Unità Didattica N 09 I RADICALI
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- Anna Zanetti
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1 1 Uità Didttic N 09 I RADICALI 01) I ueri reli 0) I rdicli ritetici 0) Seplificzioe di u rdicle 0) Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice 0) Moltipliczioe di rdicli 06) Divisioe di due rdicli 07) Trsporto di u fttore positivo sotto il sego di rdice 08) Trsporto di u fttore positivo fuori dl sego di rdice 09) Potez di u rdicle ritetico 10) So lgebric di rdicli ritetici 11) rziolizzzioe del deoitore di u frzioe 1) Rdicli doppi 1) Rdicli lgebrici 1) Poteze d espoete frziorio Pgi 1 di 11
2 Nueri reli Dicesi uero rziole u qulsisi uero che può essere scritto sotto for i frzioe. Soo pertto ueri rzioli: 1) tutti i ueri iteri ) tutti i ueri decili liitti ) tutti i ueri decili periodici. Dicesi uero irrziole ogi uero che o può essere scritto sotto for di frzioe. U uero rziole o irrziole dicesi rele. 1) Nueri iteri RAZIONALI ( ueri frziori ) ) Nueri decili liitti ) Nueri decili periodici ueri reli IRRAZIONALI= ueri che si possoo scrivere sotto for di frzioe = = ueri decili illiitti e o periodici OSSERVAZIONE Ogi uero irrziole può essere espresso co esttezz solo edite il sibolo che lo rppreset e i co u uero rziole. Ad esepio, soo irrzioli i segueti ueri:, π, 11 Qudo u uero irrziole è dto edite u uero itero o edite u uero decile, il vlore che l esprie è u vlore pprossito. Rdicli Aritetici Se è u uero turle o ullo ed u uero rele o egtivo, defiio rdice eesi ritetic del uero positivo, e l idichio co l scrittur, il uero rele o egtivo x l cui potez eesi è ugule d. Sussiste sepre l seguete equivlez: = x x =, x R +, N o L scrittur dicesi rdicle ritetico, dicesi rdicdo, idice del rdicle, il sibolo dicesi sego di rdice. Qudo risult = scrivio e leggio rdice qudrt di. = : (rdice cubic di o rdice terz di ), = : (rdice qurt di ) Pgi di 11
3 = 1 1 = cioè l rdice pri di u uero è ugule l uero stesso <<L operzioe edite l qule si pss dl uero rele ll su rdice ritetic x si chi estrzioe di rdice>>. Se il rdicle ssue l for OSSERVAZIONE N 1 dicio che è l espoete del rdicdo, se ssue l for k b dicio che e k soo gli espoeti dei fttori del rdicdo. OSSERVAZIONE N ( ) = cioè l potez eesi dell rdice eesi ritetic del uero è ugule l uero stesso. Iftti: = x x = ( ) = PROPRIETA INVARIANTIVA Il vlore di u rdicle ritetico o ut se oltiplichio o dividio l idice del rdicle e l espoete del rdicdo per uo stesso uero positivo (o ullo). I siboli bbio: = = p p /p /p SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE Per seplificre u rdicle si procede coe segue: 1) Si decopoe il rdicdo i fttori prii ) Si clcol i l M.C.D. fr l idice del rdicle e gli espoeti dei fttori del rdicdo ) Si divide per il M.C.D. trovto l idice e gli espoeti dei fttori del rdicdo ESEMPI ( x y) = ( x y) + + M. C. D.( 6,, 1) = b + b = + b = + b 8 8 U rdicle si dice irriducibile o ridotto i iii terii qudo risult ugule d 1 il M.C.D. fr l idice del rdicle e gli espoeti dei fttori del rdicdo. Pgi di 11
4 Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice Per ridurre due o più rdicli llo stesso idice si procede coe segue: 1) Si decopogoo i fttori prii tutti i rdicdi ) Si redoo irriducibili tutti i rdicli ) Si clcol il.c.. fr gli idici di tutti i rdicli e lo si ssue coe iio coue idice per tutti i rdicli ) Si divide il.c.. per l idice di ciscu rdicle e si oltiplic il quoziete otteuto per l espoete di ogi fttore di ciscu rdicdo 10 b 6, b b + +, b b 10 6, ( + b ) b, b, b +, b 0,. c..(,, ) = 0 b 1 18, 0 1 ( + b), 0 b 0 Moltipliczioe di rdicli Teore: Il prodotto di due o più rdicli ritetici veti lo stesso idice è u rdicle ritetico che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il prodotto dei rdicdi. I siboli bbio: b= b Esepio: ( ) x y x y x + y x y x + y x y x xy y x y = = x y Osservzioe: Per oltiplicre due o più rdicli veti idici diversi occorre ridurli pri llo stesso idice e poi oltiplicrli. ESEMPIO xy y x y x y x 6 y x y 6 x 6 y x y x = = = x xy x x y x 8 x y x 8 x y = 6 8 xy ( x y) Pgi di 11
