ISTITUZIONI DI MATEMATICHE (CORSO Dl LAUREA IN CHIMICA) PROGRAMMA D ESAME PER L A.A. 2009/10

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1 ISTITUZIONI DI MATEMATICHE (CORSO Dl LAUREA IN CHIMICA) PROGRAMMA D ESAME PER L A.A. 2009/10 Cmpi umerici. Il cmpo rziole come mplimeto dell isieme dei umeri iteri reltivi: proprietà e problemi. Il cmpo dei umeri reli: rppresetzioe geometric e rppresetzioe medite lliemeti decimli; proprietà lgebriche; ordimeto e sue proprietà, i prticolre, proprietà di completezz. Cocetto di estremo superiore ed estremo iferiore di u isieme ordito; esistez dell estremo superiore (rispettivmete: iferiore) di ogi isieme superiormete (rispettivmete: iferiormete) limitto di umeri reli. Nozioe di itervllo sull rett rele (perto, chiuso, limitto o o) e di itoro di u puto. Algebr liere. Vettori. Rppresetzioe geometric dei vettori; vettori pplicti i u puto; operzioi fr vettori, combizioi lieri, bse stdrd; rppresetzioe dei vettori come -uple: trduzioe lgebric delle operzioi. Prodotto sclre di 2 vettori: sue proprietà lgebriche e iterpretzioi geometriche (proiezioi ortogoli e più i geerle goli tr due vettori). Ortogolità tr vettori. Prodotto vettorile di due vettori dello spzio 3-dimesiole: iterpretzioe geometric (re); prodotto misto di tre vettori dello spzio 3-dimesiole: iterpretzioe geometric (volume). Geometri litic. Equzioi (prmetriche e o) di rette e pii ello spzio. Distz tr due puti, tr u puto e u pio. Mtrici e loro lgebr; mtrici qudrte: iverse, determiti. Sistemi lieri. Rgo di u mtrice. Teorem di risolubilità (Rouchè Cpelli), metodi di risoluzioe per sistemi qudrti soluzioe uic (metodo di Crmer) e o (metodo di Guss). Fuzioi Geerlità. Cocetto di fuzioe tr due isiemi (i prticolre di umeri reli); vribili idipedeti e dipedeti; domiio, codomiio e immgie di u fuzioe; composizioe di fuzioi; fuzioi iiettive, suriettive, biuivoche, fuzioi ivertibili. Fuzioi reli di vribile rele. Grfico; ozioi di: fuzioe limitt, mssimo (miimo) ssoluto o reltivo per u fuzioe, fuzioe mooto, fuzioe covess (cocv). Operzioi ritmetiche sulle fuzioi. Prità; periodicità. Fuzioi elemetri. Fuzioi lieri; fuzioi (veti per grfico) rette, prbole, iperboli; fuzioi potez, i prticolre rdicli; fuzioe espoezile e su ivers; fuzioi trigoometriche e loro iverse; fuzioi iperboliche. Grfico delle fuzioi elemetri e di fuzioi d esse otteute sostituedo l vribile idipedete (o dipedete) t co t + o co t. Successioi umeriche Crttere di u successioe (co esempi). Defiizioe di limite per u successioe; teorem di uicità del limite di u successioe covergete o divergete (DIMOSTRATO) 1. Crttere delle successioi mootoe. Teorem dell permez del sego (DIMOSTRATO). 1 L dizioe (DIMOSTRATO) ccto d u teorem sigific che esso è stto dimostrto lezioe ell /10 e quidi può essere richiest l dimostrzioe i sede di orle (vedere i qurt pgi: Modlità d esme) 1

