Fig.7. 1: Nel grafico è rappresentato il vettore di. Fig. 7. 2: Nel grafico è rappresentato un vettore di. = si dice che essi sono uguali se

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1 7 Vettori di R Lo spzio R si ottiee come prodotto crtesio di R moltiplicto per sé stesso volte Gli elemeti di R soo -uple ordite di umeri reli che predoo il ome di vettori R,, co i R i,, se ( ) I R o, R i vettori possoo essere rppresetti grficmete medite frecce che cogiugoo,,, l origie del sistem di ssi crtesii co il puto di coordite ( ) oppure ( ) Fig7 : Nel grfico è rppresetto il vettore di R (, ) Fig 7 : Nel grfico è rppresetto u vettore di Defiizioe Dti due vettori (,, ) e y ( y y,, ) risult y per i,, i i 7 Operzioi co i vettori,, Defiizioe Dti due vettori (,, ) e y ( y y,, ), y R si dice che essi soo uguli se si dice vettore somm il vettore v R le cui compoeti si ottegoo sommdo le compoeti del vettore e quelle del vettore y ( y y ) v,,, y R Nel cso i cui i vettori e y il vettore somm v y è idividuto, dl puto di vist, grfico, dll digole del prllelogrmm che h come lti i vettori e y y

2 Fig7 :: Rppresetzioe grfic del vettore somm i Defiizioe Si c R e R Si defiisce prodotto per uo sclre il vettore c R le cui compoeti soo dte dlle compoeti del vettore moltiplicte per c: c ( c, c, c ) Moltiplicdo u vettore per uo sclre si ottiee u vettore che h l stess direzioe del vettore iizile (cioè gice sull stess rett) e lo stesso verso se lo sclre è positivo, metre verso opposto se lo sclre è egtivo R Fig7 4: posto (,) R soo rppresetti il vettore ed il vettore L somm tr vettori verific le segueti proprietà: - commuttiv: y y - ssocitiv: ( y z )( y ) z - esiste l elemeto eutro dto dl vettore (,,, ) - R esiste il vettore c, R e - ( c ) c( ) - ( c ) c - c ( y) c c y R che sommto co dà l elemeto eutro e y R l operzioe di prodotto per uo sclre verific le segueti proprietà:

3 Defiizioe L isieme R dotto delle operzioi sopr dette richimte è uo spzio vettorile che verifico le proprietà 7 Combizioi lieri Defiizioe Dti m vettori liere dei vettori Esempio v,, m, v v m di R e m sclri v, v,, v co coefficieti (pesi) c,c,,c m il vettore m c v Dti v (,,, ), v (,,, ), (,,, ) co v v v (, 6 4, 6 4, 9 ) (,, 5, 9) c,c,,c m di R si dice combizioe R dto d v si scrivo le compoeti del vettore 4 R OSSERVAZIONE Ogi vettore di R è combizioe liere dei vettori,,,,,,,, v,,,, co pesi pri lle compoeti del vettore v ( ), v ( ),, ( ) Esempio Si ( 5,,) R Si può scrivere ( 5,,) 5(,, ) (,, ) (,,) Esempio Le obbligzioi fizirie soo titoli che frote di u pgmeto di u prezzo iizile do diritto chi le detiee ll riscossioe di u flusso di importi dispoibili dte prestbilite Tle 5,,5, su flusso di importi viee rppresetto medite u vettore Fissto lo scdezrio ( ) bse u, sio preseti sul mercto tre obbligzioi i cui flussi sio rppresetti di vettori v 5, 5,5,5 v v ( ) (,,,) ( 4, 4,5,5) Si vuole determire il flusso v P reltivo l portfoglio costituito d 5 uità di v, uità di v e uità di v Il vettore v P è u combizioe liere di v, v, v per cui ( ) v 5v v v 55, 55,75, 4875 P 74 Vettori liermete dipedeti e o Defiizioe Dti m vettori v, v,, v m di R si dice che essi soo liermete dipedeti se esiste u loro combizioe liere coefficieti o tutti ulli che dà come risultto il vettore ullo

