Capitolo 1. Richiami di teoria elementare
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- Rosalia Casagrande
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1 7 Cpitolo Richimi di teori elemetre Cei di teori degli isiemi Il cocetto di isieme è u cocetto primitivo, cioè uo di quei presupposti o ssiomi che i mtemtic costituiscoo i fodmeti e dei quli o è dt lcu defiizioe Ituitivmete si può pesre d u isieme come gli elemeti che lo costituiscoo, ccomuti d u stess tur o proprietà Idicheremo gli isiemi co le lettere i miuscolo A,B,C,X,Y metre gli elemeti di esso verro idicti i miuscolo,, c,, y Per idicre che u elemeto pprtiee d u isieme, scriveremo A ; per idicre che u elemeto o pprtiee d u isieme scriveremo A DEFINIZIONE L isieme privo di elemeti è detto isieme vuoto e lo idichimo co il simolo Dti due isiemi A e B se gli elemeti di A pprtegoo che ll isieme B : per ogi A B scriveremo che : A B A è coteuto i B oppure B A B cotiee A DEFINIZIONE A si dice sottoisieme proprio di B se A B ed esiste lmeo u elemeto di B che o pprtiee d A : esiste B, : = tle che A; i tl cso idicheremo A B Se ccde cotemporemete che A B e B A llor A B cioè i due isiemi soo uguli Se A e B o soo uguli scriveremo A B A diverso d B Si oti che ogi isieme A h come sottoisiemi A stesso e che vegoo chimti sottoisiemi li U isieme può essere rppresetto o per eleczioe elecdo esplicitmete i suoi elemeti o per proprietà eucido l proprietà che i suoi elemeti verifico o trmite i digrmmi di Eulero-Ve A = {,,6,8} B = {tutti i umeri iteri pri compresi fr ed 8}
2 8 Cpitolo I C = 6 8 Si oti che se u isieme è costituito d u umero fiito di elemeti lo si può idicre ei tre modi possiili; se ivece è costituito d u umero ifiito di elemeti è coveiete idicrlo per proprietà o trmite digrmm Operzioi tr isiemi DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce uioe tr A e B A B l isieme costituito d tutti gli elemeti di A e d quelli di B presi u sol volt se evetulmete soo ripetuti: AB A e/o B DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce itersezioe tr A e B A B l isieme costituito dgli elemeti che cotemporemete sto i A ed i B: A B : A ed B DEFINIZIONE Dti due isiemi A e B si defiisce differez tr A e B A/B l isieme costituito dgli elemeti di A che o pprtegoo B: A / B : A, B Sio A = {,, } B = {-,, } Si h: A B = {-,,,, } A B = {} A / B = {, } B / A = {-, } Attrverso l rppresetzioe grfic dei digrmmi di Eulero-Ve, lo stesso esempio divet: A / A/B A B - B/A B D questo esempio si può otre che A A / B A B ; A B B A metre A / B B / A ; questo sigific che le operzioi di uioe ed itersezioe soo operzioi commuttive, metre l differez o lo è
3 Richimi di teori elemetre 9 DEFINIZIONE Dto u isieme A chimeremo isieme delle prti di A, PA, l isieme costituito d tutti i sottoisiemi di A compresi quelli li: PA= {X X A} Si A = {,,, } determire PA Itto ed A stesso pprtegoo PA; i sottoisiemi formti d u solo elemeto soo : {}, {}, {}, {}; i sottoisiemi formti d due elemeti soo {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}; i sottoisiemi formti d tre elemeti soo {,,}, {,,}, {,,}, {,,} quidi PA ={Φ, A, {}, {}, {}, {}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,,},{,,}, {,,}, {,,}}; otre che PA cotiee 6 = elemeti OSSERVAZIONE I geerle, se u isieme X h r elemeti llor PX vrà r elemeti Alcue tr le proprietà di cui godoo le operzioi tr isiemi soo: P: A A = A P : A = A= P : A = A=A P : A B C = A C B C proprietà distriutiv P5 : A B C = A C B C P6 : A B C = A B C proprietà