Capitolo 1 Numeri Reali

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1 Cpitolo Numeri Reli L Alisi Mtemtic studi il comportmeto delle fuzioi co prticolre ttezioe i umeri reli Iftti, discuteremo di cotiuità, derivzioe e itegrzioe per fuzioi reli di vriile rele I questi primi prgrfi, quidi, itrodurremo il cocetto di umero rele, prtedo dll itroduzioe di ltri isiemi sottoisiemi di quli, e Numeri turli, iteri e rzioli L isieme dei umeri turli, che idicheremo co, è il primo isieme ifiito che viee isegto fi dlle scuole elemetri M sotto questo isieme, ll pprez semplice, si scodoo molte defiizioi e relzioi complicte Per esempio, comicimo defiire il cocetto di crdilità di u isieme: Def: Dto u isieme A, si defiisce crdilità di A e si idic co crda o A il umero degli elemeti di A L crdilità di u isieme può essere fiit e si prl quidi di isiemi fiiti o ifiit e si prl di isiemi ifiiti I prticolre, l isieme dei umeri turli costituisce il più piccolo isieme ifiito pesile e tutti gli isiemi che ho l stess crdilità di, si dicoo umerili Il sigificto di questo termie è semplice: Def: U isieme A è ifiito se o è fiito, se può essere messo i relzioe iuivoc co u suo sottoisieme proprio o se esiste u fuzioe iiettiv, m o suriettiv d A vlori i A I prticolre, u isieme ifiito A h l crdilità del umerile, se può essere messo i relzioe iuivoc co, cioè se si possoo elecre i suoi elemeti, d qui il termie umerile Quidi l ozioe di crdilità per gli isiemi ifiiti o è così semplice come lo è per gli isiemi fiiti Nell fttispecie, se volessimo chiederci qule isieme h più elemeti, tr e, sremmo costretti cocludere che questi due isiemi ho l stess crdilità Questo può semrre ssurdo se pesimo come i due isiemi soo defiiti: :,,, :,,,,, Semreree, iftti, poiché è u isieme itermete coteuto i, che quest ultimo coteg più umeri del primo, m o è così Questo perché, per defiizioe, e ho l stess crdilità Iftti, è possiile elecre gli elemeti di : Lo stesso vle per : iftti è possiile elecre che gli elemeti di questo isieme le frzioi

2 Possimo llor eucire il seguete teorem: Teorem: L isieme dei umeri turli, l isieme dei umeri iteri reltivi e l isieme dei umeri rzioli ho l crdilità del umerile, cioè soo isiemi ifiiti equipoteti che ho l stess crdilità d Per dimostrre questo teorem è sufficiete trovre u modo logico per elecre gli elemeti di L prim prte del teorem, quidi, è stt già dimostrt ell pgi precedete I prticolre, è iteresste compredere quli umeri si trovo i Aimo già detto che i questo isieme soo coteute tutte le frzioi e quidi che e soo coteuti i : : : Z, N Ioltre, dicimo che due umeri e d c soo uguli tr loro se d c Per esempio, poiché 4 4 M l cos più iteresste è che d ogi frzioe è ssocito u umero decimle Per esempio, ll frzioe ½ è ssocito,5 Ed è iteresste il ftto che i soo preseti solo umeri decimli periodici che soo tutti e soli i umeri decimli che possoo essere scritti come frzioi Per esempio, o è u umero rziole, poiché o esistoo due iteri e, primi tr loro,tli che il loro rpporto i come risultto, come fferm il seguete teorem: Teorem: o è u umero rziole Dimostrzioe: Se fosse u umero rziole, llor esistereero due umeri iteri coprimi e tli che: co, primi tr loro e Dimostrimo llor che se esistessero questi due umeri succederee qulcos di stro Cioè operimo u dimostrzioe per ssurdo Se llor cioè è u umero pri M se è u umero pri llor che è pri iftti, i umeri pri l qudrto soo pri e i umeri dispri l qudrto soo dispri Se è pri llor esiste u umero c tle che io poss scrivere come volte c: c Allor c c 4c Per lo stesso motivo di prim, che è u umero pri M questo è ssurdo, perché per ipotesi e devoo essere primi tr loro Ivece, ho dimostrto che e, se esistoo, devoo ecessrimete essere etrmi divisiili per Quidi o esistoo due umeri iteri il cui rpporto rede Cvd

3 Ioltre, vle il seguete teorem, di cui o dimo l dimostrzioe, m solo u cceo l suo seso: cosiderimo l seguete frzioe: 3 Noi sppimo che l umero 3 corrispode u umero decimle periodico, che si ottiee dividedo per 3: : 3,3 3 M oi sppimo che che 3 e questo sigific che,3 3 M operdo u 3 moltipliczioe le, otteimo che,3 3, 9 Questo di port d ffermre che: Teorem:,9 Il sigificto di questo teorem è fodmetle, perché ci port dire che o esistoo umeri decimli di periodo 9 Cioè, che ogi umero decimle di periodo 9 o è ltro che il umero decimle che h come ultim cifr prim del 9 l su cifr successiv Per esempio,,9 3,49 3,5 I termii tecici si dice che, 9 coverge,9,3 Il prolem dei umeri rzioli I umeri rzioli, semro essere, ll pprez, l isieme umerico più grde i ssoluto Tuttvi, già el prgrfo precedete imo costtto che esistoo umeri, quli, che o pprtegoo questo isieme Poimo desso u ulteriore prolem: Def: Si A u isieme ifiito e B u suo sottoisieme quluque superiormete itto risp iferiormete itto A si dice completo se l isieme dei mggiorti di B risp miorti mmette miimo risp mssimo Chirmete, llor o è completo Iftti, predimo questo sottoisieme di : B : Q : Disegimo B: Chirmete, o è rziole e B coicide co l isieme dei umeri compresi tr e Quidi B è superiormete e che iferiormete itto Tuttvi, l isieme dei mggiorti di B cioè tutti i umeri rzioli più grdi di o mmette miimo Iftti o esiste u umero rziole più grde di e più piccolo di ogi ltro umero che si trov oltre I prtic, tr i umeri che si trovo oltre l prte verde dell rett o c è u umero rziole più piccolo degli ltri cioè il miimo tr i umeri che si trovo ell re evidezit i verde 3

4 Tutto ciò, solo perché o è u isieme completo e perché Q U ltr questioe che o risolve, è l esistez di umeri o periodici Blmete, sempre rigurdo, qudo Pitgor si mise i test di clcolre l digole di u qudrto i fuzioe del lto, scoprì che er ecessrio ricorrere dei umeri che o ero rzioli Quest scopert vree rovito l scuol dei Pitgorici e, pertto, vee teut segret e chiuque e vesse cceto sree fiito ucciso i u modo o ell ltro Come è oto, detto L il lto di u qudrto, l digole si clcol come D L ed è coseguez del Teorem di Pitgor M o è solo l digole di u qudrto mettere i crisi u itero sistem di umeri Ache l misur dell circoferez, per esempio, ricorre ll utilizzo di u umero irrziole che o può essere scritto come rpporto di iteri, ovvero, u umero che o è solo irrziole, m ddirittur trscedete ovvero o può essere risultto di equzioi coefficieti rzioli Tto per itederci: Ammette soluzioi irrzioli:, pur vedo coefficieti iteri e quidi rzioli 3 5 Ivece, o esistoo equzioi coefficieti rzioli tli che le soluzioi sio umeri trscedeti I prticolre, è defiito come il rpporto tr ogi circoferez e il proprio dimetro: circoferez circoferez ove R è il rggio dell circoferez D quest relzioe si dimetro R ricv l e ot formul: R circoferez Tuttvi, dicimo che è deso i Cioè tr due umeri reli esiste sempre lmeo u umero rziole L itroduzioe del cmpo rele Aimo visto come ogi isieme studito fi or rppreset u migliori pportt l precedete Per esempio, i umeri iteri soo u estesioe dei umeri turli e le frzioi soo u geerlizzzioe dei umeri iteri I umeri reli rppreseto u ulteriore igrdimeto dell isieme dei rzioli M l importte ell itroduzioe di questi umeri st el ftto che è u isieme completo, el seso precisto dll defiizioe del prgrfo precedete Rimedo sull esempio dell isieme B : Q :, i vle l defiizioe di completezz, come si può dimostrre, e quidi l isieme dei mggiorti di B mmette miimo che è proprio, i quto è u umero rele e quidi possimo cosiderrlo come il più piccolo umero che o è coteuto i B cosiderzioi loghe per e l isieme dei miorti di B Teorem di completezz di : è completo Ioltre i cmpo: possimo defiire delle operzioi che coferiscoo d esso l struttur lgeric di 4

5 Def: Si A u isieme, si * u operzioe comptiile co A A, muito di *, cioè A,* è u struttur lgeric Ioltre, defiimo: Def: Si A u isieme, sio + e * due operzioi comptiili co gli elemeti di A, l struttur lgeric A,+,* si dice cmpo se: L operzioe + è ssocitiv e commuttiv; Esiste u elemeto eutro rispetto +; Ogi elemeto di A mmette u elemeto iverso rispetto +; L operzioe * è ssocitiv e commuttiv; Esiste u elemeto eutro rispetto *; Ogi elemeto di A mmette u elemeto iverso rispetto *; Vle l proprietà distriutiv, cioè detti, e c tre quluque elemeti di A, si h: *+c=*+*c I soo defiite due operzioe che soo comptiili co l struttur di cmpo: l somm e il prodotto Iftti: Teorem:, +, è u cmpo, poiché: L operzioe + è ssocitiv e commuttiv; è l elemeto eutro rispetto +; Ogi umero rele mmette u opposto; L operzioe è ssocitiv e commuttiv; è l elemeto eutro rispetto ; Ogi elemeto di mmette u elemeto iverso rispetto ; Vle l proprietà distriutiv del prodotto rispetto ll somm, cioè detti, e c tre quluque umeri reli, si h: +c=+c Il ftto che, dotto di somm e prodotto, si u cmpo, coferisce ll isieme dei reli umerose proprietà fodmetli I prticolre, che, +, è u cmpo i prticolre u sottocmpo di, m differez di o è u cmpo completo Ioltre, m questo vle che per gli ltri isiemi che imo studito, il cmpo rele è totlmete ordito, cioè presi due quluque umeri reli e, vle <, oppure >, oppure = Lo studio di come cmpo è molto vsto I prticolre, le operzioi che imo sopr citto dovreero essere defiite sull se delle operzioi defiite i e egli isiemi precedeti Tuttvi, solo titolo ccdemico, citerò uicmete l defiizioe di somm tr due umeri reli Sio e due umeri reli, si h: : sup Ove e soo le trocture -esime di e rispettivmete Ovvero, è defiito come l estremo superiore di u isieme che cotiee tutte le somme tr tutte le trocture -esime di e I questo modo si è defiit l somm tr umeri reli come l somm tr due umeri rzioli le trocture -esime, iftti, soo umeri decimli fiiti o periodici, e quidi soo rzioli Noostte tutte queste proprietà, il cmpo dei reli o è u cmpo lgericmete chiuso, cioè 5

6 u equzioe di grdo o è detto che i soluzioi U geerlizzzioe del cmpo rele, o meglio, il cmpo lgericmete chiuso più piccolo che cotiee il cmpo rele è il cmpo complesso,+, 6

7 Cpitolo Le fuzioi L lisi mtemtic è sez ltro l rc dell mtemtic più studit livello ccdemico Iftti, l mggior prte delle disciplie scietifiche preseto i primi corsi di lisi mtemtic Noi ci occuperemo di quello che, livello uiversitrio, prede il ome di Alisi Mtemtic L lisi si occup dello studio di oggetti mtemtici desi, quli le fuzioi No etreremo del dettglio, cioè o specificheremo cos è u relzioe, m il seso prtico dell defiizioe di relzioe è immedito el seso che u relzioe tr due oggetti mtemtici è u legge che leg tli etità Defiimo llor u fuzioe el modo seguete: Def: Defiimo fuzioe f : A B u relzioe che ssoci d ogi elemeto di u isieme A detto Domiio di f uo e u solo elemeto dell isieme B detto Codomiio di f Tre esempi di fuzioi soo: Iftti, d OGNI elemeti di A è ssocito uo e u solo elemeto di B o è richiesto il ftto che tutti gli elemeti di B vego rggiuti o che d elemeti diversi di B sio ssociti elemeti diversi di A Metre o è u fuzioe: I quto d e d 5 Cioè esistoo degli elemeti di A cui soo ssociti più elemeti di B Ache: No è u fuzioe, poiché ll elemeto e di A o è ssocito lcu elemeto di B I prticolre, l def di fuzioe stilisce le codizioi sul domiio ecessrie ffiché f si u fuzioe Le segueti defiizioi, ivece stiliscoo lcue importti codizioi sul codomiio di f, m o è ecessrio che u fuzioe rispetti queste codizioi per essere tle 7

8 Def: Si f : A B u fuzioe, llor: f si dice iiettiv se, A ccde che f f f si dice suriettiv se B esiste lmeo u A tle che f f si dice iiettiv se è iiettiv e suriettiv Cioè, f è iiettiv se ogi elemeto di A viee mdto i u differete elemeto di B ed f è suriettiv se tutti gli elemeti di B vegoo rggiuti o import d quti elemeti diversi di A Per esempio, l fuzioe: È iiettiv, poiché d elemeti diversi di A soo ssociti elemeti diversi di B, m o è suriettiv, iftti l elemeto 5 o viee mi rggiuto L fuzioe: ivece, è suriettiv, poiché ogi elemeto di B h u cotroimmgie u elemeto che lo rggiuge i A, m o è iiettiv, poiché l elemeto 3 h due cotroimmgii diverse c e d, cioè si c che d vegoo mdte ello stesso elemeto cioè i 3 L fuzioe: No è é iiettiv é suriettiv No è iiettiv, poiché si l letter che l letter d ho come immgie 4, metre o è suriettiv perché l elemeto 5 o h cotroimmgii Ifie, l fuzioe: È si iiettiv che suriettiv, cioè è iiettiv Qudo A e B soo isiemi fiiti, è fcile distiguere quli fuzioi soo iiettive e quli suriettive I prticolre, vle il seguete teorem: 8

9 Teorem: Si f : A B u fuzioe defiit su due isiemi fiiti Allor: Se crda > crdb, llor f o può essere iiettiv; Se crda < crdb, llor f o può essere suriettiv Questo teorem è esemplificto dgli esempi precedeti, che riportimo qu sotto: Noi ci occuperemo, i prticolri, di fuzioi reli di vriile rele, cioè di fuzioi f : defiite ttrverso u legge y f Per queste fuzioi srà più semplice stilire l iiettività e l suriettività Ci sterà, iftti, dre studire il loro grfico Per esempio, l fuzioe y f trtteggit è iiettiv, come il suo grfico ci suggerisce, metre l fuzioe y g lie cotiu o è é iiettiv é suriettiv: È fcile, che fcedo i clcoli, covicerci che g o è é iiettiv é suriettiv: si pred il vlore g = 9 Esistoo due vlori di tli che g = 9, ovvero = 3 e = -3 Metre, se cosiderimo f = 9, otteimo solo = 9 come soluzioe Portimo ltri esempi rigurdte le fuzioi reli di vriile rele: L fuzioe f : defiit dll legge y = se o è é iiettiv é suriettiv Iftti, se = 5 o h soluzioi reli ed ioltre, l fuzioe è periodic e quidi se se per ogi rele, oostte 9

10 L fuzioe y = rtg è u fuzioe o iiettiv, m suriettiv, metre se cosiderimo l fuzioe ricvt dll rcotgete, co u restrizioe del domiio ; otteimo u fuzioe iiettiv Per le fuzioi reli di vriile rele vle il seguete teorem: Teorem: Si f : f ivertiile f iiettiv Cioè u fuzioe rele di vriile rele è ivertiile se e solo se ess è iiettiv e suriettiv I tl cso, l ivers si idic co: f - : Esempio: L fuzioe seo o è ivertiile se cosidert i tutto il suo domiio, così come il coseo e come l tgete Tuttvi, soo ivertiili le loro restrizioi come è già oto Esempio: L fuzioe f :, defiit d y o è iiettiv su tutto, m è iiettiv ell itervllo, e suriettiv sullo stesso, pertto, l su restrizioe tle itervllo, cioè l fuzioe f :,, è ivertiile e l su ivers è l fuzioe f - :,, defiit d y Esempio: L fuzioe g :, defiit d L su ivers è l fuzioe g - : defiit d y 3 Esempio: L fuzioe h :, defiit d 3 y è iiettiv su tutto e quidi è ivertiile y e, o è suriettiv, m è iiettiv Quidi, l su restrizioe ll fuzioe h :,+, è ivertiile e l su ivers è l fuzioe h - :,+ defiit d y l Alcue di queste fuzioi soo defiite d vlori i, oostte il loro codomiio si differete Per esempio, l fuzioe seo, è u fuzioe se :, oostte il suo codomiio si [-;] I effetti, le fuzioi si defiiscoo idicdo come codomiio il cmpo su cui si st lvordo Quidi l fuzioe se : [-;], seee si idetic ll fuzioe precedete, è u fuzioe divers Se volessimo trccire i loro grfici, otterremmo: Cioè cmi solo l lughezz dell sse y

11 Crdilità dei sottoisiemi di Co le fuzioi reli di vriile rele succedoo delle cose u po stre dovute l ftto che è u isieme ifiito Il seguete teorem è fodmetle per l Alisi Mtemtic, el seso che permette di lvorre su u sottoisieme di, piuttosto che su tutto l sse rele Teorem: L itervllo,, sottoisieme di crdilità e l isieme dei umeri reli ho l stess Dimostrzioe:, e ho l stess crdilità de esiste u fuzioe iiettiv f :, Quidi, cosiderimo l fuzioe f :, defiit dll legge y cot g Quest fuzioe è iiettiv i, ed è che suriettiv Quidi è iiezioe tr, e Quidi, e ho l stess crdilità Cvd Questo teorem, si dicev, è importte, perché permette di dimostrre dei risultti solo per l itervllo, per poi estederli tutto A scopo ccdemico, dimostrimo il seguete teorem: Teorem di Ctor: crd > crd Dimostrzioe: All luce dei risultti precedeti, sppimo che crd = crd Quidi, poiché è u isieme ifiito e umerile, ci sterà dimostrre che elecdo i umeri reli, vegoo ievitilmete sltti dei umeri Quidi, dimostrimo per ssurdo l sserto Per il teorem precedete, ioltre, crd, = crd, quidi il teorem è completmete dimostrto se l posto di dimostrre che crd > crd dimostrssimo che crd, > crd Per ssurdo, immgiimo che crd, crd Poiché crd, = crd e, o può essere crd, < crd Quidi, i fi dei coti, doimo solo dimostrre che ffermre che crd, = crd porteree d u ssurdo Quidi, per ssurdo, si crd, = crd Allor,, è u sottoisieme umerile di e quidi posso elecre tutti i suoi elemeti Si llor questo l eleco dei umeri compresi tr e scritti come lliemeto di cifre decimli:,c c c 3 c,c c c 3 c 3,c 3 c 3 c 33 c 3,c c c 3 c Allor questi, poiché vle l ipotesi dell ssurdo, soo tutti e soli i umeri compresi tr e M llor, cosiderimo il umero otteuto el modo seguete:,c c c 3 c Ove ck ckk se c c k Questo umero è sicurmete più grde di e più piccolo di, cioè pprtiee ll isieme,, m o è tr i umeri electi, i quto è, per costruzioe, u umero differete d tutti quelli electi precedetemete M questo è ssurdo, poiché ell eleco dovreero esserci tutti i umeri compresi tr e Quidi è stto ssurdo ipotizzre che fosse possiile elecre tutti i umeri i kk

