1 Curve, superfici, sottovarietà.

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1 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 1 1 Curve, superfici, sottovrietà. Definizioni 1.1 (Intorni, insiemi perti, domini) Si S un sottoinsieme di R n : un intorno rettngolre perto 1 di P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) in R n è un prodotto di intervlli perti U P0 = (x 0 1 ɛ 1, x ɛ 1 ) (x 0 n ɛ 1, x 0 n + ɛ 1 ); un intorno U S P 0 di P 0 in S è l intersezione U S P 0 = U P0 S di un intorno U P0 di P 0 in R n con S; un dominio è un sottoinsieme D R n perto e connesso: cioè, per ogni punto P D esiste un intorno U P di P contenuto in D (perto) e per ogni coppi di punti P, Q D esiste un curv continu α : [0, 1] D tle che α(0) = P, α(1) = Q (connesso). Definizioni 1.2 (Continuità e omeomorfismi) un ppliczione F : S S tr sottoinsiemi di R n è continu in P 0 S se per ogni successione P n S tle che P n P 0, si h F (P n ) F (P 0 ); F si dirà continu se è continu in ogni punto di S; un ppliczione F : S S tr sottoinsiemi di R n si dice un omeomorfismo tr S ed S se è continu, biiettiv, e l su invers F 1 è continu. Definizioni 1.3 (Prmetrizzzioni) un prmetrizzzione (C k ) è un funzione F = (F i ) : D R d R n (di clsse C k ), dove D è un dominio; un prmetrizzzione regolre in P è un prmetrizzzione in cui il rngo (df ) P è mssimo 2 ; l prmetrizzzione si dirà regolre se è regolre in ogni punto; un immersione è un prmetrizzzione regolre iniettiv; un embedding è un immersione tle che, in più F : D Im(F ) è un omemorfismo; un prmetrizzzione-grfico rispetto x 1,..., x d è un prticolre embedding 3, dell form F (x 1,..., x d ) = (x 1,..., x d, f 1 (x 1,..., x d ),..., f n d (x 1,..., x d )). 1 Per brevità, nel seguito: un intorno. 2 Nel cso comune in cui d n, ciò signific che rk(df ) P = d. 3 Per su stess definizione, un prmetrizzzione-grfico è sempre regolre, ed è sempre un omeomorfismo F : D S = F (D) (di invers l proiezione S R n R d ).

2 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 2 Definizioni 1.4 (Sottovrietà prmetrizzte di R n ) L immgine S = Im(F ) R n di un prmetrizzzione F (di clsse C k, k 1) 4 dei tipi sopr descritti si dice, nei rispettivi csi: un sottovriet prmetrizzt di dimensione d (di clsse C k ) di R n, o nche, per brevità, un d-sottovrietà prmetrizzt; un d-sottovrietà prmetrizzt regolre; un d-sottovrietà prmetrizzt immers; un d-sottovrietà prmetrizzt embedded; un d-sottovrietà-grfico (o semplicemente un grfico). Per d = 1, 2 ed n 1 si usno rispettivmente i termini: curv, superficie e ipersuperficie prmetrizzt (regolre, immers, embedded, ecc.) di R n. Esempio 1.5 Le seguenti figure sono esempi rispettivmente di: () un prmetrizzzione non regolre; (b) un prmetrizzzione regolre che non è un immersione 5 ; (c) un immersione che non è un embedding; (d) un embedding che non è un prmetrizzzione-grfico. () non regolre (b) regolre, non immersione (c) immersione, non embedding (d) embedding, non grfico Inventrsi delle prmetrizzzioni le cui immgini sino come queste curve. 4 Si suppone sempre che l prmetrizzzione di un sottovrietà si lmeno C 1 ; inftti, come mostr l esempio dell curv di Peno, per prmetrizzzioni di regolrità inferiore l immgine può essere un sottoinsieme di R n estremmente selvggio, che non corrisponde fftto, nemmeno loclmente, ll ide intuitiv di curv/superficie o di insieme d-dimensionle. 5 Se prmetrizzt in modo d pssre due volte per l origine!