5 Divisioe di due rdicli Teore: Il quoziete di due rdicli ritetici di ugule idice è u rdicle ritetico che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il quoziete dei rdicdi. I siboli bbio: : b = :b oppure ( x y) ESEMPIO b = x + y x xy + y x y x xy + y x + y x + y x+ y x y x + xy + y x+ y x + xy+ y 6 x xy + y 6 x y 6 6 : = = OSSERVAZIONE Per dividere due rdicli veti idici diversi occorre ridurli prevetivete llo stesso idice. ( x y) x ( x y) x x x x x y x y x y x y x+ y x y x + y x x + y : = : = = Trsporto di u fttore positivo sotto il sego di rdice Qudo u rdicle è oltiplicto per u fttore positivo, tle fttore può essere trsportto sotto il sego di rdice, coe fttore del rdicdo, purché veg elevto d u potez ugule ll idice del rdicle. I siboli bbio: b= b + + = + =, = = 8 = 0 + Esepi: ( b) ( b) 1 1 b b b b b Trsporto di u fttore positivo fuori dl sego di rdice Se ed soo due ueri iteri, se resto, llor possio scrivere:, se q è il quoziete dell divisioe di per ed r è il q r = = q + r r q REGOLA Regol: U fttore positivo del rdicdo vete espoete o iore dell idice del rdicle può essere portto fuori dl sego di rdice coe fttore che risult essere u potez vete coe espoete il quoziete q; ll itero del rdicle rie coe fttore u potez vete coe espoete il resto r. Pgi di 11
6 6 Se risult r = 0 llor il fttore del rdicdo, essedo ugule d 1, o si scrive ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) x b b b b x b 1 18 Osservzioe: Per trsportre u fttore fuori dl sego di rdice bisog pri decoporre i fttori il rdicdo ed, evetulete, seplificre il rdicle. ( ) ( x + y) ( ) b b + b b + b b + b b b = = = x x y xy y x y x y x y x y Potez di u rdicle ritetico Per elevre potez u rdicle bst elevre quell potez il rdicdo. = 8 1 ( x+ y) ( x y) = ( x+ y) ( x y) = ( x+ y)( x y) ( x+ y) ( x y) Osservzioe: Se l idice del rdicle e l espoete dell potez ettoo u M.C.D. llor, pri di elevre il rdicle ll dt potez, bisog seplificre. 1 / / 6 x y x y x y x y x y x y x y ( ) ( + ) = ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) Rdice ritetic di u rdicle ritetico L rdice ritetic di idice di u rdicle ritetico di idice e rdicdo è u rdicle ritetico di idice e rdicdo. I siboli bbio: = 10 7 = = =, 0 = 18 = 18 x x y x y x y x y x y y x y x y x y x y = = = = So lgebric di rdicli ritetici Defiizioe: U rdicle ritetico si dice ridotto qudo sul rdicdo si soo eseguite tutte le seplificzioi possibili e si soo portti fuori dl sego di rdice tutti quei fttori veti espoeti ggiore o ugule dell idice del rdicle. Il fttore che si trov dvti d u rdicle ridotto si chi coefficiete del rdicle. Pgi 6 di 11
7 7 Defiizioe: Due o più rdicli ritetici si dicoo siili qudo ho lo stesso idice, lo stesso rdicdo e differiscoo, evetulete, solo per il coefficiete. Soo siili i segueti rdicli: b, b b, 1 x b Regol: L so lgebric di due o più rdicli siili è u rdicle siile i dti ed vete per coefficiete l so lgebric dei coefficieti = + = = + + = + 0 Rziolizzzioe del deoitore di u frzioe Rziolizzre il deoitore di u frzioe sigific trovre u frzioe equivlete ll dt vete il deoitore privo di rdicli. Si possoo presetre diversi csi: prio cso Il deoitore preset coe fttore il terie b L rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per b. b b b = = = b b b b b = = = = , x x x + y x x + y = = x + y x + y x + y x + y secodo cso Il deoitore preset coe fttore il terie co <. L rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per: b b = = = = - -+ = = = terzo cso Il deoitore preset coe fttore l so lgebric di due rdicli qudrtici, oppure l so lgebric di u rdicle qudrtico e di u espressioe o coteete rdicli. Se il fttore è + b l rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e Pgi 7 di 11
