Matematica? No problem!!!

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2 Crlo Sitii Mtemtic? No problem!!! Tutt l mtemtic di bse per i licei e il bieio uiversitrio 2

3 Crlo Sitii Mtemtic? No problem!!! Crlo Sitii / Mtemticmete.it febbrio [email protected] Il presete libro è rilscito ei termii dell licez Cretive Commos Attribuzioe - No commercile - No opere derivte 2.5 Itli, il cui testo itegrle è dispoibile i L versioe digitle dell oper è dispoibile grtuitmete l sito Stmp Uiversl Book vi Botticelli, Rede (CS) ISBN

4 A mio ipote Smuele 4

5 INDICE INTRODUZIONE 9 CAP. 1 - PREMESSE 10 Pr. 1 - Proprietà delle poteze 10 Pr. 2 - Proprietà dei rdicli 11 Pr. - I prodotti otevoli 1 Pr. 4 - Vrie 14 Pr. 5 Le ctegorie umeriche 15 Pr. 6 - Gli itervlli 20 Pr. 7 - Le disuguglize e le disequzioi 2 Pr. 8 - Le espressioi co modulo 1 CAP. 2 - GRAFICI, SIMMETRIE E TRASLAZIONI 5 Pr. 1 - I grfici el pio crtesio 5 Pr. 2 - Il domiio 41 Pr. - Le simmetrie 45 Pr. 4 - Le costti dditive e moltiplictive 49 Pr. 5 - Le trslzioi 5 CAP. - TRIGONOMETRIA 56 Pr. 1 - L misur degli goli i qudrti 56 Pr. 2 - Le fuzioi trigoometriche 59 Pr. - Le relzioi fodmetli 6 Pr. 4 - Gli goli otevoli 69 Pr. 5 - L riduzioe l primo qudrte 74 Pr. 6 - Alcue formule importti 76 Pr. 7 - Le equzioi e disequzioi trigoometriche 80 CAP. 4 - LOGARITMI ED ESPONENZIALI 87 Pr. 1 - L defiizioe di logritmo 87 Pr. 2 - Le equzioi espoezili 88 Pr. - Le equzioi logritmiche 90 5

6 Pr. 4 - L fuzioe espoezile 91 Pr. 5 - L fuzioe logritmic 9 Pr. 6 - Le proprietà dei logritmi 96 CAP. 5 - GEOMETRIA ANALITICA 101 Pr. 1 - Prime formule 101 Puto medio fr due puti 101 Distz fr due puti 101 Equzioe rett psste per due puti 102 Pr. 2 - Equzioe dell rett 10 Pr. - Acor sulle rette 106 Fsci di rette 106 Prllelismo e perpedicolrità fr rette 107 Distz di u puto d u rett 109 Agolo fr due rette 109 Pr. 4 - L circoferez 110 Pr. 5 - L prbol 115 Pr. 6 - L ellisse 125 Pr. 7 - L iperbole 10 Pr. 8 - Formule di rotzioe 17 Pr. 9 - L fuzioe omogrfic 140 Pr Le coiche geeriche 14 Pr Le coiche degeeri 149 CAP. 6 - I LIMITI 154 Pr. 1 - Premesse 154 Pr. 2 - Il cocetto di limite 158 Come si clcol u limite? 160 Pr. - Le forme idetermite 161 Pr. 4 - Teoremi sui limiti (sez dimostrzioe) 164 Pr. 5 - Limiti otevoli (sez dimostrzioe) 165 Pr. 6 - Cofroto fr ifiitesimi 166 6

