Elementi di Calcolo delle probabilità

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1 Elemet d Clcolo delle probbltà

2 PERCHÉ I TUDIA IL CALCOLO DELLE PROAILITÀ? Clcolo delle probbltà tto d certezz I cu s formo le decso Espermeto csule - prov U espermeto csule è u feomeo del modo rele per l qule v è pù d u rsultto possble. Eveto elemetre L eveto elemetre è uo de possbl rsultt dell espermeto csule L esto è certo Lco d u moet odggo d opoe Esme uverstro Prtt d clco Cotrollo d qultà d u prodotto PIL Als del sgue etc pzo cmpoe L seme d tutt possbl est d u espermeto defsce lo spzo cmpoe Deve ecessrmete verfcrs u eveto elemetre può verfcre u solo eveto elemetre Elemet d Clcolo delle probbltà lde

3 Descrzoe dell espermeto Esme uverstro Prtt d clco odggo d opoe promosso boccto vttor preggo scoftt molto fvorevole fvorevole dfferete cotrro fortemete cotrro Eveto U eveto è u seme d e- vet elemetr. Evet elemetr: E, E,..., E A{E, E 3, E 4 } L eveto A s verfc qudo l esto dell espermeto è uo degl evet elemetr ce lo costtuscoo. E E E 5 Esempo lco d u ddo E 6 E 3 E 7 E 4 E E E 3 E 4 E 5 E 6 Eveto mpossble, l eveto mpossble, è l eveto ce o s verfc m A{esce } E 3 {umero d put pr} {E, E 4, E 6 } E E E 3 Eveto certo, l eveto certo, è l eveto ce s verfc sempre E 4 E 5 E 6 C{umero d put > 3} {E 4, E 5, E 6 } E E E 3 E 4 E 5 E 6 Elemet d Clcolo delle probbltà lde 3

4 Dgrmm d Ve Altre operzo sugl evet A Uoe Itersezoe Negzoe Uoe d evet A Dt due evet A e pprteet d, l uoe A è l eveto costtuto d tutt gl evet elemetr ce pprtegoo o d A o o d etrmb. L eveto A s verfc qudo: verfc A m o s verfc verfc m o s verfc A verfco s A ce Esempo: Uoe Lco d u ddo {E, E, E 3, E 4, E 5, E 6 } A{umero d put pr} {E, E 4, E 6 } {umero d put > 3} {E 4, E 5, E 6 } A {E, E 4, E 5, E 6 } pzo cmpoe A A Elemet d Clcolo delle probbltà lde 4

5 Itersezoe d evet Dt due evet A e pprteet d, l tersezoe A è l eveto costtuto d tutt gl evet elemetr ce pprtegoo s d A ce. L tersezoe A s verfc qudo s verfco s A ce. A A Esempo: Itersezoe Lco d u ddo {E, E, E 3, E 4, E 5, E 6 } A{umero d put pr} {E, E 4, E 6 } {umero d put > 3} {E 4, E 5, E 6 } A { E 4, E 6 } Negzoe d u eveto Ā Dto u eveto A pprteete d l seme d tutt gl evet elemetr ce pprtegoo d m o pprtegoo d A costtuscoo l egzoe d A. L egzoe d A s verfc qudo A o s verfc A Ā Esempo: Negzoe {E, E, E 3 } E : vttor E : preggo E 3 : scoftt Prtt d clco A{vttor} E Ā{preggo, scoftt} {E, E 3 } E A E 3 Ā E Elemet d Clcolo delle probbltà lde 5

6 Relzo tr evet Iclusoe Icomptbltà Necessretà Iclusoe Dt due evet A e pprteet d, A è cluso se l verfcrs d A mplc, ecessrmete, l verfcrs d. A A N.. A e A A Icomptbltà Due evet A e pprteet d s dcoo comptbl qudo o o evet elemetr comue Necessretà Gl evet A, A,..., A Apprteet d s dcoo ecessr se A A... A A A N.. Due evet comptbl o possoo verfcrs cotemporemete. Elemet d Clcolo delle probbltà lde 6

