PRECORSO DI MATEMATICA III Lezione RADICALI E. Modica LE RADICI

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1 PRECORSO DI MATEMATICA III Lezioe RADICALI E. Modic LE RADICI Abbio visto che l isiee dei ueri reli è costituito d tutti e soli i ueri che possoo essere rppresetti i for decile. Si h: R uero rziole: uero irrziole: se l prte decile è fiit o periodic se l prte decile è ifiit e o periodic RADICI QUADRATE Defiizioe: Si dicoo rdici qudrte 1 di u uero rele tutti quei ueri che, elevti l qudrto, do coe risultto. Osservzioe: Lo 0 h coe uic rdice qudrt se stesso! Perché i ueri reli egtivi o ettoo lcu rdice qudrt? L rispost ll dod è seplice, bsti pesre l ftto che qulsisi uero rele elevto l qudrto dà coe risultto u uero positivo! Notzioe: Il sibolo utilizzto per idicre l rdice qudrt di u uero è esso idic solete il vlore ssoluto delle rdici qudrte del uero, cioè:, i reltà se > 0 se < 0 Per tle rgioe il sibolo suddetto prede il oe di rdice qudrt ssolut. Bisog quidi stre tteti e ricordre che ell isiee dei ueri reli: ogi uero positivo ette due rdici qudrte opposte tr loro: ± ; lo zero ette coe uic rdice qudrt se stesso; i ueri egtivi o ettoo lcu rdice qudrt. 1 Il terie rdice qudrt deriv dl ftto che esprie il lto di u qudrto di re. Sibolo itrodotto dl tetic tedesco Christoph Rudolff (00 5) coe bbrevizioe dell prol rdix. Erso Modic, 009/

2 Dlle precedeti cosiderzioi ppre evidete che di frote ll, si deve vere: 0, perché i ueri reli egtivi o ettoo rdice qudrt; 0, perché il sibolo rppreset l rdice qudrt ssolut. Qudo ci si trov di frote ll rdice qudrt di u uero rele si possoo verificre i due csi segueti: il uero è u qudrto perfetto e quidi l su rdice qudrt ssolut è u uero itero: d esepio ; il uero o è u qudrto perfetto e quidi l su rdice qudrt ssolut è u uero irrziole: d esepio 1,1 Cocludio questo prgrfo osservdo che, se si cosidero i soli ueri reli o egtivi, l rdice qudrt ssolut o ritetic è l operzioe ivers dell elevzioe l qudrto: RADICI CUBICHE Defiizioe: Si dice rdice cubic di u uero rele quel uero che, elevto l cubo, dà coe risultto. Si osserv fcilete che l rdice cubic di u uero tiee sepre lo stesso sego del uero i quto sppio che il cubo di u uero rele coserv sepre lo stesso sego dell bse. Esepi: o 8 o 5 o 0 0 Qudo ci si trov di frote ll rdice cubic di u uero rele si possoo verificre i due csi segueti: il uero è u cubo perfetto e quidi l su rdice cubic è u uero itero; il uero o è u cubo perfetto e quidi l su rdice cubic è u uero irrziole. Il terie rdice cubic deriv dl ftto che v Erso Modic, 009/010 esprie il lto di u cubo di volue v.