4 ( c,c,,c m o tutti ulli tli che c v OSSERVAZIONE m ) Se m vettori soo liermete dipedeti lmeo uo di essi si può esprimere come combizioe liere degli ltri Dimostrzioe Se, v v m soo liermete dipedeti c,c,,c m v,, o tutti ulli tli che c v, si d esempio c i tl cso dll somm sopr scritt si può esplicitre c v c v c m v m c cm d cui ricvre v v v m c c Nel cso prticolre i cui u e v R soo liermete dipedeti si h che u e v giccioo sull stess rett Defiizioe Dti m vettori v, v,, v m di R si dice che essi soo liermete idipedeti se l uic loro combizioe liere che dà come risultto il vettore ullo è quell coefficieti tutti ulli I vettori v (,,,, ), v (,,,, ),, (,,,, ) combizioi lieri geero tutto R m v soo liermete idipedeti e le loro R si dice per questo che costituiscoo l bse coic di 7 Mtrici Defiizioe Si dice mtrice u tbell di m umeri reli ij disposti su m righe ed coloe Le mtrici si idico co le lettere miuscole dell lfbeto: A(m) A m m m Il geerico elemeto dell mtrice ij si trov ll icrocio dell i-esim rig co l j-esim colo U mtrice A() si dice vettore rig, u mtrice A(m) si dice vettore colo Due mtrici A(m) e B(m) soo uguli se ij b ij 7 Operzioi tr mtrici i, j 4

5 Defiizioe Dte le mtrici A(m) e B(m) si defiisce come loro somm l mtrice C(m) i cui elemeti soo dell form c ij ij b ij i, j Defiizioe Si α R ed A(m) si defiisce l mtrice α A(m) come quell mtrice vete per elemeti α i, j ij Le operzioi fi qui cosiderte do come risultto mtrici dello stesso ordie (stesso umero di righe e di coloe) di quelle di prtez Defiizioe Sio A(m) e B(q) Si dice mtrice otteut dl prodotto righe per coloe di A per B l mtrice C(mq) i cui elemeti si ottegoo come somm dei prodotti degli elemeti delle righe di A per i corrispodeti elemeti delle coloe di B I geerle c ij s ci corrispode ll somm dei prodotti degli elemeti dell i-esim rig di A per i corrispodeti elemeti dell j-esim colo di B is b sj Esempio 4 Sio Risult A, B AB C ( ) Il prodotto tr mtrici o verific: L proprietà commuttiv Ciò dipede dl ftto che se è possibile determire AB o è dett che i geerle si poss clcolre BA (bst che il umero di coloe di B si diverso dl umero di righe di A ), tuttvi che qulor si possibile clcolre AB e BA i geerle risult AB BA L legge di ullmeto del prodotto Moltiplicdo tr di loro due mtrici o ulle si può otteere u mtrice ull Esempio 6 Dte risult 4 A e 4 B, 5

6 AB 7 Mtrice trspost T Defiizioe Si dice mtrice trspost A l mtrice otteut d A scmbido le righe co le coloe: T A ( ij ) A ( ' ij ) dove ' ij ji Proprietà dell trspost T T ) ( A ) A T T T ) ( ) A B A B T α A αa ) ( ) T T T T 4) ( ) AB B A 7 Mtrici prticolri Defiizioe Si dice mtrice uità o idetità I ( ) l mtrice qudrt costituit d elemeti pri d sull digole priciple e d elemeti pri ltrove Ad esempio, l mtrice idetità di ordie è I L mtrice idetità pre o post moltiplict per qulsisi ltr mtrice ( ) l lsci ivrit Defiizioe Si dice mtrice sclre uo sclre α I l mtrice otteut moltiplicdo l mtrice idetità per Defiizioe Si dice mtrice digole l mtrice qudrt che h elemeti diversi d solo sull digole priciple Defiizioe Si dicoo mtrici trigolri superiori o iferiori le mtrici qudrte che ho elemeti diversi d ripetitivmete solo l di sopr o l di sotto dell digole priciple 6

