Dove la suddivisione dell intervallo [a,b] è individuata dai punti

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1 04//205 Clcolo itegrle per fuzioi di u vriile Clcolo itegrle Itegrle defiito Si f:[,] R, limitt ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 0 = = Costruimo l somm di Cuchy-Riem S f f Dove l suddivisioe dell itervllo [,] è idividut di puti 0,, 2,,, h, h =5

2 04//205 Itegrle defiito L scelt dei puti è ritrri ξ ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 ξ 6 ξ 7 0 = = All umetre dei puti dell suddivisioe di [,] umet il umero degli ddedi dell somm di Cuchy- Riem e tli ddedi dimiuiscoo i vlore ssoluto =7 Itegrle defiito Defiizioe Si dice che l fuzioe f:[,] R, limitt, è itegrile secodo Riem i [,], se dett S u su qulsisi successioe di Cuchy-Riem, esiste fiito il limite di S per, e tle limite o dipede dll scelt dei puti ξ. Allor si poe lims f d Si legge «itegrle d i d» f si chim fuzioe itegrd e è l vriile d itegrzioe ed è u vriile mut: f t dt h lo stesso sigificto di f d 2

3 04//205 Itegrle defiito, iterpretzioe geometric f d, I f d, f I= [,] è il domiio di itegrzioe, e soo gli estremi di itegrzioe. Se f è positiv llor f d rppreset l re del «sottogrfico» di f. Iftti l somm S rppreset u pprossimzioe dell re del «trpezoide T» idividuto d f: T :, y R 2 :, 0 y f Itegrle defiito, iterpretzioe geometric Se f 0 f d re di T T Se i [,], f cmi sego llor f d è sempre u umero m o rppreset più l re del sottogrfico di f. Osservzioe f d è u umero, o dipede d. 3

4 04//205 Itegrle defiito, iterpretzioe geometric Se f cmi sego i [,], e si vuole clcolre l re del sottogrfico di f, llor si deve suddividere l itervllo i tti itervllii i cui f è di sego costte: T c T 2 y=f d T 3 c re del sottogrfico di f f d f d d c d f d Itegrle defiito L isieme delle fuzioi itegrili secodo Riem i I=[,] si idic co RI o R[,]. RI o è vuoto, iftti ogi fuzioe costte y=c è itegrile su quluque itervllo [,] e si h c d c y=c Per quluque suddivisioe di [,] si h S f c 2 3 c c+c+ +c volte 4

5 04//205 5 Itegrle defiito, clssi di fuzioi itegrili Teorem. Se f:[,] R è cotiu, llor è itegrile. Teorem. Se f:[,] R è mooto e limitt, llor è itegrile. Teorem. Se f:[,] R è limitt i [,] co u umero fiito di puti di discotiuità, llor è itegrile. Questo teorem si puo estedere lle fuzioi limitte co u ifiità umerile di puti di discotiuità, cioè i puti di discotiuità possoo essere ifiiti m o devoo essere «troppi». L fuzioe di Dirichlet su [,]: è limitt e o è itegrile secodo Riem i puti di discotiuità soo «troppi»: tutto [,] Iftti se si scelgoo i puti ξ rzioli si h Se ivece si scelgoo i puti ξ irrzioli si h Q se Q se f [,]- 0 ], [ f S 0 0 f S

6 04//205 Itegrle defiito, proprietà Sio f e g itegrili i [,], llor:. Lierità dell itegrle: se α e β soo costti l fuzioe αf+βg è itegrile e si h g d f d f g d 2. Additività dell itegrle rispetto ll itervllo di itegrzioe: s Se llor f è itegrile che su [,s] e [s,] e: d f d s f f d s Itegrle defiito, proprietà 3. Positività e mootoi: I prticolre f 0 f d 0 f g f d g d d f f d Per covezioe, se < si poe d f f d 6

7 04//205 Teorem dell medi itegrle i Si f limitt e itegrile secodo Riem i [,] Allor m f d M Dove m if f e M sup f [, ] [, ] ii Se f è cotiu su [,] 0,: f d f 0 vlor medio itegrle di f su [,] Teorem dell medi itegrle Dimostrzioe i Essedo f limitt si h m f M Itegrdo memro memro su [,]: m f d M ii Idichimo co y 0 il vlore y f d 0 che è u vlore compreso tr m ed M. Essedo f cotiu, per il teorem dei vlori itermedi, esisterà 0,: f 0 = y 0 cioè l tesi 7

8 04//205 Teorem dell medi itegrle y=f f 0 C D A R A 0 0 Are C = Are D Are A=reR 8