Derivazione numerica. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III) Introduzione al calcolo numerico
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- Gianmaria Alberti
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1 F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 troduzoe l clcolo umerco Dervzoe terzoe Soluzoe d equzo F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Dervzoe umerc l clcolo dell dervt d u uzoe u puto mplc u processo l lmte ce può solo essere pprossmto u clcoltore. Suppomo ot l orm uzole d. U prm pprossmzoe dell su dervt è: Per sucetemete pccolo. Co molto pccolo però può dvetre delcto l puto d vst umerco clcolre l derez r due umer umertore molto vc tr loro. Per cpre come re melo lzzmo lo svluppo sere d Tylor d u toro d F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Dervzoe umerc L errore tto sosttuedo l rpporto cremetle scrtto sopr l posto dell dervt d è duque d orde. Possmo mlorre le cose otdo ce: F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Dervzoe umerc Duque prtà d l errore su : srà d orde e è qud u pprossmzoe mlore d. Per re cor melo otmo ce:
2 F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A Dervzoe umerc V Rsolvedo per ottemo: Quest ormul è seslmete pù ccurt e ce pù stle umercmete. Le ormule co le dereze smmetrce dreero utlzzte solo el cso soo dete solo l dervt destr e/o quell sstr, o s u uzoe per put e occorre clcolre l dervt d u estremo. Vercre ce F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Dereze te S u sequez d put equspzt dstz uo ll ltro e vlor ssut ll uzoe cscuo d ess. Utlzzdo, come vsto, lo svluppo sere d Tylor d s possoo otteere le seuet telle, co u errore e rspettvmete: F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A Dereze te Smlmete, per l dervt destr e sstr: 5 5 F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 terzoe umerc L terzoe umerc s s semplcemete sull dezoe d terle deto e sull terpolzoe d u uzoe u certo tervllo co u uzoe polomle t. Ad esempo se l rdo del polomo è zero s st pprossmdo l uzoe co u costte e s dovrà clcolre l re d u rettolo, se è s st cosderdo l uzoe lere e s dovrà clcolre l re d u trpezo etc.
3 F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A l metodo de trpez Co u pprossmzoe l prmo orde l terle deto d u eerc uzoe s può scrvere: d Se l tervllo [,] o è pccolo l pprossmzoe lere può rsultre troppo rozz: m sruttdo l ddtvtà dell terle s può suddvdere l tervllo tervll pù pccol d mpezz -/. Su o tervllo s vrà: d F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 l metodo de trpez Dt tervll s ottee llor l stm dell terle t : d Dt l uzoe e l tervllo [,] u clcolo dell terle potrà essere tto per v tertv clcoldo l stm dell terle l crescere d e ermdos qudo due stme successve soo etro u cert tollerz: < ε succ d qudo F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 l metodo de trpez l modo pù ecete d umetre è d rddopprlo d o terzoe modo dover clcolre l uzoe o volt solo su metà de put, vedol clcolt sull ltr metà ell terzoe precedete: - dspr / ; NEW NEW NEW F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Errore d trocmeto Vlutmo l errore commesso el clcolo dell terle usdo, l solto, uo svluppo sere d Tylor: dt t t t dt t d D corotre co l reol de trpez : d
4 F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Errore d trocmeto L errore su u sol strsc vle llor: L errore sull terle è volte quello su u sol strsc, e sccome -/ s ottee: su Errore F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 l metodo d Smpso L pprossmzoe successv quell d u rett è u polomle d secodo rdo prol. l metodo d Smpso us quest pprossmzoe per clcolre l terle e, come prevedle, prtà d umero d strsce u errore d trocmeto erore quello del metodo de trpez e pr /. Usmo u umero pr d strsce e cosdermo per o puto quell precedete - e successvo. S vrà: d F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A terzoe ll Romer Per ccelerre l processo d coverez dell terle, è uspcle ce l errore d trocmeto dmusc l pù rpmete possle co l umetre d. Ad es. l metodo d Smpso è mlore d quello de trpez e uerà coverez co u umero erore d terzo e cmte ll uzoe. Rprtmo or l metodo de trpez d orde e osservmo ce, detto l vlore vero dell terle: co / : ; C C F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 terzoe ll Romer o è ltr ce l pprossmzoe ort l metodo d Smpso. questo modo però è possle costrure u tell ssto u orde del umero d strsce del metodo de trpez, e clcolte le vre pprossmzo s possoo otteere pprossmzo molto pù ccurte rpetedo l trucco vsto precedez, e clcoldo :
5 Esempo 5 5 Soluzoe d equzo Sccome u eerc equzoe u vrle rele può essere mess ell orm cercre u soluzoe è equvlete cercre lo zero d u uzoe. ccurtezz /; ccurtezz / /5; ccurtezz / /; ccurtezz / / etc. F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 Metodo dell sezoe o rcerc r Se è cotu e lo zero cercto o è u puto d mssmo o mmo reltvo u metodo molto semplce m scuro e le per trovre l soluzoe è quello dell sezoe, ce rcor molto vco l lortmo d rcerc r. Metodo d Newto-Rpso L de è d prtre u puto l dervt d s o ull, usre l tersezoe dell tete l rco d co l sse delle come prossm stm dello zero e po terre. dvduto u toro [,] dello zero l uzoe seo opposto s corot co -/ e e s scele l rmo due estrem o cor seo opposto. S ter l procedmeto o trovre l soluzoe cerct. F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5