ssocitiv P7 : A B C = A B C P8 : A / B C = A / B A / C formul di De Morg P9 : A / B C = A / B A /C Dimostrimo, d esempio, l P9, che essedo u ugugliz isiemistic v provt fcedo vedere che preso u quluque elemeto pprteete l primo memro, esso pprtiee che l secodo memro e vicevers Si A / B C ; llor A ed B C, ovvero B oppure C D cui A ed B implic A / B ; A ed C implic A / C I defiitiv A / B oppure A / C perciò A / B A / C Vicevers, si A / B A / C : llor A / B oppure A / C Se A / B llor A ed B ; se A / C llor A m C D ciò B C ovvero A / B C DEFINIZIONE Si dice prodotto crtesio di due isiemi A e B e si deot co A B l isieme formto dlle coppie ordite, co A e B : A B ={, : A, B} Teori dei umeri Cosiderimo desso prticolri isiemi : gli isiemi umerici Idichimo co l isieme dei umeri turli = {,,,,,, };
4 Cpitolo I i tle isieme vegoo defiite le operzioi lgeriche elemetri dirette somm e prodotto e le reltive operzioi iverse differez e divisioe Osservimo che le operzioi iverse o sempre soo eseguiili, iftti dti e pprteeti d l loro differez è quel umero turle c se esiste tle che c È chiro che se llor c: c perché per ogi c itero, c c Alogmete dti e iteri o è detto che esist c risultto dell divisioe di per tle che c, ovvero che si multiplo di Dto che o è possiile i effetture tutte le operzioi di se, el seso che il risultto o è detto che si u umero itero, viee itrodotto l isieme dei umeri iteri reltivi = {,,,,, } Si gudg così l operzioe di sottrzioe, oltre le due operzioi dirette; m cor o è detto che il quoto di due iteri reltivi si cor dello stesso tipo Per tle motivo viee itrodotto l isieme dei umeri rzioli, ossi delle frzioi veti umertore u itero reltivo qulsisi, e per deomitore u itero reltivo diverso d zero m : m,, È chiro che e m Ogi umero rziole el sistem di umerzioe decimle si può scrivere come M, c c cr cc cr M, cccr dove M è u umero turle, c, c,, cr soo umeri iteri compresi tr e 9 e l rr sopr c c cr idic l periodicità, ovvero il loro ripetersi ell umerzioe decimle L isieme ci permette di eseguire tutte le operzioi lgeriche di se; ricordimo che dti,, c,d elemeti di co c e d o ulli si h: c d c d d c c d d c d c d c d c d Tuttvi si potree provre che r : r, metre vedremo che u umero che verific l suddett egugliz è l rdice qudrt ritmetic di Pertto, si defiisce l isieme dei umeri reli, mplido co quei umeri che o si possoo esprimere sotto form di frzioe, come,,e umeri irrzioli: =,, e, Chimeremo umero rele il seguete simolo: M, c c cr osservdo che se l successioe di cifre decimli dopo l virgol è periodic il umero è rele rziole, ltrimeti il umero è irrziole Lo zero vrà l seguete rppresetzioe, ; metre il umero rele si dirà positivo o egtivo se il sego che lo precede è + oppure
5 Richimi di teori elemetre Dto umero rele si dice opposto del umero lo stesso umero col sego cmito - Due umeri reli e si dicoo uguli se ho lo stesso sego, l stess prte iter e l stess successioe di cifre decimle, ovvero se, sempre vedo lo stesso sego uo dei due umeri è periodico di periodo 9 e l ltro si ottiee d questo sostituedo il 9 co ed umetdo di u uità l cifr che precede il periodo 9, per esempio +5,9999 = +5, L ugugliz fr umeri reli gode delle segueti tre proprietà: P: riflessiv :, P: simmetric :,, P: trsitiv :, cc,,, c Per cofrotre due umeri reli distiti o egtivi diremo che è miore di e scriveremo se l prte iter di è miore dell prte iter di ovvero se vedo l stess prte iter l prim cifr decimle di è miore dell corrispodete cifr decimle di e così vi Ovvimete rele positivo Se