7 Prtzoe Gl evet Legg del De Morg A A A, A,..., A Costtuscoo u prtzoe se A A... A A A j j A A A A A 6 A 3 A A 5 A 7 A 4 A Probbltà Defzoe clssc Defzoe frequetst Defzoe soggettvst Impostzoe ssomtc Defzoe clssc d Probbltà Dto u espermeto cu V è u umero fto d rsultt possbl Gl evet elemetr soo equprobbl L probbltà è deft come # cs fvorevol # cs totl Pscl (63-66) eroull (73), De Movre (78), Lplce (8) Elemet d Clcolo delle probbltà lde 7

8 Defzoe frequetst d Probbltà Dto u espermeto perfettmete rpetble ed u eveto possble E, l probbltà d E è dt dl lmte dellrequez reltv co cu s verfc E l dvergere del umero d rpetzo dell espermeto. E PE lm fr E lm fr E Defzoe soggettvst d Probbltà Dto u espermeto ed u eveto possble E, l probbltà d E è l grdo d fduc ce u soggetto el verfcrs dell'eveto E. È l somm ce u dvduo è proto scommettere per rcevere u somm utr se l eveto E s verfc 0 ltrmet. eroull (73) A 0: Rmsey, De Fett, vge Lplce, Ve, Vo Mses (prm metà del XIX secolo) Impostzoe ssomtc Kolmogorov L probbltà è uuzoe ce soddsf postult Postult. P(A) 0. P() 3. A P(A )P(A)+P() Teorem. P(Ā)-P(A). P( )0 3. P(A) 4. P(A )P(A)+P()-P(A ) A Elemet d Clcolo delle probbltà lde 8

9 Msur dell Probbltà E, E,..., E E E j (comptbl) E (ecessretà) P(E )costte (equprobbltà) A{E, E,..., E } # cs fvorevol P A # cs totl f P A P A Dt due evet A e, dll defzoe d probbltà codzot (dto P> 0): b g P A P A P s : b g P A P A P o ltertv (dto P A > 0) essedo: b g P A P A P A s : P A P A P A b g Probbltà codzot Dt due evet A e l probbltà codzot d A dto è: P A P A b g P posto P > 0 N l probbltà codzot soddsf postult: Iftt posto P> C 0 rsult: b g. P AC 0 b g. P C 3. A P A C P AC + P C e vlgoo qud tutt teorem b g b g b g Esempo: Probbltà codzot P( ) 3 8 P( ) 5 8 Estrzoe sez rmess: P(II I ) 7 P(II I ) 5 7 Elemet d Clcolo delle probbltà lde 9

10 Esempo: Probbltà codzot Estrzoe d due plle sez rmess P( )P(II I ) P(I ) P( )P(II I ) P(I ) 4 7 P( ) P[(I II ) (I II )] P(I II )+P(I II ) Evet dpedet Due evet A e soo dpedet se (posto P > 0) b g P A P A l dpedez è u relzoe smmetrc (post P, P> A 0): P A P A P A P b g b g e (e solo se) due evet soo dpedet s : P A P A P Esempo: Probbltà codzot 3 P( ) 3 8 P( ) 5 8 Estrzoe sez rmess P(II I ) 7 P(II I ) 3 7 P(II ) P[(I II ) (I II )] P(I II )+P(I II ) P(II I ) P(I )+ +P(II I ) P(I ) Esempo: evet dpedet Estrzoe co rmess P( )P(I ) P(II )3/8 3/8 P( )P(I ) P(II )5/8 5/8 P( ) P[(I II ) (I II )] P(I II )+P(I II ) Elemet d Clcolo delle probbltà lde 0

11 Teorem Dt due evet A e s : A e dpedet Ae dpedet A e dpedet A e dpedet Teorem d yes Domd Evet comptbl (co probbltà o ull) possoo essere dpedet? NO Icomptbltà P(A )P( )0 b g P A P A 0 P Ce può essere ugule P(A) solo se P(A)0 Teorem d yes Problem??? Dretto H 0 H Problem verso H 0??? H P(H 0 ) P(H ) P( H 0 ) P( H ) P(H 0 )? P(H )? C H 0 H (comptbl) H 0 H (ecessr) Probbltà ote: P(H 0 ) e P(H ) pror P(C H 0 ) e P(C H ) probtve Probbltà d determre: P(H 0 C) e P(H C) posteror Elemet d Clcolo delle probbltà lde