7 Esempio 7 L mtrice A è u mtrice trigolre superiore Esempio 8 L mtrice A 5 è u mtrice trigolre iferiore Defiizioe Si dicoo simmetriche quelle mtrici per cui risult che i j ij ji 74 Determite Ad ogi mtrice qudrt A ( ) rest ssocito, medite opportue regole di clcolo, u umero detto determite che si idic co A Determite per mtrici ( ) Si A ( ), Risult A A Esempio 9 Se 5 A risult A Dl puto di vist geometrico il vlore ssoluto del determite coicide co l re del prllelogrmm vete come lti i vettori dell mtrice Quest ffermzioe vle i geerle ed è di immedit verific qulor uo o etrmbi i vettori giccioo sugli ssi I questo cso il determite idividu il prodotto tr l bse e l ltezz del prllelogrmm idividuto di vettori 7

8 Fig 7 5: sigificto geometrico del determite per mtrici () Si può pertto ffermre che el cso i cui i vettori di A sio proporzioli il determite di A è ullo, i quto è ull l re del prllelogrmm idividuto d essi Fig 7 6 : sigificto geometrico del determite per mtrici () el cso di vettori proporzioli Determite di mtrici ( ) Si A ( ), A 8

9 Risult A ( ) A Tle relzioe può essere memorizzt medite uo schem molto semplice, oto come regol di Srrus, che cosiste ell fficre ll mtrice A le sue due prime coloe e el clcolre il determite come l somm dei prodotti degli elemeti sull digole priciple e prllele d ess meo l somm dei prodotti degli elemeti sull digole secodri e prllele d ess Esempio Dt A 5 risult A 9 Dl puto di vist geometrico il vlore ssoluto del determite, i questo cso, coicide co il volume del prllelepipedo vete come lti i vettori dell mtrice A e, el cso i cui lmeo due di tli vettori giccio su u stess rett, tle volume risult ullo Determite per mtrici ( ) Si dt A ( ) A i i i Defiizioe Si dice miore complemetre dell elemeto i, e si idic co M i, il determite dell mtrice che si ottiee d A togliedo l i-esim rig e l -esim colo Defiizioe Si dice complemeto lgebrico dell elemeto i, e si idic co A i, l qutità i A i ( ) M i I teorem di Lplce (Regol geerle per il clcolo di A ) A si ottiee come somm dei prodotti di u qulsisi rig o colo per i corrispodeti complemeti lgebrici Il determite di u mtrice ( ) 9

10 Esempio Si 5 A 4 Per il clcolo del determite si us il teorem di Lplce e si sceglie di sviluppre il clcolo rispetto gli elemeti dell ultim colo che cotiee il mggior umero di elemeti ulli: A ( ) det 4 ( ) det Proprietà dei determiti ) Il determite di u mtrice i cui u rig o u colo è tutt costituit d elemeti ulli è zero ) il determite di u mtrice che h due righe o due coloe uguli è zero ) Il determite di u mtrice che h due righe o due coloe proporzioli è zero 4) A T A 5) AB A B 76 Mtrice ivers Defiizioe U mtrice A ( ) è ivertibile se u mtrice A ( ) A A AA I l mtrice A ( ) si dice ivers di A tle che Teorem (Uicità dell mtrice ivers) Ip) A ( ) Th) A ( ) è uic Dimostrzioe Per ssurdo si B u ltr ivers di A premoltiplicdo primo e secodo membro per I B A I e quidi B A BA AB I Cosidert l relzioe AB I A B A I, d cui A si ottiee ( ) A OSSERVAZIONE