7 Pr. 7 - Fuzioi cotiue 169 Pr. 8 - Le discotiuità 172 CAP. 7 - LE DERIVATE 175 Pr. 1 - Dl rpporto icremetle ll derivt 175 Pr. 2 - Cotiuità e derivbilità 181 Pr. - Regole di derivzioe 18 Pr. 4 - Le fuzioi composte 184 Pr. 5 - L derivzioe delle fuzioi iverse 185 Pr. 6 - Il teorem di Rolle 191 Pr. 7 - Il teorem di Lgrge ( vlor medio) 192 Pr. 8 - Il teorem di Cuchy 192 Pr. 9 - Il teorem di De l Hospitl 19 CAP. 8 - GLI INTEGRALI 196 Pr. 1 - Il cocetto di differezile 196 Pr. 2 - L itegrle defiito 198 Pr. - Proprietà dell itegrle defiito 201 Pr. 4 - L fuzioe itegrle 204 Pr. 5 - Teorem di Torricelli-Brrow 204 Pr. 6 - Itegrli immediti 207 Pr. 7 - Clcolo di u re 208 Pr. 8 - Itegrzioe per sostituzioe 210 Pr. 9 - Itegrzioe per prti 211 Pr Itegrzioe per scomposizioe 212 Pr Teorem dell medi 215 Pr Volume di u solido di rotzioe 216 Pr. 1 - Itegrli impropri 217 CAP. 9 - MATRICI 219 Pr. 1 - Premesse sulle mtrici 219 Pr. 2 - Determite di u mtrice qudrt 220 Pr. - Proprietà delle mtrici qudrte 22 7

8 Pr. 4 - Operzioi fr mtrici 227 Pr. 5 - L regol di Crmer 229 Pr. 6 - Il teorem di Rouché-Cpelli 21 Pr. 7 - I sistemi omogeei 24 CAP CALCOLO VETTORIALE 28 Pr. 1 - Elemeti di clcolo vettorile 28 Pr. 2 - Prodotto sclre fr due vettori 24 Pr. - Prodotto vettorile fr due vettori 245 Pr. 4 - Proprietà ed esempi 249 CAP GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 257 Pr. 1 Rette e pii 257 Pr. 2 - Prllelismo e perpedicolrità 26 Pr. - Le qudriche 270 Pr. 4 - Ivriti 276 8

9 INTRODUZIONE Questo testo o h lcu pretes di costituire u esposizioe rigoros e complet degli rgometi trttti. E soltto u mule di rpid cosultzioe per studeti che, i lcui puti, offre (forse) u spiegzioe più chir ed ituitiv rispetto quell ormlmete presete ei testi trdizioli. Ho volutmete sltto molte dimostrzioi, preoccupdomi però i molte occsioi di forire u giustificzioe logic di quto dvo ffermdo. Come scelt cospevole (suggerit dll mi esperiez di docete di u liceo scietifico), preferisco usre il rigore scietifico solo qudo è ecessrio, m o sempre. Preferisco decismete l semplicità e l immeditezz d u rigore formlmete ieccepibile spese dell chirezz. Lo scopo di questi pputi è quello di forire u vlido ppoggio i testi trdizioli presetdo i modo sitetico e chiro tutti i puti fodmetli e trdiziolmete più ostici per lo studete, isieme d u repertorio bbstz mpio di esempi svolti. Crlo Sitii [email protected] 9

10 CAP. 1 - PREMESSE Pr. 1 - Proprietà delle poteze I questo primo cpitolo pssimo i rsseg lcui cocetti elemetri che dovrebbero essere già oti, m che spesso soo (lmeo i prte) del tutto dimeticti. Comicimo co u ripsso sulle proprietà delle poteze. 1) 1 = 1 2) 0 =1 (tre che per = 0 perché i tl cso il risultto è idetermito) ) ( b c) = b c (Attezioe! Gli elemeti detro pretesi devoo essere tutti moltiplicti fr loro: o devoo esserci segi di ddizioe) 4) (Attezioe! Ache qui gli elemeti b b detro pretesi devoo essere divisi fr loro: o devoo esserci segi di sottrzioe) 5) m = m+ (Attezioe! L regol o vle se l primo membro c è m + ) m m 6) (Attezioe! L regol o vle se l primo membro c è m - ) m m 7) ) 9) m m m m 10) 10

11 Pr. 2 - Proprietà dei rdicli Proseguimo co le proprietà dei rdicli: 1) 0 = impossibile (co 1) 2) 0 1 = idetermito 1 ) 4) m p m p ) (Per esempio ) Applicdo quest regol l cotrrio (Per esempio ) 6 2 ) si dice che si è ridotto, semplificto, il rdicle. b 6 2 b b b b b b 6 2 b (Attezioe! Co i segi o è possibile portre fuori di rdice l potez) ) b b b b b (Attezioe! Ache i questi csi i segi impediscoo di portre l potez sotto l rdice) 8) Prodotto o rpporto fr rdicli co lo stesso idice: b 2 2 b b : 2 b 2 2 b b b 2 b 2 (Attezioe! Al solito i segi impediscoo l'uioe delle rdici) 11

