ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO. Disposizioni

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1 ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Il clcolo comitorio h come oggetto il clcolo del umero dei modi co i quli possoo essere ssociti, secodo regole stilite, gli elemeti di due o più isiemi o di uo stesso isieme. I rggruppmeti possoo essere ftti i vri modi, secodo regole precise, e i csi più importti e più frequeti soo:. disposizioi semplici;. disposizioi co ripetizioe;. permutzioi semplici;. permutzioi co ripetizioe;. comizioi semplici; 6. comizioi co ripetizioe. Disposizioi Regol di formzioe: dto u isieme A di elemeti, si dicoo disposizioi di elemeti di clsse i rggruppmeti di elemeti scelti fr gli dell isieme A, tli che ogi rggruppmeto differisc dgli ltri Le Disposizioi si dicoo: o per l tur degli elemeti o per l ordie degli elemeti. ) semplici, se ogi rggruppmeto cotiee elemeti distiti fr loro; il loro umero si idic co D,, co D, = (-)(-) (-+) ( ) ) co ripetizioe, se ei rggruppmeti gli elemeti di A possoo comprire più di u volt; il loro umero si idic co D,, co D, =

2 Esempi:. Dto l isieme A={;;c;d}, le disposizioi semplici dei quttro elemeti presi due ll volt soo: D, = ; D, = ( -+ = -+ = ),, c, c, d, d, c, c, d, d, cd, dc.. Dto l isieme A={;;c;d}, le disposizioi co ripetizioe dei quttro elemeti presi due ll volt soo: D, = ; D, = 6,, c, c, d, d, c, c, d, d, cd, dc,,, cc, dd.. Clcolre ) i quti modi si possoo presetre le fcce di due ddi e ) qute soo le coppie formte d due umeri dispri: ) A={;;;;;6} ; D 6, = 6 ; D 6, = 6; ) A={;;} ; D, = ; D, = 9.. Qute coloe dell schedi del Totoclcio si possoo compilre? A={; x ; } ; D, = ; D, =.9... I u slotto vi soo 6 poltroe. Etro ospiti. I quti modi diversi possoo disporsi sulle poltroe? A={;;;;;6}; D 6, = 6 ; D 6, = 6 ( -+ = 6-+ = ) Soo le disposizioi semplici di 6 poltroe liere, occupte quttro ll volt. 6. I quti modi è possiile scegliere d u isieme di liri diversi 6 liri d ssegre 6 persoe? A={;;;;;6;7;8;9;}; D,6 = ; D,6 =. ( -+ = -6+ = ).

3 Permutzioi Regol di formzioe: dto u isieme A di elemeti, si dicoo permutzioi di elemeti, i rggruppmeti formti dgli elemeti presi i u ordie qulsisi. Le Permutzioi si dicoo: ) semplici, se ogi rggruppmeto cotiee elemeti distiti fr loro; il loro umero si idic co P, co P = Co = (-) ; e = per def. Esempio: = =. Osserv che P = D,. ) co ripetizioe, se ei rggruppmeti elemeti di A possoo comprire α, β, volte; il loro umero si idic co P (α,β, ), co Esempi: (α,β, ) P α β =. Dto l isieme A={;;c;d}, le permutzioi semplici dei quttro elemeti soo: P = ; P = cd, dc, dc, dc, cd, cd, dc, dc, cd, dc, dc, dc, cd, cd, cd,. I quti modi si possoo sistemre i u lireri liri diversi di cui 6 di lettur di mtemtic, ) i u ordie qulsisi, ) i modo che tutti i liri di u stess mteri sio vicii? ) P =; P =.68.8; ) N tot = P 6 P = 6 =.6.. Quti soo gli grmmi dell prol Rom, che sez sigificto?

4 P = ; P =.. Quti soo gli grmmi dell prol mmm, che sez sigificto?. P (,) Comizioi Regol di formzioe: dto u isieme A di elemeti, si dicoo comizioi di elemeti di clsse, i rggruppmeti di elemeti scelti fr gli dell isieme A, tli che ogi rggruppmeto differisc dgli ltri per l tur degli elemeti (sez cosiderre l ordie degli elemeti). Le Comizioi si dicoo: ) semplici, se ogi rggruppmeto cotiee elemeti distiti fr loro; il loro umero si idic co C,, co C, D P, solitmete si scrive C, Il simolo è detto coefficiete iomile per il suo uso ello sviluppo delle poteze del iomio. ) co ripetizioe, se ei rggruppmeti gli elemeti di A possoo comprire più di u volt; il loro umero si idic co C,, co C ',

5 Esempi:. Dto l isieme A={;;c;d}, le comizioi semplici dei quttro elemeti presi due ll volt soo: C D,, P, c, d, c, d, cd. 6. Dto l isieme A={;;c;d}, le comizioe co ripetizioe dei quttro elemeti presi due ll volt soo: C ',, c, d, c, d, cd,,, cc, dd.. I quti modi si possoo scegliere i u clsse di studeti llievi come rppresetti di clsse? C, - -. Clcolre qute ciquie si possoo estrrre d u ur che cotiee i 9 umeri del lotto. C 9, Si voglioo distriuire oggetti uguli i cssetti. I quti modi è possiile effetture l distriuzioe? C ', Soo comizioi co ripetizioe di elemeti (i cssetti) di clsse.