11 No tutte le mtrici qudrte soo ivertibili Vle iftti l seguete codizioe ecessri e sufficiete CNS ffiché A si ivertibile è che A Dimostrzioe Il teorem prevede l equivlez tr due proposizioi Si mostrerà solo che se Ip) A Th) A Per defiizioe di mtrice ivers, iftti, A A I Se si clcol il determite del primo e secodo membro si h che A A I A A d cui è immedito dedurre che A L mtrice ivers si determi come prodotto dell mtrice ggiut di A per il reciproco del determite di A gga A A dove gga è l mtrice formt di complemeti lgebrici di 77 Rgo o crtteristic di u mtrice Defiizioe Dt ( m) A si dice rgo o crtteristic di A, e si idic co rga, l ordie ( umero di righe o coloe) mssimo dell mtrice qudrt estribile d A co determite OSSERVAZIONI ) rga A mtrice ull rga mi,m ) se A è o ull { } Clcolo del rgo di u mtrice Se l mtrice di cui si deve clcolre il rgo è qudrt ( ) si procede el seguete modo: si clcol A, se A si poe rga, se A si scrivoo tutte le mtrici (( ) ( ) ) T A e di ogu si clcol il determite, se lmeo uo di tli determiti è si poe rga, ltrimeti si pss lle mtrici di ordie e così vi Se l mtrice di cui si deve clcolre il rgo o è qudrt ( m ) si procede el seguete modo: si idividuo tutte le mtrici qudrte di ordie mssimo estribili d A e di ogu si clcol il determite, se lmeo uo di tli determiti è si poe rga ordie di tli mtrici, ltrimeti si pss lle mtrici di ordie iferiore e così vi OSSERVAZIONE Il rgo di u mtrice idividu il umero dei vettori colo che costituiscoo l mtrice che soo liermete idipedeti

12 Esempio 5 Dt A 4, risult rga 4 perché A 66 Esempio Dt B, risult rgb perché det Riduzioe form coic Defiizioe Due mtrici veti stesso ordie e ugule rgo si dicoo equivleti Dt u mtrice A, si possoo costruire mtrici equivleti d A operdo medite operzioi elemetri sulle sue righe o coloe Le operzioi elemetri soo di tre tipi ) scmbio di posizioe tr righe (coloe) I simboli R i, o C i, idico rispettivmete lo scmbio dell i-esim rig o colo co l -esim R α ) moltipliczioe degli elemeti di u rig o colo per u umero: il simbolo ( ) idic l moltipliczioe degli elemeti dell -esim rig per α, metre C ( ) α idic l moltipliczioe degli elemeti dell -esim colo per α ) somm degli elemeti di u rig (colo) moltiplicti per u costte gli elemeti di R α l operzioe che cosiste el u ltr rig (colo) I questo cso si idic co ( ) sommre gli elemeti dell i-esim rig quelli dell -esim moltiplicti per α e co C α l operzioe che cosiste el sommre gli elemeti dell i-esim colo quelli i ( ) dell -esim moltiplicti per α Le proprietà dei determiti ci ssicuro che le operzioi elemetri o modifico il rgo di A Il rgo di A può pertto essere determito che medite u procedimeto oto come riduzioe form coic di A che cosiste el ricodurre A medite u sequez di operzioi elemetri d u delle segueti forme I I, I; ( I, ), ; dove co si idic u sottomtrice ull di ordie opportuo, Il rgo di A coicide co l ordie di I L riduzioe form coic opertivmete si f riducedo elemeti sull digole priciple prtire d uità (ciò può essere ftto o co operzioi di tipo ) o di tipo )) Successivmete si zzero gli elemeti l di sopr o l di sotto di tle posizioe (medite operzioi di tipo ) i