e soo etrmi reli egtivi diremo che è miore di se Si deduce che ogi umero rele o egtivo è mggiore di quluque umero rele egtivo Ricordimo che l relzioe di cofroto itrodott i gode delle segueti proprietà : P: riflessiv :, P: tisimmetric :,,, P: trsitiv :, cc,,, c P: tricotomi: se oppure P5: se cc, c,, c c se c P6: se c c se c P7: se e soo cocordi discordi P8: Assiom di completezz : sio A e B sottoisiemi o vuoti di, tli che A, B Allor esiste lmeo u umero rele c tle che c A, B I defiimo le operzioi di somm e prodotto che godoo delle segueti proprietà: P: ; proprietà commuttiv P: c c; c c proprietà ssocitiv P: ; esistez dell elemeto eutro P:, è il reciproco di P5: c c proprietà distriutiv Le operzioi iverse soo così defiite:,
6 Cpitolo I :,, Osservimo che :,, ;,,, Vlore ssoluto DEFINIZIONE Si dice vlore ssoluto del umero rele il umero o egtivo così defiito: se se se D quest defiizioe si ho le segueti proprietà : P:,, P:, oppure P: y y, y P:, prim disugugliz trigolre P5:, secod disugugliz trigolre P6:,, P7: P8: P9: ESEMPI - 5 = - = e - 5 = 5 = - + = < - + = = 5 > - - = = Elevmeto potez Assegti due umeri reli α e, cerchimo di dre sigificto l simolo Procedimo per pssi:
7 Richimi di teori elemetre si = umero turle; defiimo ed volte = m si = m umero itero reltivo, co m o egtivo ed, defiimo m m si umero rziole; per defiire l potez itroducimo l rdice -esim di u umero rele Rdice -esim di u umero rele Si,,, DEFINIZIONE Si chim rdice -esim ritmetic di cui potez -esim d : Si prov che u sifftto umero esiste Cosiderimo desso l equzioe, m quel uico umero rele positivo l co Tle equzioe mmette o meo soluzioi ell icogit rele i fuzioe di ed, iftti: se, itero pri, l equzioe mmette i, come uiche soluzioi, l rdice -esim ritmetic di = e l opposto dell rdice -esim ritmetic di =- ; se, itero dispri, l equzioe mmette i u ed u sol soluzioe dt dll rdice -esim ritmetic di = ; se, itero, l equzioe mmette i u ed u sol soluzioe che è lo zero; se, itero dispri, l equzioe mmette i u ed u sol soluzioe egtiv dt dll opposto dell rdice -esim ritmetic di =- ; 5 se, itero pri, i tl cso l equzioe o mmette soluzioi i DEFINIZIONE: si dice rdice -esim di u umero rele ogi soluzioe, se esiste, dell equzioe, co,, Proprietà dell rdice -esim P:, ed itero, e < ed itero dispri > P: se se se, dispri P: co dispri Si h che m, pertto se Osservimo che ed m m m defiimo
8 Cpitolo I Utilizzdo l ssiom di completezz è possiile estedere l defiizioe di co ed Elechimo lcue proprietà delle poteze: P: P: P: P:, P5: P6: P7: se P8: se se se y y O O ESEMPI Figur Grfico dell fuzioe espoezile ; c c c c ; m m ; s m s k ; ; z z g g ; h h : cso >, cso <<
9 Richimi di teori elemetre 5 5 Logritmo DEFINIZIONE Dti e umeri reli, >,, si defiisce logritmo di i se, e lo si idic co l scrittur log, l uico umero rele soluzioe dell equzioe log Si può provre che u sifftto umero esiste e, ovvimete, risult Elechimo lcue proprietà del logritmo: P: log ; log p P: p log P: log c log log c P: log log log c c P5: log c log c log formul di cmimeto di se P6:, c log log c P7:, c log log c Se = e il logritmo si dice turle o eperio e si idic co log oppure lg ; ivece se = i logritmi si dicoo decimli e si idico co Log Nell espressioe log M, c c l qutità M si dice l crtteristic del logritmo metre l qutità c c si chim l mtiss del logritmo y y O O ESEMPI Figur Grfico dell fuzioe logritmic log : cso >, cso << log 8 perchè 8 ; log 5 perchè 5 5 ; 5 log perchè ; log perchè ; log perchè ; log 8 perchè 8 ;