12 Se i rdicli soo moltiplicti o divisi fr loro ed ho idici differeti fr loro, si debboo prim trsformre i modo che gli idici divetio uguli, e poi si procede come sopr. Per esempio: 2 4 b b Clcolimo il m.c.m. dei tre idici (m.c.m.=12), e trsformimo i tre rdicli pplicdo l regol 5) i modo che ssumo tutti lo stesso idice 12: 9) b b b b b b b b b b b b b b b b b b b (Acor cus dei segi ± o è possibile pplicre l regol.) F eccezioe il cso, detto dei rdicli doppi, i cui i due rdicli bbio etrmbi idice 2, e l qutità 2 -b si u qudrto perfetto. I tle cso, poedo 2 -b=c 2, si h b c 2 c 2 12

13 Pr. - I prodotti otevoli Rggruppimo i questo prgrfo si i prodotti otevoli clssici, che quei criteri che permettoo di trsformre u poliomio i u prodotto di due o più fttori ) 2 2b b b 2 2 2) b b b b ) 2 b c 2b 2c 2bc b c 2 2 4) b b b (Attezioe! 2 +b 2 o è u prodotto otevole) 5) Il rccoglimeto fttor comue. Per esempio: 15 2 b 5 2 b 2 20 b b 2 b 1 4b 6) Il doppio rccoglimeto fttor comue. Per esempio: 2b b b 2b b 2b 2b b 2b b 7) Ogi triomio di secodo grdo x 2 +bx+c può essere scritto ell form x x1 x x2 dove x 1 e x 2 soo le soluzioi dell equzioe x 2 +bx+c = 0. 8) L divisioe co il metodo di Ruffii. Dto per esempio il poliomio 2 x 2x 5x 6 0 esso, vedi fico, si può scrivere ell form x 1 2 x x 6 0 1

14 Pr. 4 - Vrie 1) Rziolizzzioe del deomitore di u frzioe (procedimeto per elimire u rdicle dl deomitore di u frzioe). Ecco lcui esempi fr i più comui: ) Cofroto fr due frzioi per stbilire qule delle due è più grde. Bst moltiplicre i croce (co le frecce verso l lto): è più grde l frzioe dll cui prte si trov il risultto mggiore. Per esempio, fr le due frzioi sottostti e più grde il prodotto 25 e quidi è più grde l secod frzioe. ) Cofroto fr due rdicli. Si deve trsportre tutto sotto l rdice e poi trsformre gli idici i modo che ssumo lo stesso vlore. Per esempio, I due rdicli

15 possoo essere trsformti el modo seguete: D cui risult che il primo rdicle è più grde del secodo perché il primo rdicdo (il umero sotto rdice), è mggiore. Pr. 5 Le ctegorie umeriche Ripercorrimo l evoluzioe del cocetto di umero prtedo d quelli che per primi furoo ideti dll uomo: i umeri NATURALI (o umeri iteri) che soo idicti simbolicmete co l letter N. Questi ltri soo ivece i umeri positivi e egtivi (o umeri RELATIVI) e soo idicti co l letter Z. Il sego più dvti i umeri positivi è fcolttivo ed i geere viee messo solo qudo l su mcz può geerre cofusioe. Lo zero è il solo umero o vere sego: è uico. Fr u umero itero (positivo o egtivo) e il successivo possoo essere iseriti ifiiti ltri umeri (i umeri decimli o co l virgol)

16 i questo cso i umeri si chimo RAZIONALI e vegoo idicti co l letter Q. Tutti i umeri rzioli possoo essere messi sotto l form m i cui m ed soo etrmbi umeri iteri. I umeri periodici pprtegoo ll ctegori dei umeri rzioli perché possoo essere trsformti ell loro frzioe geertrice. Per esempio, 7 2,... 2, 2,() 192 2,1... 2,1 2,1() , , 1 2,(1) 99 Il periodo (come mostro il secodo e il terzo membro) può essere idicto si co u sopr-lie che co u pretesi. L frzioe geertrice di u umero periodico si può otteere pplicdo u semplice regol (che si iseg elle scuole medie), e che o è ecessrio spiegre i questo cotesto: co u clcoltrice tscbile è comuque possibile fre l cotroprov e verificre che le frzioi corrispodoo proprio i umeri periodici idicti. E importte otre che che i umeri turli e reltivi possoo essere cosiderti rzioli perché è possibile metterli sotto l form m. 16