13 OSSERVAZIONE Le operzioi per righe che vegoo effettute corrispodoo premoltiplicre l mtrice dt per u mtrice idetità sulle righe dell qule è stt effettut l operzioe idict; le operzioi per coloe che vegoo effettute corrispodoo postmoltiplicre l mtrice dt per u mtrice idetità sulle coloe dell qule è stt effettut l operzioe idict Esempio 4 Determire medite riduzioe form coic il rgo di Riducimo form coic l mtrice A 7 5 ( ) ( R R 5) 6 R ( ) 6 ( ) 5 6 ( 5) R 5 R C( 7 5) C ( 6 5 ) Si può pertto cocludere che rga 7 Equzioi lieri Defiizioe Si dice equzioe liere elle icogite b co i e b R,,, l equzioe Defiizioe Si dice soluzioe dell equzioe liere ogi -upl di umeri ( sostituiti ell equzioe l verific U equzioe liere i più di u icogit mmette ifiite soluzioi,,, ) che 74 Sistemi di equzioi lieri Più equzioi lieri che devoo vlere cotemporemete idividuo u sistem di equzioi lieri

14 4 m m m m b b b U -upl di umeri (,,, ) è soluzioe del sistem se verific tutte le equzioi che lo compogoo 74 Scrittur del sistem i form vettorile e comptt Si prl di sistem scritto i form vettorile se si poe m v, m v, m v e b m b b B Cercre le soluzioi del sistem equivle cercre i pesi dell combizioe liere per cui risult B v v v Se si poe l mtrice dei coefficieti m m m A, il vettore delle icogite X e il vettore dei termii oti b m b b B, ricorredo l prodotto righe per coloe, il sistem può essere scritto ell form B AX Se u sistem mmette soluzioi si dice comptibile Se u sistem o mmette soluzioi si dice icomptibile 74 Cso prticolre di due equzioi i due icogite Per cpire l esistez e l umerosità delle soluzioi di u sistem cosiderimo il cso i cui il sistem si costituito d due equzioi e due icogite Ricercre le soluzioi i questo cso equivle cercre i puti di itersezioe tr le due rette le cui equzioi compogoo il sistem e come è deducibile di grfici sotto riportti ci si può trovre, secod delle equzioi cosiderte, i tre situzioi diverse ) le due rette soo prllele e o ho puti i comue, pertto il sistem o h soluzioi

15 Fig 7 7 ) le due rette si iterseco i u solo puto, pertto il sistem h u sol soluzioe Fig 78 ) le due rette soo sovrpposte, pertto il sistem h ifiite soluzioi Fig RISOLUZIONE DEI SISTEMI CON IL METODO DI GAUSS JORDAN Defiizioe Due sistemi si dicoo equivleti se mmettoo le stesse soluzioi 5

16 Dto u sistem di equzioi lieri si può operre co trsformzioi elemetri per otteere u sistem equivlete quello dto I prticolre si ottegoo sistemi equivleti quello dto se : ) si scmbio due equzioi tr di loro ) si moltiplico etrmbi i membri di u equzioe per u costte divers d zero ) si ggiuge d u equzioe u ltr moltiplict per u costte Medite queste trsformzioi elemetri si può ricodurre il sistem d uo equivlete i cui l mtrice dei coefficieti h u form trigolre superiore Il procedimeto cosiste ello scrivere su u mtrice i coefficieti delle icogite fficti dll colo dei termii oti e, come el cso dell riduzioe form coic di u mtrice, si cerc di ricodurre gli elemeti sull digole priciple dell mtrice dei coefficieti uguli d uo e si zzerero gli elemeti sottostti d essi i modo d otteere u mtrice trigolre superiore sez spostre di posizioe l colo dei termii oti A questo puto si v riscrivere il sistem prededo come coefficieti delle icogite quelli otteuti ell mtrice dei coefficieti e teedo coto che evetuli operzioi di scmbio tr coloe ho scmbito l posizioe delle icogite Dll lettur del sistem così otteuto possimo dedurre che: ) qulor figurio equzioi del tipo umero il sistem è icomptibile b) qulor figurio equzioi del tipo oppure il umero delle icogite superi il umero delle equzioi, il sistem mmette ifiite soluzioi che si trovo trsportdo come termie oto le vribili per le quli soo ulli o o esistoo i corrispodeti elemeti sull digole priciple c) qulor il umero delle icogite si ugule l umero delle equzioi e tutti gli elemeti sull digole priciple sio pri uo, esiste u sol soluzioe e il sistem può essere risolto per sostituzioe Esempio 5 Risolvere il sistem y z z y z Si cosider l seguete mtrice ( A B) e si procede ll su riduzioe form trigolre medite le segueti operzioi R R ( ) ( ) R ( 4) R R A questo puto possimo riscrivere il sistem come 6