3 RADICI -ESIME Defiizioe: Si dicoo rdici -esie di u uero rele coe risultto : quei ueri che, elevti d, do idice dell rdice rdice rdicdo Qudo si trtt co le rdici -esie di u uero rele, bisog fre ttezioe l ftto che l idice si pri o dispri. Si preseto iftti i segueti csi: se l idice è dispri l è defiit per qulsisi vlore di R, ioltre è egtiv se < 0, positiv se > 0 e ull se 0; se l idice è pri l è defiit solo per i vlori di 0 e si h che 0. Defiizioe: Sio α R, co α > 0 e N, si chi rdice ritetic -esi di e si idic co l uico uero rele e positivo tle che β α. Se α 0 si poe, di coseguez, β 0 (ovvero 0 h coe uic rdice -esi se stesso). Si ritiee utile ribdire i cocetti precedeteete discussi edite le segueti: Osservzioi: 1. Se si prl di rdice qudrt e l scrittur idic tutti quei ueri reli che, elevti l qudrto, do coe risultto. Ogi uero positivo ette due rdici qudrte opposte tr loro: ±, iftti: e + + ; o esiste perché o esistoo le rdici -esie di ueri egtivi qudo è pri.. 8 perché l rdice cubic di u uero tiee sepre lo stesso sego del uero, i quto sppio che il cubo di u uero rele coserv sepre lo stesso sego dell bse, si può geerlizzre e dire che esistoo le rdici -esie di ueri egtivi qudo è dispri. Osservzioe: Attezioe! Se si clcol l rdice ritetic di poiché 0 l scrittur h sigificto o sppio priori se è positivo o egtivo, quidi è u errore scrivere: È ivece corretto scrivere: Erso Modic, 009/010

4 Se si cosidero i soli ueri reli o egtivi, l rdice qudrt ssolut o ritetic è l operzioe ivers dell elevzioe l qudrto: I questo cso o si ricorre l vlore ssoluto perché l scrittur h sigificto se 0 e quidi il qudrto dell rdice ritetic di u uero positivo è il uero stesso. POTENZE A ESPONENTE RAZIONALE ESPONENTE POSITIVO I questo prgrfo il ostro scopo è quello di scrivere l rdice -esi di u uero rele 0 sotto for di potez di, voglio cioè che si: x Elevdo bo i ebri dell ugugliz otteio: x x Trttdosi di due poteze co bse 0 uguli tr loro, tle ugugliz è res possibile solo dll ugugliz dei due espoeti, cioè deve essere: 1 x x 1 Possio quidi scrivere che: 1 relzioe vlid che el cso i cui 0. Cosiderio u uero itero positivo e scrivio: quidi si h che: 1 Erso Modic, 009/010

5 Esepio: Clcolre 7. Si h che: ESPONENTE NEGATIVO Per poter defiire l potez d espoete rziole egtivo è ecessrio iporre l restrizioe 0, iftti: 1 1 Esepio: Clcolre 7. Si h che: Defiizioe: Si dice potez espoete rziole di u uero rele positivo l espressioe: co Q, Z 0 Prtio dll espressioe: Perché bbio dovuto escludere dll defiizioe il cso < 0? co N 0. 1 Se è dispri, l potez 1 è sepre defiit per ogi vlore dell bse; se è pri, 1 è defiit solo per 0. Cosiderdo il uero Z, si h: 1 Erso Modic, 009/

6 Quest ulti ugugliz è fls se < 0! Iftti cosiderio: , i cui o è defiit i R Si ot che i u cso perveio d u risultto etre ell ltro o. Per estedere l defiizioe l cso di bsi egtive srebbe ecessrio stbilire u ordie di priorità delle operzioi, ovvero u regol di precedez: 1 ciò drebbe cotro l proprietà couttiv del prodotto degli espoeti di u potez di potez. OPERAZIONI CON LE RADICI Proprietà ivritiv Moltipliczioe di rdici co lo stesso idice t t b co t N 0 b Divisioe di rdici co lo stesso idice : b Potez di rdici b Rdici di rdici Moltipliczioe di rdici co lo stesso rdicdo Divisioe di rdici co lo stesso rdicdo Riduzioe di rdici llo stesso idice q q p q : p q q q b q b q +p q p MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE DI RADICI CON LO STESSO RADICANDO Per effetture l oltipliczioe o l divisioe tr due rdici veti lo stesso rdicdo bst trsforrle sotto for di poteze co espoete rziole e utilizzre le proprietà delle poteze. Esepio: Eseguire l oltipliczioe Erso Modic, 009/