12 , e quidi crd, > crd D cui l sserto Cvd Curve che o soo fuzioi Cocludimo il cpitolo co degli esempi di curve che o soo fuzioi Comicimo co le geeriche prole co sse prllelo ll sse, come per esempio : [, defiit d = y : Quest curv o rispode ll defiizioe di fuzioe Iftti per = 4, per esempio, corrispodoo due y: y = y = - Metre è u fuzioe l restrizioe di ll fuzioe f : [, [,, che già cooscimo, ovvero l fuzioe y Esempio: L curv : y, cioè l circoferez cetrt i O e vete rggio : Per lo stesso motivo dell prol precedete, quest o è u fuzioe Tuttvi, i questo esempio si vede ee come si l uioe dei grfici di due fuzioi: y y : se y y Prese seprtmete, queste soo fuzioi Se messe isieme, diveto u curv Allo stesso modo, i luoghi geometrici come le ellissi, le iperoli co sse trsverso o orizzotle, le prole co sse di simmetri o verticle o soo fuzioi, m soo uioi di fuzioi Domiio di u fuzioe I questo prgrfo ci occuperemo del clcolo dei domii delle fuzioi reli di vriile rele Si f : D, u fuzioe rele di vriile rele defiit su u sottoisieme D di Distiguimo i segueti csi: Se f è u fuzioe rziole frtt g Cioè se f è del tipo: f, llor, occorre imporre che il deomitore si diverso d h Iftti, f o può essere defiit ei puti che zzero il deomitore Il perché è molto semplice Iftti, le scritture del tipo, co, o ho seso mtemticmete Iftti, se e

13 llor, per defiizioe,, m, quidi è impossiile Il cso, ivece, lo studieremo qudo studieremo l cotiuità delle fuzioi Se f è irrziole k Cioè se è del tipo f g, cioè se f è fuzioe di u rdice di ordie pri, llor occorre imporre che il rdicdo g si mggiore o ugule Iftti, o esistoo, i, rdici pri di umeri egtivi Se f è u fuzioe circolre Le fuzioi seo, coseo e rcotgete ho come domiio L fuzioe f tg g h domiio g k L fuzioe f cot g g h domiio g k L fuzioe f rse g e l fuzioe f r cos g ho domiio g Se f è u fuzioe logritmic Se f log h llor occorre imporre: g g g h Se f è u fuzioe espoezile Se g h f g occorre imporre g Se f è u fuzioe potez d espoete irrziole Se f g co R \ Q, llor che i questo cso occorre imporre g Chirmete, di frote d u fuzioe compost, otteimo il seguete risultto: Teorem:Si D h e f : R R u fuzioe rele di vriile rele tle che f g h Sio D f, D g i domii di f, g e h Allor, D f D D Esempio: Ci propoimo di clcolre il domiio g h D f dell fuzioe possimo immgire il domiio di quest fuzioe come il domiio di di Pertto: D f : R :, Possimo clcolre questo domiio di f come il sistem tr le due codizioi: D f : 4 4 Quidi il domiio dell fuzioe ell esempio è D [ 4, f f : itersecto l domiio 3

14 Cpitolo 3 Successioi I questo cpitolo ci propoimo di studire prticolri fuzioi vlori i u isieme geerico di vriile turle Studido queste fuzioi, dette successioi, rriveremo l cocetto di ite Def: Si X u isieme geerico o vuoto Si f : X X Allor f è dett successioe vlori i U successioe si idic co il simolo, che idic che l isieme coteete i vlori dell successioe Ivece, l immgie f dell itero viee solitmete idict semplicemete co Questo prede il ome di termie geerle dell successioe I prticolre, oi studieremo le successioi vlori reli, cioè le successioi che ho come codomiio U esempio di successioe vlori reli è l seguete: Esempio: Chirmete, poiché vri i, il domiio di quest successioe è, I questo cso, l isieme è l isieme,,,, ed è u isieme ifiito 3 4 Defiimo desso u termie che mtemticmete è molto usto: Def: Si dice che u successioe possiede defiitivmete u proprietà P se esiste u tle che per ogi >, il termie geerle possiede l proprietà P Esempio: L successioe 4 è defiitivmete positiv Poiché esiste u =, tle che per ogi >, 4 Se le proprietà defiitivmete per > m, gode dell proprietà P per ogi > e gode di P per >, llor gode di etrme Covergez e divergez Cosiderimo l successioe Ci redimo coto che ll umetre di, dimiuisce e si vvici Iftti: ;,5;,3,,5;,;,; 3 4 Quidi, l successioe è defiitivmete miore di, defiitivmete miore di, ecceter I questo cso, sigific che è defiitivmete prossim llo L successioe, ivece, umet ll umetre di i, quidi o si vvici essu vlore prticolre, zi, cotiu d umetre Ifie, l successioe se cotiu d oscillre Quello che ci chiedimo i questo prgrfo è: l crescere di, come si comport l successioe? L rispost è l seguete: lcue successioi, come, tedoo d u umero fiito, ltre, 4

15 come tedoo ll ifiito e ltre cor o tedoo iete soo oscillti Defiimo llor: Def: Si u successioe vlori reli Si dice che coverge, :, R se: I tl cso si scrive: Def: Si u successioe vlori reli Si dice che diverge o se: M, :, M, risp M, :, M I tl cso si scrive: risp Def: Si u successioe vlori reli Se coverge o diverge llor si dice che è regolre Se o è regolre, llor si dice che è irregolre, od oscillte I tl cso si dice che o esiste ite I prtic, u successioe coverge R se pprtiee defiitivmete d u itoro di diverge, ivece, se pprtiee defiitivmete d u itoro di Possimo che defiire l covergez d destr o d siistr Per esempio, i se queste defiizioi, tede per che tede, quidi L domd che sorge spote è: il ite, se esiste, è uico? Il seguete teorem rispode ll domd: Teorem di uicità del ite: Si u successioe regolre vlori reli Se tede e per che tede, llor Dimostrzioe: Per ssurdo, o vlg il teorem Quidi, si Se, llor esiste u piccolo itoro di che o cotiee e vicevers Quidi, esiste u rggio R > tle che: U, R U, R proprietà di Hudorff M tede e quidi defiitivmete st i u itoro di Allo stesso modo, tede, e quidi, defiitivmete st i u itoro di Quidi, defiitivmete, U, R U, R Cioè, defiitivmete, pprtiee d etrmi gli itori M questo è ssurdo, perché U, R U, R Quidi o può essere Quidi il teorem è vero Cvd Defiimo desso il cocetto di puto di ccumulzioe Def: Si A u sottoisieme di u isieme X o vuoto U puto X si dice di ccumulzioe per A se: U, A : Ovvero, se i ogi itoro di esiste lmeo u puto di A diverso d Defiimo llor u successioe itt: 5

16 Def: U successioe è itt, se è itto l isieme ell isieme di rrivo Esempio: L successioe è itt, perché,] e quidi è u isieme itto Chirmete, si può dimostrre che ogi successioe covergete è che itt Vle il seguete risultto, che rigurd i puti di ccumulzioe: Teorem: Si u successioe vlori i X e si A u suo sottoisieme Se A è u puto di ccumulzioe per A, llor esiste u successioe di puti A,, covergete Questo teorem h u importte impliczioe elle successioi reli Questo poiché ogi puto di è di ccumulzioe per Quidi otteimo che per ogi puto di esiste u successioe covergete tl puto Sottosuccessioi Adimo desso d lizzre le sottosuccessioi di u successioe e tutte le proprietà di covergez d esse legte Def: Si u successioe vlori i u isieme X Si k U qulsisi successioe crescete di umeri turli Si chim sottosuccessioe di l successioe,,,, k I prtic, si cosidero solo lcui elemeti di u successioe U sottosuccessioe è, quidi, u relzioe iuivoc di u quluque sottoisieme di umeri turli co u isieme X Nturlmete si ho i segueti risultti, legti ll covergez: Si u successioe vlori i X Teorem : se coverge X, llor ogi su sottosuccessioe coverge llo stesso ite Teorem : se X è puto di ccumulzioe per, llor esiste u sottosuccessioe di covergete Per quto rigurd le successioi reli, se u successioe diverge, llor che ogi su sottosuccessioe diverge llo stesso ifiito Covergez d destr o d siistr per successioi vlori reli Nell pgi precedete imo defiito cos sigific che u sottosuccessioe coverge o diverge d u dto ite Possimo ltresì rffire l defiizioe ggiugedo dei dettgli importti Per esempio, l successioe solit coverge sì, m coverge pssdo 6

17 per umeri più grdi di Quidi si dice che per Def: Si u successioe vlori reli Si dice che coverge, :, I tl cso si scrive: Def: Si u successioe vlori reli Si dice che coverge, : I tl cso si scrive:, R per eccesso se: R per difetto se: I soldoi, coverge per eccesso se pprtiee defiitivmete d u itoro destro di, ivece, coverge per difetto se pprtiee defiitivmete d u itoro siistro di Teorem di permez del sego Questo teorem, che desso euceremo, è fodmetle per dimostrre precchi teoremi, per geerlizzre dei risultti e permetterci di cosiderre positive le fuzioi i itervlli, che ifiitesimi, qudo sremo cooscez del loro sego i u determito puto Teorem di permez del sego: Si u successioe vlori reli covergete Se >, llor è defiitivmete positiv; Se <, llor è defiitivmete egtiv; Se è defiitivmete positiv, llor ; è defiitivmete egtiv, llor Se Notimo come i primi due puti grtiscoo l permez di u disugugliz strett, metre il vicevers del teorem cioè gli ultimi due puti ideolisce il sego di disugugliz, trsformdo u disugugliz strett i u disugugliz deole Iftti, cosiderimo cor l successioe rele chirmete per ogi M o tede d u vlore strettmete positivo Teorem del cofroto per le successioi U ltro risultto, che quest volt ci permetterà di studire l covergez di lcue successioi, è il teorem del cofroto Grzie d esso, sremo i grdo di stilire, ttrverso ll ricorrez successioi che mggioro e mioro u dt successioe, qudo ess è covergete, divergete e, più el dettglio, che ite tede 7

18 Criterio del cofroto per le successioi covergez: Sio reli Si Se vlgoo le segueti ipotesi: e z per ; y z defiitivmete Allor che y, y e z tre successioi Esempio: L covergez dell successioe: se Vle l seguete disugugliz: se D cui, dividedo per, si ottiee: se Pssdo l ite: se se se Quidi, per il criterio del cofroto, segue l covergez Le successioi che mioro e mggioro l successioe studit, ricordo due criieri che coducoo i cell u prigioiero Per questo, il criterio del cofroto, è spesso chimto Teorem dei criieri Criterio del cofroto per le successioi divergez: Sio Se vlgoo le segueti ipotesi: per ; y defiitivmete Allor che y Se: y per ; y defiitivmete Allor che e y due successioi reli L dimostrzioe di questi teoremi è u coseguez dell defiizioe di covergez e divergez di u successioe Esempio: Dimostrimo l divergez di u cso lmete divergete: Poiché y defiitivmete e y per, llor che llo stesso ite tede 8

19 Il umero e Uo dei umeri più fmosi el modo dell mtemtic fu studito d Euler e Npier e prede il ome di umero di Nepero lt Npier Come, che e è u umero trscedete quidi o può essere risultto di u equzioe coefficieti rzioli ed è defiito come il ite di u successioe: Def: Si l successioe Allor si defiisce e come: e Questo ite si preset i u form di idetermizioe del tipo ed è quidi ecessrio ricorrere d ltri metodi per clcolrlo Occorre, i primis, dimostrre che l successioe è covergete, poi che coverge d e Quello che cot, tutto sommto, è spere che i iti ell form Ordie di ifiiti Dimo or lcue defiizioi: Def: Si Sio u successioe vlori reli e y due ifiiti Se Allor si dice che ifiito di ordie iferiore rispetto Esempio: successioi è u ifiito se: y e è u ifiito di ordie superiore rispetto y o logmete, e,! è u ifiito di ordie iferiore rispetto y y è soo tutti ifiiti E, per esempio, y, iftti: Esiste u ordie tr ifiiti ed è il seguete co il simolo << si idic che l successioe ll siistr di << è u ifiito di ordie iferiore rispetto ll successioe che si trov destr: log! Quest cte di disuguglize si può dimostrre, m occorroo strumeti di cui o dispoimo Qudo studieremo il teorem di de L Hopitl dremo u pseudo-dimostrzioe Quidi, per esempio, ci propoimo di clcolre il vlore ite dell successioe: 9

20 3 5l 4 D otre come l successioe l umertore è elevt d u espoete miore dell successioe l deomitore Ciò o ifluisce, i ogi cso, sul ftto che u quluque successioe potez è u ifiito di ordie superiore rispetto d u successioe logritmic geeric Questo ci port cocludere che, per defiizioe di ifiito, l successioe esmit è u ifiito Cocludimo dicedo che due successioi ifiite soo due ifiiti dello stesso ordie se esiste u umero rele positivo tle che: y Ordie di ifiitesimi Così come imo defiito u ordie tr successioi ifiite, defiimo le successioi ifiitesime: Def: Si Sio u successioe vlori reli e y due ifiitesimi Se è u ifiitesimo se: y Allor si dice che è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto y è ifiitesimo di ordie iferiore rispetto y o logmete Chirmete, che i questo cso, è possiile stilire u relzioe tr ifiitesimi Ioltre, dicimo che u successioe ifiitesim è u ifiitesimo di ordie rispetto y se: y Co rele positivo o piccolo Defiimo or il cocetto di o piccolo, u cocetto che ci permette di itrodurre u scrittur fuori dl ite di cui trtteremo successivmete Def: Sio e y due successioi reli e si y Se y Allor si dice che è u o piccolo diy e si scrive: o y

21 Usdo l ozioe di ordie tr ifiiti possimo esemplificre questo cocetto: Il ite: poiché il deomitore tede ifiito più rpidmete del umertore e No solo, m come è stto ticipto, possimo usre il cocetto di o piccolo per idicre qulcos che tede co u cert rpidità Vlgoo, per gli o piccoli, le segueti proprietà o C C o y o o o o o y o o y o o y Ifie, se y o e z o t llor y z o o t Successioi sitotiche Def: Sio e y due successioi reli e si y Se y Allor si dice che è sitotic y e si scrive: y Il cocetto di sitotico è molto importte, perché ci permette, ttrverso lcui teoremi di grtire l covergez di successioi complicte, ricorredo successioi loro sitotiche, mgri molto più semplici Esempio: Come dimostreremo più vti, el cso delle fuzioi, vle il seguete ite: se Possimo riscrivere questo ite el modo seguete: se I ltre prole, se y llor ll ifiito, si comporto llo stesso modo Per le successioi sitotiche, ifie, vlgoo le segueti proprietà degli o piccoli: se y llor o o y se y llor y o y

22 Scrittur fuori dl ite Mettedo isieme le ozioi di o piccolo e di sitotico, ricorredo ll ultim proprietà illustrt el precedete prgrfo, possimo itrodurre l scrittur fuori dl ite: Def: Sio y o Iftti, se vle m llor: Quidi vle che e y y due successioi reli e si y Se co y Allor vle l seguete scrittur: co y, llor vle che che: y y y y M dll ultim proprietà del precedete prgrfo, ricvimo che: y y o y e per le proprietà degli o piccoli: y o y y o y Esempio: dll relzioe se ricvimo che se o Cos rppreset l o piccolo llor? Eee, ffermre che se sigific dire che se è circ ugule defiitivmete M llor l scrittur se o viee lett come ll ifiito posso pprossimre l successioe se co l successioe, perché le due successioi soo molto simili per molto grde soo iftti sitotiche M pprossimdo l successioe se co commetto u errore che tede più rpidmete di I ltre prole l o piccolo è l errore che si commette pprossimdo u successioe co u successioe sitotic

23 Cpitolo 4 Serie umeriche I questo cpitolo studimo ciò che ccde qudo si vuole sommre gli ifiiti termii di u successioe qulsisi Per descrivere il cocetto di somme ifiite, occorrero delle premesse che solitmete vegoo isegte el corso degli i tecedeti l quito, che i ogi cso riprederò seguire, e i cocetto di ite di successioi, esposto el cpitolo precedete Progressioi ritmetiche Cosiderimo u umero rele qulsisi e u umero rele d Ci propoimo di studire l progressioe che h come primo termie e come rgioe d, ovvero, dremo cosiderre tutti i vlori ell form: + d L sequez fiit dei termii, + d, + d, + 3d,, + d è dett progressioe ritmeric di rgioe d e primo termie Esempio: i segueti soo i primi quttro termii dell progressioe ritmetic di primo termie e rgioe 3: = = +3 3 = +6 4 = +9 L rgioe i u progressioe ritmetic si idic co l letter d poiché è l'iizile dell prol differez, ovvero d è l costte che si ottiee eseguedo l sottrzioe E' chiro che possimo clcolre il termie esimo di u progressioe ritmetic, cooscedo u termie quluque e l rgioe: = +d 3 = +d = +d 4 = 3 +d= +d = +3d = +d= k + k d k Dt u progressioe ritmetic di primo termie e rgioe d, possimo sommre i primi termii Quello che si ottiee è il seguete teorem: Teorem: Sio,, i primi termii di u progressioe ritmetic di rgioe d L somm dei suddetti termii vle: S = ++ = i = + d = + i=,, Dim: Dimostrimo l formul S = + d per iduzioe su : per = l formul è ver Iftti: S = +d= Suppoimol ver per e dimostrimol per Se l formul vle per llor deve essere ver: 3 S = + d

24 A questo puto sppimo che S =S +, ovvero: S = + d + Scrivimo = + d e otteimo: S = + d + + d Fcedo i clcoli: + + d+ d = ++ d + Cioè l tesi + d Cvd Defiimo ifie l medi ritmetic tr due elemeti di u progressioe ritmetic come l loro semisomm: M k, j = k + j Progressioi geometriche Si u umero rele Si chim progressioe geometric di primo termie e di rgioe q, l sequez fiit:, q, q, q 3,, q ove è costte il rpporto, ovvero il quoziete, tr u termie e il suo precedete L costte vle proprio q e per questo viee chimt così l prol rgioe deriv dl ltio rtio, che sigific rpporto e q è l'iizile dell prol quoziete I prtic, si sceglie u primo termie e i successivi termii si ottegoo moltiplicdo il precedete per q, sicché: = q = q= q 3 = q= q = q 3 = q= j q j Acor u volt simo i grdo di clcolre l somm dei primi termii di u progressioe geometric di rgioe q e vle il seguete teorem: Teorem: Sio,, loro somm vle: i primi termii di u progressioe ritmetic di rgioe d L q S = q Dimostrzioe: Cosiderimo,, i primi termii dell progressioe geometric i questioe, l loro somm vle: S = ++ = + q+ q ++ q Moltiplicdo mo i memri per q si ottiee: S q= q+ q + q 3 ++ q 4