3 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 3 Dopo tutti questi sforzi, ci ccorgimo con disppunto che: Esercizio 1.6 L sfer S 2 è un superficie prmetrizzt, m: (i) nessun prmetrizzzione nturle dell sfer è regolre (verificre); (ii) trovre un prmetrizzzione regolre di S 2 è precchio complicto: provrci. Un not prmetrizzzione regolre per S 2 si chim bendggio dell infermier...) (iii) Addirittur, l sfer non è un superficie prmetrizzt immers, e tntomeno embedded. (Potete dimostrre fcilmente che non è embedded; per mostrre che non è immers, è necessrio l uso del teorem dell funzione invers, v. foglio 2.) Se uno degli oggetti più semplici che vorremmo studire (l sfer!) non è un buon sottovrietà prmetrizzt, vuol dire che dobbimo considerre un definizione più duttile. Per questo nsce l ide di sottovrietà indipendente dll scelt di un prticolre prmetrizzzione: Definizioni 1.7 (Sottovrietà differenzibili di R n ) Un insieme S è un d-sottovrietà grfico intorno d un suo punto P, se esiste un intorno Up S di P in S che è un d-sottovrietà-grfico. Un sottovrietà differenzibile 6 di R n (di clsse C k ) di dimensione d è un insieme che è un d-sottovrietà-grfico (C k ) intorno d ogni suo punto. S non mmette quindi necessrimente un unic prmetrizzzione globle, bensì un collezione di embedding F i : V i U i = F (V i ) S, le cui immgini l ricoprono completmente: i U i = S. Ogni tle embedding F i si dice un crt di S; dto P U i, le coordinte di F i (P ) si dicono le coordinte locli di P in tle crt. Un qulsisi insieme di crte le cui immgini coprono completmente S si dice un tlnte per S. Se d=1, 2, n 1, l insieme S si dirà un curv, un superficie, o un ipersuperficie differenzibile di R n. Per esempio: l spirle dell Es. 1.5(d), è un sottovrietà prmetrizzt embedded, ed nche un sottovrietà-grfico intorno d ogni suo punto (m non è un sottovrietà-grfico!). D ltr prte, l sfer è un sottovrietà differenzibile (perché è un grfico intorno d ogni suo punto), m non un sottovrietà prmetrizzt embedded. Esercizio 1.8 Si considerino le seguenti coniche e qudriche reli: E,b : x2 = 1 I 2,b : x2 = 1 2 E,b,c : x2 + z2 = 1 C 2,b,c : x2 = 0 2 I ip,b,c : x2 = 1 I ell 2,b,c : x2 = 1 2 P ip,b : z = x2 P ell 2,b : z = x2 2 Cil ell,b : x2 2 π,b : x2 2 b = 1 Cil ip 2,b : x2 2 b 2 = 1 b = 0 π 2 : x2 = 1 π : x 2 = 0 2 (i) Quli di esse sono curve/superfici prmetrizzte regolri, immerse, embedded o grfici? (drne prmetrizzzioni con le corrispondenti proprietà) (ii) Quli di esse sono sottovrietà differenzibili di R n? (Probbilmente non riuscirete rispondere (ii) nel cso di π,b fino l Corollrio 3.10.) 6 Ancor, quest non è l più generle definizione di superficie e sottovrietà: ll fine del corso introdurremo l nozione di sottovrietà strtt, cioè non contenut in R n.

