IL CONCETTO DI LIMITE

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1 IL CONCETTO DI LIMITE DEFINIZIONE DI LIMITE Si f u fuzioe defiit i u itoro di x 0 dicimo che f x=l se e soltto se, comuque sceglimo u itervllo I l cetrto i l, piccolo quto voglimo, è possiile trovre u itervllo J x 0 cetrto i x 0 tle che f x I l per ogi x J x0, x x 0 Poedo I l =l,l e J x 0 = x 0, x 0 l defiizioe del tutto equivlete ll seguete Si f u fuzioe defiit i u itoro di x 0 dicimo che f x=l se e soltto se, per ogi 0, è possiile trovre 0 tle che 0 x x 0 f x l Suppoedo f x=l e [ f x g x]=lq [ f x g x]=l q x x 0 [ f x g x ]= l q g x=q, si h (supposto q 0 ) Se x è itt i u itoro x 0 (cioè se xm x I x 0 ) e f x=0 llor f xx=0 TEOREMA DEI CARABINIERI Sio f, g, h tre fuzioi defiite i u itoro di x 0 tli che f xhxg x i tle itoro e tli che f x = x x0 gx = l llor esiste hx e vle hx = l FUNZIONE CONTINUA Se f :[,] R si dice che f è cotiu i x 0 [,] se

2 f x= f x 0 se f è cotiu i ogi puto del suo domiio si dice che f è cotiu. Somm, prodotto e quoziete (dove è defiito) di fuzioi cotiue soo cor fuzioi cotiue. Ioltre si può dimostrre che l composizioe di fuzioi cotiue è ch'esso u fuzioe cotiu, cioè se g :[,] R ed f : g [,] R soo fuzioi cotiue, llor f g x= f g x 0 x 0 [, ] Ache le fuzioi trigoometriche soo fuzioi cotiue dl teorem dei criieri si ottiee che se x x cos x 1 x = 1 = 0 TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI Si f :[,] R cotiu, sio x 1, x 2 [,], x 1 x 2, tli che f x 1 0 ed f x 2 0 llor esiste u puto c [ x 1, x 0 ] tle che f c=0 u coseguez di ciò è il teorem dei vlori itermedi. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Si f :[,] R u fuzioe cotiu, sio x 1, x 2 [, ], x 1 x 2 llor f x ssume tutti i vlori compresi fr f x 1 ed f x 2 TEOREMA DI WEIERSTRASS Si f :[,] R cotiu, llor eistoo x m, x M [,] tli che f x m f x f x M x [, ] x m si dice puto di miimo di f, f x m è il vlore miimo dell f x M si dice puto di mssimo di f, f x M è il vlore mssimo dell f Dl teorem di Weierstrss e del teorem dei vlori itermedi segue che se cotiu llor detti m il vlore miimo di f i [, ] M il vlore mssimo di f i [, ] risult f [, ]=[m, M ] f :[,] R è LIMITI DESTRO E SINISTRO È evidete che il ite o sempre esiste. Se il ite destro e il ite siistro soo uguli, llor il ite esiste. LIMITI ALL'INFINITO E LIMITI INFINITI Si dice che

3 f x= solo e soltto se 0 x x 0 f xm I quest situzioe si dice che f h u sitoto verticle i x 0 Si dice che f x=l R x se e soltto se 0 R tle che x f x l I quest situzioe si dice che l rett orizzotle y=l è u sitoto orizzotle di f per x x 0 Si dice che f x= x se M R R tle che f xm x, I geerle l rett y=x è u sitoto di f per x se si h che x e quidi e = x = x [ f x x]=0 f x x f x x PROPRIETÀ DELLA PERMANENZA DEL SEGNO f :, R, x 0, si f x= L0 llor esiste u itoro I x 0 del puto x 0 tle che f x0 x I x0 {x 0 } OSSERVAZIONI Osservzioe 1 f :, R, g :, R, f xg x x,, x 0, si h f x g x x x 0 Osservzioe 2 f :, R, x 0, si f x= L si h f x = L (o vle il vicevers) Osservzioe 3 f :, R, x 0,

