FUNZIONI ESPONENZIALI

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1 CONCETTI INTRODUTTIVI FUNZIONI ESPONENZIALI POTENZE AD ESPONENTE RAZIONALE L teori delle poteze può essere estes che lle poteze che ho per espoete u NUMERO RAZIONALE INSIEME Q. Ho seso solo le poteze che ho u bse positiv e divers d zero Poiché i ueri rzioli soo rzioi del tipo deve essere * N e N ueri turli diversi d zero Quidi ho siiicto tutte le poteze veti per bse u uero rele positivo e per espoete u uero rziole qulsisi * e si scrive, N, N Ricordio lcue deiizioi odetli: N.B.: o h seso prlre di potez di u uero etivo perché si ho i lcui csi delle biuità, d esepio: etre 64 quidi pur essedo li espoeti equivleti le poteze ei due csi do u risultto diverso. I NUMERI REALI INSIEMI NUMERICI NOTI N<Z<Q NUMERI NATURALI<NUMERI INTERI<NUMERI RAZIONALI Q E L INSIEME DEI NUMERI DECIMALI LIMITATI PERIODICI E NON, CHE POSSONO ESSERE TRASFORMATI IN UNA FRAZIONE INSIEME DEI NUMERI IRRAZIONALI = INSIEME DEI NUMERI ALGEBRICI E TRASCENDENTI I E L INSIEME DEI NUMERI DECIMALI ILLIMITATI NON PERIODICI CHE NON, CHE POSSONO ESSERE TRASFORMATI IN UNA FRAZIONE

2 Rdici qudrte, Cubiche, Pireco, il uero di Nepero, loriti i bse dieci e loriti turli. =,4456 =,75 e=,7. =, Lo=, lo=, Questi ueri copleto l rett rele =,4456 < <,4< <,5,4< <,4,44< <,45,44< <,44 Quidi possio costruire u coppi di clssi cotiue di ueri rzioli Hdietto= ;,4;,4;,44;, 44; Heccesso= ;,5;,4;,45;, 44; le quli soo: seprte, oi eleeto di H è iore di quelli di H H e H soo ideiitete rvvicite, che siiic che l errore che si coette cosiderdo l pprossizioe di può essere reso piccolo picere. è detto ELEMENTO SEPARATORE TRA H E H, e può essere quidi rppresetto sull rett rele. Rioeti lohi possoo essere tti per tutti li ltri ueri irrzioli. L isiee dei ueri I Q=R

3 RETTA REALE POTENZE AD ESPONENTE IRRAZIONALE E POTENZE AD ESPONENTE REALE L teori delle poteze può essere estes che lle poteze che ho per espoete u NUMERO IRRAZIONALE d esepio che o si può espriere co u rzioe se tle potez l cosiderio coe l UNICO eleeto seprtore tr due isiei dette CLASSI di poteze d espoete rziole, il prio A costituito d tutti i ueri che lo pprossio per dietto ed il secodo A costituito d quelli che lo pprossio per eccesso. Poiché tli isiei soo seprti e ideiitivete rvviciti si può estedere l teori delle poteze che lle poteze co espoete rele isiee di tutti i ueri copresi i ueri irrzioli. Si u uero rele positivo diverso d e si u uero rele. Detto b l eleeto r r seprtore delle due clssi cotiue A r Q, r, A r Q, r si deiisce potez di bse ed espoete poedo b No si deiiscoo le poteze espoete rele di ueri etivi Quidi ho siiicto tutte le poteze veti per bse u uero rele positivo e per espoete u uero rele qulsisi = Proprietà delle poteze d espoete rele: : 4 5 b b MONOTONIA DELLE POTENZE Le poteze di u uero rele iore di uo crescoo l crescere dell espoete rziole e quelle di u uero rele positivo iore di uo decrescoo l crescere dell espoete rziole: se > r < s r<s se << r < s r>s r, sq

4 FUNZIONE ESPONENZIALE Deiizioe: preissto u uero rele >, si deiisce uzioe espoezile quell uzioe che ssoci u qulsisi uero rele il uero rele : :, R, > PROPRIETA DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE se > < i tl cso l uzioe è ooto crescete se << < i tl cso l uzioe è ooto dcrescete QUINDI LE FUNZIONI ESPONENZIALI SONO BIUNIVOCHE CLICCA SULL IMMAGINE li FUNZIONE CRESCENTE li li FUNZIONE li DECRESCENTE L iportz delle uzioi espoezile st el tto che il suo deto rppreset lcui eoei isici i cui l vrire dell vribile idipedete, l vribile dipedete uet i odo espoezile elevto. Ad esepio soo descritte d uzioi espoezili il decdieto delle sostze rdiottive oppure l scissioe uclere : eutroe eutroi 4 eutroi eutroi 6 eutroi 4 EQUAZIONI ESPONENZIALI

5 DEF.:Soo equzioi espoezili le equzioi i cui l icoit iur ell espoete di u potez. Poiché l uzioe espoezile è BIUNIVOCA è veriict l seuete proprietà: se = ovvero loete = vero se R, >, Quidi se u equzioe espoezile si può ricodurre ll FORMA CANONICA e solo i questo cso l su soluzioe srà dt dll equzioe equivlete = ESEMPIO: 6 9 DISEQUAZIONI ESPONENZIALI DEF.: Soo disequzioi espoezili le disequzioi i cui l icoit iur ell espoete di u potez. Poiché l uzioe espoezile è ooto crescete o decrescete soo veriicte le seueti proprietà: se > < i tl cso l uzioe è ooto crescete se << < i tl cso l uzioe è ooto dcrescete d tli proprietà, pplicte lle disequzioi espoezili i or coic si h: se > < o cbi il verso dell disequzioe se << > cbi il verso dell disequzioe Quidi se u equzioe espoezile si può ricodurre ll FORMA CANONICA... o o l su soluzioe srà dt dll disequzioe equivlete rierit li espoeti. ESEMPIO: poichè poichè