4 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 4 Definizione 1.9 (Equzioni Crtesine) Un fmigli di equzioni crtesine (C k ) per un insieme S R n è un funzione G = (G i ) : D R n R m (di clsse C k ) tle che S si l insieme dei punti che soddisfno il sistem G 1 (P ) =... = G m (P ) = 0, i.e. S = Ker(G) = G 1 (0). L insieme di equzioni crtesine si dirà regolre in P 0 se il rngo di (dg) P0 è mssimo 7. Definizioni 1.10 (Superfici rigte e di rotzione) un insieme S R n è rigto se S = P B r P, dove r P è un rett pssnte per P ; l insieme B si dice bse o direttrice dell rigt, le rette r P sono dette genertrici. Nel cso in cui le rette r P pssino tutte per un medesimo punto V, l insieme rigto si dice un cono di vertice V ; nel cso in cui le rette r P bbino tutte l stess direzione v, l insieme si dice un cilindro di sse v. un insieme S R 3 è di rotzione se esiste un rett r dello spzio tle che per ogni pino π ortogonle r l sezione S π è un circonferenz centrt in un punto di r (dett un prllelo di S), oppure l insieme vuoto; equivlentemente, S è un insieme di rotzione se Simm(S) contiene tutte le rotzioni R r,ϑ di sse r e ngolo ϑ R. Un superficie rigt (risp. di rotzione) di R 3 è un superficie che è un insieme rigto (risp. di rotzione); più precismente S si dice un superficie prmetrizzt rigt se S mmette un prmetrizzzione rigt, cioè un prmetrizzzione F : D = I R R n dell form prticolre F (s, t) = α(s) + tv(s) dove α, v sono due curve prmetrizzte e v(s) non è mi nullo (v(s) v pensto come un cmpo di vettori lungo α(s); se α(s) è costnte si ottiene un cono, se v(s) è costnte si ottiene un cilindro); superficie prmetrizzt di rotzione se S mmette un prmetrizzzione di rotzione, cioè F : U = I R R n tle che F (s R) si un prllelo per ogni s; le curve F (I t), per ogni t fissto, si dicono i meridini di S. Esercizio 1.11 Si C(B, V ) il cono di vertice V = (0, 0, 1) e bse l insieme B di equzione y = x 3 nel pino z = 0. Si consideri inoltre l rett r : x = z 1 = 0, e si pong C(B, V ) = C(B, V ) r. (i) Determinre un prmetrizzzione rigt per C(B, V ); l prmetrizzzione trovt è regolre? C(B, V ) è un superficie regolre? (ii) Trovre un equzione crtesin per C(B, V ); in quli punti di S l equzione crtesin è regolre? Esiste un equzione crtesin solo per l insieme C(B, V ), definit su tutto R 3? (iii) C(B, V ) mmette un equzione crtesin di secondo grdo? 7 Nel cso comune in cui m n, ciò signific che rk(dg) P0 = m.

5 Complementi ed Esercizi di Geometri Differenzile - A. Smbusetti 5 Esercizio 1.12 Si C(B, V ) il cono di vertice V = (0, 1, 0) e bse l insieme B di equzione x = z 4 nel pino y = 0. Si consideri poi l rett r : z = y 1 = 0 e si pong C(B, V ) = C(B, V ) r. (i) determinre un prmetrizzzione rigt per C(B, V ); l prmetrizzzione trovt è regolre? C(B, V ) è un superficie regolre? (ii) Trovre un equzione crtesin per C(B, V ); in quli punti di C(B, V ) l equzione crtesin è regolre? Esiste un equzione crtesin solo per l insieme C(B, V ), definit su tutto R 3? (iii) C(B, V ) mmette un equzione crtesin di secondo grdo? Esercizio 1.13 Si considerino le qudriche dell es.1.8, con = b > c > 0: (i) si dic quli di esse sono superfici prmetrizzte di rotzione; (ii) si dic quli di esse sono superfici prmetrizzte rigte. (Drne in ciscun cso un prmetrizzzione di rotzione o rigt) Esercizio 1.14 Si trovino prmetrizzzioni ed equzioni crtesine per: (i) il toro ottenuto ruotndo ttorno ll sse z l circonferenz C, contenut nel pino Oyz, di rggio r e centro c = (0, R, 0), con R > r > 0; (ii) il pomodoro ottenuto ruotndo ttorno ll sse z l stess circonferenz, m con r > R > 0; (iii) l insieme ottenuto ruotndo l curv C nel pino Oyz prmetrizzt d f(t) = (0, f 2 (t), f 3 (t)), e di equzione crtesin x = g(y, z) = 0. Esercizio 1.15 (i) Dire se le superfici in (i) e (ii) dell esercizio precedente sono superfici prmetrizzte regolri/differenzibili. (ii) Dire sotto quli ipotesi (minime) su f l superficie ottenut in (iii) è un superficie prmetrizzt regolre/differenzibile. Per mostrre che sono / non sono superfici differenzibili si consigli di usre il Teorem delle Funzioni Implicite e l nozione di spzio tngente (fogli 2&3).