25 Sottredo l prim equzioe ll secod, si ottiee: S S q= + q+ q ++ q q q q 3 q q Qusi tutti i termii si semplifico, ciò che rest è: S S q= q D cui l tesi: S q= q S = q q Cvd Defiimo ifie medi geometric tr due termii di u progressioe, l qutità: k j Dlle somme fiite lle somme ifiite Co le progressioi ci simo posti il prolem e lo imo risolto di determire l somm dei primi termii Cosiderimo or u quluque successioe rele { } Defiimo somm przile l somm dei primi k termii di tle successioe: S = S = + S 3 = k S k = + ++ k = i= Al vrire di k si form u successioe delle somme przilie chirmete, ll'umetre di k si h che umeto i termii sommti Tuttvi, imo sempre prlto di somme di u qutità fiit di ddedi Ci serve llor uo strumeto i grdo di permetterci di estedere l defiizioe di somm che d u'ifiità di ddedi D questo puto di vist, tle strumeto già lo cooscimo: i iti di successioi Possimo llor dre sigificto ll scrittur: + i := i= k + k i i= Ovvero, defiimo u serie umeric come il vlore di tedez dell successioe delle somme przili Così come per le successioi, dicimo che: Def: U serie umeric si dice covergete se esiste fiito il ite k i e si dice k + i= divergete se esiste ifiito lo stesso U serie umeric si dice oscillte se o esiste il suddetto ite + Esempio: L serie + è u serie oscillte L serie è ovvimete divergete, = = poiché l somm di tutti i umeri turli tede ll'ifiito m mo che ggiugo ddedi Ci servoo, tuttvi, lcui esempi di serie covergeti All'iizio può semrre stro che u serie poss covergere, m o è così scotto i + Esempio: L serie = è covergete; si pesi lle somme przili: 5

26 S = S =+,=, S 3 =+,+,=, S =, e così vi ppre chiro che l serie coverge l vlore, = 9 Ci occorroo quidi criteri tti determire l regolrità di u serie, cioè per stilire qudo u serie coverge o diverge Serie geometriche Sull se dell defiizioe di progressioe geometric e di somm dei primi termii di u progressioe geometric, ci propoimo or di sommre, qudo possiile, gli ifiiti termii di u progressioe geometric di rgioe q e primo termie Sppimo già che per sommre i primi termii di u progressioe geometric di rgioe q e primo termie st pplicre l formul: q S = q Allor o ci rest che pplicre l defiizioe di serie: + = q q = S = + + q q Notimo che coverge se e solo se coverge l successioe q D'ltrode + q sppimo che u'espoezile di questo tipo può tedere o divergere, dipedetemete dl vlore dell se q Si h llor il seguete risultto: + Teorem di covergez dell serie geometric: L serie q h il seguete crttere: = Coverge se q < Diverge se q Oscill se q Dimostrzioe: Segue dl ftto che le espoezili covergoo se l loro se è compres tr e, divergoo se è mggiore di e oscillo ltrimeti Cvd + L'esempio rede esttmete l'ide di u serie geometric covergete = 6

27 Codizioi ecessrie e sufficieti per l covergez di u serie U codizioe ecessri, m purtroppo o sufficiete, per l covergez di u serie, è che il termie geerle dell successioe che l geer ted I cso cotrrio, l successioe delle somme przili o può covergere d lcu umero, poiché sree come sommre ifiite volte u umero reltivmete grde Sostzilmete, è l stess cos che succede co le serie ritmetiche : sommdo i cotiuzioe termii molto grdi si ottiee u ifiito + Teorem: Si i u serie Se ess coverge, llor i per i + i= U esempio di serie che diverge oostte il termie geerle ted è l seguete: + i= i come serie rmoic ot Ioltre, si h u codizioe solo sufficiete per l covergez di u serie, ovvero l su covergez ssolut, ovvero: + i i= Teorem: Si + i i= + u serie Se l serie i è covergete, llor coverge che i= Ache quest volt o vle il vicevers Iftti, l serie + i i= i ssolutmete come visto ell'esempio precedete coverge, m diverge Serie termii positivi e criteri di covergez per esse + U serie i tle che i per ogi i è dett serie termii positivi I questo cso, le i= somme przili costituiscoo u successioe mooto o descrescete Iftti, essedo ogi termie geerle positivo, si h che l differez tr due termii dell successioe delle somme przili è: S k + S k = k+ Pertto, u serie termii positivi può solo covergere o divergere Cioè può solo essere regolre Quidi, u serie termii positivi coverge se l successioe delle somme przili è superiormete itt, diverge ltrimeti Per le serie termii positivi vlgoo dei comodi criteri che permettoo di stilire l covergez Il primo di questi criteri è simile d u criterio già icotrto per le successioi: + Criterio del cofroto per serie: Sio i i= + e i= y i due serie termii positivi tli che 7

28 per ogi i si i: i y i Se: + + y i coverge, llor coverge che i ; i= + i i= + diverge, llor diverge che i= i= y i Per le serie vle che u vrite del criterio del cofroto, ot come: + Criterio del cofroto sitotico: Sio i i= i si sitotic y i Le due serie ho lo stesso crttere + e i= y i due serie termii positivi tli che + Esempio: l serie l i= + i diverge, i quto l + i è sitotic i diverge e + i= i Altri criteri per l covergez di serie termii positivi soo: + i i= Criterio dell rdice: Si α= + Se: E + α< llor i coverge; i= Se <α + llor ess diverge u serie termii positivi ed esist + Criterio del rpporto: Si i u serie termii positivi ed esist i= α= + + Se: + α< llor i coverge; i= Se <α + llor ess diverge Si di che i teoremi o grtiscoo é l covergez é l divergez per il cso = Il seguete criterio, ivece, è utile per determire l covergez di serie termii positivi il cui termie geerle si decrescete: 8

29 Criterio di codeszioe: Si Allor le due serie + N= + N= + N e N= N u serie termii positivi e si + N N Ed ifie, possimo forire delle fuzioi cmpioe per l covergez delle serie: + L serie h il seguete crttere: = p l q Coverge sempre ptto che p si mggiore strettmete di Se p = llor etr i gioco il ruolo di q e l serie coverse solo se q è strettmete mggiore di I tutti gli ltri csi diverge + Esempio: L serie di Megoli: coverge poiché l'espoete di è Iftti, = + k k possimo scrivere le somme przili come: S k = = + = =, d cui: k S k = = = k k = k Quest è u serie termii positivi e l successioe delle somme przili tede per tededete ll'ifiito Operzioi co le serie e cei sulle serie segi lteri Cocludimo il cpitolo co u cceo ll somm, l prodotto di serie e lle proprietà di cui godoo Blmete, l somm tr due serie i e y i è defiit come l serie i + y i le cui i= i= i= somme przili o soo ltro che l somm tr le somme przili delle due serie ddedi Se o si preset il cso di idecisioe l somm di serie regolri è regolre Il prodotto di serie è molto più complicto e pertto lo slteremo, metre, se u serie umeric coverge ssolutmete, llor che ogi permutzioe di tle serie coverge ll stess somm + L proprietà dissocitiv NON è vlid per le serie Iftti, l serie =+++++ i= lmete covergete risulteree oscillte pplicdo l proprietà dissocitiv e scivedo ogi come : + i ++++= = i= L proprietà ssocitiv vle per le serie regolri Per le serie oscillti o Iftti, se così o fosse, = Per le serie segi lteri esiste u criterio di covergez oto come criterio di Leiiz, che fferm che dt u serie segi lteri del tipo i i, se i è termii positivi, è decrescete e dede, llor l serie segi lteri coverge 9

30 Cpitolo 5 Limiti di fuzioi Nel precedete cpitolo imo itrodotto le successioi come prticolri fuzioi di vriile turle e imo prestto prticolre ttezioe lle successioi vlori reli e ll loro regolrità Or ci occupimo ivece di iti, m quest volt pplicheremo il cocetto ll totlità delle fuzioi reli di vriile rele Per esempio, lvordo co le successioi gli uici iti su cui vev seso idgre ero i iti per Or, ivece, come mostro i segueti esempi, ci preoccuperemo dei iti i u cso più geerle: Esempio: l fuzioe f Ci chiedimo cos succede f per Attezioe, chiedersi cos succede f per o sigific chiedersi cos vle f i, m esì che vlore tede f per come poi vedremo qudo defiiremo il cocetto di ite di fuzioi, cioè: Chirmete, poiché f l fuzioe tede per, m solo perché, come vedremo el cpitolo successivo, f è cotiu i Allor è lecito porsi l domd cos succede se f Cioè, dimo cosiderre l fuzioe f per Quest fuzioe è idetic ll precedete, m f 3 3 È spoteo llor ffermre che: 3 M ciò è flso! È ovvio che f 3, m qudo svolgimo u ite, o simo iteressti l vlore che l fuzioe ssume i, m qule vlore l fuzioe si AVVICINA qudo E che se f 3, l fuzioe si vvici =, come mostr il grfico: 3

31 Sull se di questo esempio defiimo llor il cocetto di ite di u fuzioe d u vlore fiito per che tede d u vlore fiito: Def: Si f : D D è il domiio di f Si D cioè è di ccumulzioe per D e si L Diremo che f tede L per che tede d, e si scrive: f L Se tle che D tle che f L O logmete: Se U L U tle che U D co f U L Come si ot fcilmete, ell defiizioe è esplicitto che Cioè, o è importte come l fuzioe si comporti effettivmete Questo spieg l esempio precedete Altri esempi soo: 4 4,, se, tg Alogmete, l fuzioe u fuzioe d u vlore ifiito per tedete d u vlore fiito: per I tl cso occorre dre u defiizioe di ite di otimo che l secod formulzioe del cocetto di ite, seee è equivlete ll precedete, è più geerle : U L U tle che U D co f U L Possimo llor defiire questi uovi iti sull se di quest defiizioe: Def: Si f : E si L Diremo che f tede L per che tede + ifiito, e si scrive: f L Se U L U tle che U co f U L Alogmete è possiile esplicitre gli itori e otteere: M tle che tle che M, f L I modo logo si defiisce l tedez ifiito: diremo che f tede L per tedete ifiito e si scrive: f L Se U L U tle che U co f U L Alogmete è possiile esplicitre gli itori e otteere: M tle che tle che M, f L I geerle diremo che f tede L per tedete ll ifiito e si scrive: f L Se U L U tle che U co f U L Alogmete è possiile esplicitre gli itori e otteere: M tle che tle che M, f L 3

32 Esempio: e, 4, rtg, rtg Or, defiimo ivece il ite di u fuzioe d u vlore ifiito per che tede d u vlore ifiito: Def: Si f : Diremo che f tede + ifiito per che tede + ifiito, e si scrive: f Se U U tle che U f U Alogmete è possiile esplicitre gli itori e otteere: N M tle che tle che M f N Diremo che f tede ifiito per tedete + ifiito e si scrive: f Se U U tle che U f U Esplicitdo gli itori: N M tle che tle che M f N I mier idetic potete defiire i iti per tedete ifiito I geerle diremo che f tede ll ifiito per tedete ll ifiito e si scrive: f Se U U tle che U f U Alogmete è possiile esplicitre gli itori e otteere: N M tle che tle che M f N Esempio: i quto o possimo specificre qule ifiito tede iftti tede d u ifiito egtivo per tedete d u ifiito egtivo e d u ifiito positivo per tedete d u ifiito positivo È chiro, comuque, che, per essere più precisi, si può scrivere: per M così come possimo esplicitre l tedez ll ifiito ll tedez + o ifiito, possimo logmete esplicitre l tedez per che tede d u vlore fiito dll destr o dll siistr d u vlore fiito dll lto o dl sso Cioè possimo defiire i segueti iti: f L, f L, f L e f L Queste defiizioi soo lscite per esercizio Osservimo che occorre semplicemete modificre l defiizioe geerle: U L 3

33 U tle che U D co f U L Fuzioi itte ed estremti Adimo d itrodurre lcui cocetti che ci porteremo dietro per tutto il resto del corso di Alisi Mtemtic Def: Si f : D f si dice itt risp itt superiormete, iferiormete i D se l isieme immgie fd è itto risp itto superiormete, iferiormete Si dice che è l estremo superiore risp è l estremo iferiore di f su D se risp è l estremo superiore risp l estremo iferiore dell'isieme fd Si dice, llor, che f h mssimo i D che f h miimo i D se f D h mssimo risp miimo Chimimo M e m rispettivmete il mssimo e il miimo di u fuzioe i D e vegoo che chimti mssimo ssoluto e miimo ssoluto di f i D Ogi puto D tle che f M risp f m si chim puto di mssimo ssoluto risp miimo ssoluto di f i D I geerle, i puti di mssimo e di miimo soo detti estremti Chirmete, vlgoo le relzioi: Se D è mssimo ssoluto, llor D si h f f Se D è miimo ssoluto, llor D si h f f Esempio: L fuzioe f se è itt si superiormete che iferiormete, poiché f Si dice llor che l estremo superiore di f i è e l estremo iferiore di f i è - Cioè: sup f = = m f if f = - = mi f Alogmete, su tutto, i puti i cui l fuzioe seo ssume il vlore cioè tutti i puti del tipo k soo puti di mssimo ssoluti e i puti i cui l fuzioe seo ssume il vlore - cioè tutti i puti del tipo k soo puti di miimo ssoluto per f i Ivece, per l fuzioe se f, come dimostreremo poi, vle il seguete ite: se e chirmete è il mssimo vlore che l fuzioe i questioe può rggiugere Tuttvi, i questo cso, poiché o si trov el domiio dell fuzioe, per essu vlore di si se h, quidi, è vero che: 33

34 se sup se m poiché f, llor, o è mssimo per questo isieme Diftti, o esiste lcu puto di mssimo per f, poiché se esistesse, questo dovree coicidere co che però o st el domiio se Ivece, se prolugo per cotiuità f, cioè se pogo f per, llor risult, come potremo verificre, che f è cotiu su tutto l sse rele e risult che: se f Pertto, i questo cso, vle che se se sup m Nell immgie qui sotto, il grfico dell fuzioe i questioe: Teorem del cofroto per i iti di fuzioe Come imo già visto per i iti di successioi, vle il criterio del cofroto o teorem dei criieri che per le fuzioi Nturlmete, occorrerà fre dei piccoli ccorgimeti sulle ipotesi del teorem, per rederlo comptiile co il cocetto di fuzioe e quello di ite Teorem del cofroto, ite fiito: Sio f, g, h : segueti ipotesi: f h L esiste u itoro circolre di tle che per ogi f g h Allor possimo cocludere che che g L D Si D Vlgo le U D, co, vlg Dimostrzioe: L dimostrzioe è u semplice coseguez dell defiizioe di ite 34

35 Se f h L ove L è u umero rele, llor possimo dire che tle che D tle che L f L tle che D tle che L h L Allor se si fiss u certo chimimo f e h rispettivmete i reltivi ll covergez di f e h Allor, sti predere mi, Per questo vlore vlgoo cotemporemete: g D tle che g L f L f h D tle che g L h L E quidi, poiché f g h, otteimo: 3 D tle che g L f g h L, d cui segue immeditmete: L g L, cioè l pprteez di g d u itoro di L Teorem del cofroto, ite ifiito: Sio f, g : D Si D Se vle l seguete ipotesi: esiste u itoro circolre di tle che per ogi U D, co, vlg f g Allor possimo cocludere che: Se f llor che g Se g llor che f Grzie questi due teoremi potremo clcolre più fcilmete molti iti, tr cui i iti otevoli, che clcoleremo el successivo prgrfo Cvd Limiti otevoli I segueti iti preseto forme di idetermizioe e, pertto, ecessito di u metodo secodrio per essere risolti: Limite otevole del seo: Vle il seguete ite se Dimostrzioe: Dimostrimo il teorem per,, l disprità dell fuzioe seo grtisce l vlidità del teorem per ogi rele 35

36 Cosiderimo l circoferez goiometric e u golo l cetro L misur del segmeto DE è il seo dell golo, metre il segmeto CF rppreset l tgete di L rco di circoferez DF, ivece, per defiizioe di golo i rditi, misur proprio Evidetemete, vle l seguete disugugliz: se tg Esplicitimo l tgete: se se cos Ci stimo iteressdo cose succede qudo Itoro quei vlori, il seo o misur, poiché, per defiizioe di ite, deve essere ed è quidi se Possimo, llor, dividere tutto per il se: se cos Poiché ci trovimo el primo qudrte, seo, goli e coseo soo positivi Ci trovimo llor di frote d u disugugliz tr qutità positive Allor, qudo pssimo i reciproci, cmimo il verso dell disequzioe: se cos Pssimo l ite: se cos Cioè: se L tesi segue dl criterio del cofroto I reltà, si dimostr che il ite tede - Cvd Corollrio Limite otevole del coseo: Vle il seguete ite cos Dimostrzioe: Questo ite preset u form di idetermizioe, m è fcile risolverlo utilizzdo il teorem precedete sul Limite otevole del seo cos cos cos cos cos cos se se cos cos se cos Cvd 36

37 Limite otevole di e #: Vle il seguete ite e Limite otevole del logritmo: Vle il seguete ite log log Dimostrzioe: Dimostrimo solo il secodo ite log l l log e log l e el e Notimo che se tede, tede ll ifiito: l Poedo t log e evidezimo il ite di e: log e l / log t e l / log el log el e log e t I quest dimostrzioe imo dimostrto tvolio : t t Cvd Limite otevole di e #: Vle il seguete ite e Ifie: Limite otevole di u espoezile: Vle il seguete ite l co > Dimostrzioe: Il ite preset u form di idecisioe Poimo t Se t llor ricvimo log t Ioltre, se llor che t e otteimo: t log t log t t t t log e l Cvd Rissumimo quto dimostrto, ggiugedo degli utili csi prticolri cosegueze e il cso geerle: 37