12 P P b Formul d yes H C 0 g b P H0 P CH0 P H P CH + P H P CH b b g b g 0 0 H C g b P H P CH P H P CH + P H P CH b g b g 0 0 b g b g N..: P H0C + P HC Vrbl csul U vrble csule è u fuzoe deft sullo spzo cmpoe ce ssume vlor R: g g Rpporto d probbltà posteror b P H0 C P H C g P H0 P CH P H P CH Esempo: lco d u ddo E E E 4 E5 E 3 E 6 b 0 g Rpporto d verosmglz R E E E 3 E 4 3 R X(E)umero d put X(E): R X(E) o è ecessrmete uuzoe buvoc E E E 4 E5 E 3 E 6 0 R Vrbl csul bvrte X E 0: umero d put dspr R T : umero d put pr Elemet d Clcolo delle probbltà lde

13 Tp d vrbl csul Dscrete U vrble csule X è dscret se ssume vlor u seme dscreto (fto o fto umerble). Es. Numero d gol, umero d cdet, umero d promoss etc.. Cotue U vrble csule è cotu se ssume vlor u seme cotuo (co l potez del cotuo). Es. Durt, peso, ltezz, reddto, etc.. Es. Lco del ddo X{,,3,4,5,6} Vrbl csul dscrete X:,,....,. p( ), p( ),..,p( ). p( )P(X ),,..., ) p 0 ) p X P(X ) p( ) p( ) p( ) p( ) Vrbl csul cotue p( ) P(X ) P(X)/6 P(X),,3,4,5,6 fuzoe destà d probbltà f() /6 P( X +d)f() d +d Propretà: ) f 0 ) z f d Elemet d Clcolo delle probbltà lde 3

14 Fuzoe destà d probbltà Fuzoe d rprtzoe f() F() P(X ) Vrbl csul dscrete b F p Vrbl csul cotue P( X b)are trtteggt z b f d N.. P(X) 0 F z fu du f() Fuzoe d rprtzoe per v.c. dscrete Fuzoe d rprtzoe per v.c. cotue F( j+ ) F( j ) F() F() F 0 j j+ j+ p f p + F F p p F p + p p 0 F z fu du d cu: f df d Elemet d Clcolo delle probbltà lde 4

15 Propretà dell Fuzoe d rprtzoe lm F lm F 0 F è o decrescete F è cotu destr RT lm F F p + UVW 0 v.c. detcmete dstrbute Due v.c. X ed Y, ce o l stess dstrbuzoe s dcoo detcmete dstrbute. X e Y.d. FX u FY u Come s cofroto v.c. o detcmete dstrbute? Momet Vlore tteso d v.c. Opertore vlore tteso Il vlore tteso d u v.c. X s dc co E(X) ed è dto d: R g p Eg v.c.dscrete z g f dv.c.cotue E X p per v.c. dscrete E X z f d per v.c. cotue f() T ugule otzoe per v.c. dscrete e cotue opertore lere E X+ b EX + b E(X) Elemet d Clcolo delle probbltà lde 5

16 Momet d u v.c. Mometo r-esmo dell v.c. X: r µ r E X d R T r µ r z r µ E X p v.c.dscrete f dv.c.cotue d E X µ Med me: F(me)/ Mod σ mod Vrz Vr X µ E X µ σ 0.5 R µ p T z f() me 0.5 v.c.ds. µ f dv.c.cot. Momet d u X-µ Vrble csule scrto X-µ E X µ E X µ 0 mometo r-esmo d X-µ r µ E X µ r µ E X µ 0 µ E X µ σ 3 µ E X µ 3 0 f X-µ (u) Propretà dell vrz Vr X µ µ f f f + Vr X b Vr X Dsuguglz d Cebysev b g σ P X µ ε ε f() E(X) u f X (u) E(X) crto qudrtco medo: σ Vr X µ-ε µ µ+ε Elemet d Clcolo delle probbltà lde 6