2 Criteri di covergez per le successioi di umeri reli: criterio del cofroto co u coppi di successioi (DIMOSTRATO); criterio (ecessrio) dell limittezz delle successioi covergeti. Clcolo de1 1imite di u successioe: chiusur rispetto somm, sottrzioe e prodotto dell isieme delle successioi covergeti; problemi posti dlle reciproche di successioi covergeti zero e dlle successioi divergeti: forme di idecisioe [ ], [0 ], [0/0], [ / ]. Limiti dell successioe { } per { } per che tede + ; delle successioi { si }, { } che tede 0; delle successioi{ } b log c e{ } corrispodeti per i logritmi; limite dell successioe ( 1 ) cos, si 0 0 : forme di idecisioe [ 0 ], [ ], [ ] { } 1 e 1+ per che tede + (DIMOSTRATO) e limiti otevoli d esso derivti. Asitoticità: suo uso el clcolo dei limiti. Ifiitesimi (e ifiiti): loro cofroto; ordie di ifiitesimo (ifiito); cocetto di o( ). k Criterio del rpporto. Cofroto degli ifiiti { } medite l sostituzioe (qudo sesto) di co u successioe { } log, { }, { } e, {!}, { } e loro derivti divergete +. Limiti di fuzioi Defiizioe di limite di u fuzioe f(x) per x che tede d A (fiito o o) trmite le successioi umeriche tedeti d A ed equivleti defiizioi che utilizzo itori del limite e di A (d es. (ε,δ)-defiizioe); limiti dll siistr e dll destr. Proprietà derivti d quelle dei limiti di successioi (uicità, criterio del cofroto, teorem dell permez del sego, esistez del limite per le fuzioi mootoe, limite dell somm di due fuzioi ecc.). Cocetto di sitotico, ifiitesimo, ifiito, o( ) per x che tede d A (fiito o o). Asitoti verticli, orizzotli o obliqui. Fuzioi cotiue Cotiuità i u puto e su u itervllo; tipi di discotiuità co esempi. Teoremi per fuzioi cotiue su u itervllo chiuso e limitto: di esistez degli zeri (DIMOSTRATO), di esistez dei vlori itermedi; teoremi di limittezz e di esistez degli estremi ssoluti. Esempi e cotroesempi. Cei sull determizioe degli zeri (di u fuzioe cotiu su u itervllo chiuso e limitto) medite il metodo di bisezioe. Elemeti di clcolo differezile Tsso di icremeto di u fuzioe rele di vribile rele (problemi fisici e geometrici): derivt; sigificto geometrico; puti golosi e cuspidi. Derivte successive. Approssimzioe liere di u fuzioe derivbile ell itoro di u puto: cosegueti coessioi dell derivbilità co l cotiuità (DIMOSTRATO) e co l differezibilità. Regole di derivzioe: delle fuzioi composte, dell somm, del prodotto, del reciproco; derivbilità dell evetule ivers di u fuzioe derivbile, co sigificto geometrico. Clcolo delle derivte delle fuzioi elemetri. Appliczioi del clcolo differezile Teorem di ullmeto dell derivt prim i u puto di mssimo (o miimo) reltivo (Fermt: DIMOSTRATO). 2

3 Teorem del vlor medio (Rolle Lgrge: DIMOSTRATO). Appliczioi: due primitive di u dt fuzioe differiscoo tr loro per u costte (DIMOSTRATO); studio degli itervlli di mootoi di u fuzioe e ricerc dei puti estremti (DIMOSTRATO); criterio sufficiete di covessità e crtterizzzioe delle fuzioi derivbili covesse; ricerc dei puti di flesso. Studio di fuzioi. Teorem di pprossimzioe poliomile (di Tylor) co il resto ell form di Lgrge e di Peo. Poliomi di McLuri di lcue fuzioi elemetri. Uso dei poliomi di Tylor el clcolo di limiti, el clcolo pprossimto del vlore ssuto d u fuzioe i u puto; cei ll uso per otteere u criterio geerle per l determizioe dei puti estremti e dei puti di flesso di u fuzioe più volte derivbile. Fuzioi di più vribili Domii, limiti e cotiuità (cei). Derivte przili prime; grdiete e derivte direzioli, pio tgete, differezile. Derivte przili secode: teorem di Schwrtz. Ottimizzzioe i due vribili: ricerc dei puti critici trmite grdiete e loro studio trmite Hessio. Clcolo itegrle Itegrli idefiiti, loro proprietà, clcolo di itegrli immediti. Metodi di itegrzioe (idefiit): per scomposizioe, per sostituzioe, per prti. Cei ll'itegrzioe delle fuzioi rzioli frtte. Somme di Cuchy-Riem ssocite d u prtizioe di u itervllo chiuso e limitto, reltive d u fuzioe cotiu; itegrle defiito (di Cuchy-Riem). Suo sigificto geometrico. Proprietà degli itegrli defiiti. Determizioe delle ree di regioi pie limitte e dei volumi di solidi. Fuzioe itegrle. Teorem fodmetle del clcolo itegrle (DIMOSTRATO); cosegueze sul clcolo dell itegrle defiito di u fuzioe cotiu (DIMOSTRATO). Itegrli geerlizzti. Limiti egli estremi del domiio di u fuzioe itegrle: itegrli impropri di prim e di secod specie. Esempi fodmetli (fuzioe itegrd dell form x r oppure ( x ) r co r rele positivo). Criteri sufficieti per l covergez dell itegrle improprio di fuzioi di sego costte (del cofroto, del cofroto sitotico). Equzioi differezili ordirie. Equzioi differezili del primo ordie vribili seprbili; equzioi differezili del primo ordie lieri omogeee e o (DIMOSTRATO); equzioi differezili del secodo ordie lieri omogeee coefficieti costti; cei i csi o omogeei. Codizioi iizili, teorem di esistez e uicità dell soluzioe del problem di Cuchy. 3