8 8 deoitore per b, se il fttore è b si oltiplic per + b, se il fttore è + b si oltiplic per b, se il fttore è b si oltiplic per + b. ( + 6) ( + 6) ( + 6) ( ) ( ) = = = = = = = = = qurto cso Il deoitore preset coe fttore l so (differez) di due rdicli cubici + b ( b ). L rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per - b + b ( + b + b ) b + b b + b = = + b + b b + b + b + b + b + b + b = = b b + b + b b c cd b + d b c cd b + d b = = c + d b c + d b c cd b + d b c + db c + cd b + d b c + cd b + d b = = c d b c d b c + cd b + d b c db = = = Rdicli doppi Si chi rdicle doppio ogi espressioe vete l for + b oppure b + -b - -b + b = + + -b - -b - b = - Le suddette forule soo utili se b è u qudrto perfetto. I questo cso il rdicle doppio si trsfor ell so lgebric di due rdicli seplici. Pgi 8 di 11
9 = + = + = + Rdicli lgebrici Fior bbio supposto che il rdicdo si u uero rele positivo e che il risultto dell estrzioe dell rdice si uico ed espresso d u uero rele positivo, cioè l rdice ritetic di u uero positivo esiste sepre ed è u uero positivo. Adesso bbdoio tle ipotesi restrittiv e suppoio che R. Defiio rdice eesi lgebric del uero rele reltivo, il uero rele reltivo x (se esiste) che h coe potez eesi il uero. = x x =, x R, N o Abbio visto che l rdice eesi ritetic di u uero positivo esiste sepre e rppreset u solo vlore positivo. Per i rdicli lgebrici le cose vo diversete: 1) rdicdo positivo ( > 0), pri I questo cso rppreset due vlori espressi d due ueri opposti. = ± Iftti : ) rdicdo positivo ( > 0), dispri ± = L rdice eesi lgebric di u uero rele positivo d idice dispri h u uico vlore positivo, cioè il sibolo rppreset u uero positivo 8 = ) rdicdo egtivo ( < 0), dispri L rdice eesi lgebric di u uero rele egtivo d idice dispri h u uico vlore egtivo, cioè il sibolo rppreset u uero egtivo 8 = ) rdicdo egtivo ( < 0), pri L rdice eesi lgebric di u uero rele egtivo d idice pri o esiste el cpo dei ueri reli, cioè se R, il sibolo o h sigificto i qudo o esiste essu uero rele l cui potez d idice pri è u uero egtivo. o esiste el cpo dei ueri reli i quto o è possibile trovre u uero rele reltivo il cui qudrto è. Pgi 9 di 11
10 10 CONCLUSIONI 1) per pri, ogi uero rele positivo ette due rdici eesie lgebriche fr loro opposte; ogi uero rele egtivo o e ette ) per dispri, ogi uero rele ette u rdice eesi lgebric ed u sol, l qule è positiv o egtiv se tle è il uero cosiderto. OSSERVAZIONE N 1 Il sibolo è utilizzto tto per idicre u rdicle ritetico quto per idicre u rdicle lgebrico. Si dovrebbero usre siboli diversi coe vviee i ltre zioi: _ = rdice ritetic del uero rele, = rdice lgebric del uero rele * = rdice copless del uero rele, o rdice del uero rele el cpo dei ueri coplessi. L cosuetudie itli ttribuisce l sibolo il sigificto di rdice ritetic; el cso i cui il sibolo esplicitete. v cosiderto coe rdicle lgebrico bisog dichirrlo I R il sibolo può vere due sigificti: OSSERVAZIONE N 1) quello di rdicle ritetico se R + ed llor il sibolo rppreset u solo uero positivo ) quello di rdicle lgebrico se R ed llor il sibolo rppreset due ueri reltivi, u solo uero reltivo, essu uero rele reltivo. Poteze d espoete frziorio Possio estedere il cocetto di potez l cso i cui l espoete è u frzioe. Questo è + possibile solo se l bse è u uero rele positivo. R,, N poio: = cioè, l potez d espoete frziorio (positivo) di u uero rele positivo è ugule l rdicle ritetico che h per idice il deoitore dell frzioe e per espoete del rdicdo il Pgi 10 di 11
11 11 uertore dell frzioe stess. U potez di u uero rele positivo vete coe espoete u uero frziorio egtivo viee defiit dll seguete relzioe: Per le poteze d espoete frziorio vlgoo le segueti proprietà forli: 1 1 = = - p p + q q = p p - q q : = p q p q = b c = b c b = b = = =, = = 9 OSSERVAZIONE U potez che si fttore del uertore (o del deoitore) di u frzioe può essere portt l deoitore (uertore) utdo il sego dell espoete. ( ) b x b x b b = = + b b + b b + b x Pgi 11 di 11
U.D. N 09 I RADICALI
Uità Didttic N 09 I Rdicli 71 U.D. N 09 I RADICALI 01) I ueri reli 0) I rdicli ritetici 0) Seplificzioe di u rdicle 0) Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice 0) Moltipliczioe di rdicli 0) Divisioe
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