ( ) k k3 k )(x 3) k + o((x 3) n ) x 3 Esercizio 8. log x = log 3 + n k= Esercizio 9. + x + 3x x 3 = 5 + (x ) (x ) 3

49 Esercizio. Parte principale (x ) Esercizio. Parte principale π (x π) Esercizio. a) /3 b)

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51 7 Settima esercitazione 7. Integrali Qualunque problema di integrazione si riduce, nella pratica, alla ricerca dell espressione esplicita di una primitiva di una funzione data. In molti casi, si può risalire ad una primitiva in modo immediato, cioè ricordando che la funzione data rappresenta esattamente il risultato di un esercizio di derivazione effettuato in precedenza. La ricostruzione di una primitiva come processo inverso di una derivazione, è in generale un passaggio obbligato. Da questo punto di vista, è utile ricorrere ad una tavola nella quale sono riportate in una prima colonna certe funzioni (ordinate in base alla loro natura) e, in una seconda colonna, le rispettive derivate. La determinazione della primitiva si effettua semplicemente leggendo la tabella nel senso inverso. Le tavole delle derivate (o come più comunemente si chiamano, in considerazione del loro uso, le tavole degli integrali) possono essere più o meno estese. Un esempio di tavola ridotta all essenziale è stata data nell Esercitazione ; tavole di integrali più complete sono quelle che, raccolte sotto forma di libro, si trovano ancora oggi in commercio oppure quelle che sono implementate nei programmi per il calcolo simbolico. Non è tuttavia pensabile di costruire una tavola che contenga tutti gli integrali possibili. È necessario quindi spesso applicare preventivamente delle regole che permettano di ricondursi, con alcuni passaggi, ad una o più integrazioni immediate. Le principali regole di questo tipo sono: Integrazione per somma (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx Moltiplicazione per una costante cf(x) dx = c f(x) dx Integrazione per parti f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx Integrazione per sostituzione

52 f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Ricordiamo infine che se F (x) è una qualunque primitiva di f(x) su un certo intervallo I, allora ) l integrale indefinito di f(x) su I si scrive f(x) dx = F (x) + k k R ) l integrale definito (orientato) di f(x) tra a e b si calcola come b dove a, b sono due punti appartenenti all intervallo I. a f(x) dx = F (b) F (a) Esercizio 7. Calcolare: (a) arcsin xdx (b) xarcsin xdx (c) arccos xdx (d) xarccos xdx (e) x arctan xdx (f) sin(log x)dx (g) tan xdx (h) (x + )e x dx (i) x (e x + )dx (l) x +x+5 dx (m) x +x dx (n) x+ x(x +) dx (o) x+ x+ dx (p) 3 x+ 6 x 3 x+ 3 dx x (q) 3x x+ dx (r) x x+ dx (s) x+5 x+ dx (t) x dx Esercizio 7. Calcolare i seguenti integrali definiti: (a) x dx 9 x (b) (c) (x x + 5)e x dx x x 3 +x dx (d) (x + x 3) sin xdx (e) π/ sin 3 xdx (f) (g) (h) / (i) e + x x dx x x +3x+ dx x dx sin(log x) x dx

53 (l) e e (m) x log x dx (x 6x + 3x)dx (n) x3 arcsin x dx Esercizio 7.3 Calcolare f(x)dx, dove: { tanh x se x < (a) f(x) = 3x se x { tan x se x < (b) f(x) = 3 x se x. Esercizio 7. Data la funzione calcolare f(x) dx. f(x) = x + ( x + 3)(x 3), SOLUZIONI Esercizio 7.. (a) xarcsin x + x + C; (b) x (x )arcsin x + x x + C; (c) xarccos x x + C ; (d) arccos ( x ) x x + C ; (e) [x arctg x x + arctg x] + C; (f) (g) tg x x + C; x(sin(log x) cos(logx)) + C; (h) (x + )e x + C; (i) ex (x x + ) + x3 x+ (l) arctg ( ) + C; (m) log x (n) log x 3 + C; log x + + C; x + + arctg x + C; (o) 5 x5/ x + 3 x3/ x / + 8x / 6 log(x /+ + C; (p) 3x /3 + x / x /3 x /6 + log(x /3+ + arctg x/6 + C; (q) x + (x ) + C; (r) log x+ x + C; (s) x + 5 log x+5+ x+5 + C; (t) x x log x + x + C. Esercizio 7.. (a) 6 log 5 log 8; (b) 9 e ; ( (c) ( log log 3 + log 7) + 3 arctg 3 + arctg 5 3 ); (d) cos 3 cos + 5 sin 3 sin ; (e) /3; (f) 7/; (g) log(9/8); (h) π/; (i) cos ; (l) log ;

54 (m) 5/7; 3 (n) π + 3. Esercizio 7.3. (a) log(e + ) + + log + log 3 log(7 + 3); (b) log(cos ) + 3 log(5 + 6). 7 Esercizio log 5 log 3 3.