10 6 Cpitolo I 8 log68 log log6 log8 ; log log8log 5 log6 5log 6 ; log 9 log9 6 Cei di trigoometri; misur i rditi di u golo α; si α; cos α; tg α Si α u golo del pio co origie i O: O Figur Cosiderimo due circofereze cetrte i O di rggio rispettivmete r ed R cfr Figur e, idichimo co l e L, rispettivmete le lughezze degli rchi itercettti dll golo α su di esse: Risult : l L r R l L O r R Figur Tle umero, che o dipede dll circoferez cetrt i O, si chim l misur i rditi dell golo Pertto u golo vrà misur di rdite se l lughezz dell rco di circoferez itercettto è ugule l rggio dell stess circoferez L misur i rditi dell golo giro è πr/r = π d cui deducimo che l golo pitto è π rditi, l golo retto è π / rditi e più i geerle l formul che ci permetterà di pssre dll misur i rditi dell golo α α r ll misur i grdi α g e vicevers: g r 6 Dll precedete proporzioe segue Tell misur dell golo i grdi sessgesimli misur dell golo i rditi / 6 / 5 / /6 7 /
11 Richimi di teori elemetre 7 Cosiderimo or, u sistem di riferimeto crtesio cfr il Cpitolo e riportimo l golo i modo che l su origie coicid co quell del sistem di riferimeto e u delle due semirette che lo geero gicci sull sse cfr Figur 5 Si coviee che l misur di si positiv se l semirett che geer l golo e gice sull sse ruot i verso tiorrio per sovrpporsi ll ltr semirett i cso cotrrio l misur di srà egtiv Si l circoferez vete cetro ell origie del sistem di riferimeto e rggio uitrio circoferez trigoometric: y, : y Dicimo B il puto sull circoferez itersezioe co l semirett lier che geer l golo Eee, l ordit BH e l sciss OH del puto B si chimo rispettivmete seo di α si e coseo di α cos y O H B A Evidetemete: si, cos,, e si h: k ; k si si cos cos k, Applicdo il Teorem di Pitgor l trigolo rettgolo di cteti BH, OH, ed ipoteus ugule d uo, si trov l relzioe fodmetle: si cos, Defiimo tgete dell golo α tg il seguete rpporto : si tg = cos y T che ovvimete h seso se B cos k, k A Geometricmete l tgete di α rppreset l ordit del puto T itersezioe tr l rett tgete l O H cerchio trigoometrico i A e l semirett lier che geer α tg α = AT cfr Figur 6 Riportimo qui di seguito u tell co i vlori di si, cos e tg per lcui goli di uso più frequete: Tell si cos tg 5 = / 8 = / Figur 6 Figur = /6 / / 5
12 8 Cpitolo I / 5 = / / / 6 = / / / 9 = / 8 = - o esiste 7 = / - o esiste = 6 = Ricordimo, ioltre: formule di ddizioe e sottrzioe: si sicos cossi cos coscos sisi ; formule di isezioe: cos si, cos cos cos tg ; cos formule di dupliczioe : si sicos, cos cos si tg tg tg formule prmetriche: si tg tg, cos tg tg I grfici delle fuzioi trigoometriche soo i segueti: y si è u fuzioe periodic di periodo defiit per ogi, il codomiio è [-,] Il grfico itersec l sse ei puti dell form k, co k
13 Richimi di teori elemetre 9 y O Figur 7 Grfico di si y = cos è u fuzioe periodic di periodo defiit per ogi, il codomiio è [-,] Il grfico itersec l sse ei puti dell form k, co k y O Figur 8 Grfico di cos y tg, defiit per k e codomiio, è u fuzioe periodic di periodo Il suo grfico itersec l sse ei puti dell form k, co k y O Figur 9 Grfico di tg