6 Metodo d Newto-Rpso Rcordo ce l tete l rco d u puto per coecete olre l dervt prm d clcolt quel puto s dmostr clmete ce: Lo zero è stto trovto qudo due vlor successv d, e derscoo tr loro per u vlore erore ll ccurtezz volut. Metodo d Newto-Rpso l metodo d Newto-Rpso è del secodo orde, el seso ce dett se c è lo zero dell uzoe ovvero c, vle c lm costte e qud per vco c è c c c K c s può dmostrre ce F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5 l metodo dell secte l metodo dell secte o è ltr ce l metodo d Newto-Rpso però s clcol l dervt umercmete. Come l metodo d Newto-Rpso è u metodo del secodo orde. Può rsultre molto utle e cs d u uzoe o s resce clcolre clmete u dervt ltc, o e cs u uzoe s ot solo per put. F. Amroso/E. Vrc Corso d ormtc A.A. -5
Integrazione numerica
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Integrazione di funzioni
tegrzoe d uzo l prolem dell tegrzoe umerc d u uzoe cosste el clcolre l vlore dell tegrle deto d prtre d umeros vlor dell uzoe tegrd l clcolo umerco d u tegrle semplce v sotto l ome d qudrtur meccc quello
Formule di Integrazione Numerica
Formule d Itegrzoe Numerc Itegrzoe umerc: geerltà Prolem: vlutre l tegrle deto: I d F F utlzzo opportue tecce umerce qudo: l prmtv d o e esprmle orm cus d esempo s/, ep- ; dcoltà el clcolre ltcmete l prmtv
Integrazione numerica
tegrzoe umer Formule d Newto-Cotes Trpez Smpso Puto medo Composte Formule d Guss Sere Morg Dprtmeto Mtemt Uverstà d Bolog tegrzoe umer PROBLEMA: S u uzoe det sull tervllo [,], d u soo ot vlor u seme to
( ) ( ) ( ) Equazioni non lineari: generalità
Equzo o ler: geerltà Prolem: rcvre le rdc o zer d u uzoe evetulmete o lere e/o trscedete coè trovre quel o que vlor tle che: Se l soluzoe o è esprmle orm chus l prolem può essere rsolto umercmete Molteplctà
Zeri e radici di equazioni non lineari e sistemi di equazioni non lineari
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Il calcolo integrale. L idea di partenza è semplice. Consideriamo il seguente grafico. Figura 1
Il clcolo tegrle Le dee d Rem sull cocezoe d geometr ho vuto u prood luez scetc, egl h trodotto l ozoe d tegrle deedo quello che o chmmo tegrle d Rem. Il puto d prtez per trodurre l rgometo è estremmete
Sistemi lineari: generalità
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Integrazione numerica
Itegrzoe uerc (/5 Prole: Clcolre l seguete tegrle Itegrzoe uerc ( d co e costt rel e ( uzoe cotu. (cotu Itegrzoe uerc (/5 Itegrzoe uerc (/5 No sepre è possle trovre or esplct l prtv. Ache el cso cu l s
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Lezione 8. Risultanti e discriminanti.
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INTEGRAZIONE NUMERICA
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Approssimazione di dati e funzioni
Arossmzoe d dt e uzo Arossmzoe d dt e uzo: geerltà Problem: rossmzoe d u uzoe : ot gl { } vlor che l uzoe ssume e ut { } s vuole otteere u rresetzoe ltc dell uzoe u tervllo b geere coteete gl { }; l esressoe
INFORMATICA 3 LEZIONE 10 FONDAMENTI DI MATEMATICA
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E definito prodotto di due cracoviani W V un cracoviano A il cui generico elemento vale
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Approssimazione di dati e funzioni: generalità
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APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO
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. U prolem d prolà LE SUCCESSIONI RICORSIVE U sgore h due cppell, uo co ed uo gllo. Og goro doss l pù uo solo de cppell. Per decdere se e qule dossre segue quese regole: Se l goro prm h dosso l cppello
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LE SUCCESSIONI Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez
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. La n a indica il valore assoluto della radice.
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Deo L trsort et rreset l cotrorte dscret dell trsort d Llce el cso coto, che cosete d rsolvere eqo lle deree ler tldo selc olo lerche. Dl to d vst strettete tetco dt seqe d er {(} detcete ll er vlor etv
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ESERCIZI DI CALCOLO NUMERICO
Esercizio : ESERCIZI DI CALCOLO UMERICO Formule di qudrtur Costruire l ormul di qudrtur interpoltori del tipo d ( ) ( ) ( ) clssiicndol e determinndone l ordine di ccurtezz polinomile Mell Per costruzione
Il problema è ricavare le radici (gli zeri) di una funzione f(x), cioè i valori z: f(z)=0
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