17 y z y z z Possimo così risolvere per sostituzioe ed otteere,y,z Esempio 6 Risolvere il sistem y 4 y y Ad esso è ssocit l mtrice ( A B) 4 Si procede ll su riduzioe form trigolre R R( ) 8 ( ) 8 R 4 R ( ) 8 5 A questo puto possimo riscrivere il sistem come y 4 8 y 5 L ultim equzioe di tle sistem è impossibile e quidi il sistem o h soluzioi Esempio 7 Risolvere il sistem y z z y Si cosider l seguete mtrice 7

18 ( A B) e si procede ll su riduzioe form trigolre medite le segueti operzioi R R ( ) ( ) R R ( ) A questo puto possimo riscrivere il sistem come y z y z, z trsportre l vribile z l secodo membro ed otteere ifiite soluzioi dte d, z y, zz 76 Risoluzioe dei sistemi medite i teoremi di lgebr liere Nell risoluzioe dei sistemi soo fodmetli due teoremi: ) il teorem di Crmer ) il teorem di Rouchè Cpelli Teorem di Crmer CNS ffiché u sistem di equzioi lieri i icogite bbi u ed u sol soluzioe è che A L uic soluzioe si trov come,, dove il geerico i idic il A A A determite dell mtrice che si ottiee d A sostituedo ll i-esim colo l colo dei termii oti (quest ultim prte del teorem è ot come regol di Crmer) 8

19 OSSERVAZIONE Esiste u modo ltertivo per determire l soluzioe di u sistem di equzioi lieri i icogite AX B i cui A I tl cso è ssicurt l esistez di A e si può premoltiplicre primo e secodo membro per A per otteere A AX A B, essedo per l defiizioe di mtrice ivers A A I e per l proprietà dell mtrice idetità IX X Si può pertto scrivere il vettore soluzioe del sistem liere usdo il prodotto tr mtrici come X A B Esempio 8 Si risolv il sistem y z y 7z z Soluzioe : Essedo A 6 si pplic il teorem di Crmer, per cui det 7, 6 det 7 y, 6 det z 6 Teorem di Rouchè Cpelli CNS ffiché u sistem di m equzioi lieri i icogite mmett soluzioi è che il rgo dell mtrice dei coefficieti A si ugule l rgo dell mtrice complet che si ottiee fficdo d A l colo dei termii oti B r Detto r il vlore comue dei due rghi ed il umero delle icogite il sistem mmette soluzioi L mtrice di ordie r estrtt d A vete determite diverso d zero si dice miore fodmetle 75 Schem geerle per l risoluzioe di u sistem liere Dto u sistem liere si stbilisce izi tutto l su comptibilità (cioè se il sistem mmette soluzioi oppure o) cofrotdo il rgo dell mtrice dei coefficieti e quello dell mtrice complet E opportuo osservre che se A ( ) h rgo l mtrice complet h ch ess rgo : elle ipotesi del teorem di Crmer il sistem è sempre comptibile 9

20 Se rga rg( A B ) il sistem o h soluzioi Nel cso i cui il sistem bbi soluzioi si devoo distiguere csi ) rga rg( A B ) Il sistem si dice ormle e per l su risoluzioe si cosidero le equzioi i cui coefficieti idividuo l mtrice co det e si risolve co Crmer Esempio 9 Si risolv il sistem y y y Soluzioe : Essedo A si h rga perché det, risult ioltre rg ( A B ) perché det e pertto il sistem mmette soluzioi che si trovo risolvedo co Crmer il sistem y y E pertto e y ) rga rg( A B ) < Il sistem è o ormle e per risolverlo si cosidero le equzioi i cui coefficieti idividuo l mtrice co det, si porto le r icogite che o soo comprese i tle mtrice come r termii oti e si risolve cor co Crmer Il sistem i questo cso mmette soluzioi i quto le icogite che soo stte trsportte l secodo membro possoo essere scelte rbitrrimete Esempio Si risolv il sistem y z y z y z