14 Cpitolo I 7 Poliomi, equzioi e disequzioi lgeriche DEFINIZIONE Si chim poliomio lgerico di grdo o ordie u comizioe liere di poteze itere dell vriile del tipo : p, i i,,, Osservimo che il grdo del poliomio deg p è l mssim potez co cui compre l vriile, d esempio p 5 è u poliomio di ordie deg p= Se p il suo grdo è zero Si chim vlore del poliomio per e lo si idic co pα l espressioe umeric p Se p, α si chim rdice del poliomio Assegto u poliomio lgerico p di grdo si chim equzioe lgeric ssocit l poliomio, e l si idic co p=, il prolem dell ricerc delle rdici del poliomio Osservimo che il umero delle rdici dell equzioe lgeric è ugule ll ordie del poliomio cotdo le rdici, che se complesse e molteplici Teorem fodmetle dell lger Teorem I Pricipio d idetità dei poliomi Due poliomi p e q soo uguli se ho lo stesso ordie, ed i coefficieti corrispodeti uguli 7 Divisioe tr poliomi Sussiste il seguete Teorem Sio A e B due poliomi co deg A deg B Allor esiste uivocmete determit l coppi di poliomi Q quoziete ed R resto tli che A B Q R co deg R deg B Osservimo che è rdice di p se e solo se p è divisiile per -α cioè il resto dell divisioe deve vlere zero Sio A e B ; eseguimo l divisioe
15 Richimi di teori elemetre d cui otteimo: Q ed R Lscimo l lettore l verific che: Osservimo ifie che ote,,, le rdici di p= evetulmete o tutte distite e o tutte reli il poliomio mmette l uic decomposizioe p Si p Esso mmette come rdici e quidi si decompoe i 7 Equzioe lgeric di primo ordie Si defiisce equzioe lgeric di primo ordie l equzioe : co,, Utilizzdo le proprietà dei umeri reli tle equzioe mmette l uic soluzioe Iftti: d ggiugedo d mo i memri risult d cui dividedo etrmi i memri per si ottiee D ltr prte è fcile verificre che soddisf l ostr equzioe Risolvere l equzioe 5 Aggiugedo d mo i memri -5 e dividedo per - si ottiee l soluzioe 5 7 Equzioe lgeric di secodo ordie Si defiisce equzioe lgeric del secodo ordie l equzioe: c c co,,, Si chim discrimite dell equzioe e lo si idic co il simolo il umero c L risoluzioe dell equzioe è legt l sego di Si prov che : Se > l equzioe mmette due rdici reli e distite forite dll seguete formul:, e quidi c Se = l equzioe mmette due rdici reli e coicideti dte d ed c
16 Cpitolo I Se < l equzioe o mmette rdici reli m ovvimete e mmetterà due complesse coiugte OSSERVAZIONE Assegto il poliomio lgerico p, il prolem dell risoluzioe di p si ffrot determido le soluzioi di p= ed escludedo tli vlori Per risolvere, sterà risolvere Tle equzioe h come soluzioi 9 8 per cui, soo le soluzioi del ostro prolem 7 Sistemi di equzioi Il prolem dell risoluzioe di due o più equzioi, ovvero l ricerc dei vlori d dre ll vriile per soddisfre cotemporemete le equzioi ssegte p,, pr si chim sistem e lo si idic ell mier seguete: p pr Si cosideri il sistem:, l prim equzioe h come soluzioi metre l secod equzioe h soluzioe Quidi il sistem mmette come uic soluzioe OSSERVAZIONE U sistem potree o vere soluzioi, qudo le sigole equzioi che lo compogoo o ho soluzioi o o ho soluzioi comue U sistem, ifie, potree presetrsi el seguete modo : p q 75 Equzioi frtte p Assegti i poliomi p e q, si chim equzioe frtt l equzioe q p Ess è equivlete l sistem: q
17 Richimi di teori elemetre, quidi l uic soluzioe dell equzioe è = 76 Disequzioi lgeriche Si p u poliomio di ordie Si chim disequzioe lgeric il prolem dell ricerc dei vlori di per cui è soddisftt u delle segueti relzioi: p ; p ; p ; p Osservimo che srà sufficiete sper risolvere d esempio l disequzioe p ed è questo il cso i cui, i seguito, lizzeremo l risoluzioe dei vri tipi di disequzioe Iftti: p p ; p p e p 77 Disequzioe lgeric di primo ordie L form geerle di u disequzioe lgeric di primo ordie è del tipo:, se Dlle proprietà dei umeri reli se Risult evidete che, l cotrrio dell equzioe di primo ordie che mmette u sol soluzioe, le soluzioi dell ostr disequzioe soo ifiite 78 Disequzioe lgeric di secodo ordie L form geerle di u disequzioe lgeric di secodo ordie è del tipo: c, Detto c il discrimite dell equzioe ssocit ll disequzioe cosidert, si possoo presetre tre csi: Se l equzioe ssocit mmette due rdici reli e distite: I tl cso le soluzioi dell disequzioe si ottegoo seguedo l regol: il sego del triomio c è ugule l sego del coefficiete per le tli che, ; i- vece il sego del triomio è opposto l sego di per le tli che Risolvere l seguete disequzioe:
18 Cpitolo I 9 Risult 8 9 per cui, soo le soluzioi dell equzioe ssocit; duque essedo il coefficiete dell di secodo grdo positivo come il sego del triomio, le soluzioi dell disequzioe soo:, Se l equzioe ssocit mmette come uic rdice I tl cso il sego del triomio è lo stesso del sego di, ESEMPI Risolvere l seguete disequzioe: Risult per cui = è l soluzioe dell equzioe ssocit; duque le soluzioi dell disequzioe soo R, Risolvere l seguete disequzioe: Risult 6 6 per cui = è l soluzioe dell equzioe ssocit; duque l disequzioe o mmette soluzioi Se l equzioe ssocit ll disequzioe o mmette soluzioi reli, quidi il sego del triomio è ugule l sego di ESEMPI Risolvere l seguete disequzioe: Risult ; duque le soluzioi dell disequzioe soo Risolvere l seguete disequzioe: Risult ; duque l disequzioe o mmette soluzioi 79 Sistemi di disequzioi Si chim sistem di disequzioi il prolem dell ricerc dei vlori di per cui risultio cotemporemete soddisftte u umero fiito di disequzioi ssegte: p p pr ESEMPI Risolvere il sistem :
19 Richimi di teori elemetre 5 7, ,,, Grficmete si h: quidi, il sistem dto h come soluzioi: <-, > Risolvere l disequzioe Quest disequzioe è equivlete ll uioe dei due segueti sistemi: che ho come soluzioi per cui le soluzioi dell disequzioe iizile soo c Risolvere l seguete disequzioe : 7 9 L disequzioe è equivlete ll uioe dei due sistemi: ,,,, per cui le soluzioi dell disequzioe iizile soo:, 7 Equzioi e disequzioi irrzioli Si defiisce equzioe irrziole u equzioe del tipo B A -
20 Cpitolo I 6 dove, e A B soo due poliomi ell vriile L risoluzioe di tle equzioe dipede dll idice Precismete l equzioe cosidert è equivlete meo di verific file : se è pri l sistem: B A B A se è dispri ll equzioe: B A Risolvere l seguete equzioe : Ess è equivlete l sistem :,, 5 Grficmete si h: per cui l uic soluzioe è 5 ; lscimo l lettore l verific file osserv che l elevmeto potez di u poliomio port geerlmete ll itroduzioe di soluzioi spurie U tipo di disequzioe irrziole è: B A Si possoo presetre due diversi csi: Se è dispri, occorre risolvere l disequzioe: B A Se è pri, occorre risolvere i due segueti sistemi: B A B A B A L equivlez ovvimete è meo di verific file - -5/ -
21 Richimi di teori elemetre 7 Risolvere l seguete disequzioe: L disequzioe è equivlete i due sistemi,,, Pertto l isieme delle soluzioi dell disequzioe dt è formto dlle : 7 Equzioi e disequzioi espoezili Si chim equzioe disequzioe espoezile u equzioe u disequzioe i cui l vriile oppure u poliomio d ess dipedete figur come se o espoete di u potez L equzioe p, è equivlete risolvere l equzioe lgeric p log L disequzioe p è equivlete, se >, ll disequzioe p log se > oppure ll disequzioe p log se ; metre è sempre verifict se ESEMPI Risolvere l seguete equzioe espoezile L equzioe equivle log log log Risolvere l seguete equzioe espoezile: L equzioe equivle t t 6 log, t t t 6, t t 6 t per cui l soluzioe dell equzioe è log c Risolvere l seguete disequzioe espoezile : L disequzioe equivle : t t 5 6 t 5t 6 t, t log, log, per cui l soluzioe dell disequzioe iizile è log, d Risolvere l seguete disequzioe espoezile : L disequzioe equivle :