38 Limite otevole Limite geerle Coseguez se sef tgf f f f f cos cos f cos f f e log log l e f f e e f f log f l log e f f f l f e Fuzioi ifiite e fuzioi ifiitesime I modo turle possimo estedere l ozioe di ifiito e ifiitesimo che l cso delle fuzioi Def: Si f : D e si D Se f llor si dice che f è u ifiito per ; f llor si dice che f è u ifiitesimo per Sio f, g : D due fuzioi reli di vriile rele defiite i u domiio D, itervllo rele Sio f e g ifiite e si D f Se llor si dice che f è u ifiito di ordie iferiore rispetto g per g e si scrive: f g Se ivece il ite è ifiito, llor si dice che f è u ifiito di ordie superiore rispetto g per Sio f, g : D due fuzioi reli di vriile rele defiite i u domiio D, itervllo rele Sio f e g ifiitesime e si D f Se llor si dice che f è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto g g per Se ivece il ite è ifiito, llor si dice che f è u ifiitesimo di ordie iferiore rispetto g per Esempio: L fuzioe logritmic è u ifiitesimo per, metre l stess fuzioe è u ifiito per Le fuzioi espoezili l cui se è mggiore di, soo ifiiti per, metre le espoezili co se compres tr e soo ifiitesime per Alogmete l cso delle successioi, defiimo u ordie tr ifiiti che ci srà utile ell risoluzioe dei iti: tutte le segueti fuzioi soo ifiiti per log, per, per,! e Co le codizioi sopr electe, vle il seguete risultto che esplicit l ordie di ifiito 38

39 o piccolo e sitotico I egul modo possimo estedere l ozioe di o piccolo che per le fuzioi reli di vriile rele Idem per l ozioe di sitotico Def: Sio f, g : D due fuzioi reli di vriile rele defiite i u domiio D, itervllo rele Si g e si D f Se llor si dice che f è u o piccolo di g per e si scrive: g f o g per Le proprietà degli o piccoli vleti soo le stesse che vlgoo per gli o piccoli el cso delle successioi Alogmete: Def: Sio f, g : D due fuzioi reli di vriile rele defiite i u domiio D, itervllo rele Sio f e g, i modo tle d o vere u form di idecisioe e si D f Se llor si dice che f è sitotic g per e si scrive: g f g per D otre l presez dell clusol i ogu di queste defiizioi Ess er lmete ssete elle defiizioi loghe dte per le successioi perché er sottiteso che, i quel cso,, poiché quello er l uico ite che ci iteressv studire el cso delle successioi Mettedo isieme l ozioe di o piccolo co quell di sitotico si rriv, come el cso delle successioi, ll ozioe di scrittur fuori dl ite Scrittur fuori dl ite per le fuzioi Il ftto che due fuzioi sio sitotiche per sigific che per le due fuzioi soo molto simili o si cofodoo l u co l ltr i termii tr virgolette o soo termii mtemticmete corretti Quidi, se due fuzioi soo sitotiche, sigific che è possiile pprossimre l u usdo l ltr i u itoro di commettedo u errore che esprimeremo usdo gli o piccoli Questo cocetto è simile ll scrittur fuori dl ite per le successioi: Predimo llor due fuzioi reli di vriile rele sitotiche f g per f Allor vle, per defiizioe, il ite g f Ciò sigific che i u itoro sufficietemete piccolo di, le fuzioi y e y si g cofodoo, cioè soo prossime l u ll ltr L errore che commettimo pprossimdo 39

40 f y co l rett orizzotle y per è u o piccolo di, scriveremo cioè: g f o per g D cui ricvimo: f g o g per I geerle, dicimo che se: f g co, llor vle: f g f g Usdo quto detto sopr, le fuzioi f e g soo sitotiche per, d cui: f g o g per Grzie ll scrittur fuori dl ite possimo riscrivere l tell dei iti otevoli el modo seguete: Limite otevole Scrittur sitotic Scrittur fuori dl ite se se se o per per cos cos per cos o per log log log e log log e o log e per per l l o l per per l l Esempio: Poiché vle llor possimo dire che o per d cui ricvimo: l o per Questo è u cso specile del terzo ite otevole i tell 4 Esempio: 5 che divet 4 5 o per Coclusioi L ozioe di ite per, come imo visto, o coivolge il vlore che l fuzioe di cui si studi il ite ssume i Or ci chiedimo cos succede se, effettivmete, f f, cioè itrodurremo l ozioe di cotiuità 4

41 se Esempio: Come è oto, l fuzioe y o è defiit i, tuttvi, vle il ite otevole del seo Questo sigific che l fuzioe seo è discotiu ello ivi o è defiit e preset, come vedremo el prossimo cpitolo, u discotiuità di 3 specie 4

42 Cpitolo 6 Cotiuità L defiizioe di cotiuità, i reltà, è u geerlizzzioe del cocetto di ite Dopo verl eucit vedremo il perché: Def: Si f : D e si D f si dice cotiu i se: tle che D tle che f f O logmete: se U f U tle che U D f U f se U f U tle che f U D U f Quest defiizioe è idetic ll defiizioe di ite L uic differez è l mcz dell clusol che ell defiizioe di ite er presete U coseguez dell defiizioe di ite è quest riformulzioe dell defiizioe stess: Def: Si f : D e si D f si dice cotiu i se: f f Tutte le fuzioi elemetri dell lisi mtemtic soo cotiue putulmete, per ogi puto del loro domiio Ioltre, vle il seguete teorem: Teorem: Si f : D C e si D Si g: C B Se f è cotiu i e g è cotiu i f, llor l fuzioe compost g f f g è cotiu i Il cocetto di cotiuità può che essere esteso ll cotiuità su u itervllo: Def: Si f : D e si D f si dice cotiu glolmete i D se è cotiu i ogi puto di D Cioè, f è cotiu i D se f f D Per esempio, l fuzioe f è cotiu su tutto l sse rele poiché è cotiu i ogi puto di Esiste u teorem che permette di crtterizzre cioè di forire u metodo iflliile per ricoosce l fuzioi glolmete cotiue 4

43 Teorem di crtterizzzioe delle fuzioi glolmete cotiue: Si f : D L fuzioe f è cotiu su D se e solo se l cotroimmgie di ogi itervllo perto è u itervllo perto Cioè, se: A, f A è u itervllo perto i D Alogmete: L fuzioe f è cotiu su D se e solo se l cotroimmgie di ogi itervllo chiuso è u itervllo chiuso Cioè, se: A, f A è u itervllo chiuso i D Possimo che estedere l ozioe di cotiuità lle fuzioi otteute pplicdo delle operzioi tr loro, cioè, vle il seguete risultto: Teorem: Sio f, g : D Se Si f e g soo cotiue i D llor soo cotiue i tutte le segueti fuzioi: f g fg f g se g g f se f log f g se f, g e g Il teorem di Weierstrss Eucimo or u serie di importti risultti, quli il Teorem di Weierstrss, che è i reltà u corollrio di u teorem più geerle di cui o trtteremo: Teorem di Weierstrss: Si f : D se D è u itervllo chiuso e itto se f è cotiu i D Allor f h u puto di mssimo e di miimo ssoluti i D Se cde u delle due ipotesi, llor cde completmete il seso del teorem L fuzioe 3 f, per esempio, defiit su tutto l sse rele è cotiu su tutto, m o h mssimi e miimi su, i quto il domiio dell cuic o è chiuso e itto Ivece, l fuzioe 3 g defiit solo su [,] è ivi cotiu e mmette mssimo i e miimo i 3 Se ivece cosiderimo h, m quest volt defiit su,, llor, cor u volt cde il teorem: iftti, i mssimi e i miimi di quest fuzioe sreero i e, m e o sto el domiio di h e quidi o soo mssimi e miimi [ 3, L fuzioe i per ivece, o è cotiu sul suo domiio, poiché o lo è i [, Il teorem, quidi, o vle per quest fuzioe, che o preset puti di mssimo e emmeo u puto di miimo ssoluto el suo domiio 43

44 Il teorem di Bolzo Drou Il teorem che euceremo desso è l coseguez di u ltro teorem, prllelo quello d cui discede il teorem di Weierstrss, di cui o trtteremo D questo teorem e di suoi due corollri, discede il termie cotiuità, come risulterà presto evidete Teorem di Bolzo Drou: Si f : D cotiu e o costte su D Allor fd è u itervllo Se D è u itervllo chiuso e itto, llor f D [ m, M ] ove m ed M soo rispettivmete il miimo e il mssimo ssuti d f i D Il teorem seguete è u corollrio del precedete ed è fodmetle per lo studio di fuzioi, el seso che stilisce u proprietà importte che possiedoo le fuzioi cotiue: Teorem dei vlori itermedi: Si f :[, ] cotiu Si f f risp f f Allor per ogi y f, f risp y f, f, esiste u, tle che f y Dimostrzioe: Per esempio poimo f f Allor si h, per ipotesi: y f, f [ m, M ] f [, ] Quidi, poiché y f [, ], cioè y pprtiee ll immgie di f, deve esistere u puto, i corrispodez del qule vlg f y per cotiuità Cvd Questo teorem è tlvolt oto co il termie di Proprietà di Drou per l cotiuità e fferm, i sostz, che ogi fuzioe cotiu, defiit su u itervllo chiuso e itto, ssume lmeo u volt tutti i vlori compresi tr le immgii degli estremi dell itervllo Visivmete, per disegre tle fuzioe è oligtorio o distccre l pe dl foglio, d qui il termie cotiuità Illustrimo desso u secod coseguez del teorem di Bolzo Drou, u corollrio dell Proprietà di Drou per l cotiuità, di fodmetle importz, soprttutto per l lisi umeric Teorem degli zeri: Si f :[, ] Se: f cotiu su [, ] ; f f cioè se l fuzioe pss d sopr sotto o vicevers l sse ; Allor esiste lmeo u puto, tle che f Dimostrzioe: Dl teorem precedete, poiché f f llor, per esempio, è f e f Quidi, f, f, per l proprietà di Drou, poiché f è cotiu, deve esistere lmeo u puto, tle che f Cvd Come ticipto, questo teorem è di idiscuss importz i lisi umeric, cioè ell ricerc 44

45 pprossimt di soluzioi d equzioi complicte come l 3, che ormlmete o è possiile risolvere ltrimeti Discotiuità Fi or imo prlto di cotiuità di u fuzioe i u puto del suo domiio o su tutto il suo domiio Chirmete, se il domiio di u fuzioe o è u itervllo, m è u uioe di itervlli, llor l fuzioe suddett o può essere glolmete cotiu Può esserlo, ivece, seprtmete su gli itervlli seprti Presetimo desso l csistic delle possiili discotiuità Discotiuità di specie: Questo tipo di discotiuità è oto come discotiuità di tipo slto, poiché, come suggerisce il termie, l fuzioe preset u slto fiito Esempio: L fuzioe f per defiit i tipo slto i Iftti, l fuzioe slt d - fio \, preset u discotiuità di Def: Si f :,, u fuzioe rele di vriile rele Si dice che è u puto di discotiuità di specie o di tipo slto se: f f m soo etrmi iti fiiti o o Esempio: u ltro cso di questo tipo di discotiuità è l fuzioe y rtg : Nell origie quest fuzioe preset u discotiuità di tipo slto, i quto: rtg rtg Come è fcile costtre, i due iti soo fiiti e diversi L fuzioe i questioe compie, i corrispodez del vlore u slto di 45

46 Discotiuità di specie: Le discotiuità di secod specie soo quelle legte ll presez di iti ifiiti o iesisteti i prossimità di u dto vlore di : Def: Si f :,, u fuzioe rele di vriile rele Si dice che è u puto di discotiuità di specie se lmeo uo dei due iti: f o e f o è ifiito o o esiste Portimo due esempi: il primo esempio è l ormi oltremisur fmos iperole y : ess preset u discotiuità di secod specie i, cioè compie u slto ifiito ell origie e i questo cso, ioltre etrmi i iti soo ifiiti: e o o Cosiderimo ifie l fuzioe y se il cui grfico è il seguete: L fuzioe oscill sempre di più tto più si vvici ll origie Pertto o esistoo i iti per tedete Quidi, y preset u discotiuità di secod specie i O 46

47 Discotiuità di 3 specie: Altrimeti ote come discotiuità eiili, perché, come e presto ci si ccorgerà, è possiile igorrle e redere u fuzioe cotiu i u puto che preset u discotiuità eiile Si f :,, u fuzioe rele di vriile rele Si dice che è u puto di discotiuità di 3 specie o di tipo eiile se lmeo uo dei due iti: f f se è defiit i M è fiito Oppure f l fiito, m f o è defiit i se Esempio: L fmos fuzioe y, preset u discotiuità eiile ell origie: se iftti, il ite, m ess o è defiit i Quidi, f preset u discotiuità di terz specie ell origie: I presez di questo tipo di discotiuità, è sempre possiile eire l discotiuità ssegdo f il vlore di f Questo procedimeto è oto come prolugmeto per i cotiuità Per esempio, è possiile redere cotiu l fuzioe modo seguete: se y per se y trsformdol el Quest è u fuzioe cotiu, poiché il suo uico puto se di discotiuità, se esiste, sree i, m poiché f se i si h l cotiuità di 47

48 Coclusioi Il cocetto di cotiuità di u fuzioe i è u cocetto putule E riscrivedo l defiizioe di fuzioe cotiu i u puto possimo cocepire il sigificto geometrico dell cotiuità Scrivimo l scrittur fuori dl ite di f f : f f o per Questo, come imo visto, sigific che l fuzioe f può essere pprossimt i dll rett orizzotle y f M, come possimo otre, c è u o i questioe, che è l errore che si ottiee pprossimdo f i questo modo Come sppimo o è qulcos che tede come, cioè molto letmete rispetto d ltri o piccoli come o Quidi, l cotiuità, pprossim l fuzioe lizzt i u itoro di ttrverso l rett orizzotle di equzioe y f cioè u fuzioe poliomile di grdo Ci chiedimo, llor, se è possiile pprossimre u fuzioe i u itoro di u puto del suo domiio co errori più piccoli di o L rispost è ffermtiv e u pprossimzioe di molto migliore rispetto ll cotiuità è l derivilità, i cui gli o piccoli i gioco soo o Come vedremo el prossimo cpitolo, l derivilità cosiste ell pprossimzioe di u fuzioe i u itoro di u puto del suo domiio co l rett tgete d ess el puto cosiderto cioè co il poliomio di grdo cetrto el puto studito 48

49 Cpitolo 7 Clcolo differezile Cosiderimo or u geeric fuzioe f :, Cosiderimo u puto el domiio di quest fuzioe Simo iteressti ll ricerc dell equzioe dell rett tgete d f i, f Sppimo clcolre l equzioe del fscio proprio di rette pssti per questo puto cioè l equzioe geeric di u rett psste per, f : y f m y f m Quest equzioe dipede dl prmetro rele m e rppreset, iftti, ifiite rette, tutte pssti per il puto, f Pertto, l ricerc dell rett tgete di cui prlvmo poczi si riduce l clcolo del coefficiete golre m dell rett i questioe: u volt oto m, sterà sostituirlo i y f m per ricvre l equzioe per esteso dell rett Rpporto icremetle U preludio ll defiizioe di derivilità, è il cocetto di rpporto icremetle Cosiderimo cor u geeric fuzioe f :, e u puto el suo domiio Cosiderimo or u ltro puto distte h d, questo puto lo chimeremo lmete e ftsiosmete h Defiimo l rett psste per i puti, f e h, f h co il ome di rett secte l grfico Il coefficiete golre di quest rett è dto f h f dl rpporto: lmete il h rpporto tr y e Chimimo questo rpporto co il ome di rpporto icremetle dell fuzioe f cetrto i : f h f R h Esso esprime il coefficiete golre dell secte l vrire di h, metre è fissto U ltro modo per scrivere il rpporto icremetle è ttrverso l sostituzioe h cioè h f f Chirmete si h R L rett psste per, f e h, f h h equzioe: y f R Usdo l secod formulzioe del rpporto icremetle imo che l secte l grfico di f e psste per, f e, f h equzioe: y f R Al vrire di h di, l rett secte l grfico di f ruot itoro l puto Cos succede per 49

50 h per? Derivilità di u fuzioe i u puto Quello che ccde per h per è che l rett secte ruot ttoro d fio d ssumere u posizioe ite corrispodete l coefficiete golre dell rett psste per e, cioè l tgete i, f Defiimo llor: Def: Si f :, e si u puto del domiio di f f h f Si R il rpporto icremetle di f cetrto i ell prim formulzioe h Se esiste fiito il ite R llor f si dice derivile i h Alogmete: co f f R, il rpporto icremetle di f cetrto i ell secod formulzioe, se esiste fiito il ite R, f si dice derivile i Se f è derivile i llor si idic co il simolo f ' il vlore dei suddetti iti e f ' è dett derivt di f i Chirmete, se f è derivile i, llor il vlore di f ' rppreset il coefficiete golre dell rett tgete l grfico di f i, f e l equzioe di tle tgete divet: y f f ' Altri simoli co cui idicre l derivt viee idict soo: df dy Df e, o c è chi preferisce d d Esempio: Clcoo il rpporto icremetle e poi l derivt dell prol y Dimostreremo u risultto che dovree essere già oto dgli i precedeti, cioè rriveremo dimostrre che il coefficiete golre dell tgete i, f di y è f ' Cosiderimo il rpporto icremetle ell su secod formulzioe: f f R Voledo, possimo clcolre il rpporto icremetle che usdo l prim formulzioe del rpporto icremetle, così d otre le differeze: f h f h h h R h h h h Questo risultto er evidetemete ovvio se cooscevmo il primo, poiché vle l relzioe h Iftti è R h h R Per clcolre l derivt, llor, st scegliere u delle due scritture e pssre l ite: h logmete h, cioè il risultto tteso 5

51 I geerle, come studito gli i precedeti, vle che l tgete l grfico di u geeric prol f c i u puto di sciss è m Usdo l defiizioe di derivt è u ttimo dimostrre che f ' Ricordo che l derivt di u fuzioe i u puto è il coefficiete golre dell rett tgete ll fuzioe i u puto ed è quidi u vlore umerico! Iftti, ell defiizioe di derivt, si ricord che il ite deve esistere FINITO Notimo che che l derivt rppreset quidi l pedez di u fuzioe i u puto e che l derivt di u fuzioe poliomile di primo grdo di u rett è il coefficiete golre dell rett stess per ogi rele Derivte destre e derivte siistre Alogmete ll defiizioe di derivt, defiimo ltri due cocetti legti ll derivilità i u puto: Def: Si f :, e si u puto del domiio di f f h f Si R il rpporto icremetle Se esiste fiito il ite R llor f si dice h h derivile dll destr di similmete per R e si idic co f ' I modo del tutto logo, se esiste fiito il ite R llor f si dice derivile dll siistr h di similmete per R e si idic co f ' Il sigificto geometrico di questi cocetti è il seguete: cosiderimo l fuzioe y Nell origie l derivt o è uic el seso che seguedo l defiizioe di derivt, si ottiee: f ' f ' solo se f ' f ' f ' che ovvimete devoo essere tutti vlori fiiti Come vedremo tr poco, se ciò o ccde, si dice che è u puto di o derivilità di f Dicimo llor che l rett y f f ' è l tgete destr l grfico di f i e che y f f ' è l tgete siistr l grfico di f i Aimo defiito l derivilità come u ozioe putule Estedimo or il cocetto di derivilità d u itervllo: 5 Sorge spote l domd: qul è l derivt i dell fuzioe vlore ssoluto? L rispost è essu: dicimo che u fuzioe è derivile i u puto del suo domiio se e