21 Soluzioe: essedo A, risult A ed essedo det, risult rga e l mtrice idividu il miore fodmetle Per clcolre il rgo dell mtrice complet ivece di clcolre tutti i miori di ordie tre bst orlre il determite fodmetle co l colo dei termii oti e i coefficieti dell rig esclus che si trovo i corrispodez lle coloe cosiderte e clcolre il determite di tle mtrice, rga rg A B rga rg A B e il sistem è icomptibile se tle determite è ullo ( ) ltrimeti ( ) I questo cso risult det 4 4 rga rg A B soluzioi che si trovo risolvedo il sistem e pertto ( ) y z y z Srà pertto Esempio Si risolv il sistem y z t z t y t, y, z Soluzioe :I questo cso l mtrice dei coefficieti è rettgolre, A e risult det 5 per cui soluzioi che si trovo risolvedo co Crmer il sistem y t z t z y t, per cui rga Essedo A B u mtrice (5) risult che rg ( A B )

22 Si h 5z 4, 5 9 5z y, z z, 5 6 t 5 76 Sistemi omogeei Defiizioe Si dicoo omogeei quei sistemi i cui l colo dei termii oti è tutt costituit d elemeti ulli U sistem omogeeo è scrivibile i form comptt come AX OSSERVAZIONI ) Tli sistemi mmettoo sempre soluzioi perché per essi è sempre vero che rga rg( A B ), ioltre se ) rga il sistem mmette l sol soluzioe ble (,,,) b) rga < il sistem mmette r soluzioi ) Tli sistemi foriscoo il legme co l liere dipedez dei vettori colo che compogoo l mtrice dei coefficieti Iftti ) se rga i vettori colo soo liermete idipedeti perché l uic loro combizioe che dà il vettore ullo è quell coefficieti tutti ulli b) Se rga < i vettori colo soo liermete dipedeti perché esistoo loro combizioi lieri coefficieti o tutti ulli che do il vettore ullo 77 U esempio ecoomico : il modello iput output Il modello iput-output di Leotief è u immedit ppliczioe dell lgebr delle mtrici Nel modello si ssume che l ecoomi di u Pese si compost d diversi settori produttivi o gruppi di idustrie I bei e servizi prodotti d u settore ho due possibili destizioi: ) per uso itermedio, cioè soo ecessri per l produzioe di bei e servizi ello stesso settore o i ltri settori, ) per uso file, cioè soddisfo l domd e file (per cosumi, ivestimeti o esportzioe) Per formlizzre mtemticmete il problem si idichi co il umero dei settori ecoomici, si A i cui il geerico elemeto uità dell produzioe itroduc l mtrice dell tecologi ( ) del settore i destite ll produzioe di uità el settore j e si idichi co il vettore colo D( ) l domd file di prodotti rivolt i vri settori Il problem che si vuole risolvere è il seguete Quto deve produrre ogi settore per soddisfre si l domd di prodotti itermedi si l domd file? Si vuole i prtic determire il vettore di produzioe X per cui risulti verifict l 4 relzioe: X AX D ij Tle relzioe può essere scritt come può essere ricodott ll form X AX D e i bse ll proprietà dell mtrice idetità

23 ( I A) X D Il vettore di produzioe X è pertto l soluzioe del sistem liere sopr scritto; tle soluzioe I A si ivertibile e si può otteere come esiste ed è uic ell ipotesi i cui ( ) X ( I A) D A titolo di esempio l ecoomi di u ipotetico Pese si disggregt i 4 settori: - Agricoltur - Idustri i seso stretto (idustrie estrttive idustrie miftturiere produzioe di eergi elettric, gs e cqu) - Costruzioi - 4 Servizi L mtrice dell tecologi e il vettore di domd file sio rispettivmete,5, A,,8,,,5,5,,5,,, 5 74 D, srà pertto,95, I A,,8,88,,5,95,,5,,,9 ( I A),7,95,,89,5,7,,9,5,7,55,99,9,7,, d cui essedo X ( I A) D 5 X 6 4 si h