22 Cpitolo I 8 per cui le soluzioi soo 7 Equzioi e disequzioi logritmiche Si chim equzioe disequzioe logritmic u equzioe u disequzioe i cui l vriile oppure u poliomio d ess dipedete figur come rgometo o se di u logritmo L equzioe, log co p è equivlete risolvere il sistem: p p L disequzioe, log log co p è equivlete l sistem se p p oppure l sistem p se p ESEMPI Risolvere l seguete equzioe logritmic: log Ess equivle l sistem,, ; Quidi le soluzioi dell equzioe soo :, Risolvere l seguete disequzioe : log 5 Ess è equivlete l sistem 5, 5 5, d cui, trmite itersezioe grfic delle soluzioi, si ottiee: 5, 5 c L disequzioe : lg equivle risolvere e e t t t t lg lg lg lg, le cui soluzioi soo : e e
23 Richimi di teori elemetre 9 d Risolvere l seguete disequzioe : lg e 5 5 Ess equivle l sistem 5 5 poedo 5 t 5 5 per cui deve essere 5 t t t t t R t t R t R, t 8 Isiemi limitti Si X, X ; DEFINIZIONE U umero rele L l si dice u mggiorte miorte per l isieme X se L l X È ee otre esplicitmete che u isieme X o sempre mmette mggiorti o miorti Se, d esempio, X R :, X o mmette mggiorti, metre lo zero ed che u qulsisi umero rele egtivo è u miorte di X DEFINIZIONE Diremo che X è limitto superiormete iferiormete se mmette u mggiorte miorte e si dice limitto se è limitto si iferiormete che superiormete l, L : l L, X Proposizioe X è limitto H : H H, X Dimostrzioe: Dll defiizioe, X è limitto ll, : llx pertto : ; d ltr prte l L, X l L L l L X, d cui l ffermzioe per H l L OSSERVAZIONE Se K è u mggiorte di X h u miorte di X llor u quluque h' h è cor u mggiorte miorte di X k' k Assegto X, X, DEFINIZIONE M si dice mssimo di X se: M X M è u mggiorte M X Alogmete, m si dice miimo di X se : m X m è u miorte m X
24 Cpitolo I OSSERVAZIONE No tutti i sottoisiemi o vuoti di ho mssimo e miimo Ad esempio se A :, A o h é mssimo é miimo o esiste il più piccolo umero rele positivo; d esempio lo zero è u miorte m o è miimo perché o pprtiee d A OSSERVAZIONE Si verific fcilmete che qudo esistoo, il mssimo ed il miimo soo uici Teorem esistez dell estremo superiore Si X, X esiste il miimo dell isieme dei mggiorti di X, limitto superiormete; llor Tle umero, deotto co sup X, viee chimto estremo superiore di X, e, risult evidete che prop crtteristiche dell estremo sup: L sup X L X X : L iftti l proprietà fferm che L è u mggiorte metre l proprietà equivle dire che L è il più piccolo dei mggiorti I mier log si prov Teorem 5 esistez dell estremo iferiore Si X, X limitto iferiormete; llor e- siste il mssimo dell isieme dei miorti di X Tle umero, che si deot co if X, si chim l estremo iferiore di X Evidetemete prop crtteristiche dell estremo if: l if X ' ' l X X : l OSSERVAZIONE Se u isieme X h mssimo M miimo m llor M = sup X m = if X, iftti M è u mggiorte di X ed M X pertto soo verificte le due proprietà crtteristiche dell estremo superiore l prim è ovvi, l secod per M Ifie, si X, X DEFINIZIONE X si dice o limitto superiormete iferiormete se o mmette mggiorti miorti * * : risp : k X k h X h OSSERVAZIONE Nelle relzioi precedeti ci si può limitre cosiderre k> ed h< Dire se l isieme umerico X, è limitto superiormete e/o iferiormete e clcolre, i cso ffermtivo, l estremo iferiore e l estremo superiore, precisdo se soo miimo e mssimo rispettivmete
25 Richimi di teori elemetre Osservimo che : d cui X è limitto iferiormete e poiché X mi X if X Provimo che X o è limitto superiormete k : k Osservimo che il sistem k mmette, quluque si k >, ifiite soluzioi k
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