52 Def: Si f :, Dicimo che f è derivile i, se è derivile i ogi di, Si f :[, ] Dicimo che f è derivile i [, ] se è derivile i ogi di, ed esistoo fiiti f ' e f ' È possiile llor defiire u fuzioe f che ssoci d u puto del domiio dell fuzioe f l su derivt Quest è ot come fuzioe derivt ssocit d f Nell esempio precedete, f e l fuzioe derivt ssocit è f ' Teorem d derivile cotiu L ozioe di cotiuità è imprett ll derivilità Iftti, soo etrme geometricmete rppresetili come rette pssti per u puto di u fuzioe M l ozioe di derivilità è più forte rispetto ll semplice cotiuità, come fferm il seguete teorem: Teorem d derivile cotiu: Si, llor f è cotiu i f :[, ] e si [, ] Se f è derivile i Dimostrzioe: f è derivile i per ipotesi, quidi esiste fiito il ite: f f f ' Scrivimo l scrittur fuori dl ite: f f f ' o per D cui: f f f ' o per Portdo per f dll ltr prte dell ugugliz: f f f ' o per Pssdo l ite: f f f ' o f Cioè: f f, ovvero l cotiuità di f i Differezile Cvd Seee i due rgometi si cofodoo spesso el cmpo delle fuzioi d u vriile, qudo si prl di fuzioi due vriili, l rgometo dell derivilità di u fuzioe i u puto e l differeziilità di u fuzioe soo due rgometi diversi Nell dimostrzioe del teorem precedete simo rrivti ll defiizioe equivlete di derivilità i u puto: f è derivile i se: f f f ' o per Quest è ot come prim formul dell icremeto fiito Quello che esprime è l pprossimzioe dell fuzioe f medite l rett y f f ' Iftti, l prim formul dell icremeto fiito grtisce che, i u itoro di, l fuzioe f si cofode co l 5

53 rett tgete i e effettudo tle pprossimzioe si commette u errore dell ordie di o u errore molto più piccolo rispetto ll o dell cotiuità Questo è il motivo per cui l derivt è u pprossimzioe migliore dell fuzioe i u itoro di Vedremo che esistoo pprossimzioi cor più precise L qutità f ' è ot come differezile di f i reltivo ll'icremeto h A cos corrispode grficmete? f ' DF, cioè corrispode ll icremeto di f misurto sull tgete Iftti, se C è il puto f e D è il puto, f :, DF tg FCD f ' Al tedere di, il termie tede, cioè, il termie divet ifiitesimo Leiiz idicò questo icremeto ifiitesimo dell sse co il termie d Ache DF tede per e poiché DF è l icremeto dell vriile y e l tedere di esso divet ifiitesimo, si dice che DF divet u df Otteimo llor: df = f ', d cui l uso del simolo f ' = df d Puti di o derivilità Come imo ticipto, u fuzioe derivile i u puto del suo domiio è ivi cotiu No vle il vicevers Aimo già dto u cotroesempio: l fuzioe f è cotiu su tutto l sse rele, m o è derivile ell origie Bsti cosiderre il ftto che f ' e il domiio dell derivt è D' : \ Questo idic che i u itoro di f è defiit ed è quidi cotiu i u itoro di, metre l derivt mmette u discotiuità di terz specie, sempre i L derivt o esiste, quidi, i iftti come vevmo già otto f ' f ' Puti golosi: Defiimo llor cos è u puto goloso: Def: Si f :, e si, Si dice che è per f u puto goloso se si verific uo dei segueti csi: Esistoo, le derivte destr e siistr i, m f ' f ' ; f è cotiu i, esiste f ' risp f ' e il rpporto icremetle siistro risp destro tede ll ifiito 53

54 rtg Esempio: L fuzioe f per è cotiu i, m o è ivi derivile Iftti: clcoo il ite del rpporto icremetle destro e siistro: rtg f ' rtg f ' I iti soo differeti quidi o esiste l derivt i e poiché etrme le derivte soo fiite, llor simo i presez di u puto goloso Puti tgete verticle: I puti tgete verticle soo puti i cui l fuzioe è defiit, m l derivt è ifiit: Def: Si f :, e si f cotiu i, Si dice che è per f u puto tgete verticle se ccde uo dei segueti csi: f f f f Cioè le derivte destr e siistre tedoo etrme llo stesso ifiito per 3 Esempio: U fuzioe che preset u tgete verticle è l fuzioe f Clcoo il ite del rpporto icremetle per : 3 3 Quidi f h i u puto tgete verticle: L rett = è l tgete l grfico di f i = I geerle, l rett, se è puto tgete verticle, è l tgete l grfico di f i 54

55 Puti di cuspide: L ultimo tipo di puti di o derivilità soo i puti di cuspide: Def: Si f :, e si, Si dice che è per f u puto di cuspide verticle se ccde uo dei segueti csi: f f f e f f f e f f Cioè le derivte destr e siistre tedoo due ifiiti diversi per Grficmete quest è l situzioe che si preset qudo si h che fre co u cuspide Questo sigific che le fuzioi che preseto u cuspide i u loro puto ho derivt destr e siistr i ifiite, m co ifiiti diversi Esempio: L fuzioe i : Cioè, f h u cuspide i f h i u puto di cuspide Clcoo l derivt di f Regole di derivzioe Comicimo studire lcue regole di derivzioe legte ll comizioe liere, l prodotto e l quoziete di fuzioi: Teorem di derivzioe dell comizioe liere tr fuzioi: Sio f, g :[, ] e derivili i [, ] e si c Soo derivili i che le segueti fuzioi: c f e f g E vlgoo: c f ' c f ' f g' f ' g' Lo stesso teorem si può formul ricorredo ll comizioe liere: sio c f c g' c f ' c g' c,c, vle: 55

56 Esempio: Clcoo il ite del rpporto icremetle dell fuzioe f 7 : Chirmete il teorem è vero, iftti, sti gurdre l esempio per cpire che l lierità dell derivt è dovut ll lierità del ite Ci chiedimo llor come clcolre l derivt di u prodotto di fuzioi Vle il seguete risultto: Teorem di derivzioe del prodotto di fuzioi: Sio ], :[, g f e derivili i ], [ Allor è derivile i che l fuzioe g f e, più precismete: ' ' ' g f g f g f Dimostrzioe: Clcoo il ite del rpporto icremetle del prodotto: ' g f g f g f Aggiugimo e sottrimo g f l umertore: g f g f g f g f g f g f Operimo u rccogeto: f g g g f f g f g f g f g f g f g f g f g f Esplicitimo quello che imo otteuto come: ' ' ' ' f g g f f g g f Cvd Co quest stess regol possimo dimostrre il seguete corollrio: 56

57 Teorem di derivzioe del rpporto di fuzioi: Sio f, g :[, ] e derivili i [, ] Allor è derivile i che l fuzioe f e, più precismete: g f g ' f ' g g f g' Dimostrzioe: Coseguez del teorem precedete, poedo f f g g Cvd M le operzioi elemetri o soo le uiche operzioi tr fuzioi di cui è possiile clcolre l derivt medite semplici formule Mostrimo or le formule di derivzioe dell fuzioe ivers e dell fuzioe compost: Teorem di derivzioe dell fuzioe ivers: Si f : I J, I e J itervlli reli, derivile i I Si f cotiu i I e ivi iuivoc Si y f Se f ', l fuzioe ivers f è derivile i y e vle: ' f y f ' Dimostrzioe: Per ogi y J, co y y esiste u I tle che f y Clcoo llor il rpporto icremetle dell fuzioe ivers: f y f y y y M per ipotesi y f e quidi f y Ioltre, f y e quidi f y Mettedo isieme le codizioi ricvimo: f y f y y y f f Chirmete, il memro destr è il reciproco del rpporto icremetle dell fuzioe f Co u pssggio l ite, ricvimo: f y f y y y y y f f Iftti, se y Proseguimo: f y imo che f cioè f f E poiché, per ipotesi, f è derivile i : f f f f 57

58 f y f f f ' Cvd 3 Esempio: Cosiderimo l fuzioe y f el puto P,8 Clcoo l derivt i come ite del rpporto icremetle: f, defiit su tutto l sse rele è ivertiile e l su ivers è y f L fuzioe ivers h derivt i 8 cioè i f pri : f '8 f ' Se volessimo clcolre l derivt ormlmete: Dimostrimo or l ultimo teorem per il clcolo delle derivte di fuzioi otteute prtire d ltre fuzioi, idgdo sull derivt dell fuzioe compost: Teorem di derivzioe dell fuzioe compost: Sio I e J itervlli reli, si f : I J, derivile i I Si g : J derivile i y f Allor si h che g f è derivile i ed è: g f ' g' f f ' Omettimo l dimostrzioe che è semplice i sé Bsti scrivere l derivt g ' y, ove y f, come ite del rpporto icremetle, co l scrittur fuori dl ite Poi, si divide tutto per L tesi segue dopo poche cosiderzioi sull tedez dei iti Esempio: Clcoo l derivt dell fuzioe y f e i 4 Grzie questo teorem sppimo che per clcolre quest derivt occorre derivre modi sctol, cioè derivdo prim e moltiplicdo quest derivt per l derivt dell fuzioe espoezile come se ll espoete vesse l derivt dell espoezile è idetic sé stess: 4 e '4 '4 e 4 4e Esempio: Questo teorem ci grtisce che se f è u fuzioe pri, llor l fuzioe derivt d ess ssocit è dispri, e vicevers Corollrio: Si f u fuzioe pri defiit su u suo domiio vlori reli Se ess è u fuzioe pri, llor l fuzioe derivt f è u fuzioe dispri, e vicevers Dimostrzioe: Se f è pri sigific che coseo D, co D domiio di f, è f f per esempio l fuzioe 58

59 Questo sigific che f ' Df f ' Pertto, f ' f ', cioè l derivt è dispri U log dimostrzioe vle per le fuzioi dispri Cvd Clcolo delle derivte di fuzioi elemetri Ci propoimo or di clcolre le fuzioi derivte delle fuzioi elemetri Derivt di u costte: Le fuzioi costti soo molto semplici d derivre, questo perché il rpporto icremetle è ullo, essedo f f C per ogi, D Pertto se f C, co C costte, su tutto il suo domiio vle: f ' I effetti è quello che ci si spett, i quto le fuzioi costti soo rette orizzotli e l derivt di u rett i questo cso orizzotle è l su pedez i questo cso Derivt di u potez: Le fuzioi potez soo tr le più fcili d derivre: pplicdo l defiizioe di derivt ttrverso l prim formul del rpporto icremetle si rriv scrivere si f u fuzioe potez co rele e : h h h h h h h h h Quest regol vle per ogi rele Derivt di u espoezile: Cosiderimo l fuzioe Allor vle che I prticolre, per f f co h e f ' l e, come vevmo ticipto, Derivt di u fuzioe logritmic h h f ' e h h h Cosiderimo or l fuzioe f log Ci propoimo di clcolre l derivt di quest fuzioe Possimo usre l regol dell derivt dell fuzioe ivers Per or, o cosidereremo il domiio delle fuzioi qudo clcoleremo l ivers, m sree opportuo frlo Se f y log y llor l ivers è E sppimo che, per il teorem di derivilità di 59

60 u ivers: f ' D log log e y y f ' y l log e Derivt di u fuzioe circolre: Clcoo l derivt dell fuzioe f se : se h se se cos h se hcos se f ' h h h h se cos h se hcos se cos h se hcos h h h h h se cos h se hcos se cos h se hcos h h h h h h cos Ecco quidi dimostrto che per f se l fuzioe derivt è f ' cos Alogmete si dimostr che per f cos è f ' se Cerchimo ivece di clcolre l derivt dell fuzioe tgete come derivt di u rpporto: se Dll relzioe f tg derivimo e otteimo: cos se Dsecos Dcos se cos se cos cos cos cos Quidi: D tg tg cos D Alogmete si dimostr che Dcot g cot g se Derivt delle fuzioi circolri iverse: Clcoo or l derivt dell fuzioe f rse usdo il teorem per l derivt dell fuzioe ivers: Se y rse llor l su ivers è sey Allor vle Drse Cerchimo quidi il coseo dell golo Dse y cos y cos rse il cui seo è Se il seo è, poiché vle l relzioe fodmetle dell goiometri, è cos se e quidi: cos cos Quidi: Drse M il seo è ivertiile solo per goli il cui coseo è positivo Quidi l uic soluzioe ccettile è Drse 6

61 Alogmete si dimostr che Dr cos dimostrre per esercizio E logmete, cor, si può dimostrre che Drtg dimostrre per esercizio Derivt del vlore ssoluto: Clcoo or l derivt di f per Quidi l derivt è: ssoluto o è derivile i f semplicemete rgiodo i questo modo: f ' per Possimo mettere isieme le due scritture dell derivt e otteimo l fuzioe esttmete quell scritt sopr Derivt per il cso i cui ci si u fuzioe elevt d u fuzioe: ricordimo che il vlore Sio f e g g due fuzioi e si f l fuzioe otteut elevdo f ll espoete g Possimo clcolre l derivt ricorredo questo trucco: f ' che è Df g De g l f f g g' l f g f Diftti si poe l fuzioe come rgometo del logritmo e poi si poe il tutto come espoete di e Quidi, si pplico le proprietà dei logritmi e si port g dvti l logritmo e si deriv co l regol dell derivt di u fuzioe compost Teorem di Fermt per le derivte Fermt fu u mtemtico ecceziole, uo dei più grdi mi esistiti, e, come tle, o potev o ver messo il so che ell mito dell lisi mtemtic, ove trovimo u importte teorem che port il suo ome, fodmetle per lo studio di fuzioi ultimo rgometo di cui trtteremo Teorem di Fermt: Si f :,, si, Se è u estremte reltivo ll itervllo, e se f è ivi derivile, llor è f ' Dimostrzioe: Si,, per esempio, puto di miimo reltivo i, Allor, per ogi ltr di, è f f Clcoo il rpporto icremetle destro e siistro i : f f f è u qutità positiv, poiché è il rpporto tr u umertore positivo iftti f e poiché ci trovimo i u itoro destro di, che il deomitore è positivo Quidi 6

62 Alogmete: f ' f ' f f f f Poiché ci trovimo i u itoro siistro di M f è derivile i per ipotesi Quidi f ' f ' f ' è che l derivt si ull Quidi l uic possiilità Esempio: L prol f 3 è rivolt verso l lto Il vertice di quest prol è lmete il puto di miimo ssoluto dell fuzioe f Determiimo l sciss del vertice usdo l e ot formul: V Dimostrimo che che derivdo si rriv llo stesso risultto: 6 f ' 6 Se f mmette u puto di miimo o di mssimo, i quel puto l derivt è ull Poimo llor f ' 6 I questo cso è vero che questo è il puto di miimo dell fuzioe 6 f, m o sempre vle il vicevers Iftti, esistoo fuzioi che preseto puti i cui l derivt è ull, m che o soo é mssimi é miimi 3 Blmete, l fuzioe cuic f, defiit su tutto l sse rele, pss per l origie O,, h derivt ull ell origie, m o = o è estremte: f ' 3 Dimostrimo che, o è u estremte Bsti cosiderre i puti : f f Quidi o può essere u mssimo esiste, iftti, u vlore di i cui l fuzioe è più grde di f f Quidi o può essere emmeo u miimo esiste, diftti, u vlore di per cui l fuzioe è più piccol di Questo sigific che l origie o è u estremte reltivo tutto il domiio dell cuic lo è se restrigimo l cuic d u itoro destro o siistro di Cvd Teorem di Rolle Al uo vecchio Michel Rolle doimo u ltro teorem fodmetle per il clcolo ifiitesimle e per lo studio di fuzioi Grzie questo teorem, che è u immedit coseguez del teorem di Weierstrss e del teorem di Fermt, potremo dimostrre ltri risultti cor più geerli e cor più importti che ci permettero uo studio di fuzioi e u mpeto dell teori degli rgometi successivi 6

63 Teorem di Rolle: Si f :[, ], se f soddisf le segueti ipotesi: f cotiu su [, ] ; f derivile su, ; f f Allor esiste lmeo u puto, tle che f ' Dimostrzioe: Se f è costte su [, ], llor il teorem è lmete vero per ogi si tle itervllo grzie ll terz ipotesi l derivt di u costte è ull Se f o è costte, però è cotiu su [, ] e f f E llor, per il teorem di Weierstrss, esistoo u puto di mssimo e/o uo di miimo ssoluti i, Si, per esempio, esso il puto,, per il teorem di Fermt vle che f ' Cvd Se cde l terz ipotesi, il teorem perde di vlidità Iftti, l fuzioe f :[3,4], defiit d f soddisf le prime due ipotesi, m o l terz iftti f f 4 e iftti l derivt o si ull mi i quell itervllo Ache se le ltre due ipotesi cdoo, il teorem perde vlidità A voi il compito di trovre dei cotroesempi l teorem reltivi ll perdit di vlidità el cso mchi u delle prime due ipotesi Si oti che o è richiesto che il puto ell tesi del teorem si u estremte Può o esserlo Bst che si u puto stziorio o critico, cioè u puto co derivt ull Teorem di Cuchy: I reltà questo teorem è poco usto dl puto di vist dell lisi Viee usto solo per dimostrre ltri teoremi, m o h u ppliczioe prtic dvvero evidete Per esempio, lo useremo per dimostrre il teorem di de l Hopitl e il teorem di Lgrge L dimostrzioe di quest ultimo, seee si poss fre che sez ricorrere l teorem di Cuchy, è idetic quell di questo teorem, quidi, per o ripeterl, l fccimo u volt sol, qui: Teorem di Cuchy: Sio F, G :[, ], tli che: F e G soo cotiue su [, ] ; F e G soo derivili su, ; Allor esiste lmeo u puto, tle che: F F G' G G F' Dimostrzioe: Cosiderimo l fuzioe usiliri otteut el modo seguete: H F F G G G F Poiché vlgoo le due ipotesi sull cotiuità e sull derivilità di F e G i [, ] e,, llor mggior rgioe H è ivi cotiu e derivile Ioltre: H F F G G G F F G F G F G G F H F G F G F F G G G F G F G F F G F G F G G F 63