4 si h f x=0 f x =0 SUCCESSIONI Le fuzioi defiite sui umeri turli f :N R soo defiite successioi e soo deotte co l scrittur { } N dove = f L'uico ite su cui si può ivestigre è quello ll'ifiito e si h che =l R se e solo se 0 N tle che l Nel cso di =1 1 il ite viee chimto umero di Nepero e viee defiito come e= 1 1 DERIVATA DEFINIZIONE L pedez del grfico di f per x= x 0 si chim derivt di f i x 0 e si idic co f ' x 0 oppure co df dx x 0 Tle pedez è defiit d f ' x 0 = h 0 f x 0 h f x 0 h (purchè il ite esist e si fiito) Se il ite o esiste o è ifiito, o è defiit l pedez e si dice che l fuzioe o è derivile i x 0 Se f ' x 0 eiste, l rett tgete l grfico di f per x= x 0 srà l rett psste per x 0, f x 0 l cui pedez coicide co quell del grfico stesso ess vrà equzioe y= f ' x 0 x x 0 f x 0 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DIFFERENZIALE (LAGRANGE) Si f :[,] R cotiu, f derivile i,

5 llor esiste lmeo u puto c, tle che f f = f ' c ossi esiste u puto c, dove f h pedez ugule ll pedez dell rett che cogiuge i puti, f,, f TEOREMA DI ROLLE Si f :[,] R cotiu, f derivile i, e tle che f = f llor esiste u puto c, tle che f ' c=0 COROLLARIO DEL TEOREMA DI LAGRANGE f ' x=0 x, f x è costte i, f ' x0 x, f x è strettmete crescete i, f ' x0 x, f x è crescete i, f ' x= g ' x x, f x g x è costte i, TEOREMA Se f :[,] R è derivile i x 0, llor f è che cotiu i x 0 PROPRIETÀ Sio f, g :, R derivili i x 0, llor f g è derivile i x 0 e si h f g ' x 0 = f ' x 0 g ' x 0 f g è derivile i x 0 e si h f g ' x 0 = f ' x 0 g x 0 f x 0 g ' x 0 f se ioltre g x 0 0 llor g è derivile i x 0 e si h f g ' x = f ' x g x f x g ' x g 2 x 0 DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA Si f defiit i u itoro x, derivile i x, e si g u fuzioe defiit i u itoro di y= f x, derivile i y Allor l fuzioe compost g f è derivile i x e si h g f ' x= g' f x f ' x DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA Si f :, R, f cotiu e ivertiile se f è derivile i x 0, ed ioltre f ' x 0 0, llor l fuzioe ivers f 1 y è derivile i y 0 = f x 0 e si h f 1 ' f x 0 = 1 f ' x 0 o, equivletemete f 1 1 ' y 0 = f ' f 1 y 0 Sotto le ipotesi del teorem precedete tle formul si ottiee direttmete dll formul

6 dell derivt di u compost: st derivre l'uguliz f 1 f x= x LOGARITMO ED ESPONENZIALE Logritmo log :0, R loge x =x x R log =loglog logx'= 1 x x log p x =0 p N N x Espoezile exp:r 0, e logx = x x0 e =e e e x '=e x x x p =0 p N x e TEOREMA DI DE L'HÔPITAL Sio f, g due fuzioi derivili i u itoro di x 0 suppoedo che g ' x 0 i tle itoro e che oppure f x= x x 0 g x=0 f x= g x= x x 0 se esiste (fiito o ifiito) il ite llor esiste che il ite e si h f x gx = f ' x x x 0 g' x il teorem è vero che se f x gx x 0 =± f ' x g ' x ESPONENZIALE GENERALE (DI BASE A) E LOGARITMO IN BASE A Si 0 =e log poichè risultturle defiire x =e log x =e x log Dlle defiizioi e dlle proprietà di e x coseguoo immeditmete le segueti proprietà log x =loge xlog =x log x y = x y x y = xy x '= x log Se 0, 1, l fuzioe x è ivertiile l su ivers si chim logritmo i se di x e si idic co log x