17 v.c. stdrdzzt Momet dell v.c. stdrdzzt X µ LF r Z r µ σ µ F EZ E X I r EZ E X I O d MH K P N σ Q µ H K E X σ σ µ µ E Z 0 E X µ 0 µ σ EZ d VrZ L LF Vr Z E X µ M I O F 3 µ I O µ 3 EM P H X N K Pβ σ Q σ NH σ E X µ σ σ f K Q smmetr µ 3 < 0 µ 3 0 µ 3 > 0 γ µ 4 3 curtos Elemet d Clcolo delle probbltà lde 7

18 v.c. doppe U vrble csule dopp è u fuzoe (...) deft sullo spzo cmpoe ce ssoc d og eveto u copp d vlor rel (X, Y) y ltezz peso Dstrbuzoe cogut Dstrbuzoe mrgle Dstrbuzoe codzot Dscrete/cotue Dstrbuzo mrgl X Y y y y P P P P P P P P P P P P P P P c P P X Y y j j P P X c P X Y y P j j j j v.c. doppe dscrete Dstrbuzo mrgl X:,,.., Y: y, y,..., y X Y y y y P P P P P P P P P P P P P P P c P P X Y y ) P j 0 j j ) P j j Dstrbuzo codzote d PX Y yj P X cy y j PY c y j c PY yj X PcY y j X PX P P P P j j j Elemet d Clcolo delle probbltà lde 8

19 Idpedez stocstc d c c PX Y yj PX P PY y X PY y P j j j P X Y y c j c j PX PY y P P P,,..., Vrbl csul doppe cotue Fuzoe destà d probbltà cogut. ) f(,y) ) f, yf d dy z z + Fuzo j j f f, y dy destà d + j,,..., probbltà fyyf z f, yf d mrgl X z f(,y) Idpedez stocstc v.c. doppe X ed Y dpedet f(,y) f X () f Y (y) Momet v.c. doppe, EdX Y µ rs r s v.c. dscrete µ rs r j s j, y P j v.c. cotue + + r s µ rs, z y f, y d dy z µ r,s mometo msto d orde r+s Momet mrgl r 0 r µ r,0 EdX Y EdX µ r 0 s s µ 0,s E X Y E Y µ s d d Elemet d Clcolo delle probbltà lde 9

20 Momet cso d dpedez r s µ rs, d j r s yj P P j j r s P yj P j j r s r E X Y y P j d d E X E Y µ µ r s s j Covrz Coeffcete d correlzoe Cov X, Y E X µ X Y µ Y µ ρ XY E X X, f LF I F Y σ HG σ X KJ HG σ Y XY σ XY µ XY µ X µ Y X ed Y d. σ XY 0 σ Cov X + b, c Y + d c XY Dseguglz d Cucy-cwz: σ XY σ X σ Y σ Vr X σ XY rvel se esste l sego del legme lere µ XY EX Yf σ X Y Vr Y Vlore tteso Opertore Lere E X + b Y E X + b E Y Dmostrzoe E X + b Y Elemet d Clcolo delle probbltà lde 0 f + b y P j P + b y P j j j c P + b y P j j j j P + b yj P j j E X + b E Y ρ X, Y NM σ XY σ σ X Y j j j j µ Y j IO KJ QP f è u dce ce msur l testà del legme lere ρ0,7 ρ ρ0 ρ-0,8 È u dce d prevedbltà

21 Propretà ρ(x,y) ) ρ XY, ) ρ X, Yf± Y X + b 3) ρ XY, ρ YX, 4) ρ X + bc, Y + d ρ X, Y 5) X ed Y d. ρ XY, 0 Combzo ler X+b Y E X + b Yf µ X + b µ Y X Y Vr X + b Y σ + b σ + X+Y µ µ E X + Y X + Y + b σ σ σ Vr X + Y X + Y + + σ XY X-Y µ µ E X Y X Y σ σ Vr X Y X + Y + σ XY XY Vrz d X+b Y Vr X + b Y Vr X + + b Vr Y + b Cov X, Y X ed Y d Vr X + b Y Vr X + + b Vr Y Combzo ler W X + X X EW E X µ X Vr W Vr X X j j X j σ + σ σ X F H Vr X I K σ X X Cov X X j j c, µ X E X e le X soo dpedet F Vr W Vr X H K I σ X Elemet d Clcolo delle probbltà lde