4 MODALITÀ DELL ESAME ORALE L esme orle prevede domde su lcui rgometi di teori: si richiede che il cdidto bbi chire le loro ppliczioi (quidi: i problemi d cui scoo), coosc le defiizioi ecessrie spiegre gli euciti dei teoremi che i essi si trovo, coosc gli euciti stessi co gli esempi e i cotroesempi corrispodeti. Al cdidto può che essere richiest l'esposizioe e l dimostrzioe di u teorem e dell prte di teori d esso collegt: per questo è ivitto seglre prim dell esme tre teoremi di suo grdimeto tr quelli sotto electi, scelti rispettivmete ell prim, ell secod e ell terz prte del progrmm, tr quelli umerti (ciscuo co le cosegueze idicte). Può che essere richiesto lo svolgimeto di qulche semplice esercizio: tr questi rietro che il trccimeto di grfici di fuzioi elemetri e il clcolo esplicito - di lcui limiti fodmetli - delle derivte elemetri - di lcui itegrli idefiiti - di itegrli impropri stdrd - delle soluzioi di semplici equzioi differezili di uso chimico o fisico. Successioi umeriche 1) Uicità del limite. 2) Permez del sego. { } { t 1 log 1 + } c, 3) Covergez dell successioe ( 1 ) Prte I 1+ per che tede e sue cosegueze: ( 1 ), limiti delle successioi ( ) + Fuzioi cotiue 4) Teorem degli zeri e corollrio dei vlori itermedi. c 1 per { } 0. Prte II Fuzioi derivbili 1) Cotiuità delle fuzioi derivbili. Clcolo differezile 2) Aullmeto dell derivt egli estremi reltivi di u fuzioe derivbile (teorem di Fermt). 3) Teoremi di Rolle, Lgrge e loro cosegueze: idividuzioe dell clsse delle fuzioi l cui derivt si ull su u itervllo; idividuzioe dell clsse delle primitive di u fuzioe ssegt; mootoi delle fuzioi l cui derivt h sego costte su u itervllo; idividuzioe di estremi reltivi. Prte III Clcolo itegrle 1) Teorem fodmetle del clcolo itegrle (oppure il teorem del vlor medio) e sue cosegueze. Equzioi differezili 2) Clcolo dell'itegrle geerle delle equzioi differezili lieri o omogeee del primo ordie e soluzioe del corrispodete problem di Cuchy. 4

5 Per comodità del cdidto si riporto qui che quli soo i REQUISITI MINIMI PER SOSTENERE L ESAME No srà possibile ccedere ll prov orle (o proseguirl) se verrà rilevto uo dei segueti ftti: 1) Lo studete o coosce ) quli soo le fuzioi elemetri [x (co N, Z, Q, R), x (co > 0), log x (co > 0 e 1), si x, cos x, t x, rcsi x, rccos x, rct x] b) quli soo i domii delle fuzioi elemetri c) l defiizioe di fuzioe cotiu i u puto d) l defiizioe di fuzioe derivbile (o di derivt) i u puto e) le derivte delle fuzioi elemetri f) le regole di derivzioe (dell somm, del prodotto, del quoziete, di fuzioe compost, di fuzioe ivers) g) le primitive delle fuzioi elemetri h) le regole di itegrzioe (per scomposizioe, per prti, per sostituzioe) i) u metodo per ricooscere qudo u fuzioe è mooto (crescete o decrescete) 2) Lo studete o s ) trccire il grfico delle fuzioi elemetri (co rgioevoli tgeti ei puti chive ) b) risolvere disequzioi dell form (x + b)(cx + d) > 0 co, b, c, d R x + b c) risolvere disequzioi dell form > 0 co, b, c, d R cx + d d) risolvere disequzioi dell form x > c co, c R, > 0 e) risolvere disequzioi dell form log x > c co, c R, > 0 e 1 f) distiguere u ifiito d u ifiitesimo [d es. l x d l(1+ x) per x 0 +, e x d e -x per x + ] g) cofrotre due ifiiti stdrd [d es. log x (co > 1), x (co > 0), x (co > 1) per x + ] h) cofrotre due ifiitesimi stdrd [x (co > 0), si x, e x 1, l (1 + x) per x 0] i) risolvere u delle equzioi differezili: i. y (t) = k y (t) co 0 e k > 0 ii. y (t) = k ( y(t))(b y(t)) co, b R iii. y (t) = b y(t) co, b R iv. y (t) = kb e - kt y(t) co, b, k R v. y"(t) + y (t) + by(t) = c siωt co b, ω (0,+ ),, c [0,+ ) 5