7 PUNTI DI MASSIMO E MINIMO RELATIVI Si f :, R, u puto x 0, si dice di mssimo reltivo per f se esite u itoro I x0 di x 0 tle che f x f x 0 x I x0 il vlore f x 0 si dice mssimo reltivo di f Alogmete si defiiscoo puti di miimo reltivo e miimo reltivo. I puti dove f ' x=0 soo detti puti critici. Lo studio del sego dell derivt permette di cpire se questi soo puti di mssimo o miimo reltivi, oppure se soo puti cosiddetti di sell, cioè puti dove cmi l curvtur. L curvtur srà dt dll crescez (covessità) o descrescez (cocvità) dell derivt. Si può dire che f ' x 0 =0, f ' 'x 0 0 x 0 è u puto di miimo reltivo f ' x 0 =0, f ' ' x 0 0 x 0 è u puto di mssimo reltivo f ' x 0 =0, f ' ' x 0 =0, f ' ' ' x 0 0 x 0 è u puto di sell ( tgete orizzotle) INTEGRAZIONE SOMMA DI RIEMANN Si f :[,] R u fuzioe o egtiv, cioè f x0 x [,] si vuole defiire l're dell'isieme Sf ={x, y:x,0 yf x} sio x i, i=0,1,...,, puti [,] tli che =x 0 x 1 x 2 x 1 x = i questo modo [,] risult diviso i itervlli [x i 1,x i ], i=1,2,..., per ogi i=1,2,..., si scelg u puto x i [x i 1,x i ] e si cosideri il rettgolo di se [x i 1,x i ] e ltezz f x i, l cui re è f x i x i x i 1 Si defiisce somm di Riem R = i=1 f x 1 x 1 x i 1 Prededo tutti gli itervlli dell stess lugezz x i x i 1 = i=1,..., Risult R = f x i i=1 TEOREMA Si f :[,] R cotiu, llor esiste il ite R Tle ite viee detto itegrle d dell fuzioe f e si scrive f xdx

8 PROPRIETÀ Sio f, g:[,] R cotiue, llor: f xdx = f x dx R [f xg x]dx = f xdx c se c, llor g xdx f xdx = f xdx f xdx f xgx x [,] f xdx g xdx i prticolre m f xdx M dove m ed M soo rispettivmete il vlore miimo e mssimo di f i [, ] f x g xdx f xdx = f xdx f xdx gx dx c TEOREMA DEL VALOR MEDIO INTEGRALE Si f :[,] R cotiu, llor c, tle che f xdx = f c DEFINIZIONE DI PRIMITIVA O ANTIDERIVATA Si dice che u fuzioe F :[,] R è u primitiv i [,] di f :[,] R se e solo se F ' x=f x x [, ] TEOREMA Se F x e Gx soo due primitive di f x llor Gx F x è costte LA FUNZIONE INTEGRALE Si f :[,] R itegrile, l fuzioe itegrle ssocit è defiit medite x F x= f tdt, x F x rppreset l're co sego d d x, l vriile è l'estrmo superiore di itegrzioe. LA FUNZIONE INTEGRALE Si f :[,] R u fuzioe itegrile, si x F x= f tdt

9 l fuzioe itegrle ssocit si h se f è cotiu i [,], llor F è derivile i [,] e si h F ' x=f x x [,] se G x è u quluque primitiv di f x, si h f t dt = G G INTEGRALE INDEFINITO Si dice itegrle idefiito di f e si scrive f xdx (o semplicemete f ) u primitiv ritrri di f x Per l'itegrle idefiito vle f g = f g, k f = k f ( k costte) INTEGRAZIONE PER PARTI L formul dell derivt di u prodotto dice che f ' g= fg' fg' e segue che f ' g = fg' f g ' cioè f ' g = fg fg' INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE Dll formul di derivzioe di u fuzioe compost si h che, se Gt è u primitiv di g x (cioè G' t=gt ), llor Gf x è u primitiv di g f x f ' x iftti Gf x' = G ' f x f ' x = g f x f ' x quidi, posto t=f x, d Gf x = Gt = gt dt, risult gt dt = gf x f ' x dx INTEGRALE IMPROPRIO Si cosiderio i segueti csi f xdx, f cotiu i [,) itegrli di questo tipo vegoo detti impropri f xdx qudo f è cotiu i (,] OSSERVAZIONE U poliomio x 2 xc, che o h rdici reli, si può sempre scrivere ell form x 2 2, dove ±i soo le sue due rdici complesse. Si può così, co u semplice 1 sostituzioe, clcolre ogi itegrle del tipo x 2 xc dx ( x 2 xc sez rdici reli)