17 Per esempio, , , Esistoo però ltri umeri che o possoo essere messi sotto l form m e per quest rgioe soo detti IRRAZIONALI, e soo crtterizzti dl ftto che ho ifiite cifre decimli o periodiche. Essi provegoo d tutte le rdici che o corrispodoo poteze estte 2 1, , ecc dl rpporto di u circoferez co il proprio rggio (il fmoso pi greco, ), dl clcolo di qusi tutte le fuzioi trigoometriche (per esempio: cos 25 = 0,90607 ), e si potrebbe seguitre co molti ltri esempi. I umeri rzioli ed irrzioli costituiscoo due isiemi seprti, el seso che u umero o può ssolutmete pprteere d etrmbe le ctegorie: o può essere messo sotto l form m (ed llor è rziole), o o può essere messo sotto tle form (ed llor è irrziole). L isieme costituito dll uioe dei due isiemi, quello dei umeri RAZIONALI ed IRRAZIONALI costituisce u uov ctegori umeric che prede il ome di isieme dei NUMERI REALI e vegoo idicti co l letter R. 17

18 I umeri reli possoo essere messi i corrispodez co i puti di u rett: Ad ogi umero rele corrispode u puto sull rett, e d ogi puto dell rett corrispode u umero rele: si h u CORRISPONDENZA che fuzio i etrmbe le direzioi (cioè biuivoc). Se tetssimo ivece di mettere cofroto i umeri N, Z, Q co u rett oriett, l corrispodez fuzioerebbe i u sol direzioe. Cioè ciscuo di questi umeri corrispoderebbe u puto sull rett, m ci srebbero ifiiti puti dell rett i quli o corrispoderebbe lcu umero. N.B. A proposito dei umeri rzioli ell form m occorre precisre che 5 impossibile (essu umero moltiplicto per 0 è ugule 5) 0 0 idetermito (ogi umero moltiplicto per 0 è ugule 0) 0 quidi u frzioe è ull solo se il suo umertore è ullo. 18

19 Il discorso sulle ctegorie umeriche o è fiito perché può vveire che sotto u rdice qudrt (o comuque co idice pri) ci si u umero egtivo, per esempio 4. Il risultto di queste rdici può essere clcolto se si poe 2 i 1 cioè i 1. I tl cso si può scrivere i 2 2i i 1 I umeri di questo tipo predoo il ome di umeri IMMAGINARI. Questi umeri ovvimete o possoo essere rppresetti sull rett oriett dei umeri reli. A questo puto è possibile crere u uov ctegori umeric dett dei NUMERI COMPLESSI. U umero complesso è formto d due prti uite d u sego più o meo: l prim prte è u umero rele, l secod prte è u umero complesso (il sego più o meo è solo simbolico perché o è possibile clcolre u risultto di u simile somm lgebric). Per esempio: 2i l prte rele è il umero, l prte immgiri 2i 5-4i l prte rele è il umero 5, l prte immgiri -4i 7 l prte rele è il umero 7, l prte immgiri ull i l prte rele è ull, l prte immgiri i I questo modo ogi umero può essere cosiderto come u umero complesso. Due umeri complessi co l stess prte rele e co prte immgiri ugule e di sego opposto, vegoo detti COMPLESSI CONIUGATI fr loro. 19

20 Cocludimo osservdo che ogi ctegori umeric comprede le precedeti come u sottoisieme Cioè i umeri turli soo u sottoisieme di quelli reltivi, quelli reltivi soo u sottoisieme di quelli rzioli, e così vi. Pr. 6 - Gli itervlli I umeri reli possoo quidi essere messi i corrispodez co i puti di u rett oriett. Accde spesso di dover predere i cosiderzioe tutti i umeri (o tutti i puti) compresi fr due vlori: si ottiee così u itervllo. I puti estremi di questo itervllo possoo essere compresi o esclusi dll itervllo stesso, ed ioltre uo degli estremi può coicidere co il puto ll ifiito ( destr o siistr). Chirimo questo cocetto co degli esempi. Sio dti due umeri reli rbitrri che deomiimo simbolicmete co le lettere e b 20