24 4 78 Sistemi prmetrici Defiizioe Si dicoo prmetrici quei sistemi i cui ell mtrice dei coefficieti e/o ell colo dei termii oti figur u prmetro L esistez o meo delle soluzioi i tl cso dipede di vlori ssuti dl prmetro Ad esempio, u sistem di equzioi i icogite co prmetro che figur ell mtrice dei coefficieti, v studito ricercdo A e vededo per quli vlori del prmetro tle grdezz si ull Per i vlori che redoo A il sistem si risolve co il metodo di Crmer metre i corrispodez i vlori del prmetro che ullo tle determite si cosider il sistem umerico che si ottiee, e si risolve fcedo riferimeto l teorem di Rouchè Cpelli Esempio Determire l vrire di le soluzioi del sistem z y z y z y Essedo A, risult A Srà pertto A se Per il sistem mmette u sol soluzioe che si determi co l regol di Crmer ( ) ( ) det, ( ) ( ) det y, ( ) ( ) det z Se risult A ed essedo det risult rga, m essedo 4 det risult ( ) A B rg per cui per il sistem o mmette soluzioi Esempio Determire l vrire di le soluzioi del sistem

25 y z y z y z Essedo A risult A 4 Srà pertto A se 4 cioè se e 4 Per e 4, Il sistem mmette l sol soluzioe ble (, ) Se si h A e risult rga i quto det, dto che il sistem è omogeeo che rg ( A B ) per cui si ho soluzioi che si determio risolvedo il sistem y z y z e soo 4z, y z, z z 4 4 Se 4 si h A e risult rga i quto det, dto che il sistem 4 è omogeeo che rg ( A B ) per cui si ho soluzioi che si determio risolvedo il sistem 4y z y z e soo z, y z, z z 79 Autovlori ed utovettori I mbito ecoomico soo prticolrmete iteressti sistemi del tipo i cui A è u mtrice qudrt AX λ X 5

26 Dl puto di vist dell lgebr delle mtrici ricercre u soluzioe per u sistem di questo tipo equivle ricercre per quli vlori del prmetro λ il vettore otteuto come prodotto dell mtrice A per u dto vettore X dà come risultto il vettore di prtez moltiplicto per uo sclre Il sistem sopr scritto è equivlete d u sistem omogeeo del tipo ( A λ I ) X dove co I si è idict l mtrice idetità di ordie L mtrice dei coefficieti dipede dl prmetro λ e pertto il sistem dto mmetterà soluzioi o bli solo i corrispodez i vlori di λ per cui determite di tle mtrice è ugule zero Defiizioe Si dice utovlore ssocito ll mtrice A ogi vlore di λ per cui si h det( A λ I ) L equzioe che discede dll imposizioe det( A λ I ) prede il ome di equzioe crtteristic Defiizioe Si dice utovettore ssocito ll utovlore λ dell mtrice A, il vettore o ullo X otteuto come soluzioe del sistem A λ I X ( ) OSSERVAZIONE Gli utovettori ssociti d utovlori distiti soo tr loro idipedeti Esempio 4 Determire utovlori ed utovettori ssociti ll mtrice A L equzioe crtteristic è dt d ( λ)( λ)( λ) Essedo λ A λi λ λ ed mmette tre soluzioi distite che idividuo gli utovlori dell mtrice λ, λ, λ Risolvedo il sistem omogeeo qudo Risolvedo il sistem omogeeo qudo Risolvedo il sistem omogeeo qudo λ si ottiee l utovettore ( α,, ) λ si ottiee l utovettore ( α α, α ) λ si ottiee l utovettore ( α, α ),, 6