64 Quidi, per H vle H H Soo quidi soddisftte le tre ipotesi del teorem di Rolle e lo posso pplicre ll fuzioe H: Per il teorem di Rolle esiste quidi u puto, tle che H ' H ' F F G ' G G F' E quidi i vle: H ' F F G ' G G F' D cui: F F G' G G F' F F G' G G F' Alcue volte, l tesi di quest teorem è comodo scriverl come: Allor esiste lmeo u puto, tle che: F F F' G G G' Cvd Teorem di Lgrge Questo teorem geerlizz il teorem di Rolle per fuzioi defiite su u itervllo i cui cde l terz ipotesi, quidi i cui f f, m vedremo che il teorem di Rolle rppreset comuque u cso specile del teorem di Lgrge Teorem di Lgrge: Si f :[, ], se f soddisf le segueti ipotesi: f cotiu su [, ] ; f derivile su, ; f f f f Allor esiste lmeo u puto, tle che f ' Dimostrzioe: Questo teorem può essere visto come u corollrio del teorem di Cuchy, i cui f f G =, oppure si cosideri l fuzioe usiliri H f che i prtic ruot f fiché le ordite i e i o diveto uguli, sterà llor otre che H è cotiu e derivile rispettivmete su [, ] e su, e ifie che H = H L tesi seguirà immeditmete dl teorem di Rolle Cvd Questo teorem geerlizz il teorem di Rolle Iftti, se f f llor dovrà esistere u f f puto, tle che f ' Sostzilmete, queste due figure dovreero fcilitre l compresioe del seso di questi due teoremi: 64

65 L fuzioe f :,3 i figur è l prol f 3 e soddisf le ipotesi del teorem di Rolle, iftti è cotiu e derivile egli itervlli,3 e,3 e f f 3 Pertto, esiste u puto di,3 i cui l derivt si ull: questo puto è 3 Per quest secod fuzioe il teorem di Rolle o è vlido, m vle quello di Lgrge, come mostr l figur, esiste u puto ll itero dell itervllo,4 i cui l tgete h l stess pedez dell secte psste i puti reltivi lle scisse e 4 Il teorem di Lgrge ssume che il ome di Teorem del Vlor Medio e h due importti cosegueze L prim coseguez è quest Cosiderimo il rpporto icremetle cetrto i u puto di u fuzioe che soddisf le ipotesi del teorem di Lgrge: si f quest fuzioe f f Per il teorem di Lgrge esiste u ltro puto, suppoedo tle che f f f ' Otteimo: f ' f f f f f ' Poiché,, possimo scriverlo i questo modo:, cioè u scrittur che esprim l vrire di u prmetro, Allor otteimo l secod formul dell icremeto fiito: f f f ' Rispetto ll prim formul, quest è più precis otre l ssez dell errore rppresetto dll o piccolo, m h lo svtggio di coteere l suo itero l derivt di u puto o e defiito el seso che il puto o lo cooscimo priori 65

66 Admeto di u fuzioe Come ticipto, grzie lle derivte è possiile studire l dmeto di u fuzioe derivile su u certo itervllo Possimo, cioè, clcolre l pedez dell fuzioe i ogi puto i cui ess risult derivile Iftti, vle il seguete teorem, di cui o foriremo u dimostrzioe: Teorem: Si f : I, co I u quluque itervllo Si f ivi derivile Allor: Codizioe ecessri e sufficiete ffiché f si mooto o decrescete su I è che f ' I ; Codizioe ecessri e sufficiete ffiché f si mooto o crescete su I è che f ' I Questo teorem è l secod coseguez del teorem di Lgrge e forisce u utilissimo strumeto per studire i grfici delle fuzioi prtire dl loro dmeto Ivece, il seguete teorem, ch esso di importz otevole, forisce u crtterizzzioe delle fuzioi costti co u ricorsioe lle derivte e deriv dl teorem precedete: Teorem di Crtterizzzioe delle fuzioi costti: Si f : I, co I u quluque itervllo Si f ivi derivile Allor: f è costte su I f ' I Dimostrzioe: L prim impliczioe è ovvi Iftti, se f è costte su I f ' I si clcoli il rpporto icremetle Dimostrimo l secod impliczioe Si f ' I, llor llo stesso tempo f è mooto o decrescete e mooto o crescete Quidi è costte Cvd Per questo teorem è fodmetle l ipotesi dell derivilità quidi l cotiuità di f su UN solo itervllo I Iftti, l fuzioe f h derivt ull i ogi suo puto, m o è costte Questo perché quest fuzioe o è cotiu i u itoro di e quidi i tutto il suo domiio Il teorem rest vero se cosiderimo f su u itervllo destro e uo siistro di O Derivte di ordie superiore Aimo defiito l derivt come ite del rpporto icremetle e imo studito i csi i cui l fuzioe o è derivile i u puto Ci chiedimo or cos succede se derivimo l derivt ulteriormete Si iizi llor prlre di derivte successive e, ttrverso il Teorem di Tylor, che cceeremo, vedremo come ricorredo d esse srà possiile studire le fuzioi molto più semplicemete Def: Si f : I, co I u quluque itervllo Si f derivile u volt i u itoro di u puto I e f derivile i, llor defiimo l derivt secod di f i e l idichimo co uo dei segueti simoli: d f f ',, D f ' L derivt dell derivt prim i d 66

67 Alogmete possimo defiire iduttivmete l derivt terz, l derivt qurt e così vi Defiimo llor: Def: Si f : I, co I u quluque itervllo Si f derivile volte i u itoro di u puto I e f - derivile i, llor defiimo l derivt esim di f i e l idichimo co uo dei segueti simoli: f d f,, D f d L derivt dell derivt esim i Spotemete sce l defiizioe di fuzioe derivt esim, che ssoci d ogi fuzioe l su derivt esim Esempio: L fuzioe seo è derivile ifiite volte i ogi itoro di ogi suo puto e vle: Dse cos D se D cos se 3 D se D 4 D se D 3 cos D se cos cos D se D cos se Dopo l derivt qurt, tutte le derivte dell fuzioe seo comicio ripetersi si dice che le derivte del seo soo cogrue modulo 4 Ache l fuzioe e è derivile ifiite volte el suo domiio e le derivte soo tutte uguli e 3 L fuzioe y è derivile ifiite volte su tutto l sse rele e vle: D D D D D D3 D D D D6 6 D D 3 6 D6 6 D 6 D Cioè tutte le derivte soo ulle prtire dll qurt i poi M sottolieimo il ftto che se d u certo puto i poi tutte le derivte di u fuzioe soo ulle o sigific che ess o si derivile ifiite volte, m semplicemete che le due derivte soo defiitivmete fuzioi ulle Teorem di de l Hopitl Eucimo or u teorem che fcilit il clcolo dei iti ell form di idecisioe o L uso di questo teorem, tuttvi, è ltmete scorggito di doceti uiversitri di lisi secodo me perché voglioo che gli studeti ftichio e o voglioo che rrivio ll soluzioe fcilmete perché ritegoo che o sempre si possiile rrivre d u soluzioe pprezzile co questo teorem vedremo u esempio 67

68 Teorem di de l Hopitl: Sio f, g :,, due fuzioi derivili i, ove Sio g e g ' i, Sio verificte etrme le ipotesi: f Il rpporto preset il cso di idecisioe o per o per ; g f ' Esist il ite per o per del rpporto ; g' Allor vle: f f ' f f ' oppure g g' g g' L dimostrzioe di questo teorem è oios e ricorre l teorem di Cuchy lmeo per il cso di idecisioe Noi ci iteremo studire le cosegueze di questo teorem Or possimo dimostrre gli ordii tr ifiiti ricorredo questo teorem: ricordimo che log e! Quidi: log Per il teorem di de l Hopitl possimo derivre il umertore e il deomitore e il risultto del ite o cmi ATTENZIONE: derivre umertore e deomitore seprtmete, o come derivt di u rpporto!: cosiderimo il cso log log log Possimo cor pplicre de l Hopitl Vi ccorgerete che pplicdo uovmete il teorem rriveremo cor d u form di idecisioe, che però preserv il grdo del deomitore, metre ss quello del deomitore ogi volt Quidi, derivdo volte rriveremo scrivere:! Quidi il logritmo è sempre u ifiito di ordie iferiore rispetto ll potez Se o cmi u gr ché Or dimostrimo che cioè che l espoezile è u ifiito di ordie superiore rispetto e ll potez: pplichimo llor de l Hopitl: e e e M ripplicdo cor de l Hopitl volte rrivimo scrivere:! e e L derivt di! o è esprimiile i termii di fttori fiiti Per dimostrre gli ltri due ifiiti 68

69 occorre ricorrere d ltri metodi Il teorem di de l Hopitl o dà sempre esito positivo Per esempio, se viee mcre l secod ipotesi, il teorem perde di vlidità Cosiderimo il ite: se poiché le fuzioi soo derivili, l prim ipotesi del teorem di de l Hopitl è e soddisftt Derivimo llor: se se cos? e e L fuzioe l umertore o mmette ite per, m il ite esiste Iftti, ricorredo i iti otevoli portimo u del umertore l deomitore e imo l deomitore u ite otevole che tede, metre il umertore tede : se se = e = = e I questo cso è sltt l secod ipotesi del teorem iftti, il rpporto delle derivte deve esistere, metre i questo cso o esiste Il teorem di Tylor co resto di Peo Fio d or imo usto le ozioi di mtemtic e di lisi pprese per pprossimre le fuzioi i u itoro di u loro puto medite poliomi, prim di grdo cotiuità, poi di grdo derivilità, riducedo di volt i volt l errore espresso medite o piccoli Per esempio, u geeric fuzioe y f, i u itoro di Domiio, può essere scritt come: Cotiuità y f o per Derivilità y f f ' o per Itroducimo or il teorem di Tylor co resto di Peo, che ci permette di pprossimre l fuzioe y f i u itoro di co fuzioi poliomili di grdo sempre mggiore Ricordimo, che pprossimre u fuzioe co u poliomio è u vtggio, poiché le fuzioi poliomili soo più semplici d trttre Teorem di Tylor co resto secodo Peo: Si f :[, ], derivile volte i [, ] Se esiste i l derivt esim, llor vle il seguete ite: k f k f k k! Cioè vle: k f k f o per * k k! Dove co f idichimo f L formul * è dett poliomio di Tylor co resto secodo Peo cetrt i e rrestt l grdo 69

70 Se si prl di sviluppo di Tylor co resto di Peo cetrto ell origie e rrestto l grdo, o più semplicemete sviluppo di McLuri rrestto l grdo Il resto secodo Peo o è ltro che l errore che si commette pprossimdo f co il poliomio k f k di Tylor ed è qulcos che v più velocemete di k! k Esempio: Il ite otevole dell fuzioe seo: se o per o è ltro che il poliomio di Tylor cetrto ell origie rrestto l grdo Iftti: se se' cos se o o o per!! Se vessimo voluto proseguire derivdo ulteriormete il seo, vremmo trovto che D se se e quidi: se se o o per! Questo dimostr che, i reltà, l errore commesso pprossimdo il seo co u poliomio di primo grdo è cor più piccolo di quto ci spettvmo! M se vessimo voluto proseguire cor, 3 vremmo dovuto clcolre l derivt terz dell fuzioe seo i : D se cos d cui: 3 se cos se o o per! 3! 6 Grzie llo sviluppo di McLuri imo pprossimto il seo co u poliomio di terzo grdo cetrto ell origie Proseguedo derivre vremmo scritto qulcos di simile: se o per e così vi 3! 5! 7! Grficmete ecco quello che succede umetdo il grdo del poliomio di Tylor: L fuzioe seo è trtteggit Notte come umetdo il grdo del poliomio, esso divet sempre più simile l seo i u itoro di 7

71 Come vedete, umetdo il grdo del poliomio, umet l precisioe dell pprossimzioe i u itoro dell origie i poliomi pri o esistoo semplicemete perché le derivte di ordie pri del seo coivolgoo l fuzioe seo stess, che vlutt i h come risultto si gurdio i clcoli svolti sopr e si cosideri che le derivte del seo ho periodicità 4 U logo discorso vle per l fuzioe coseo: l fuzioe coseo, i u itoro di, può essere pprossimt dpprim co u poliomio di grdo : GRADO cos o per Aumetdo il grdo del poliomio: GRADO cos o per GRADO cos o per 7

72 3 GRADO 3 co o per 4 4 GRADO 4 co o per 4! E così vi Semplicemete, otimo come il poliomio di Tylor co resto di Peo rrestto ll ordie si proprio l prim formul dell icremeto fiito: k f k o f f ' o per k k! L dimostrzioe di questo teorem è per iduzioe sul grdo del poliomio di Tylor cioè sul umero di volte i cui l fuzioe è derivile Occorrerà dimostrre il ite ell eucito del teorem ricorredo l Teorem di de l Hopitl Chi h vogli di provrci A scopi purmete didttici vi redo prtecipi del ftto che esistoo ltri metodi per esprimere il resto l errore rimete d u pprossimzioe medite poliomio di Tylor, o solo il resto medite gli o piccoli Tuttvi, gli ltri teoremi di Tylor ho differeti ipotesi e quidi si utilizzo i miti diversi Citimo per esempio il Teorem di Tylor co resto secodo Lgrge che si rifà l teorem di Lgrge e co resto itegrle che si ricoduce l clcolo itegrle Lo sviluppo di Tylor, ioltre, se esiste è uico Sigificto geometrico dell derivt secod cocvità e covessità U figur è covess qudo presi due puti quluque l suo itero, esiste sempre u segmeto che li colleg sez fuoriuscire dl perimetro dell figur stess Vicevers, u figur si dic cocv I due disegi sotto mostro u esempio: Per le fuzioi questo o vle Iftti, vlgoo le segueti defiizioi: Def: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su u certo itervllo I Si dice che f è covess i I se per ogi,, I tli che : f f f f Alogmete, f si dice cocv i I se per ogi,, I tli che : f f f f Grficmete, u fuzioe si dice cocv se presi cso due puti, f e, f su di ess, tutti i puti che si trovo tr di loro sto l di sotto dell rett psste per, f e 7

73 , f Se ivece tutti i puti che si trovo tr quei due sto l di sopr dell secte psste per, f e, f, l fuzioe è cocv: Fortutmete per oi, grzie ll derivt secod, simo sempre i grdo di defiire qudo u fuzioe è cocv e qudo è covess i u suo puto, cioè qudo esiste lmeo u suo itoro i cui l fuzioe è covess o cocv, poiché, si può dimostrre, vle il seguete teorem: Teorem: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su u certo itervllo I, derivile due volte i puto I Allor: f è covess i se e solo se f '' ; f è cocv i se e solo se f '' Quidi l derivt secod ci permette di stilire qulor f si cocv o covess i u determito puto cioè se quel puto si trov i u regioe del grfico dell fuzioe ove f è covess o cocv Lo stesso rgiometo vle su u itervllo: Teorem: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su u certo itervllo I, derivile due volte i I Allor: f è covess i I se e solo se f '' per ogi di I ; f è cocv i I se e solo se f '' per ogi di I Alogmete, le defiizioi stesse di covessità e quell di cocvità, rigirte, ci permettoo di vere u ltro sigificto geometrico di covessità e cocvità, ricorredo ll derivt prim Iftti, vle il seguete teorem: Teorem: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su u certo itervllo I, derivile due volte i I Allor: f è covess i I se e solo se, I f f f ' f è cocv i I se e solo se, I f f f ' Grficmete, sigific che trccido l tgete i u puto del grfico dell fuzioe f, l fuzioe rime sempre l di sopr dell tgete se è covess, l di sotto se è cocv: 73

74 Puti di flesso Aimo visto che egli estremti, per il teorem di Fermt, l derivt è ull, m imo detto, 3 portdo l esempio dell fuzioe f, che o sempre vle il vicevers Iftti, per quest fuzioe, l derivt prim è ull ell origie, m o è u puto di mssimo e emmeo uo di miimo Che tipo di puto è, llor? Def: Si f : ; derivile u volt i Si dice che è u puto di flesso scedete se f f f ', per ; f f f ', Si dice che è u puto di flesso discedete se f f f ', per f f f ', I u puto di flesso o richiede che l derivt prim può o essere ull Grficmete, u flesso, è u puto i cui l cocvità dell fuzioe cmi Sempre grficmete, u flesso si dice scedete se i quel puto l fuzioe pss d cocv covess cioè pss d sotto sopr il grfico dell tgete el puto di flesso, metre u flesso è discedete se i quel puto l fuzioe pss d covess cocv cioè pss d sopr sotto il grfico dell tgete i quel puto Le figure ell pgi ccto mostro degli esempi di flessi scedeti e discedeti Specifichimo, però, che l distizioe tr i due tipi di flessi o è ecessrimete importte Spesso, u puto, se è u flesso, si dice semplicemete che è u puto di flesso, sez specificre di che tipo 74

75 3 Nel cso di prim, f preset u flesso scedete ell origie: iftti, i O l derivt prim è ull, m l fuzioe pss d sotto sopr il grfico dell rett tgete ell origie I prticolre, l rett tgete l grfico di quest fuzioe, el suo puto di flesso è orizzotle Ecco perché si dice che l origie, per f, è u puto di flesso tgete orizzotle i questo cso è che scedete 3 Alogmete, l su fuzioe ivers, g cmi cocvità ell origie M quest volt, g o è derivile ell origie I ogi cso, si estede l defiizioe che questo tipo di flessi, che vegoo chimti flessi tgete verticle poiché il puto di flesso è u puto di o 3 derivilità tgete verticle Ecco il grfico di g, osservre il flesso Chirmete, essedo l tgete l grfico di questo tipo di fuzioi verticle, o è possiile pplicre le defiizioi di flesso scedete e discedete iftti, che se l fuzioe dell esempio pss dll origie cmido d covess cocv, pss d destr siistr il grfico dell rett, e o d sopr sotto, come ivece è richiesto dll defiizioe Pertto, i puti di flesso tgete verticle o possoo essere distiti i flessi scedeti e discedeti Come distiguimo i puti di flesso? Acor u volt ci ppre i soccorso l derivt secod, come suggerisce il seguete teorem: 75

76 Teorem: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su I, itervllo Si I u flesso, llor f '' Ovvero, i puti di flesso ho derivt secod ull Purtroppo, che i questo cso, così come per il teorem di crtterizzzioe delle fuzioi costti, il vicevers o è vlido, come mostreremo ell ultimo prgrfo di questo cpitolo Asitoti Studido le iperoli simo etrti i cottto per l prim volt co l ozioe di rett sitotic U rett sitotic per u fuzioe f è semplicemete u rett che defiitivmete è vici d f sez mi rggiugerl del tutto Esistoo tre tipi di sitoti: Def: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su I, itervllo Si rett è sitoto verticle per f i se: f Si dice che l rett y L è sitoto orizzotle per f se: f L Ifie, si dice che l rett y m q è sitoto oliquo per f se: f m q Si dice che l Esempi di fuzioi co sitoti soo: h che h u sitoto verticle i e u sitoto orizzotle, corrispodete ll sse Come ricooscere u sitoto verticle? Bst cercre gli zeri del deomitore e successivmete verificre che l defiizioe di sitoto verticle è rispettt, cioè che lmeo uo dei due iti destro e/o siistro dell fuzioe per vd ll ifiito No è così fcile, ivece, ricooscere u sitoto orizzotle Per quto rigurd gli sitoti oliqui, il discorso è cor più fie, m possimo itrodurre questo teorem di crtterizzzioe degli sitoti oliqui: Teorem: Si f u fuzioe rele di vriile rele defiit su I, itervllo L rett sitoto oliquo per f se e solo se esistoo fiiti i segueti iti: f m ; f m q y m q è Dimostrzioe: Assumimo per ipotesi che y m q si sitoto oliquo di f Allor, per defiizioe: f m q 76