22 Vrble csule Normle X ~ N, fd ; µσ, dµσ e π σ < X < + µ E X < µ < +,, F H µ σ σ Vr X 0 < σ < + mmetrc µ 3 0 Umodle µ 3 curtos µ v.c. Normle tdrd Z ~ N 0, φ z µmed µmod e π z z Φ z zφ d Φ z P Z z Tvole 0 φ z I K e π z z v.c. Normle Aree Z~N(0,) PZ z Φ z P Z > z Φ z b g PZ> z Φ z b g PZ z Φ z µ 3σ f Pz < Z z Φ z Φ z µ σ 95.46% µ σ 68.6% Z<0 Z<0 99.7% µ µ+3σ µ+σ µ+σ z z z z z z Elemet d Clcolo delle probbltà lde

23 Teorem X ~ Ndµ X, σ X u v.c. Y trsformzoe lere d X: Y X + b è cor u v.c. Normle d prmetr µ µ + b; σ σ Y X Y X ~ µ X +, σ X d Y N b Not X µ µ X σ σ σ X ~ Ndµ X, σ X F X µ X X X Z N HG µ µ σ ~, σ σ σ σ X N 0, Propretà rproduttv dell Normle X ~ Ndµ X, σ X Y ~ Ndµ Y, σ Y X ed Y dpedet W X+b Y W ~ Ndµ W, σ W µ µ + b µ W X Y W X Y σ σ + b σ I KJ Uso tvole X ~ Ndµ X, σ X F I F P X P X µ µ P X µ µ P Z H K H µ σ σ σ K F µ I Φ σ H K Esempo: Propretà rproduttv X ~ Ndµ X, σ X Y ~ Ndµ Y, σ Y X ed Y dpedet d X + Y ~ N µ X + µ Y, σ X + σ Y Geerlzzzoe Dte le v.c. X, X,,X dove X ~ Ndµσ, se tl v.c. soo dpedet X ~ N µ, σ d 0 X P X? X I Elemet d Clcolo delle probbltà lde 3

24 v.c. Idctore/erull Espermeto co rsultto dcotomco X R T I X ~, p X P(X) 0 -pq p v.c. omle 0 I ) prove dpedet ) rsultto dcotomco 3) probbltà p costte X: umero d success ( prove) X ~, p IIIIIIII PX p v.c. eroull pp() qp(i) F H G I K J p p f p v.c. Idctore/erull X ~, p d µ E X 0 p + p p E X 0 p + p p d Vr X E X E X p p p p v.c. omle (,p) X0,,..., F PX H G I K J p p Y, Y,..., dpedet -p F() Y, p Y f X Y f E X E Y + Y + + Y EY + EY + + EY p Vr X Vr Y + Y Y f X P(X) 0 -pq p 0 Vr Y Vr Y p p f Elemet d Clcolo delle probbltà lde 4

25 v.c. Posso X ~P( µ ) X0,,,3... ( ) P X µ µ e! E( X) Vr( X ) µ v.c. Espoezle Negtv X ~ Ep λ X 0 λ f ;λf λ e λ > 0 λ µ0,5 X tero 0 X < µ f ;λ µ Processo d Posso Processo d coteggo Le v.c. ce coto l umero d evet tervll dsgut soo dpedet L probbltà ce s verfc u eveto u tervllo pccolo è proporzole ll mpezz dell tervllo L probbltà ce s verfc pù d u eveto u tervllo pccolo è trscurble X umero d evet (0,t) ( ) X ~ P µ co µλ t µ umero medo d evet (0,t) λ umero medo d evet u t utro Momet dell med X, X,,X Idpedet E X f µ Vr X f σ < + F e λ E λ Vr λ X X E( X ) µ ( ) Vr X σ Elemet d Clcolo delle probbltà lde 5

26 Momet dell med X X X + X X b g E X E X E X µ µ µ µ b g Vr X Vr X + + Vr X... σ σ σ σ Teorem d De Movre Lplce Teorem del lmte cetrle X, X,,X Idpedet E X µ Vr X f σ < + def. X Z X X σ ~ Z N µ b g b g E X Vr X ( 0,) µ σ X ( ) ~, p Z X p ( p) p Z N 0, ~ E X p Vr X p p Elemet d Clcolo delle probbltà lde 6