10 ricooscedolo ll'itegrle e oto 1 1 1t 2 dt. INTEGRALE DI QUOZIENTI DI POLINOMI È chiro che, trmite l divisioe di poliomi, ci si può ridurre trttre il cso co grdp xgrdq x. Nel cso grdq x=2 ci soo tre possiilità: Q x h due rdici reli 1, 2 distite: i questo cso Q x si può scrivere come x 1 x 2 P x e Qx A ell form B x 1 x 2 l primitiv srò quidi del tipo A log x 1 B log x 2 P x Qx dx, si può scomporre Q x h due rdici reli 1, 2 coicideti: i questo cso Q x si può scrivere come x 1 2 P x e si può scomporre ell Q x C form x 1 D x 1 2 D l primitiv srà quidi del tipo C log x 1 x 1 Q x o h rdici reli: i questo cso si può scrivere Q x come somm di qudrti e gli itegrli, meo di costti moltiplictive, si ridurro ll form 1 t 2 1 dt oppure 2t t 2 1 dt, che vlgoo rispettivmete rctt e log1t 2 SUCCESSIONI E SERIE SUCCESSIONI U successioe può essere espress i form esplicit, d esempio = 1, =1 1, =, ecc ecc oppure può essere defiit per ricorrez, cioè ogi termie è defiito prtire di precedeti, d esempio { 0 =1 1 =1 N, { 0=1 1 =1 1 = 1 N L formulzioe S = S q = qq 2...q = k =1 o è esplicit m si s che q k

11 {q q 1 q 1 S q = 1 q q=1 U successioe che h ite fiito si dice covergete. DEFINIZIONI E PROPRIETÀ si dice itt se M R tle che M N è crescete se 1 N è decrescete se 1 N le successioi cresceti o decresceti vegoo dette mootoe se è covergete llor è itt, o vle il vicevers se è itt e mooto llor è covergete se è mooto mo itt llor =± SERIE I geerle, dt u successioe, si può cosiderre l successioe delle somme przili di, cioè S 1 = 1 S 2 = S 1 2 = 1 2 S = S 1 = = k k =1 L successioe S si chim serie di termie geerle. ESEMPI DI SERIE =q si h S =q =q si h S =S q quest serie si defiisce serie geometric di rgioe S = = k =1 = 1 si h quest serie si defiisce serie rmoic 1 k q DEFINIZIONI U serie si dice covergete se esiste S =S R si scriverà S = k k=1 e si dirà che S è l somm dell serie U serie si dice divergete se esiste

12 S =± si scriverà che k =1 k =± se il termiie geerle è positivo l serie h sempre ite, fiito o, quidi l serie coverge o diverge U serie si dice idetermit se o esiste S NOTA Il termie di u serie covergete tede zero k=1 0 k R (cioè l serie coverge) Quest codizioe è ecessri mo sufficiete ffiche l serie coverg, quidi può essere utile solo per dimostrre lo covergez di u serie. CRITERIO DEL CONFRONTO INTEGRALE Si f 0, cotiu e decrescete i [1, ) llor f x dx f k 1 1 k=1 f x dx = k=1 f k = CRITERIO DEL CONFRONTO Sio 0, 0, N llor =1 =1 CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO Sio 0, 0 N e =L0 llor e =1 =1 L R ho lo stesso comportmeto

13 CRITERIO DEL RAPPORTO Si 0 e 1 L llor: se L1 llor =1 se L1 llor = =1 se L=1 ull può dirsi i geerle CRITERIO DELLA RADICE Si 0 e L llor se L1 llor =1 se L1 llor = =1 se L=1 ull può dirsi i geerle DEFINIZIONE DI CONVERGENZA ASSOLUTA Si dice che l serie, R, coverge ssolutmete se e soltto se =1 =1 coverge. Quidi se u serie coverge ssolutmete llor coverge (si dice che semplicemete). =1 =1 R SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNI U serie del tipo =1 1 si dice serie segi lteri 0 N CRITERIO DI LEIBNIZ Se 0 N decrescete, 0 llor

14 =1 1 R SERIE DI POTENZE U serie il cui termie geerle è del tipo = x = c x x 0 si defiisce serie di poteze =0 c x x 0 Le serie di poteze si possoo pesre come lturle geerlizzzioe dei poliomi. I criteri del rpporto e dell rdice soo prticolrmete utili ello studio dell covergez di questo tipo di serie. TEOREMA Si c 1 c = c = L llor L=0 c x x 0 coverge ssolutmete x R =0 L= =0 c x x 0 o coverge per lcu x x 0 0L c x x 0 coverge ssolutmete per x x 0 1 L =0 o coverge per x x 0 1 L DEFINIZIONE DI RAGGIO DI CONVERGENZA L=0 1 r={ 0L L 0 L= si chim rggio di covergez. Il teorem precedete dice che u serie di poteze coverge ssolutmete i u itervllo perto cetrto i x 0, e precismete ell'itervllo x 0 r, x 0 r Negli estremi x 0 r, x 0 r l covergez v studit cso per cso. TEOREMA Si =0 c x covergete per x r llor esiste