77 Dividimo tutto per : f m q f m q f q m f D cui: m Quidi, torimo f m q, ricvimo f m q f m Or, doimo ipotizzre che vlgoo i due iti e dimostrre che l rett y m q è sitoto oliquo per f Se vlgoo i due iti, i prticolre vle il secodo, e si h f m q d cui f m q, quidi l rett cosidert è, per defiizioe, u sitoto oliquo Cvd Se m = otimo che, se q è u vlore fiito, simo i presez di u sitoto orizzotle y = q Teorem uifictore dell teori degli estremti e dei flessi Cocludimo il cpitolo espoedo u teorem che ci permette di stilire specilmete ricorredo gli sviluppi di Tylor, o più i geerle lle derivte se u puto el domiio di u fuzioe è u estremte, u flesso e di che tipo: Teorem: Si f :, derivile lmeo due volte i u puto Vlg: f ' f '' f esim e si f : cioè sio tutte le derivte i fio ll derivt Se è pri, è u estremte Co esttezz, se f llor è u puto di miimo, se f llor è u mssimo Se è dispri, è u flesso Co esttezz, se f llor è u flesso scedete tgete orizzotle, se f llor è u flesso discedete tgete orizzotle Questo teorem stilisce u importte collegmeto tr i puti estremti, flessi e derivte Iftti, ci dice che possimo stilire l tur di u puto i cui l derivt prim è ull cotiudo derivre i quel puto fiché o trovimo u derivt o ull Se cde l ipotesi i cui l derivt prim è ull, questo teorem cotiu vlere, el seso che se l derivt prim o è ull, chirmete il puto o è u estremte, m può cor essere u flesso Possimo ridttre il precedete teorem, llor, i questo modo: Teorem: Si f '' f esim e si f : f :, derivile lmeo due volte i u puto Vlg: f ', cioè sio tutte le derivte i dll secod fio ll derivt Se è pri, o è u flesso Se è dispri, è u flesso Co esttezz, se f se f llor è u flesso discedete llor è u flesso scedete, 77

78 Coclusioi Co questo cpitolo si coclude tutto il discorso sull pprossimzioe delle fuzioi medite poliomi Aimo visto come l derivzioe può portrci d u completo studio di fuzioi e risolve il prolem di stilire l tur dei puti e l dmeto di u fuzioe Nel prossimo cpitolo dremo studire, ivece, il procedimeto opposto quello di derivzioe, cioè l tiderivzioe dll iglese tiderivte, termie trdotto co primitiv o ricerc delle primitive di u fuzioe Aimo visto come l derivzioe, se vogo, è u cocetto putule, che permette di pssre d u fuzioe defiit glolmete su u itervllo llo studio di quest i u itoro di u suo sigolo puto medite pprossimzioe che ricorre ll uso di fuzioi poliomili L derivzioe è quidi u pssggio dl glole l prticolre e imo stilito u ifiità di formule e regole che ci permettoo, ee o mle, di derivre quluque fuzioe esprimiile i termii fiiti, cioè come composizioe di u qutità fiit di fuzioi elemetri si us che il termie scriviile i form litic E imo che visto come l derivt si uic per ogi fuzioe Per esempio, o simo i grdo di determire l derivt di! No perché tle fuzioe o si derivile, m perché l su derivt o si può scrivere i form litic Aimo visto che come grficmete l derivt rppreseti l rett tgete ll curv i u suo puto M llor, se l posto di derivre u fuzioe cercssi l fuzioe che h per derivt u fuzioe dt cioè se cercssi l primitiv, cos otterrei grficmete? Arriveremo l sorpredete risultto che il clcolo itegrle cioè il clcolo delle primitive coicide co il clcolo delle ree sottese di grfici delle fuzioi È ltresì importte ricordre che lcui risultti, come il Teorem di crtterizzzioe delle fuzioi costti soo defiiti per fuzioi defiite loro volt su u uico itervllo e imo otto come questi teoremi perdo di vlidità se le fuzioi vegoo defiite su u uioe di itervlli Per l mggior prte del prossimo cpitolo trtteremo uicmete di fuzioi defiite su u solo itervllo Cocludimo il cpitolo, defiitivmete co questo teorem, grzie l qule possimo dire che lcue fuzioi o soo derivt di lcu fuzioe: Teorem: Si f :[, ] cotiu el suo isieme di defizioe e derivile i, Se è u puto di discotiuità per f ', llor è oligtorimete di secod specie cos Esempio: L fuzioe così defiit: f per Quest è u fuzioe cotiu su tutto l sse rele e l su derivt è f ' cos se, che h u discotiuità di secod specie ell origie Iftti, usdo quest fuzioe o si può clcolre f ' M l derivt i esiste: sti clcolre il rpporto icremetle e pssre l ite per scoprire che f ' Questo perché l derivt f si comport i u itoro di come u fuzioe che oscill ifiite volte 78

79 Cpitolo 8 Primitive Comicimo desso trttre l rgometo opposto rispetto ll derivzioe: il pssggio d u derivt ll fuzioe che l h geert Se d u prte l derivzioe rppreset u pprossimzioe di u fuzioe i u itoro di u suo puto come u rett tgete i quel puto, l tiderivzioe u iglesismo che sigific ricerc delle primitive è completmete il cotrrio e se l derivzioe comport il pssggio dl geerle l prticolre vedi coclusioi cpitolo 6, l tiderivzioe coivolge il pssggio cotrrio ed è, pertto, qulcos di molto più complicto e, dto il fmoso msochismo dei mtemtici, più iteresste D ltr prte, per il clcolo delle derivte esistoo ttissime formule e regole che redoo possiile clcolre l derivt di u quluque fuzioe ci slti i mete Purtroppo quest proprietà o è più vlid per le tiderivte Tto per comicire, per l ultimo teorem del cpitolo precedete, molte fuzioi che soo derivili o mmettoo u fuzioe che le i come derivte loro se cos se volt Per esempio, l fuzioe f h come derivt f ', metre se se o esiste u fuzioe F tle che F' Questo perché h u discotiuità di se terz specie i Quidi, i forz del teorem sull discotiuità dell derivt, o può essere l derivt di qulsivogli fuzioe Defiimo llor: Def: Si f : I, I itervllo Si dice che u fuzioe F è u primitiv di f se: F è derivile i I quidi è che cotiu i I; F' f per ogi di I Le codizioi devoo vlere etrme perché u fuzioe poss essere cosidert u primitiv Vedremo esempi, specilmete per fuzioi defiite trtti, i cui l primitiv o è fcile d determire pputo per quest prte dell defiizioe Esempio: Cosiderdo l fuzioe f Ci propoimo di cercre u primitiv per quest fuzioe Noi sppimo che F h come derivt proprio f Allor ci chiedimo se è vero che F è l tiderivt di f Cioè: Derivdo F Atiderivdo? f L rispost è semi ffermtiv, el seso che F o è l uic primitiv di f: iftti, cosiderimo le fuzioi G e H Ache le loro derivte soo pri f Semreree, quidi, che se l primitiv esiste, o è uic Questo prticolre è dovuto l ftto che derivdo u costte dditiv si ottiee e che quidi tiderivre u 79

80 fuzioe y f sigific trovre u primitiv per y f Le primitive per u fuzioe, llor, semro essere ifiite, ogu delle quli differisce dll ltr per u costte dditiv Grzie l seguete teorem possimo, duque, sserire che u volt trovt u primitiv, le imo trovte tutte Iftti: Teorem di uicità dell primitiv: Si f : I, I itervllo Sio F e G due primitive di f, llor G F C co C costte rele E ioltre tutte e sole le primitive di f soo i quest form differiscoo, cioè, tr loro per u costte dditiv Dimostrzioe: Sio F e G due primitive di f Cosiderimo l fuzioe H G F L derivt di quest fuzioe sppimo clcolrl ed è: H ' G' F' f f Fodmetle è l ipotesi per l qule f è defiit su u itervllo I Questo perché, questo puto, per il teorem di crtterizzzioe delle fuzioi costti, u fuzioe che h derivt ull è u fuzioe costte e quidi: H C co C costte rele M llor H G F C G F C Per l geerlità co cui soo stte scelte F e G, cocludimo che tutte e sole le primitive di f differiscoo per u costte Cvd Idichimo co il simolo f d l isieme di tutte le primitive dell fuzioe f: f d : F F' f, F cotiu i I Quel d è il differezile dell fuzioe f che se per il mometo è d itedere come u simolo e ull più L fuzioe f è dett fuzioe itegrd e è dett vriile di itegrzioe Il simolo f d è detto itegrle idefiito di f Nel prossimo cpitolo chiriremo il perché si usi questo termie Chirmete f ' d f C Co u terriile uso di otzioe, scrivimo che che D f d f È u uso di otzioe perché f d è defiito come u isieme di fuzioi e o si può fre l derivt di u isieme M l otzioe h seso logico e quidi l si us Itegrle di fuzioi elemetri Comicimo dicedo che d C per ogi ovvimete Per imo: d L fuzioe itegrd, i questo cso, o è defiit su u uico itervllo, m sull uioe degli itervlli:,, Pertto, il teorem di uicità dell primitiv o è più vlido Su questi due itervlli differeti, l fuzioe h primitive diverse: 8

81 l C d per l C Ove le due costti soo diverse Quidi, sui due itervlli seprti, l fuzioe f h primitive diverse M se cosiderimo solo l fuzioe f su uo dei due itervlli, il teorem vle cor Iftti, su, tutte e sole le primitive di soo ell form l C idem per l ltro itervllo M dto che le costti possimo prederle come vogo, possimo presumere di l C predere l stess costte per etrmi gli itervlli: d per Quest l C primitiv si può rissumere così: d l C Clcoo or e d e C ovvimete Per quto rigurd le fuzioi goiometriche: se d cos C cos d se C d tg d tg C cos d rtg C d rse C r cos C d r cos C rse C d g d g C se cot cot Proprietà delle primitive Così come lo ero le derivte, che il clcolo delle primitive si vvle di u legge liere: Sempre co u uso di otzioe scrivimo che: f g d f d g d dditività dell itegrle Iftti o si può fre l somm tr due isiemi Tuttvi, quest somm è d itedere come l somm tr le fuzioi primitive Per esempio: 3 3 6d 3 d 6d C 6 Sempre co u pessimo uso di otzioe diremo che: k f d k f d omogeeità dell itegrle Esempio: 9 d 9 d 9l C Queste regole derivo, come già detto, lmete dll lierità dell opertore derivt Itegrli immediti Presetimo or u cso specile dell ricerc delle primitive ttrverso il metodo per sostituzioe, di cui prleremo ei prossimi prgrfi Questo tipo di tiderivzioe permette di ricooscere 8

82 velocemete e clcolre primitive che preseto u fuzioe itegrd formt dl prodotto di u fuzioe quluque per l derivt del suo rgometo Portimo lcui esempi e poi il cso geerle: 8 7 Clcoo l primitiv d Notimo che l fuzioe l umertore è l derivt dell 4 7 fuzioe l deomitore Allor, possimo ffermre che: 8 7 d 8 7 d l 4 7 C Cioè, imo clcolto l primitiv dell fuzioe l deomitore come fuzioe logritmic M essuo h mi detto perché è flso che l primitiv di u fuzioe che h l deomitore u poliomio di secodo grdo è u fuzioe logritmic Blmete d rtg C Tuttvi, i questo cso, poiché l fuzioe è moltiplict per l su derivt, 4 7 possimo trttrl come fosse l derivt di u fuzioe logritmic quest regol discede, come vedremo el cso geerle, dll regol di derivzioe dell fuzioe compost Esempio: L primitiv cos d è il seo dell fuzioe stess Questo perché ell itegrle è tcitmete presete l derivt di +, che è : cos d cos d se C M se, ivece, vessimo vuto cos 3 d, l derivt o è più presete ell fuzioe itegrd Poco mle, però, perché possimo ggiugerl oi moltiplicdo ll itero del logritmo per : 3 cos3 d cos3 d cos3 d 3 Applichimo l omogeeità dell itegrle e otteimo: 3 cos3 d 3cos3 d 3 3 Or, ell itegrle è presete l derivt di 3 +, e quidi l primitiv di 3cos3 + o è ltro che: 3cos3 d se3 C 3 3 Quest uov proprietà delle primitive, vle i geerle Si può, cioè, moltiplicre l fuzioe itegrd per u costte o ull ptto di moltiplicre tutto l itegrle per il reciproco dell costte: f d kf d co k k Ifie, portimo questi esempi: tg d l Nell su ruttezz, questo itegrle scode u terriile fcilità Iftti, l derivt di 6 l è , cioè, fcedo il deomitore comue, Quidi, possimo vedere questo itegrle come l primitiv di u tgete: tg l d tg C l 8

83 l L ultimo itegrle è le: d l d I questo cso imo u fuzioe moltiplict per l su derivt Allor possimo trttre questo cso come se fosse l primitiv di i d: l l d d C l Trttimo llor il cso geerle Cosiderimo u fuzioe compost fg e l derivt dell rgometo di quest fuzioe g Allor l itegrle di quest fuzioe si ottiee dll derivt dell fuzioe compost: Df g f ' g g' Df g d f ' g g' d f g C f ' g g' d Cmido ome ll fuzioe f, i modo d esplicitre l primitiv otteimo: f g C f ' g g' d f g g' d F g C D cui ricvimo questi sottocsi otevoli: f f ' d l f C f f f ' d C cos f f ' d sef C e f ' d e C co sef f ' d cos f C f f Primitive per prti Questo uovo metodo di tiderivzioe deriv dll regol di derivzioe del prodotto È u metodo, tuttvi, che o permette di risolvere u itegrle, m di rederlo più semplice d trttre Ci viee i soccorso qudo doimo cercre l primitiv del prodotto di due fuzioi, di cui doimo cooscere, lmeo per u delle due, l primitiv: Regol di itegrzioe per prti: Cosiderimo l itegrle f g d Si F l primitiv di u delle due fuzioi per esempio di f e si g l derivt dell ltr Allor vle l seguete ugugliz: f g d F g F g' d Dimostrzioe: Derivimo il prodotto f g e otteimo: Df g f ' g f g' Itegrimo d etrme le prti: 83

84 Df g d f g f ' g f ' g d f g' d f g' d Portdo uo dei due itegrli siistr dell ugule e cmido il ome delle fuzioi si h l sserto Esempio: Cerchimo l primitiv cos d Ricooscimo che l derivt di è e che l primitiv del coseo è il seo Quidi, codiserimo: cos d g f d f cos F se Ove g g' Quidi: cos d g f d F g F g' d se se d se cos C Notimo che l uov primitiv è più semplice d clcolre dl puto di vist computziole, m l regol di itegrzioe per prti o ci h permesso di rimuovere del tutto l itegrle, l h solo trsformto i qulcos di più semplice d itegrre Cvd Itegrzioe per prti medite l legge di trsformzioe dei differezili Nel cpitolo precedete imo ricvto, prldo del differezile, l formul df f ' d Quest formul è ot come legge di trsformzioe dei differezili e permette di clcolre l icremeto dell vriile dipedete dopo uo spostmeto ifiitesimo d d I reltà, l su utilità, lmeo per oi, è legt l clcolo delle primitive Iftti, il sigificto di quest legge può essere rissuto el modo seguete i questi due euciti ho modificto il ome delle fuzioi solo per fr cpire ee il cocetto: Legge di trsformzioe dei differezili: Poiché vle: df f ' d, posso leggere l ugugliz d destr siistr o d siistr destr idifferetemete Quidi: Posso portre u fuzioe detro il d se l itegro: f d df Posso portre u fuzioe fuori dl d se l derivo: df f ' d ell d rime l vriile rispetto ll qule sto itegrdo, quidi, el ostro cso, l Pertto possimo riscrivere l regol di itegrzioe per prti el modo seguete: f g d g df F g F dg Che revieremo omettedo le : gdf fg fdg Dl puto di vist computziole è molto più veloce, voi cpite, iftti, st portre u delle due fuzioi ell d itegrdol, poi moltiplico tr di loro le fuzioi otteute e sottrggo l itegrle i cui scmio il ruolo delle fuzioi Esempio: e d Qudo imo u itegrle i cui u delle due fuzioi è, doimo, meo di csi migliori, utilizzre l regol di itegrzioe per prti e itegrre l ltr fuzioe Il motivo è che el uovo itegrle otteuto, vremo che l fiisce dopo l d M chirmete, 84

85 quidi o resterà ltro che d, cioè l itegrle solito che sppimo clcolre Questo esempio chirisce le idee: e d de e e d e e C Il vtggio di questo metodo è che o occorre utilizzre quell oios telli che ci simo dovuti costruire ell ormle itegrzioe per prti Primitive per sostituzioe Quest ltr regol di tiderivzioe deriv dl clcolo dell derivt di u fuzioe compost, ed è u geerlizzzioe del cso degli itegrli immediti: Regol di itegrzioe per sostituzioe: Cosiderimo l itegrle f g g' d Allor possimo porre g t e otteimo: f g g' d f t dt L dimostrzioe è le, sti scrivere l regol di derivzioe dell fuzioe compost, modificre il ome delle fuzioi ed ifie itegrre Lett d siistr destr, è u rilettur dell regol di derivzioe degli itegrli immediti Iftti, per esempio, clcoo: d t t Quidi: d t t d dt t C C l l t M se, per esempio, volessimo risolvere questo tipo di itegrli: se d I cui, cioè, o è presete l derivt dell fuzioe che st ell rgometo i questo cso del seo, llor doimo ricorrere d u sostituzioe: se d t t I questo cso doimo per forz utilizzre l legge di trsformzioe dei differezili Iftti, otteimo, i seguito ll sostituzioe: se d t t se d A questo puto si itegr per prti: t se t dt t se t dt t cos t se t d t t se t dt t d cos t t cos t cos t dt t cos t se t C cos cos t dt se C 85

86 Itegrzioe di fuzioi rzioli frtte U fuzioe rziole frtt è u frzioe il cui umertore e il cui deomitore soo poliomi: P f Q Ove co deg P e degq soo idicti i grdi dei poliomi i questioe Per or, cosiderimo deg P e degq l mssimo uguli Distiguimo i vri csi: Cso : deg P degq I questo cso imo che fre co l primitiv d I questo cso ci st risolvere c d l itegrle i questo modo: d d d c d c d c d Or risolvimo co i metodi che già cooscimo: c c d d d d d d c d c d c d c d c c d c c d c d d c d d d c d C d d c d C c l c d c c c d c l c d c d c d d d c d C c d c d C c c l l l c d c c c c c d l c d C c c Altrimeti, st dividere + co c + d Il risultto è logo Cso : deg P, deg Q = Per risolvere u primitiv del tipo c d Possimo qui spezzre l itegrle i due prti: m q c c d d d m q m q m q Risolvimo seprtmete i due itegrli e poi uimo le soluzioi: m q q m q d d d m q m q m m q m m q m m q m q q d m q m d m q m q m q l m q C 3 m m Il secodo, ricorredo ll formul ricvt el cso precedete: c mc q d l m q C m q m m D cui: c m q mc q d q m q m q m m m l 3 q m q d m 3 d m l m q C m C q d m q 86

