PROBLEMI DI TRASPORTO

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1 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov PROBLEMI DI TRSPORTO OFFERT IMPINTI UTENTI DOMND ( ) (org) (destzo) ( b ) (5) (8) (2) 2 2 (2) (3) 3 3 (9) 4 (9) c COSTO UNITRIO DI TRSPORTO D b TBELL DEI DTI IPOTESI : = b PROBLEM: DETERMINRE LE QUNTIT D INVIRE IN MODO D MINIMIZZRE IL COSTO TOTLE DI TRSPORTO (>=) quttà d prodotto che dll orge rgguge l destzoe X X X b TBELL DELLE LLOCZIONI

2 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov PROBLEMI DI TRSPORTO CON DISEGUGLINZE m = b c m = b c OFFERT TOTLE DOMND TOTLE ORIGINE FITTIZI b = b OFFERT TOTLE DOMND TOTLE b DESTINZIONE FITTIZI = m+ b+ VRIBILI DI DIFETTO VRIBILI DI ECCEDENZ c m+, m+, b, + = + (PENLI) c, + = (COSTI DI MGZZINO) b b m m m+ m b m+ b m + b + - L ORIGINE FITTIZI SI INTRODUCE CON UN RIG FITTIZI m+ CON COSTI DI PENLIT NELL TBELL DEI DTI - L DESTINZIONE FITTIZI SI INTRODUCE CON UN COLONN FITTIZI + CON COSTI DI MGZZINO NELL TBELL DEI DTI

3 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov MODELLO MTEMTICO DEL PROBLEM m m ORIGINI = DESTINZIONI = c m b, = ( ) = ( b ) FORM MTRICILE m c T ( m) c T ( m ) = b (( m + ) m) b (( m + ) ) (,,,,,, ) T =,, ( c c,, c, c, c,, c c ) T c =, , (,,, b, b ) T b =,,, 2 m 2 b m m = I I I - IL PROBLEM DEI TRSPORTI MMETTE SEMPRE UN SOLUZIONE OTTIM FINIT (CSO PRTICOLRE DI PL) - L MTRICE E TOTLMENTE UNIMODULRE CIOE IL DETERMINNTE DI OGNI SU SOTTOMTRICE QUDRT E,,

4 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov PROPRIET DELL MTRICE LEMM:NEL PROBLEM DEI TRSPORTI IL RNGO DI è (+m-) Dm: Essedo le rghe lermete dpedet ) ( + m r Trlscdo l ultm rg d e scegledo le coloe, 2 +, -, s h ( ), 2, 2,,,,,, = m ) ( ) ( + = = m r r LEMM: L MTRICE E TOTLMENTE UNIMODULRE ) I k esste u colo co elemet tutt ull per cu = k b) Tutte le coloe d k ho due elemet ugul d e gl ltr tutt ull Sommdo le rghe de vcol orge e quelle de vcol destzoe s ho due rghe d tutt = k c) Esste u o pù coloe co u solo elemeto ugule d per cu ± = k k TEOREM: Se, m e b, soo tere llor le soluzo d bse del PROBLEM DEI TRSPORTI soo tere = G b b S T S S S ~ ~ ˆ~ ~ ~ = = = = m I F I

5 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov COROLLRIO: l problem de trsport può essere rsolto co l lgortmo del smplesso, che el cso d vrbll tere Soluzoe del problem de trsport co l lgortmo del smplesso: Determzoe d u soluzoe mmssble d bse d prtez 2 Determzoe de cost rdott 3 Cmbo bse L struttur prtcolre dell mtrce de coeffcet permette d esegure queste operzo modo effcete

6 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov METODI PER L DETERMINZIONE DELL SOLUZIONE INIZILE r ( ) = + m m + VRIBILI DI BSE ) SCELT DI UN POSIZIONE (,) b) CNCELLZIONE DI UN RIG (O DELL COLONN ) seguto sturzoe del reltvo vcolo c) MODIFIC DELL COLONN (O DELL RIG ) o sturt IL PROCEDIMENTO E RIPETUTO m+- VOLTE METODO NORD-OVEST L POSIZIONE (,) SCELT E QUELL IN LTO SINISTR NELL TBELL CORRENTE 2 METODO MINIMI COSTI L POSIZIONE (,) SCELT E QUELL (O UN DI QUELLE) IN CUI IL COSTO E DI VOLT IN VOLT MINIMO PER L INTER TBELL 3 METODO VOGEL (mmum regret) IN CORRISPONDENZ D OGNI VINCOLO (rg e colo) SI DETERMINNO I VLORI SSOLUTI DEGLI SCRTI TR I DUE COSTI MIGLIORI SINO TLI SCRTI p ( =,2, m) e ( =,2, ) SI SELEZION IL VINCOLO (rg o colo) VENTE LO SCRTO MSSIMO L POSIZIONE (,) E QUELL RELTIV L COSTO MINIMO DELL RIG O COLONN COSI SELEZIONT VG MC NO vlore dell fuzoe obettvo NO MC VG Temp d clcolo DEGENERZIONE: STURZIONE CONTEMPORNE DI UN RIG ED UN COLONN SOLUZIONE DI BSE DEGENERE