7 Esepio: Eseguire l divisioe 6: 6 6: : RIDUZIONE DI RADICI ALLO STESSO INDICE Per ridurre due o più rdicli llo stesso idice è ecessrio portrli d u idice coue, detto iio coue ultiplo degli idici, utilizzdo l proprietà ivritiv. Esepio: Ridurre i rdicli 5 e llo stesso idice. Il iio coue idice è 1, quidi di h: o o I RADICALI Defiizioe: Si dice rdicle u espressioe del tipo b, co e b ueri reli, b 0 ed N. Il uero prede il oe di coefficiete del rdicle. Operre co i rdicli è siile l odo di operre co i ooi. Iftti è possibile effetture soe lgebriche soltto se i rdicli ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo, etre si possoo sepre effetture oltipliczioi e divisioi dopo verli ridotti llo stesso idice. Si trtt co rdicli ritetici se l rdice -esi è u rdice ritetic, ltrieti si trtterà co rdicli lgebrici. Defiizioe: Due rdicli si dicoo siili se ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo. OPERAZIONI CON I RADICALI Resto vlide tutte le operzioi electe per le rdici -esie. È possibile effetture soe lgebriche soltto se i rdicli soo siili: Iftti l so + o si può scrivere coe uico rdicle perché l idice è diverso; ivece l so + o si può scrivere coe uico rdicle perché è diverso il rdicdo. Erso Modic, 009/

8 Ivece si possoo sepre effetture oltipliczioi e divisioi dopo ver ridotti i rdicli llo stesso idice: PORTARE DENTRO IL SEGNO DI RADICE Per portre detro il sego di rdice bst elevre il coefficiete del rdicle ll idice dell rdice e lo si riscrive sotto il sego di rdice: b Esepio: Portre il coefficiete del rdicle 5 5 b 5 detro il sego di rdice. 0 PORTARE FUORI DAL SEGNO DI RADICE È possibile portre fuori dl sego di rdice quei fttori veti coe espoete u uero che si ggiore o ugule ll idice dell rdice. I geerle si prte d: co si divide per e si port fuori il terie elevto l quoziete dell divisioe iter, cioè q, etre rie detro il sego di rdice il terie elevto l resto dell divisioe iter, cioè r. Quidi si h: q r co q + r Esepio: Portre fuori dl sego di rdice 5 b 7 cd. il ggior uero di fttori ell espressioe 5 b 7 cd b d bc RAZIONALIZZAZIONE Rziolizzre u frzioe vuol dire trsforrl i u frzioe equivlete vete deoitore u uero itero. Erso Modic, 009/

9 I Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b Per rziolizzre u tle frzioe bst oltiplicre si uertore che deoitore per b, che prede il oe di fttore rziolizzte: b b b b b b II Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b Il fttore rziolizzte di quest frzioe è b, quidi si h: b b b b b b b b III Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b c I questo cso, sfruttdo il prodotto otevole + b b b, si h che: b c b + c b + c b + c b c b + c b c b c b c b + c b c b c IV Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b c Bst utilizzre lo stesso prodotto otevole sfruttto el precedete cso e si ottiee: b c b +c b +c b +c b c b +c b c b c b c b +c b c b c V Cso: Rziolizzzioe dell frzioe + b+ c Ache i questo cso si utilizz il prodotto otevole utilizzto el terzo cso e si h: Erso Modic, 009/

10 b + c + d b + c d b + c + d b + c d b + c d + b + b d b + c d b + c d VI Cso: Rziolizzzioe dell frzioe ± b Per rziolizzre tle deoitore si utilizz l ugugliz ± b ± b b + b e si ottiee: ± b ± b b + b b + b b ± b + b RADICALI DOPPI Defiizioe: Si dice rdicle doppio u espressioe del tipo: ± b Teore: Per i rdicli doppi sussiste l forul di trsforzioe: Diostrzioe ± b + b Elevdo l qudrto bo i ebri otteio: ± b I ebro) II ebro) ± b ± b + b ± b + b + b ± + b b ± b ± + b ± b Osservzioe: Quest forul di trsforzioe trov u utile ppliczioe solo el cso i cui l espressioe b è u qudrto perfetto. Erso Modic, 009/

11 Esepio: Trsforre il rdicle doppio 7 0. Dopo ver osservto che , utilizzdo le forule di trsforzioe si ottiee: Erso Modic, 009/