15 =0 e vle =0 c x ' c x ' = c x 1 =1 x r, r (cioè le serie di poteze si possoo derivre termie termie) SERIE DI TAYLOR Se f x = =0 llor si h f x = =0 c x, x r f 0! x quest serie viee defiit serie di Tylor dell fuzioe f, cetrt i x 0 =0. Se f è sviluppile i serie di Tylor cetrt i x 0 =0, llor f è derivile ifiite volte i x 0 =0. Il vice verso è vero. DEFINIZIONE DI FUNZIONE SVILUPPABILE IN SERIE DI TAYLOR Si dice che f x è sviluppile i serie di Tylor i u itoro dell'origie se esiste r0 tle che f x = =0 f 0! x x: x r I geerle, f x si dice sviluppile i serie di Tylor i u itoro del puto x 0 R se esiste r0 tle che f x = f 0 x x =0! 0 x : x x 0 r DEFINIZIONE DI POLINOMIO DI TAYLOR Si f derivile volte i x= x 0 il poliomio f k x 0 x x k! 0 k = f x 0 f ' x 0 x x 0... f x 0! x x 0 P = f x 0 k=1 si chim poliomio di Tylor dell fuzioe f cetrto i x= x 0. Si vede che P è l'uico poliomio di grdo l più verificte che se f è derivile volte i x 0,posto P x = f x 0 f ' x 0 x x 0... f x 0 x x! 0 E x = f x P x llor E x 0 = 0

16 E x x x 0 = 0 Si può osservre che P è l somm przile essim dell serie di Tylor cetrlt i x= x 0 dell fuzioe f x Per ffermre che l somm dell serie di Tylor di f è proprio f deve essere [ f x P x] = 0 EQUAZIONI DIFFERENZIALI U'equzioe differezile ordiri è u relzioe del tipo gt, yt, y' t,..., y t =0 tr u vriile idipedete t, u fuzioe icogit yt ed u umero fiito delle sue derivte y' t, y' ' t,..., y t. ( g è u fuzioe di 2 vriili ot) L'equzioe si dice di ordie se l derivt di ordie mssimo che compre è quell esim. Esplicitdo l derivt di ordie mssimo si ottiee u'equzioe dett i formormle. y t= f t, yt, y ' t,..., y 1 t PROBLEMA DI CAUCHY Il prolem { y' t = f t, yt yt 0 = y 0 è oto come prolem di Cuchy. EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI Si f t, y= At B y dove At e B y soo due fuzioi cotiue, defiite rispettivmete i itori di t 0 e y 0 e ioltre B y 0 0 Allor si può dire che esiste u itoro di t 0 dove il prolem di Cuchy { At y' t = B yt yt 0 = y 0 h soluzioe ed ess è uic. Deve essere t t 0 cioè B y y' d = t 0 t A d

17 y t y 0 t B sds = t 0 Ad EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE Si y' tt yt = t dove t e y soo fuzioi cotiue ssegte. Lequzioe si dice liere per il ftto che l'opertore L defiito d L y = y'y è u opertore liere. Il prolem di Cuchy ssocito { y' t t yt = t yt 0 = y 0 h soluzioe (glole, cioè defiit t R ) e tle soluzioe è uic. yt = e tdt [ e t dt ytdt k] METODO DI RISOLUZIONE PER SERIE Bisog supporre che l soluzioe del prolem di Cuchy si u fuzioe yt sviluppile i serie di poteze, cioè yt= t =0 e usdo il teorem di derivzioe, scrivere l'equzioe como uguliz tr due serie di poteze. Poichè due serie di poteze soo uguli se e soltto se lo soo tutti i loro coefficieti, d tle uguliz e dll codizioe iizile si rivco gli e si h così l fuzioe yt, o lmeo u su pprossimzioe. METODO DI EULERO Prtedo d t 0, y 0 si pprossim, fio t=t 1, l soluzioe yt co l su rett tgete y 1 =t. Poi riprtedo d t 1, y 1 si cosider u ltro trtto, fio t=t 2. Procededo i questo modo l psso 1 -esimo, cosiderdo l rett y 1 t per t, y co pedez f t, y, l su equzioe è y 1 t = y f t, y t t