7 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov DEGENERZIONE (rg e colo s sturo cotemporemete) NO VI SONO MENO LLOCZIONI DI QUELLE PREVISTE (m+-) UN SOTTOINSIEME DELLE DISPONIBILIT E UGULE D UN SOTTOINSIEME DELLE RICHIESTE METODO DELLE PERTURBZIONI 2 3 ε 5+ε ε 4 4 ε ε 4 4+ε 2 3+ε 4 ε L VRIBILE DI BSE È NULL CIÒ VVIENE QUNDO SI STUR CONTEMPORNEMENTE UN RIG ED UN COLONN

8 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov DETERMINZIONE DI UN SOLUZIONE MMISSIBILE INIZILE I u problem de trsport, s dce che u successoe d vrbl form u cclo se ell tbell de trsport è possble cogugerle tutte co u successoe d segmet ltertvmete orzzotl e vertcl, oguo de qul bb come estrem due d tl vrbl, che, prtedo d u quluque d esse rtor sull stess sez pssre m due volte per u vrble LE COLONNE DELL MTRICE CORRISPONDENTI VRIBILI CHE FORMNO UN CICLO SONO LINERMENTE DIPENDENTI SE UN SOTTOINSIEME DELLE VRIBILI CORRISPONDE COLONNE DELL MTRICE LINERMENTE DIPENDENTI LLOR TLI VRIBILI FORMNO UN CICLO COROLLRIO: CONDIZIONE NECESSRI E SUFFICIENTE FFINCHE m+- VRIBILI ENTRINO COSTITUIRE UN SOLUZIONE DI BSE E CHE ESSE, O UN LORO SOTTOINSIEME, NON FORMINO UN CICLO u s v us uv r p rq rs pq pv NOT: I METODI SOPR MENZIONTI NON INTRODUCONO CICLI (SI CNCELL LE RIGHE/COLONNE STURE) E QUINDI PORTNO SOLUZIONI MMISSIBILI DI BSE!

9 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov CLCOLO DEI COSTI RIDOTTI I geerle, ell lgortmo del smplesso per u problem co p vrbl e q vcol, cost rdott soo otteut come r = c c T B B - Idchmo co λ R q l prodotto λ T = c T B B - R q Defmo λ l vettore de moltplctor del smplesso NOT: esste u moltplctore ssocto d og vcolo del problem Il clcolo de cost rdott s rduce qud l clcolo de moltplctor del smplesso Nel cso del problem de trsport, l clcolo è semplfcto dll struttur dell mtrce de vcol λ T = [ u T, v T ] u R m : moltplctor ssoct vcol d orge v R : moltplctor ssoct vcol d destzoe Ioltre, per og colo (colo ssoct ll vrble ), c soo due sol : uo per l vcolo d orge e uo per l vcolo d destzoe D coseguez, l costo rdotto r ssocto ll vrble è: r = c λ T = c [ u T, v T ] = c u v Dto che, per le (m+-) vrbl bse, r = s può scrvere l sstem elle cogte u e v c u v =, bse

10 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov Il sstem h m+ cogte e m+- equzo ed è rsolvble scegledo pcere l vlore d u moltplctore e determdo l vlore degl ltr per sosttuzoe (tle possbltà derv dll ssez d ccl) U volt determt vlor de moltplctor u e v è possble determre cost rdott delle vrbl fuor bse co l formul r = c u v =, fuor bse e verfcre l ottmltà dell bse correte come codzoe r, fuor bse

11 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov CMBIO BSE Fcedo etrre bse u delle vrbl co r <, quest form ecessrmete u cclo co l bse correte Per elmre l cclo bsog elmre u delle vrbl ttulmete bse S f otre che, per mteere l mmssbltà term d sturzoe d org e destzo, le vrbl d orde dspr el cclo (+, tr cu l vrble etrte) devoo essere umette, metre le vrbl d orde pr ( ) devoo essere dmute d u stess quttà ϑ Per mteere l o egtvtà delle vrbl, s scegle ϑ pr l mmo vlore delle vrbl ttulmete bse d orde pr Esempo (tr pretes cost rdott per le vrbl fuor bse) 2 2 (-) 4 (2) ϑ = 2 2 / Not: se ϑ =, s pss d u soluzoe degeere d u ltr soluzoe degeere Notzoe: s userà dfferetemete r o c per dcre l costo rdotto dell vrble

12 Metod e modell per l supporto lle decso Prof Ferddo Pezzell - Ig Lug De Gov LGORITMO DI OTTIMIZZZIONE DETERMINT L SOLUZIONE BSE INIZILE E NOTO L INSIEME DEGLI INDICI DI BSE S {, ),,( m, )} s rsolve l sstem u + v h = c h h, h = ( + m+ 2 s clcolo uov vlor de coeffcet c bse c = c u v =,2,m =,2, 3 s esm l sego de coeffcet c (, ) G 3 se c, ) G ( STOP è l soluzoe OTTIM 32 se esste qulche (, ) G tle che c < s scegle tr quest l dce (,) cu corrspode m c = chk ; hk etr bse 4 s determo le vrbl d bse che co hk formo u cclo e tr quelle d orde pr prtre d hk s determ quell mm, s lp ; lp esce dll bse 5 s pog hk = lp cclo (,,,, ) hk h e s determ l uovo vlore delle rmet vrbl del vw vk h = h = + hk hk = lp lp hk = + vw vw vk = vk hk 6 s ggor l seme degl dc d bse sosttuedo (l,p) co (h,k) e s tor l psso ) hk