6 6 6. D u lotto di lmpdie si estre u cmpioe di lmpdie per u cotrollo sttistico sull durt. Clcol quti possiili cmpioi di lmpdie si possoo estrrre. C, Risolvi e discuti l seguete equzioe: x x x deve essere x N e x per l codizioe. sviluppdo si ricv l' equzioe x x - x x - x x - x x 6 : 6 le soluzioi soo x ; x ; x 9. Per le codizioi poste è ccettile solmete l soluzioe x 9.

7 PROPRIETA DEI COEFFICIENTI BINOMIALI iftti Stifel di Formul. iftti ricorrez di Formul. - perchè che e : esempio - : iftti - simmetric Proprietà. D, fttorile Formul. D, prelimire Formul utile 7

8 SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO 6 Newto). (iomio di u iomio dello sviluppo dele poteze di Coefficieti TARTAGLIA DI TRIANGOLO IL ) ( : esempio 8

9 ALTRI QUESITI VARI. Dimostrre che si h dove e soo umeri turli qulsisi, co > >. Soluzioe: è l proprietà di Stifel (.) dei coefficieti iomili Cosider l successioe di termie geerle f, dove: f, clcolre lim e, ricorredo ll defiizioe, verificre il limite così trovto. Soluzioe: ricorddo lo sviluppo del iomio di Newto, si h: f, ). e fr compres se co esp. ( risult e, pertto : lim lim 9

10 Per verificre il limite dell successioe covergete { }, st fr vedere che " e Î R + esiste u e ÎN, tle che si verifichi - l < e " co > e ; iftti: ε ε, verifict per log ε.. Chirire il sigificto di e il suo legme co i coefficieti iomili. Rispost: def.: dto u umero turle, si chim fttorile, e si scrive, il prodotto dei primi umeri turli diversi d zero; idic il umero di permutzioi semplici su elemeti distiti; si chim coefficiete iomile ciscuo dei simoli che compioo ello sviluppo dell potez del iomio; ioltre questo simolo idic il umero di comizioi semplici di elemeti di clsse (presi ll volt), che è ugule :, formul che esprime il coefficiete iomile i fuzioe dei fttorili di, e (-).

11 PROBABILITA Si chim proilità p di u eveto letorio, il rpporto tr il umero f di risultti fvorevoli e il umero dei risultti possiili, posto che questi sio tutti egulmete possiili, ovvero: f P, co p, p = sigific eveto impossiile, p = sigific eveto certo. Esempi:. I u coteitore ci soo iglie, delle quli 7 iche, rosse e ere; qul è l proilità P B che estredoe u, ess si ic? P B 7 %.. Qul è l proilità di vicere il tero, giocdo tre umeri l lotto su di u uic ruot? 9 (Si estrggoo per ogi ruot dei primi 9 umeri iteri; gli eveti possiili soo quidi, metre quelli fvorevoli soo pri l umero delle ciquie che cotegoo i tre umeri giocti, ssieme d ltri due qulsisi degli 87 umeri rimeti, quidi soo tti qute le 87 comizioi di 87 umeri presi ll volt, cioè ) 87 P Nel lcio di u ddo clcolre l proilità di otteere u umero dispri: P = /6.

12 . Si estre u crt d u mzzo di crte, clcolre l proilità di otteere u figur: P = /.. Si lcio due ddi, clcolre l proilità di vere due umeri uguli: i csi possiili soo D 6, = 6 =6 ; i csi fvorevoli soo 6, quidi P = 6/6. 6. Si lcio due ddi, clcolre l proilità di vere come somm delle due fcce: i csi possiili soo D 6, = 6 =6 ; i csi fvorevoli soo, (;), (;), (;), (;), quidi P = /6. 7. Si lcio moete; clcolre l proilità di vere due teste e u croce: i csi possiili soo D, = = 8, (T;T;T), (C;C;C), (T;T;C), (T;C;T), (C;T;T), (C;C;T), (C;T;C), (T;C;C); i csi fvorevoli soo, (i grssetto), quidi P = /8. 8. U ur cotiee pllie rosse e pllie ere tutte uguli fr loro, distiguiili solo per il colore. Si estrggoo cotemporemete pllie. Clcolre: ) l proilità di estrrre pllie rosse; ) l proilità di estrrre plli ross e plli er. I csi possiili soo C, =. ) csi fvorevoli : C, =, quidi P ; P ) csi fvorevoli :, quidi.