87 Chirmete o soo le formule dover essere imprte, m il procedimeto Cso 3: deg P, deg Q = m q Imprimo risolvere itegrli del tipo: d c Questo tipo di itegrli si risolve ricorredo i modo del tutto turle ll scomposizioe del poliomio l deomitore i poliomi di grdo miore qulor si possiile Noi sppimo che u poliomio di secodo grdo è scompoiile come: c Ove e soo le due soluzioi dell equzioe c Sppimo che il umero di soluzioi di quest equzioe dipede dl Quidi doimo distiguere tre diversi csi, secod del umero di soluzioi dell equzioe omogee ssocit l deomitore Sottocso 3: Se llor l equzioe c h due soluzioi reli che si clcolo co l solit formul I presez di due soluzioi reli possimo scomporre il deomitore come: c m q m q m q I tl cso, l itegrle d divet d d c m q Per risolvere questo tipo di itegrli occorre spezzre l frzioe come somm di due frzioi, risolvedo l idetità ovvimete e o soo etrme ulle: m q A B A B A B A B Ovvimete, quest idetità è ver se il coefficiete dvti lle del umertore è lo stesso d etrme le prti e lo stesso deve vlere per il termie oto Ricvimo A e B, cioè, dl seguete sistem: q m A B m A m fcedo i clcoli se A B q q m B m q A se m q B Sostituedo i vlori di A e B ell itegrle si h u fcile sserto Sottocso 3: Qudo il deomitore h vi è u uico zero ll equzioe c Si esso, possimo scomporre il deomitore come 87

88 m q m q L itegrle d ssume llor l form d c m q m q Spezzimo l itegrle per lierità: d d d Il secodo itegrle è immedito, metre el primo doimo ricodurci d vere l umertore l derivt del deomitore: m m l q d m q m C m d Quidi qudo il delt è ullo, ci si ricoduce ll itegrle del tipo Sottocso 33: q d d C Se o si può scomporre il deomitore, i quto o h soluzioi reli Il modo più veloce per risolvere questo itegrle è ricodursi d vere l deomitore u qudrto perfetto: fccimo u esempio: Clcoo d Se scompogo il come 9 + ottego l deomitore u qudrto 6 perfetto: d d d d d Cercherò llor di ricodurmi d vere, el primo itegrle, l derivt del deomitore umertore: d d d 6 d d d 5 d Il secodo itegrle lo vedo or come l itegrle dell rcotgete Il primo, ivece, è u semplice logritmo: 6 d 5 d rtg C l Esistoo formule che permettoo di clcolre l itegrle di fuzioi rzioli frtte di grdo più lto, che però o trtteremo Sostituzioi otevoli Ci soo fuzioi che è difficile itegrre sez ricorrere sostituzioi prticolri Citimo tre csi co ltrettti esempi: d Ci propoimo di clcolre l itegrle I questo cso soo comode le formule se prmetriche, che vle l pe di ricordre: 88

89 d se t t se t t t t, tg co t t L itegrle, perciò, divet: t dt dt t C t t l t, cos drtg t t tg d se l se C Clcoo or d 6 I questo cso operimo u uo sostituzioe poedo 6 3 t, poedo, cioè, t M, ove M è il miimo comue multiplo tr gli idici di rdice cioè tr 3 e t t t t d dt 6 dt dt dt dt dt t t 6 t t t 6 t 6 t t t t t 3 6 dt 6 dt t t t dt t t 6 t l t t 3t 6t l t C l C I questo esercizio l importte è l sostituzioe Per il resto soo coti, che proilmete soo che sgliti, m l importte, ripeto, è l sostituzioe iizile, che ci permette di ricodurre l itegrle d u rziole frtt molto semplice Ultimo cso, risolvimo l itegrle d Questo esercizio viee ee se si pplic l sostituzioe cost o idifferetemete set Questo perché l rdice, grzie l teorem fodmetle dell goiometri verrà trsformt i u fuzioe goiometric: cos t d cos t d cos t se t se t dt t r cos Poiché l rcocoseo è ivertiile soo per goli il cui seo è positivo, llot posso rgiore togliedo il vlore ssoluto: se t se t dt se t dt cos t Ricorddo che cost idifferetemete, possimo ricvre che se t cos se t t, che è u relzioe importte che ci permette di scrivere: cost se t dt dt cost dt t cost dt t set t C 4 4 Risostituedo: r cos r cos ser cos C se r cos cos r cos C 4 r cos C 89

90 Coclusioi Per il mometo imo ppurto che l ricerc delle primitive o è così semplice come derivre u fuzioe Aimo defiito l itegrle di u fuzioe come l isieme delle primitive d ess ssocite e imo mostrto che questo isieme è costituito d u clsse di fuzioi che differiscoo per u costte dditiv M d dove deriv il termie itegrle? come si pplic l ricerc delle primitive? Scopriremo che il simolo di itegrle è dovuto d u ltro grde prolem dell lisi mtemtic e studieremo il teorem che leg le primitive lle derivte e grzie l qule sremo utorizzti mischire i due termii 9

91 Cpitolo 8 Aree e volumi: R itegrilità Cei storici L ricerc delle ree h teuto impegti lcui tr i più grdi mtemtici del modo Tr questi citimo Archimede di Sircus, che riuscì determire l re del cerchio co il suo metodo di esustioe, che cosiste el cosiderre l re del cerchio come l re di u poligoo regolre di ifiiti lti Or come or o semreree, m questo metodo fu iovtivo el 3 C, qudo cor o si cooscev il cocetto di ite Archimede clcolò l re del cerchio iscrivedo i u circoferez u poligoo regolre di 3 lti, poi di 4, poi di 5, e così vi Mo mo che il umero dei lti umetv, l re del poligoo i fuzioe del rggio R dell circoferez, che oggi scriveremmo come A R se, tedev d ssumere il vlore A R U risultto che oi spremmo clcolre come il ite dell successioe A R se per, ricorredo l più semplice dei iti otevoli: R se se Acerchio A R se R R U discorso logo vle per i poligoi circoscritti metodo di compressioe Tuttvi, e si può compredere che cercre l re di u curv come ite di u poligole d ess iscritt o circoscritt è u procedimeto lugo e o sempre fcile d risolvere Ecco il prolem cui cercheremo di dre u rispost: come possimo clcolre l re sottes d u fuzioe e l sse? L rispost più le di tutte, cui peseree che u mio è quest: cosiderimo u fuzioe f itt e positive costruimo quell che si chim u prtizioe P dell itervllo [,], cioè u suddivisioe dell itervllo di defiizioe i sottoitervlli Poiché f è itt, lo è su ogi sigolo sottoitervllo, e di coseguez, mmette mssimo e miimo i ogi sottoitervllo L re del plurirettgolo iscritto el grfico di f è dt dll somm delle ree di tutti i rettgoli iscritti Assumimo f cotiu 9

92 Sez ledere ll geerlità del discorso, possimo supporre i sottoitervlli equispziti tr loro Ovvero, ogi sottoitervllo h mpiezz, ove è il umero di sottoitervlli dell prtizioe A questo puto si vrà: m APluriret t golo mi ove : i [ mi, ] f i Per l ittezz di f, e per l su i i cotiuità, esiste u i i ogi sottoitervllo [ i, i ] per i =,,, tle che f i mi che o ecessrimete coicide co uo degli estremi dell itervllo A questo puto riscrivimo: A Pluriret t golo mi f i i i, che risult essere u pprossimzioe dell re dell regioe di pio deitt d f, dll sse e dlle due rette = e = Def: Defiimo somme iferiori di f reltive ll prtizioe P, l qutità: m m i ove : [ mi, ] f i i i i L ide è quell di ggiugere sempre più puti ll prtizioe di fre cioè u rffimeto dell prtizioe P, i modo tle d umetre il umero di sottoitervlli, cioè umetre Poiché il umero di rettgoli che si formo i questo modo coicide co, ll umetre di umet il umero di rettgoli iscritti e quidi umet l precisioe dell pprossimzioe che stimo fcedo Ioltre, possimo crere l isieme coteete le somme iferiori reltive d ogi umero di rettgoli iscritti Qudo rriverò d vere ifiiti sottoitervlli, cioè per, l re del plurirettgolo tede ll re dell suddett regioe di pio, che d or i poi chimeremo trpezoide di f reltivo ll itervllo [,] T L isieme delle somme iferiori è quidi superiormete itto e chimimo itegrle iferiore lo idichimo co f il vlore umerico di tedez dell successioe delle somme iferiori per, Alogmete si possoo defiire le somme superiori: Def: Defiimo somme superiori di f reltive ll prtizioe P, l qutità: M i = m { f } [ M i ove i, i ] i Ovvero, coicidoo co l re del plurirettgolo circoscritto l trpezoide T, pprossimimo, cioè, l re di T per eccesso usdo dei rettgoli Aloghe cosiderzioi ci porto dire che se il umero di sottoitervlli umet, umet che il umero di rettgoli, che però si restrigoo sempre di più, dimiuedo di dimesioi Pertto, è cor vero che se il plurirettgolo pprossim l re di T, m l successioe delle somme superiori costituisce u isieme iferiormete itto d u vlore di tedez che priori è diverso d f che chimeremo itegrle superiore e idicheremo co f 9

93 No è sempre detto che f f L fuzioe f per Q [,], ot come fuzioe di [,] \ Q Dirichlet defiit i [,], per le proprietà di desità di i, si h che per ogi sottoitervllo che si cre esiste sempre lmeo u umero rziole e uo rele Quidi per ogi sottoitervllo m m per ogi i, metre M per ogi i e quidi M Quidi i i = f f = i i i i Itegrle di Riem fuzioi R itegrili Def: U fuzioe f defiit su u itervllo vlori reli, itt, si dice Riem itegrile R itegrile se f I tl cso il vlore comue di f e f viee idicto co itegrle defiito di f reltivo ll itervllo [,] f f d e prede il ome di Il simolo f d ssume or u seso logico, seppur cor discoesso co il cocetto di primitiv Il simolo di itegrle è l S dell prol lti summ Si trtt llor di u simolo che ci ricord che stimo sommdo le ree degli ifiiti rettgoli che si trovo ell itervllo [,] Aree che si clcolo come f f d Il seso prtico di quest scrittur lo imo visto co il clcolo degli itegrli per prti e sostituzioe, che se, ripeto, per or soo rgometi scoessi Si può dimostrre che tutte le fuzioi cotiue soo R itegrili, così come tutte le fuzioi mootoe Ache se f preset u umero fiito di discotiuità di prim o terz specie, ed è cotiu i ogi ltro suo puto, è R itegrile M cor, oostte queste cosiderzioi, o imo cor u metodo veloce per clcolre le ree dei trpezoidi reltivi d ogi fuzioe Ioltre, il prllelismo tr l itegrle di Riem e le ree lo imo ftto solo ell ipotesi che f fosse positiv Cos succederee se f fosse che per u certo itervllo del suo domiio? I tl cso i vlori M i e m i sreero egtivi poiché sreero egtivi M i e m i Sigific che le ree sotto l sse soo egtive? Ioltre che, per come è defiito, può essere egtivo se predimo < Come risolvere questi prolemi? i i 93

94 Aree co sego Il primo prolem lo risolvimo dicedo che le ree che clcoo itegrdo co Riem o soo ree i seso geometrico, m ree co sego: cosiderimo cioè egtive le ree delle regioi di pio situte l di sotto dell sse delle scisse Positive quelle sopr L itegrle di Riem, se i [,] f è si positiv che egtiv, ssume il sigificto di u somm lgeric tr ree, ove le ree l di sotto dell sse do u cotriuto positivo e le ltre egtivo Ipotizzimo che l re idetifict co + si ugule e quell idetifict co il simolo si ugule : L re totle i [,] è = Proprietà dell itegrle defiito Le proprietà che ttriuimo ll itegrle defiito soo del tutto loghe quelle che imo visto per gli itegrli idefiiti I questo cso, però, molte di esse vro che u seso geometrico / litico: Proprietà: Sio f, g defiite su [,] vlori reli, itte, R itegrili el loro domiio Si c u puto itero d [,] Allor: c f d f d f d dditività secodo itervlli Geometricmete, l re di c u trpezoide può essere spezzt ell re di più trpezoidi g d f d f g d dditività k f d k f d omogeeità f d o, se vogo, l re di u segmeto è ull f d f d orietzioe dell itervllo [,] prede il ome di itervllo di itegrzioe Grzie ll ultim proprietà dell itegrle di Riem imo risolto il prolem del egtivo, ttriuedo u seso lle ree che dl puto di vist dell orietzioe dell itervllo 94

95 M oostte queste proprietà cor o imo colto il esso tr itegrli e primitive I reltà, il esso logico c è e si chim: Teorem fodmetle del clcolo itegrle Il teorem che uisce il cocetto di ree l cocetto di tiderivt fferm, i sostz, che l re sottes dl grfico di u fuzioe, dll sse e dlle rette reltive gli estremi dell itervllo di itegrzioe si clcol tiderivdo l fuzioe itegrd U esso stz iverosimile ppretemete Come può l re di u trpezoide essere clcolile medite u primitiv? I reltà ci soo lcui esempi che ci freero pesre il cotrrio: Es Are del rettgolo Cosiderimo l fuzioe costte f 3 Ess è R itegrile com è fcile costtre, dto che il sup e l if dell fuzioe è sempre 3 i ogi sottoitervllo e ci propoimo di clcolre l re del suo trpezoide reltivo d u itervllo del tipo [, t ], co t vriile tr [, ] Ci ccorgimo che l re i questioe è quell di u le rettgolo: primitiv vlutt i t di 3? t 3d 3t M o è forse 3t u Es Are del trigolo L re del trpezoide i questioe reltiv ll itervllo [, t ] è l re del trigolo i figur Quidi, se g, imo: t t t d t, cioè u primitiv di g 4 vlutt i t Acor o vi siete coviti? Provte clcolre l re del cerchio usdo l ultimo esempio sul cpitolo delle primitive per determire l re del cerchio I effetti, vle il seguete teorem: Teorem fodmetle del clcolo itegrle o teorem di Torricelli: Si f : [, ], si f itt e co u umero fiito di discotiuità di prim o terz specie f è llor R itegrile Si ioltre f derivile Allor: L fuzioe itegrle reltiv d f è cotiu; L re del trpezoide reltivo f i [, ] è u primitiv F dell fuzioe f ; f d F F 95

96 Dimostrzioe: No dimostrimo l cotiuità Se escludimo i csi ptologici, o ledimo l geerlità l discorso se l posto di cosiderre u fuzioe quluque cosiderssimo u fuzioe crescete e cotiu ell itervllo [, ] se l fuzioe o vesse queste proprietà, steree riprtire [, ] i modo tle d suddividerlo i itervlli più piccoli i oguo dei quli l fuzioe risulterà sempre cotiu, crescete o descrescete Si llor f u fuzioe sempre crescete ell itervllo [, ] : Si u estremo fissto e, picere, scego u estremo t vriile Ipotizzimo di spere che esiste u fuzioe At che defiimo ttrverso l itegrle di Riem come: ll itervllo [, t] Dto che t può vrire, spostimolo di u certo h Cosiderimo, cioè, il puto t A t f d quest fuzioe è dett fuzioe itegrle A t è u fuzioe che quidi restituisce il vlore dell re del trpezoide reltivo f i [, t] Al vrire di t, ovvero, l fuzioe i questioe ci dree il vlore estto dell re sottes dl grfico di f e reltiv t h : Studimo quidi l vrizioe dell fuzioe A i seguito llo spostmeto di t Per come è defiit A, ciò è equivlete domdrsi qut re è stt ggiut i seguito llo slittmeto di t fio ll posizioe t h cioè cos vle l re grigi T dell figur Chirmete o simo i grdo di dre u vlore umerico tle re, che se usdo l fuzioe A simo i grdo di esprimere l su vrizioe come: A t h A t Ove, ovvimete, A t h è l re del trpezoide del grfico di f i [, t h] A questo puto, possimo studire l fuzioe A ddo studire l vrizioe l vrire di t I prticolre, possimo pprossimre, usdo il metodo di Riem, co l re del rettgolo iscritto i T Poiché f è crescete, f t f t h e l re del rettgolo iscritto srà dt d: A rett iscritto Bse Altezz h f t Quest re è sicurmete miore dell re di T, metre logmete possimo rgiore sul rettgolo circoscritto e giugere ll coclusioe che l re Arett cir cos critto Bse Altezz h f t h è più grde dell re di T Allor, mettedo isieme le due cose: A A A rett iscritto T rett cir cos critto 96

97 Ovvero: f t h A t h A t f t h h Dividedo tutto per h otteimo: A t h A t f t f t h h A t h A t Il termie è il rpporto icremetle dell fuzioe A reltivo l puto t h Poiché f è cotiu per ipotesi, possimo pssre l ite per t d tutte le prti: A t h A t f t f t h t t h t L qutità i mezzo, quest volt, è il ite per t del rpporto icremetle ell su prim form: se quel umero esiste fiito, llor si può prlre di derivt prim di A i t M quel umero esiste fiito Iftti: A t h A t f t f t f t h f t t t h t Cioè: A t h A t f t f t t h Per il teorem del cofroto, deve essere: A t h A t f t t h Ed essedo f itt, f t esiste fiito, e quidi, il ite del rpporto icremetle di A i t è l derivt A di A i t: A t h A t f t A' t f t t h Quidi, per l geerlità co cui è stto scelto t ll itero di [, ], f risult derivile i tutti i puti t di [, ] I prticolre, se l derivt di A i t è ugule f t llor A deve essere u primitiv di f: A' t f t A t F t C Quest è l dimostrzioe del primo puto del teorem Per dimostrre il secodo puto, st porre t e t : Se t, llor imo che, per quto ppe detto: A F C M A è lmete l re d fio d, cioè A f d Quidi: Quidi: Se vogo A F C C F t A t f d F t C F t F f d ci st porre t : A f d F F Quest ultim relzioe è ot come formul fodmetle del clcolo itegrle Cvd 97

98 L scrittur F F d f viee tlvolt revit m è puro formlismo i questo modo: F d f F d f dove F è u primitiv dell fuzioe f Letterlmete, queste scritture sigifico clcolo F e l vluto i, i, e poi e fccio l differez Per esempio, clcoo l re sottes dl grfico di f, cioè l re dell semicircoferez: Chirmete ci spettimo che il risultto si: A L re i questioe, per il teorem precedete, è dt dll itegrle: d d f Per clcolre questo itegrle defiito, llor, occorre clcolre prim u primitiv di f l costte, per il mometo, o è più importte L primitiv di f è stt clcolt come ultimo esempio del cpitolo precedete ed è: C r d F cos Or doimo clcolre l differez F F F F : cos cos cos r r r F F 98